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专题03 三角形（全等、相似、边角）
题型01 全等模型
三角形全等模型内容涵盖很多类，往往出现在选择类和解答题类中，以几何图形类考察较为常见，这部分内容较难，一般建立在模型的变形之上考察，但一般要结合题目中的字眼进行分析，比如“中点”“平行”“相等”“垂直平分线”等。出现图形的形式有三角形，也有四边形。
1.倍长中线模型 已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线， 方法：延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE．结论1：△ACD≌△EBD．已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点， 方法：连接ED，延长ED到点F，使DF＝DE，连接CF．结论2：△BDE≌△CDF．已知：在△ABC中，点D是BC边的中点， 方法：作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，结论3：易证：△CDE≌△BDF（SAS）
2.一线三等角模型 已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）． 同 侧 型 结论1：△CAP≌△PBD． 异 侧 型 结论2：△APC≌△BDP
3.半角模型 半角模型 等边三角形含半角 已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点， ∠BDC＝120°，BD＝CD，点E，F分别在AB，AC上， ∠EDF＝60°．结论1：EF＝BE＋CF， ∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE． 正方形含半角 已知：四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°．结论2：EF＝BE＋DF， ∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE． 等腰直角三角形含半角 已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， 点D，E在BC上，∠DAE＝45°．结论3：DE 2＝BD 2＋CE 2．
4.手拉手模型 已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA．结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE， 结论2：∠BOC＝∠BAC， 结论3：OA平分∠BOE．
（二）结论推导 结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE． 结论2：∠BOC＝∠BAC． 结论3：OA平分∠BOE． 5.对角互补+邻边相等模型 已知：，，利用旋转构造全等结论：OC平分∠AOB作垂线旋转拓展
6.截长补短模型 方法截长法补短法条件在△ABC中AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求证：AB=AC+CD 图示 方法在AB上截取AE=AC,连接DE延长AC到点E，使CD=CE,连接DE结论 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形
7.鸡爪模型（构造手拉手） 半角模型 等 边 三 角 形 点在内部做法：将△ABD绕点A逆时针旋转60°， 得到等边△AEC，连接DE结论：△DEC的三条边长就是AD，BD，CD． 点在外部 ∠BDC=120°做法：将△ACD绕点A逆时针旋转60°， 得到等边△AEC，连接DE．结论：．等 腰 直 角 三 角 形 点D在△ABC内部做法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°， 得到等腰直角△AEC，连接DE．结论：△DEC的三条边长就是AD，BD，CD． 点D在外部 ∠BDC=90° 做法：将△ACD绕点A逆时针旋转60°， 得到等边△AEC，连接DE．结论：
【典例分析】
例1．（2025·安徽马鞍山·一模）如图：已知矩形，E，F分别为，边上的点，，的延长线交于点G，．
(1)求证：；
(2)如图2，Q，H分别是，边上的点，交于点P，，；
①求证：；
②连接，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据矩形的性质得出，根据，即可得出答案；
（2）①过点E作，交于点M，先证明，得出，根据，得出，证明，得出答案即可；
②连接，，证明，得出，根据等腰三角形性质得出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：①过点E作，交于点M，如图所示：
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
②连接，，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，平行公理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
【变式演练】
1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知正方形 中，为 垂直平分线上一点，， 关于直线 对称，和 相交于点，求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）设垂直平分线交于点，交于点，连接，先证明垂直平分，则，，由正方形的性质得，，，证明，再由垂直平分线的性质可得，，证明，则，然后通过角度和差和三角形的内角和定理即可求证；
（）连接，交于点，则有，又，可以得出点以点为圆心，长度为半径的圆上，延长交于点，连接，则，所以，证明点三点共线，然后证明四边形是正方形，最后根据正方形的性质即可求证．
【详解】（1）证明：设垂直平分线交于点，交于点，连接，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，关于直线对称，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
由（）得：，
∴点以点为圆心，长度为半径的圆上，
延长交圆于点，连接，
∴，
∴，
∴为直径，
∴点三点共线，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，正方形的判定与性质，四点共圆，矩形的判定与性质，三角形的内角和定理，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
2．（2022·安徽合肥·一模）如图①，在四边形中，，E为上一点，且，过点B作交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：；
(2)如图②，连接交于点G．
①若，求证：平分；
②若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）先证，再证四边形是平行四边形，则，然后证，则，由即可得出结论；
（2）①连接，先证四边形是平行四边形，得，再证四边形是平行四边形，然后证平行四边形是菱形，即可得出结论；
②先证，得，进而证，得，则，然后求出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
，
即，
，
在和中，
，
．
（2）解：①证明：如图，连接，
由（1）得：，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
，
∴平行四边形是菱形，
∴平分；
②解：由（1）可知，，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
即，
两边除以得：，
解得：，或（舍去），
∴．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
3．（2024·安徽六安·模拟预测）点E是正方形的对角线上一点，过点E作交于点F，的延长线交于点G，交于点H．
(1)如图1，证明：；
(2)如图2，若，，求的长．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）由四边形是正方形可得，，则可证明，得到，，再证明，得到，则可证明；
（2）先由正方形的性质得到，，，再证明，可得，即可得．
【详解】（1）证明：如图，连接．
四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
，．
∵，
∴，
∴，
，
又∵，
，
，
；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，，．
∵，
∴，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
题型02 相似模型
相似模型类别也比较多，一般选择和解答较多，选择中一般考察A字型、8字型、母子型较为常见，解答中的几何图形一般会涉及十字架模型、一线三等角模型、手拉手模型、半角模型等，出现形式为三角形或者四边形包含的三角形中。
1.A字模型 已知：在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC． 结论：△ADE∽△ABC，＝＝．（共线的边之比相等） 反A字型 结论：＝＝．（共线的边之积相等） 构造A字模型：遇到线段上的比例端点可以考虑作平行线构造构造A字模型 2、8字模型 已知：AC与BD相交于点O，AB∥CD． 结论：△OAB∽△OCD，＝＝（共线的边之比相等）． 构造8字模型：遇到三角形或平行四边形边上的比例端点时可以考虑作平行线构造构造8字模型 3.反8字模型（两组相似，四点共圆） 性质一：如左图，∠A＝∠D △AOB∽△DOC ． 性质二：如右图， △AOD∽△BOC (由第一组相似推出第二组相似) 性质三：四点共圆 (圆周角定理) 4.三角形内接矩形型 三角形的内接矩形：四个顶点都在三角形边上的矩形． 若四边形DEFG为矩形，则： 特别地， (1)当四边形DEFG为正方形时，若假设其边长为a，则： (2)当EF为三角形的中位线时，矩形DEFG的面积最大，最大值为 (3) 证明：把△FGC向左平移至△，则，∴ 5、倒数模型（三平行结构） 倒数型相似 AB∥EF∥CD示意图结论
6.射影定理模型（直角三角形和斜边上的高） 如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB（均满足：(公共边) ＝共线的边之积） 补充：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型（十字架模型），如图，A，B，E，G四点组成射影定理模型． （2）在圆中也会出现射影定理模型． 7.母子相似模型 （一）基本模型 已知：在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB．结论：△ACD∽△ABC， ＝＝，AC 2＝AD·AB．(公共边) ＝共线的边之积
（二）结论推导 结论：△ACD∽△ABC，＝＝，AC 2＝AD·AB． 证明：∵∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，∠CAD＝∠BAC， ∴△ACD∽△ABC，∴＝＝，∴AC 2＝AD·AB． 母子相似模型也叫共边共角相似模型． （三）解题技巧 如果在三角形中有一个公共角和一条公共边，则考虑使用母子相似模型，得到公共边的平方等于两条线段的乘积． 8.一线三等角模型 已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3．结论1：△CAP∽△PBD．已知：点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3．结论2：△APC∽△BDP
9.十字架模型 【正方形内的十字架结构】 垂直 相等，相等 垂直 【十字结构在矩形中】 如图，在矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，在AD上有一点E，若CE⊥BD，则，即CE和BD之比等于矩形邻边之比 一般情况时，也满足（注意E，F，G，H四点的位置不能在同一条边上） 【十字结构在直角三角形中】 我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形，如图，补成矩形ACBH，延长CE交AH于点G 【十字结构在其他四边形中】：补成长方形即可 如图，把边长为AB＝，BC＝4且∠B＝45°的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长 如图，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°．DE⊥CF，请求出DE：CF的值 10.对角互补模型 【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似。 11.双高模型 双高模型：可谓“相似成灾”
【典例分析】
例1．（2024·安徽安庆·二模）如图1，在中，，与边分别交于点D、E，连接，点F、G、H分别是的中点，分别连接．
(1)观察、猜想
观察图1，猜想 ，
(2)探究、说理
把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由
(3)拓展、思考
在所在的平面内，把绕点C自由旋转，当时，直接写出线段的长度的取值范围
【答案】(1)，90
(2)（1）中的结论还成立，理由见解析
(3)
【分析】（1）由平行得，则，由平行得到，则，由三角形中位线定理得到，故，，再根据平行导角即可；
（2）由角正切得到，证明，则，由三角形中位线得到，，再根据平行和相似三角形的性质导角即可；
（3）由题意可知，，则，由于是的中位线，则，继而可求取值范围．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∵点F、G、H分别是的中点，
∴分别为的中位线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴,
故答案为：，90；
（2）解：（1）中的结论还成立，理由如下：
证明：如图2，
在中，，
∴，
在中，∴，
∴
又，
∴
∴
∴
∵是的中位线，
∴．
同理可得，
∴
∵是的中位线，
∴，
∴
∵，
由于，有，
由得：
∴；
（3）解：由题意可知，，
∴，即
∴绕点C旋转时，当D点落在边上时，AD最小值为6；当点D落在延长线上时，最大值为14，
∵是的中位线，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，难度较大，综合性强，熟练掌握知识点和基本图形是解题的关键．
【变式演练】
1．（2025·安徽·模拟预测）在平面直角坐标中，点O是坐标原点，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点D在抛物线上，且在第二象限，连接交y轴于点E．
①若的长为d，点D的横坐标为t，求d与t的函数关系式；
②取的中点F，连接，当时，求点D的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)①；②点D的坐标为
【分析】（1）由点在抛物线上，得到点坐标，再根据求出点坐标，代入抛物线解析式即可得到值；
（2）①过点作轴于点，证明，设点坐标为，结合相似三角形对应边成比例，表示出，从而表示出，得到和的关系式；
②先通过待定系数法求出直线的表达式，因为和平行，知道直线的与直线的相同，再代入点，求出的表达式，设点坐标为，表示出的坐标，然后将代入直线，求出．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴点坐标为，
∴，
，
∴，
∴点的坐标为，
将代入抛物线解析式，得：，
，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①如图，过点作轴于点，
，，
，
，
∵点的横坐标是，抛物线的解析式为，
∴点坐标为，
，
，
，
即；
②∵抛物线与轴交于点，
∴令，
解得：或，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，
把点代入解析式，得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
把点坐标代入上式，得：，
，
∴直线的解析式为，
设点坐标为，作轴，如图所示：
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵点是的中点，
，
，
∴，
∴点的坐标为，
∵点在直线上，
∴将点坐标代入中，
得：，
解得：（舍去）或，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的表达式，三角形相似的判定与性质，一次函数平移问题，解一元二次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
2．（2024·安徽六安·一模）如图，四边形内接于，平分，交于点M．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，若经过圆心O，且，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义可得，即可得出，结合圆周角定理推出，由相似三角形的性质可得，即可得证；
（2）由圆周角定理结合角平分线的定义得出，从而得出，推出，由勾股定理得出，，作于，求出、的长，即可得解．
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：为直径，
，
平分，
，
，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
作于，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
．
3．（2024·安徽池州·模拟预测）（1）已知：如图1，在和中，，，，若点D是的中点，连接．求证：；
（2）已知：在和中，，，．
①如图2．若点D在上，，F是的中点，连接，．求证：；
②如图3，点D在上，且是的三等分点（），若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】（1）利用证明，结合等腰三角形的性质即可证明；
（2）①连接，先证明，再证，则可得；再由直角三角形斜边上中线的性质得；
②连接，过点B作，垂足为点G．由①知，得，从而可求得．在，中，由勾股定理可求得的长．由①知，即可求得结果．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
∵点D是的中点，，
∴，
∴．
（2）①证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴．
∵，，
，
∵，
，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵点F是AC的中点，
∴，，
∴．
②解：如图，连接，过点B作，垂足为点G．
∵点D是的三等分点，，
∴，
∴．
由①知，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴在中，．
在中，．
由①知，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，有一定的综合性，构造适当的辅助线，证明三角形相似是解题的关键．
题型03 边角关系
主要涉及勾股定理的折叠常见模型。
例：DB2+ BC2=DC2 例： DB2+ AB2=AD2 例： BM2+ AB2=AM2 MN= 例： FC= 例： AD=
【典例分析】
例1．（2022·安徽·二模）已知：如图（1），在△ABC中，AB=BC=2CD，∠ABC=∠DCB=120°，AC交BD于点E．
(1)如图1：作BM⊥CA于M，求证：△DCE≌△BME；
(2)如图2：点F为BC中点，连接AF交BD于点G，当AB＝a时，求FG的长度（用含a的代数式表示）；
(3)如图3：在（2）的条件下，将△ABG沿AG翻折得到△AKG，延长AK交BD于点H，若BH＝5，求CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)a
(3)CE的长为．
【分析】（1）首先证明BC=2BM，可得CD=BM，根据AAS即可证明△DCE≌△BME；
（2）如图2中，作FN⊥AB交AB的延长线于N．解直角三角形求出AF，再利用相似三角形的性质求出FG；
（3）如图3中，作FN⊥AB交AB的延长线于N，BM⊥AC于M．设AB=a．解直角三角形求出GH，BG（用a表示），构建方程求出a即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵BC=BA，∠ABC=120°，
∴∠A=∠BCA=30°，
∵BM⊥AC，
∴∠BMC=90°，
∴BM=BC，
∵BC=2CD，BC=2BM，
∴CD=BM，
∵∠BCD=120°，
∴∠ECD=∠EMB=90°，
∵∠DEC=∠BEM，
∴△DCE≌△BME（AAS）；
（2）解：如图2中，作FN⊥AB交AB的延长线于N．
∵CF=BF，AB=BC=2CD，
∴CD=BF，
∵∠DCB=∠FBA=120°，CB=BA，
∴△DCB≌△FBA（SAS），
∴∠DBC=∠BAF，
∵∠BFG=∠BFA，
∴△FBG∽△FAB，
∴，
在Rt△BFN中，∵BF=a，∠FBN=60°，∠N=90°，
∴BN=a，FN=a，
∴AF=a，
∴FG=a；
（3）解：如图3中，作FN⊥AB交AB的延长线于N，BM⊥AC于M．AB=a．
由（2）可知：FG=a，AF=a，
∴AG=AF-FG=a，
∵△FBG∽△FAB，
∴，
BG==a，
∵△AKG和△ABG关于直线AG对称，
∴∠GAH=∠BAF，
∴∠DBC=∠GAH，
又∵∠BGF=∠AGH，
∴△BGF∽△AGH，
∴，
∴GH=a，
∵BH=BG+GH=a=5，
∴a=2，
∴BC=AB=2，
∵BM⊥AC，
∴∠CMB=90°，
∴CM=BCcos30°=，
∵△DEC≌△BEM，
∴EC=EM=CM=．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【变式演练】
1．（2022·安徽合肥·三模）如图①，、、三点共线，、是等腰直角三角形，，连接、．
(1)求证：；
(2)如图②，将沿翻折至，与交于点，连接，当时，求证：；
(3)如图③，在（2）的条件下，取的中点，当时，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)BH=2
【分析】（1）根据、是等腰直角三角形，得到线段和角的关系，再证，即可求证；
（2）利用和翻折得到，再利用在和中，，得到，即可求证；
（3）过点F作于点M，过点H作于点N，利用等腰直角三角形的边的关系以及勾股定理，用含DB的式子表示，再利用得到DB的长，再根据的中点，，得到NH为中位线，分别表示出NH，NB的长，即可求解．
【详解】（1）证明：∵、是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∵在和中，
，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
即，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，、是等腰直角三角形，
∴，，
如图所示，过点F作于点M，过点H作于点N，
∴，
∵翻折，
∴CF=CE=BC，AF=AE，
∴四边形MBCF为正方形，
∴，
∴，
，
，
由（2）可知，，
∴，
∴ ，
解得：．
∵的中点，，
∴NH为中位线，
∴，，
∴，
∴，
即，
即BH=2．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理，正方形的判定和性质、锐角三角函数和全等三角形的判定和性质等相关知识．综合性较强，熟练掌握各个知识点是解题的关键．
2．（2023·安徽合肥·二模）在矩形中，E是边上一点，连接，将沿翻折得到．
(1)如图1，若，，当点F在矩形对角线上时，求的长．
(2)如图2，当点F在上时，，求证：．
(3)如图3，若，延长，与的平分线交于点G，交于点，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）设，根据折叠的性质可得、、，再根据勾股定理可得，进而得到，最后在中运用勾股定理即可解答；
（2）由矩形的性质可得、，再结合折叠的性质可得，进而说明即，最后结合即可证明结论；
（3）如图，过点H作于点M，再证可得，进而得到；设、，则、， 运用勾股定理可得；设，则，运用勾股定理可得，最后代入即可解答．
【详解】（1）解：设，根据折叠的性质可得，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，解得，即．
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
根据折叠的性质可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点H作于点M.
∵平分，，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴设，，
根据折叠的性质可得：，
∴，
在中，，
设，则，
在中，，
∴，解得，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
3．（2024·安徽六安·二模）在矩形的边上取一点，将沿翻折，点的对应点为点．
(1)当在边上时，
（）如图，若，，求；
（）如图，作平分交于，若，求证：；
(2)如图，当点在矩形内部时，若平分交于，，直接写出三者关系为：__________．
【答案】(1)（）；（）证明见解析；
(2)．
【分析】（）（）由折叠可得，，，由矩形的性质可得，，，进而可得，即可得，设，则，由勾股定理得，求出即可求解；（）如图，过点作于，证明可得，，设，，则，，证明可得，即得，得到，再利用三角形面积可得，得到，得到，得到，即可求证；
（）如图，过点作，过点作于，交于点，可得，证明得到，，又由折叠可得，，，即可得到四边形是矩形，得到，，即得，，再由可得，进而得到，
由勾股定理得到，即得，即可求证；
本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：（）由折叠可得，，，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：；
（）如图，过点作于，则，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
设，，则，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：如图，过点作，过点作于，交于点，则，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
由折叠可得，，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵，，
∴为等腰直角三角，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
1．（2024·安徽宿州·模拟预测）如图，已知为的角平分线，交于E，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
根据角平分线的定义、平行线的性质易证，再证明，从而求得的值即可．
【详解】解：∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选∶B．
2．（2024·安徽宿州·模拟预测）如图，在中，，D是上一点，于E，且，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得成为解题的关键．
由已知可求、、，再证明，然后利用相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：．
故选：B．
3．（2025·安徽马鞍山·一模）如图：已知矩形，，，E为边上一个动点，，，连接，则的最小值为（ ）

A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定．取的中点，连接，求得，，证明，求得，当点与点重合时，有最小值，据此求解即可．
【详解】解：取的中点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴，
当点与点重合时，有最小值，最小值为2，
故选：B．
4．（2025·安徽亳州·一模）如图，是的中线，点在上，延长交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点E作，构造相似三角形是解题的关键．
先利用三角形的中线的定义得到，过点E作交于G，再根据相似三角形的性质得到，由得到，最后由相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，
∵BE是的中线，
∴，
过点E作交AD于G，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
5．（2025·安徽·模拟预测）如图，是的中线，是的中线，延长交于点．已知，则的长为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，构造三角形全等，相似三角形判定和性质的运用是解题的关键．
如图所示，过点作，可证，得到，再证，得到，根据中点的定义可得，，由即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作，交于点G，

∴，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故选：A ．
6．（2024·安徽·模拟预测）如图，中，是的中点，过点作，交于点，则与四边形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明并且根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出与的面积比是解题的关键．设的面积为，由证明，再由是的中点证明与的面积的比为，再用含的式子分别表示的面积与四边形的面积，再求出它们的比即可得到问题的答案．
【详解】解：如图，设的面积为，
是的中点，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
与四边形的面积比是，
故选：C．
7．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，已知是平行四边形的对角线，点是的延长线上一点，连接，分别交于点． 下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合，根据题意可证，，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点是延长线上一点，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选：C ．
8．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关键．在上取点G，使，连接FG，DG，证明，可得出，则，当、、三点共线时，最小，在中，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，在上取点G，使，连接，．
沿边翻折到，
，
又，
，，
，
又，
，
，
，
，
当、、三点共线时，最小，
在中，，
，，
，
即的最小值为．
故选：D．
9．（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接．则线段的长等于（　　）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】如图连接交于，作于．首先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出、，在中，利用勾股定理即可解决问题．本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
【详解】解：如图连接交于，作于．
在中，，，
，
，
，
，
，
，
点在的垂直平分线上．
，
点在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，
是直角三角形，
垂直平分线段，
，
，
，
在中，，
故选：A．
10．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，，点D是斜边上的动点，将沿直线翻折得到，连接，则周长的最小值为（ ）
A． B． C．9 D．
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键：
利用直角三角形30度角的性质及勾股定理求出，根据折叠的性质得到，推出的周长，当最短时，的周长最小，以点C为圆心，长为半径作圆，则点C，E，B三点共线时，最短，由此得到答案．
【详解】∵在中，，
∴，，
由翻折得：，
的周长，
则当最短时，的周长最小，
以点C为圆心，长为半径作圆，则点C，E，B三点共线时，最短，
∴，
∴的周长，
故选：B．
11．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，，D，E分别为边上的点，沿将进行翻折．若正好为边的中点时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等腰直角三角形的性质与判定，先证明，得到，设，则，则，设，由折叠的性质可得，在中，根据勾股定理，得，解得，则，，据此可得答案．
【详解】解：如图，过点作于点G，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵点为的中点，
∴，
∴，
设，
∴由折叠的性质可得，
在中，根据勾股定理，得，
∴，
解得，
∴，
∴
∴．
故选：D．
11．（2023·安徽合肥·一模）如图，已知是等边三角形，点D、E分别在上，且，与相交于点P．

(1)求证：；
(2)如图2，将沿直线翻折得到对应的，过C作，交射线于点，与相交于点F，连接．
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②若四边形的面积为，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①四边形为菱形，理由见解析，②
【分析】（1）首先根据等边三角形的性质得到，，根据证明；
（2）①根据（1）中，得，则，证明，可得，则四边形是菱形；
②作高，设菱形的边长为a，根据菱形的面积列式为：，代数可得a的值，证明，列比例式可得的长，由，，根据对应边相等可得结论．
【详解】（1）证明：
是等边三角形，
，．
又，
．
（2）解：①四边形为菱形，理由如下：
由翻折可知：，，
，
，
四边形为平行四边形．
，
平行四边形为菱形；
②过作于点．

设菱形的边长为．
为等边三角形，
菱形的面积为，
，即．
四边形是菱形，
又
为公共角，
，即
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形与菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，需要正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．
13．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图①，四边形中，，，将沿翻折得到，过点A作于点E，，连接，且．
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)如图②，连接交于点M，交于点N，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)2
(3)见解析
【分析】（1）证明即可；
（2）如图①，过点B作与延长线交于点H，由得，由折叠的性质可得，得出，，即可求出，．在中，根据勾股定理即可求解；
（3）根据，得出，由可得，，，，得出，设，利用已知的线段和角度关系，将，用含的式子表示出来．利用折叠的性质和角度之和的关系，得到，．通过已知的角度关系，进行角度转换得到．证明，得到对应线段关系求得，进一步可得．利用得到．
【详解】（1）证明：由折叠的性质可知，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图①，过点B作与延长线交于点H，
∵，，
∴，
由得，由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∵，
∴，．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：∵，，，
∴，
由可得，，，，
∴，
设，则，
由折叠的性质得，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定性质、直角三角形的性质、折叠的性质、三角形相似的性质和判定、勾股定理等知识．正确作出辅助线是解题关键．
14．（2024·安徽·三模）如图，中，，于点D，于点E，M为的中点，连接交于点F，连接交于点N．
(1)求证：；
(2)求证：
(3)若，求的值（用含k的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先证明，可得，证明，可得；
（2）证明，，，可得，证明，可得，即可得到结论；
（3）连接交于点G．证明为的垂直平分线，，，可得，求解，可得，再证明，可得结论．
【详解】（1）证明：∵，M为的中点，
∴，
∴
又，，
∴，，
∴，
∴．
（2）证明：∵，，
∴，，
在和中，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即；
（3）解：连接交于点G．
∵，
∴，
∴
又，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∵，，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识并灵活应用是解本题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 三角形（全等、相似、边角）
题型01 全等模型
三角形全等模型内容涵盖很多类，往往出现在选择类和解答题类中，以几何图形类考察较为常见，这部分内容较难，一般建立在模型的变形之上考察，但一般要结合题目中的字眼进行分析，比如“中点”“平行”“相等”“垂直平分线”等。出现图形的形式有三角形，也有四边形。
1.倍长中线模型 已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线， 方法：延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE．结论1：△ACD≌△EBD．已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点， 方法：连接ED，延长ED到点F，使DF＝DE，连接CF．结论2：△BDE≌△CDF．已知：在△ABC中，点D是BC边的中点， 方法：作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，结论3：易证：△CDE≌△BDF（SAS）
2.一线三等角模型 已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）． 同 侧 型 结论1：△CAP≌△PBD． 异 侧 型 结论2：△APC≌△BDP
3.半角模型 半角模型 等边三角形含半角 已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点， ∠BDC＝120°，BD＝CD，点E，F分别在AB，AC上， ∠EDF＝60°．结论1：EF＝BE＋CF， ∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE． 正方形含半角 已知：四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°．结论2：EF＝BE＋DF， ∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE． 等腰直角三角形含半角 已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， 点D，E在BC上，∠DAE＝45°．结论3：DE 2＝BD 2＋CE 2．
4.手拉手模型 已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA．结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE， 结论2：∠BOC＝∠BAC， 结论3：OA平分∠BOE．
（二）结论推导 结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE． 结论2：∠BOC＝∠BAC． 结论3：OA平分∠BOE． 5.对角互补+邻边相等模型 已知：，，利用旋转构造全等结论：OC平分∠AOB作垂线旋转拓展
6.截长补短模型 方法截长法补短法条件在△ABC中AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求证：AB=AC+CD 图示 方法在AB上截取AE=AC,连接DE延长AC到点E，使CD=CE,连接DE结论 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形
7.鸡爪模型（构造手拉手） 半角模型 等 边 三 角 形 点在内部做法：将△ABD绕点A逆时针旋转60°， 得到等边△AEC，连接DE结论：△DEC的三条边长就是AD，BD，CD． 点在外部 ∠BDC=120°做法：将△ACD绕点A逆时针旋转60°， 得到等边△AEC，连接DE．结论：．等 腰 直 角 三 角 形 点D在△ABC内部做法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°， 得到等腰直角△AEC，连接DE．结论：△DEC的三条边长就是AD，BD，CD． 点D在外部 ∠BDC=90° 做法：将△ACD绕点A逆时针旋转60°， 得到等边△AEC，连接DE．结论：
【典例分析】
例1．（2025·安徽马鞍山·一模）如图：已知矩形，E，F分别为，边上的点，，的延长线交于点G，．
(1)求证：；
(2)如图2，Q，H分别是，边上的点，交于点P，，；
①求证：；
②连接，求的度数．
【变式演练】
1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知正方形 中，为 垂直平分线上一点，， 关于直线 对称，和 相交于点，求证：
(1)；
(2)．
2．（2022·安徽合肥·一模）如图①，在四边形中，，E为上一点，且，过点B作交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：；
(2)如图②，连接交于点G．
①若，求证：平分；
②若，求的值．
3．（2024·安徽六安·模拟预测）点E是正方形的对角线上一点，过点E作交于点F，的延长线交于点G，交于点H．
(1)如图1，证明：；
(2)如图2，若，，求的长．
题型02 相似模型
相似模型类别也比较多，一般选择和解答较多，选择中一般考察A字型、8字型、母子型较为常见，解答中的几何图形一般会涉及十字架模型、一线三等角模型、手拉手模型、半角模型等，出现形式为三角形或者四边形包含的三角形中。
1.A字模型 已知：在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC． 结论：△ADE∽△ABC，＝＝．（共线的边之比相等） 反A字型 结论：＝＝．（共线的边之积相等） 构造A字模型：遇到线段上的比例端点可以考虑作平行线构造构造A字模型 2、8字模型 已知：AC与BD相交于点O，AB∥CD． 结论：△OAB∽△OCD，＝＝（共线的边之比相等）． 构造8字模型：遇到三角形或平行四边形边上的比例端点时可以考虑作平行线构造构造8字模型 3.反8字模型（两组相似，四点共圆） 性质一：如左图，∠A＝∠D △AOB∽△DOC ． 性质二：如右图， △AOD∽△BOC (由第一组相似推出第二组相似) 性质三：四点共圆 (圆周角定理) 4.三角形内接矩形型 三角形的内接矩形：四个顶点都在三角形边上的矩形． 若四边形DEFG为矩形，则： 特别地， (1)当四边形DEFG为正方形时，若假设其边长为a，则： (2)当EF为三角形的中位线时，矩形DEFG的面积最大，最大值为 (3) 证明：把△FGC向左平移至△，则，∴ 5、倒数模型（三平行结构） 倒数型相似 AB∥EF∥CD示意图结论
6.射影定理模型（直角三角形和斜边上的高） 如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB（均满足：(公共边) ＝共线的边之积） 补充：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型（十字架模型），如图，A，B，E，G四点组成射影定理模型． （2）在圆中也会出现射影定理模型． 7.母子相似模型 （一）基本模型 已知：在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB．结论：△ACD∽△ABC， ＝＝，AC 2＝AD·AB．(公共边) ＝共线的边之积
（二）结论推导 结论：△ACD∽△ABC，＝＝，AC 2＝AD·AB． 证明：∵∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，∠CAD＝∠BAC， ∴△ACD∽△ABC，∴＝＝，∴AC 2＝AD·AB． 母子相似模型也叫共边共角相似模型． （三）解题技巧 如果在三角形中有一个公共角和一条公共边，则考虑使用母子相似模型，得到公共边的平方等于两条线段的乘积． 8.一线三等角模型 已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3．结论1：△CAP∽△PBD．已知：点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3．结论2：△APC∽△BDP
9.十字架模型 【正方形内的十字架结构】 垂直 相等，相等 垂直 【十字结构在矩形中】 如图，在矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，在AD上有一点E，若CE⊥BD，则，即CE和BD之比等于矩形邻边之比 一般情况时，也满足（注意E，F，G，H四点的位置不能在同一条边上） 【十字结构在直角三角形中】 我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形，如图，补成矩形ACBH，延长CE交AH于点G 【十字结构在其他四边形中】：补成长方形即可 如图，把边长为AB＝，BC＝4且∠B＝45°的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长 如图，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°．DE⊥CF，请求出DE：CF的值 10.对角互补模型 【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似。 11.双高模型 双高模型：可谓“相似成灾”
【典例分析】
例1．（2024·安徽安庆·二模）如图1，在中，，与边分别交于点D、E，连接，点F、G、H分别是的中点，分别连接．
(1)观察、猜想
观察图1，猜想 ，
(2)探究、说理
把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由
(3)拓展、思考
在所在的平面内，把绕点C自由旋转，当时，直接写出线段的长度的取值范围
【变式演练】
1．（2025·安徽·模拟预测）在平面直角坐标中，点O是坐标原点，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点D在抛物线上，且在第二象限，连接交y轴于点E．
①若的长为d，点D的横坐标为t，求d与t的函数关系式；
②取的中点F，连接，当时，求点D的坐标．
2．（2024·安徽六安·一模）如图，四边形内接于，平分，交于点M．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，若经过圆心O，且，求的长．
3．（2024·安徽池州·模拟预测）（1）已知：如图1，在和中，，，，若点D是的中点，连接．求证：；
（2）已知：在和中，，，．
①如图2．若点D在上，，F是的中点，连接，．求证：；
②如图3，点D在上，且是的三等分点（），若，，求的长．
题型03 边角关系
主要涉及勾股定理的折叠常见模型。
例：DB2+ BC2=DC2 例： DB2+ AB2=AD2 例： BM2+ AB2=AM2 MN= 例： FC= 例： AD=
【典例分析】
例1．（2022·安徽·二模）已知：如图（1），在△ABC中，AB=BC=2CD，∠ABC=∠DCB=120°，AC交BD于点E．
(1)如图1：作BM⊥CA于M，求证：△DCE≌△BME；
(2)如图2：点F为BC中点，连接AF交BD于点G，当AB＝a时，求FG的长度（用含a的代数式表示）；
(3)如图3：在（2）的条件下，将△ABG沿AG翻折得到△AKG，延长AK交BD于点H，若BH＝5，求CE的长．
【变式演练】
1．（2022·安徽合肥·三模）如图①，、、三点共线，、是等腰直角三角形，，连接、．
(1)求证：；
(2)如图②，将沿翻折至，与交于点，连接，当时，求证：；
(3)如图③，在（2）的条件下，取的中点，当时，求的长．
2．（2023·安徽合肥·二模）在矩形中，E是边上一点，连接，将沿翻折得到．
(1)如图1，若，，当点F在矩形对角线上时，求的长．
(2)如图2，当点F在上时，，求证：．
(3)如图3，若，延长，与的平分线交于点G，交于点，求的值．
3．（2024·安徽六安·二模）在矩形的边上取一点，将沿翻折，点的对应点为点．
(1)当在边上时，
（）如图，若，，求；
（）如图，作平分交于，若，求证：；
(2)如图，当点在矩形内部时，若平分交于，，直接写出三者关系为：__________．
1．（2024·安徽宿州·模拟预测）如图，已知为的角平分线，交于E，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽宿州·模拟预测）如图，在中，，D是上一点，于E，且，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2025·安徽马鞍山·一模）如图：已知矩形，，，E为边上一个动点，，，连接，则的最小值为（ ）

A． B．2 C． D．
4．（2025·安徽亳州·一模）如图，是的中线，点在上，延长交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·安徽·模拟预测）如图，是的中线，是的中线，延长交于点．已知，则的长为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
6．（2024·安徽·模拟预测）如图，中，是的中点，过点作，交于点，则与四边形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，已知是平行四边形的对角线，点是的延长线上一点，连接，分别交于点． 下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
9．（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接．则线段的长等于（　　）
A． B． C． D．4
10．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，，点D是斜边上的动点，将沿直线翻折得到，连接，则周长的最小值为（ ）
A． B． C．9 D．
11．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，，D，E分别为边上的点，沿将进行翻折．若正好为边的中点时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·安徽合肥·一模）如图，已知是等边三角形，点D、E分别在上，且，与相交于点P．

(1)求证：；
(2)如图2，将沿直线翻折得到对应的，过C作，交射线于点，与相交于点F，连接．
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②若四边形的面积为，，求的长．

13．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图①，四边形中，，，将沿翻折得到，过点A作于点E，，连接，且．
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)如图②，连接交于点M，交于点N，求证：．
14．（2024·安徽·三模）如图，中，，于点D，于点E，M为的中点，连接交于点F，连接交于点N．
(1)求证：；
(2)求证：
(3)若，求的值（用含k的代数式表示）．
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