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专题07 函数实际问题
（销售利润、投球、拱桥、喷水、图形类）
题型01 销售利润
1.考查重点：销售利润的逻辑思维，掌握销售利润问题的公式。
2.高频题型：销售和利润类实际问题。
3.能力要求：(1)y与x之间的函数表达式；(2)W与x之间的函数表达式；(3)售价为多少时利润最大及利润的最大值。
【典例分析】
例1．（2024·安徽合肥·模拟预测）某公司销售的某种安徽特产每件成本为元，经过市场调研发现，这种商品在未来天内的日销售量（件）与时间第（天）的关系如表：
时间x（天）
日销售量m（件）
未来天内，每天的价格（元/件）与时间第（天）的函数关系式为（且为整数）．
(1)认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的（件）与第（天）之间的关系式，直接写出日销售量（件）与时间第（天）之间的关系式；
(2)未来天内，该公司销售的这款安徽特产的日销售利润为元，请写出与第（天）之间的关系式（销售利润=销售额-成本），并解答下面的问题：
①第几天的日销售量为元：
②求未来天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
【答案】(1)
(2)①第天和第天 ②第天；元
【分析】本题考查一次函数与二次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的形式，并掌握一次函数的待定系数法和二次函数的性质和最值是解题的关键．
（1）观察所给表格，可得时间增加天，日销售量减少件，符合一次函数关系式，待定系数法求解即可，注意检验其他值；
（2）先求出与第（天之间的关系式．
①求时的值即可；
②在自变量范围内求二次函数最值即可．
【详解】（1）解：时间增加天，日销售量减少件；时间增加天，日销售量减少件，
时间每增加天，日销售量就减少件，符合一次函数关系式，
设一次函数关系式为：，
经过点，，
，
解得：，
，
经检验，其他与的对应值均适合以上关系式，
日销售量（件与时间第（天之间的关系式为：；
（2）解：，
①当时，得，
即，
解得：，，
答：第天和第天的日销售利润为元；
②，
，
二次函数开口向下，
又∵，
当时，有最大值．最大值为：（元．
答：未来天中第天的日销售利润最大，最大日销售利润是元．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·二模）如图，在1～12月份期间，某种农产品销售单价y（元/件）与月份x 之间的函数图象是抛物线（部分），7月份该产品的销售单价最高为10元/件；它的生产成本（元/件）与月份x之间函数图象是折线，
(1)分别求出、关于x的函数关系式；
(2)从1月份到8月份，问几月份这种产品每件的销售利润最大，最大时多少元
【答案】(1)，
(2)5月份这种产品每件的销售利润最大，最大利润是4元
【分析】本题考查了待定系数法求解一次函数，二次函数的解析式，二次函数最大值的求解，由函数图象读取信息，正确利用函数图象求出解析式是解答本题的关键．
（1）分别设出函数解析式，利用待定系数法进行求解即可；
（2）设每件的销售利润为y元，根据，根据二次函数性质即可求出最大值．
【详解】（1）解：7月份该产品的销售单价最高，为10元/件，
设抛物线的解析式为，
将代入解析式得：，
解得：，
；
设的解析式为，
将点，代入解析式，
得：，解得：，
则的解析式为；
设的解析式为，
将点，代入解析式，
得：，解得：，
则的解析式为；
（2）设每件的销售利润为y元，
当时，
，
且x取整数，
∴当时，y的值最大，最大利润为，
答：5月份这种产品每件的销售利润最大，最大利润4元．
2．（2024·安徽合肥·三模）材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用．
问题：某厂商生产产品中有一种蓝球工艺品，已知该工艺品销路很好，它的成本C（元）与生产量x（个）的关系式为：
(1)求该工艺品的固定成本和可变成本．
(2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销量单价（元/个）之间的对应关系如下图所示：

①销量与销量单价之间的函数关系式．
②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少
【答案】(1)固定成本为元，可变成本为元
(2)①；②售价为20或21元时，最大利润是26340元．
【分析】本题考查了二次函数的最大利润问题，一次函数的解析式等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据“固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数”，以及“可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用”，即可作答．
（2）①运用待定系数法求解销量与销量单价之间的函数关系式；
②经分析列式得，结合二次函数的性质，得出开口向下，在有最大值，考虑为整数，得出或时，有最大值，再代入计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，
∵它的成本C（元）与生产量x（个）的关系式为：，且可变成本与该产品生产的件数有关，
∴该工艺品的固定成本为元，可变成本为元
（2）解：①设销量与销量单价之间的函数关系式
把代入
得
解得
∴
设利润为
依题意，得出
整理得出
∵
∴开口向下，在有最大值，
∵为整数，
∴或时，有最大值
∴
则当售价为20或21元时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是26340元．
3．（2024·安徽阜阳·一模）某加工厂加工某海产品的成本为30元/千克．根据市场调查发现，该海产品批发价定为48元/千克的时候，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，加工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
(1)写出加工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数表达式．当降价2元时，加工厂每天的利润为多少元？
(2)当降价多少元时．加工厂每天的利润最大，最大利润为多少元？
【答案】(1)，当降价2元时，加工厂每天的利润为9600元；
(2)当降价4元时，加工厂每天的利润最大，最大利润为9800元．
【分析】（1）本题考查了二次函数的实际运用，根据题意即可得出销量和批发价的关系，从而列出函数表达式，再将降价2元时的情况代入函数表达式即可得出利润；
（2）本题考查了二次函数的实际运用和函数的性质，将（1）中的表达式化为，即可根据性质得出最大利润最大时的情况．
【详解】（1）解：由题可知，若降价x元，则每天销量可增加千克，
，
整理得：．
当时，，
当降价2元时，加工厂每天的利润为9600元；
（2）解：，
，则函数开口向下，有最大值，
当时，W取得最大值，最大值为9800，
当降价4元时，加工厂每天的利润最大，最大利润为9800元．
题型02 投球类问题
1考查重点：(1)求抛物线的表达式；(2)求函数表达式及最大值；(3)横坐标的取值范围.
2.高频题型：投球类问题
3.能力要求：掌握解析式的求法；会利用解析式求最值；会求自变量的取值范围。
利用纵坐标求横坐标的时候，只需将纵坐标的值对应的横坐标的值与要求相比较即可。
例1．（2024·安徽合肥·模拟预测）体育课上，同学们在老师的带领下，设计了一种抛小球入箱的游戏．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，小球从点P处抛出，小球的运动轨迹为抛物线L：．无盖木箱的截面图为矩形，其中，，且在x轴上，．已知当小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为．
(1)求抛物线L的表达式．
(2)请通过计算说明该同学抛出的小球能否投入箱内．
(3)若该小球投入箱内后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且最大高度可达，则该小球能否弹出箱子？请说明理由．
【答案】(1)
(2)能，计算见解析
(3)能，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）由题意得点，点，令，求出，，再根据判断即可；
（3）令，则，求出抛物线L与x正半轴交于点，设抛物线M的解析式为，再将代入抛物线M的解析式，进而求出抛物线M的解析式，令，计算出y值与0.5进行比较即可．
【详解】（1）解：∵小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为
∴，
即
∵小球从点P处抛出，
∴将点代入抛物线解析式，得
解得：
∴
（2）∵，，
∴点，点
令，则
解得，
∵
∴该同学抛出的小球能投入箱内．
（3）该小球能弹出箱子，理由如下：
令，则
解得，
∴抛物线L与x正半轴交于点
设抛物线M的解析式为：
∴将代入抛物线M的解析式，得
解得，
∵该小球投入箱内后立即向右上方弹起
∴
∴抛物线M的解析式为：
令，则
∵
∴该小球能弹出箱子．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数图象的平移等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题．
【变式演练】
1．（2024·安徽安庆·三模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），王同学站在原点，将乒乓球从1.5米的高度P处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离王同学1米时，达到最大高度2米．
(1)求抛物线的解析式；
(2)王同学抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明；
(3)若乒乓球投入箱子后立即向右上方弹起，沿与原抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时乒乓球的最大高度达到原最大高度的一半，请判断乒乓球是否弹出箱子，并说明理由．
【答案】(1)
(2)能，见解析
(3)乒乓球不能弹出箱子，见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后利用坐标数值关系反推实际问题．
（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求解即可；
（2）只要判断出乒乓球在运行中，高于，并落在之间即可；
（3）依题意，设乒乓球弹出后的抛物线解析式为，利用待定系数法求得值，并求得当时，的值，即可判断．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，即
（2）解：能，理由如下：
当时，，
当时，，
解得（舍去），，
∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处，
∴王同学抛出的乒乓球能投入箱子；
（3）解：乒乓球不能弹出箱子．理由如下：
依题意，设乒乓球弹出后的抛物线解析式为，
∵抛物线的图象经过点，
∴，
解得（舍去），，
∴弹出后抛物线解析式为，
当时，，
∴乒乓球不能弹出箱子．
2．（2022·安徽合肥·模拟预测）2022年2月，在北京冬奥会跳台滑雪中，中国选手谷爱凌、苏翊鸣夺金，激起了人们对跳台滑雪运动的极大热情．某跳台滑雪训练场的横截面如图所示，以某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴建立平面直角坐标系．图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿抛物线：运动．当运动员从点滑出运动到离处的水平距离为米时，距离水平线的高度恰好为米．

(1)求抛物线的解析式（不要求写自变量x的取值范围）：
(2)运动员从点滑出后，当运动员距离点的水平距离为多少米时）运动员达到最大高度，此时，距离水平线的高度是多少米？
(3)运动员从点滑出后，当运动员距离点的水平距离为少米时，运动员与小山坡的竖直距离达到最大值，最大值是多少米？
【答案】(1)；
(2)当运动员距离的水平距离为米时，运动员达到最大高度，高度为米；
(3)当运动员距离的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离达到最大值，最大值为米．
【分析】（1）将点，代入的解析式中，求出，的值即可；
（2）将抛物线的解析式化为顶点式，由此可得顶点坐标，由此求解；
（3）由题可知，运动员与小山坡的竖直距离为，
则是关于的二次函数，只需分析该函数的最大值即可．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，
，解得．
抛物线的解析式为：．
（2）解：，
当运动员距离的水平距离为米时，运动员达到最大高度，最大高度为米．
（3）解：设运动员与小山坡的竖直距离为，
则，
当时，取得最大值，最大值为．
当运动员距离的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离达到最大值，最大值为米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的顶点坐标是解题的关键．
3．（2023·安徽六安·一模）某数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖正方体箱子放在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，正方形为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线：（单位长度为）的一部分，已知，．
(1)若抛物线经过点．
①求抛物线的解析式和顶点坐标；
②若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由．
(2)要使弹珠能投入箱子，求的取值范围．
【答案】(1)①抛物线的解析式为，顶点坐标为；②弹珠能弹出箱子，理由见解析
(2)
【分析】（1）①把点，代入，再把抛物线解析式化为顶点式，可得顶点坐标，即可求解；②先求出抛物线L与x轴的两一个交点为，再根据题意可设抛物线M的解析式为，然后把代入，求出抛物线M的解析式，再求出当时，y的值即可求解．
（2）由抛物线经过点，得到，则抛物线解析式为，求出，；当时，，或，要使弹珠能投入箱子，则，解不等式组即可得到答案．
【详解】（1）解：①把点，代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点坐标为；
②弹珠能弹出箱子，理由如下：
∵，
∴，
∴；
当时，
解得：，
∴抛物线L与x轴的另外一个交点坐标为，
根据题意可设抛物线M的解析式为，
把点代入，得：，
解得：或，
∵抛物线M的对称轴在直线的左侧，
∴，
∴抛物线M的解析式为，
∵当时，，
∴弹珠能弹出箱子．
（2）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为
∵，
∴，
∴，，
在中，当时，则，
∴，
解得或，
∵要使弹珠能投入箱子，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴；
当，即时，满足，
当，即时，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当时，弹珠能投入箱子．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系是解题的关键．
题型03 拱桥类问题
1.考查重点：(1)求抛物线的表达式；(2)求最大值。（3）图形结合。
2.高频题型：拱桥类。
3.能力要求：会求解析式；会求个各点坐标。理解题意。
【典例分析】
例1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D．
（i）求主索到射灯光线的最大竖直距离；
（ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米．
【答案】(1)
(2)（i）最大距离为 （ii）
【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键.
（1）利用待定系数法代入数据求解即可；
（2）（i）作垂直与x轴的直线与，抛物线分别交于.利用解析书求取线段的表达式，分情况讨论比较即可得到结论;
（ii）根据题意分别求出原直线与平移后直线与轴的交点，相减即可得到结论.
【详解】（1）解：由题意可知,抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为：，
由∵，
，
解得：，
∴解析式为：；
（2）(i)设直线为
将 ，代入可得
，解得：，
解析式为；
如图，作垂直为轴的直线交于，交抛物线于点，设点的坐标为则为 ，
当时，
，
故时有最大值；
当时，
，
时，随的增大而减小，，
∴当时，有最大值为：，
综上所述，最大距离为；
(ii)设平移后的直线为：，
联立 ，
，
当 时 ，
解得：，
时, ，
时, ，
∴向右最多平移 (米)，
故答案为: .
【变式演练】
1．（2023·安徽·模拟预测）如图，某长为的隧道的横截面顶部为拋物线形，隧道的左侧是高为的墙，右侧是高为的墙，拱壁上某处离地面的高度与其离墙的水平距离之间的关系满足．现测得两墙体之间的水平距离为．
(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离．
(2)从隧道头到隧道尾，在拋物线形拱壁上安装若干排吊灯，每排吊灯与地面的距离都不低于，每相邻两排吊灯之间的水平距离为，每排内相邻两盏吊灯之间的距离为．求共需要多少盏吊灯？
(3)如果隧道内设双向行车道，每条车道的宽为，两条车道之间是宽为的绿化带，一辆货车载一个长方体集装箱后高为、宽为，那么这辆货车无论从哪条车道都能安全通过吗？请说明理由．
【答案】(1)，
(2)486盏
(3)货车无论从哪条车道都能安全通过，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用：
（1）根据已知条件得出点A和点B的坐标，代入即可求出函数关系式，化为顶点式，即可求出拱顶到地面的距离；
（2）令，解方程求出最外侧两排吊灯的水平距离，再求出吊灯的排数和每排吊灯的个数，即可求解；
（3）隧道左侧比右侧低，因此若货车从左车道能通过，则从右车道一定能通过．令货车右侧车轮靠近中间的绿化带，求出左侧车轮与地面的交点坐标，再求了此处隧道的高，与货车的高度进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，
，
代入，得，
解得，
．
拱顶到地面的距离为．
（2）解：令，
解得，
，
（盏）．
答：共需要486盏吊灯．
（3）解：货车无论从哪条车道都能安全通过．
理由：由题意，得若货车从左车道能通过，则从右车道一定能通过．
设货车从左车道行驶，货车最左侧车轮与地面的交点为，即，
当时，，
∴货车无论从哪条车道都能安全通过．
2．（2023·安徽黄山·一模）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线和矩形构成.矩形的边米，米，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点的坐标为.
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板，点正好在抛物线上，支撑轴，米，点是上方抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴的垂线，交于点.
①求的最大值.②某工人师傅站在木板上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围.
【答案】(1)；
(2)①当时，有最大值；②
【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数表达式；
（2）①先求出点坐标为，再求出，进而求出，根据二次函数性质即可求出当时，有最大值；
②根据师傅能刷到的最大垂直高度是米，得到当时，他就不能刷到大门顶部，令，得到解得，结合二次函数性质即可得到他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围是．
【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点的坐标为，
设抛物线的表达式为，
将点 代入抛物线解析式得，
解得 ，
∴抛物线对应的函数的表达式为；
（2）解：①将代入中，得，
∴点，
设直线的解析式为，
将点代入得，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，为；
②师傅能刷到的最大垂直高度是米，
∴当时，他就不能刷到大门顶部，
令，即
解得，
又是关于的二次函数，且图象开口向下，
∴他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围是．
【点睛】本题考查为二次函数的实际应用，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质、应用等知识，熟知二次函数的性质并灵活应用是解题关键．
3．（2023·安徽合肥·一模）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知米，米，抛物线顶点到地面的垂直距离为10米，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立直角坐标系，
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4米，最高处与地面距离为6米，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为2米，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于米，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
【答案】(1)
(2)这辆特殊货车不能安全通过隧道
【分析】（1）抛物线顶点坐标为，设抛物线的解析式为，把点的坐标代入即可；
（2）由图象结合题意可知，集装箱与隧道最接近的位置在此坐标系中的横坐标为，代入（1）所得解析式，判断是否大于即可．
【详解】（1）解：根据题意，顶点的坐标为，点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
即所求抛物线的解析式为：；
（2）根据题意，假设货车在右侧车道行驶，则其最右侧点的横坐标为：时，
，
∴不能安全通过隧道，
答：这辆特殊货车不能安全通过隧道．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是分析题意并结合图象列式求解，难度较大，综合程度较高．
题型04 喷水类问题
1.考查重点：函数解析式；抛物线与x轴的交点坐标；参数值或范围。
2.高频题型：喷水类问题。
3.能力要求：根据解析式求出最大值；求出新的二次函数解析式，并根据一元二次方程来解决问题．
【典例分析】
例1．（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，某小区的景观池中安装一雕塑，米，喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线（图中的，）的部分图象，两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经测算发现抛物线的最高点（顶点）C距离水池面米，且与的水平距离为2米．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线与x轴的交点B的坐标；
(3)小明同学打算操控微型无人机在，之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围不小于米，设无人机与的水平距离为m，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)
【分析】（1）由题意可知过点和点，且，代入解析式可求得解析式；
（2）两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同且经过点，设的解析式为，代入相关数据即可求得解析式，再根据题意进行取舍即可；
（3）无人机的横坐标为，根据题意列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：由已知可得：过点和点，设其解析式为，
代入两点，由的横坐标为可得，
，解得：，
故的解析式为：；
（2）解：两条抛物线的形状相同，
设的解析式为，
已知经过点，故的解析式为①，
顶点的纵坐标相同，
的顶点的横坐标为，代入①，
可得：，
解得：，
故的解析式为②或③，
由图可知的终点的横坐标小于0，而②中不合题意，故舍去②，
令将代入，
解得或（舍去），
故点的坐标为；
（3）解：由题意可得：，
解得：，
又，
解得：，
．
【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意正确求出函数的解析式是解题关键．
【变式演练】
1．（2023·安徽芜湖·三模）消防车中的高喷消防车，采用曲臂加伸缩结构，顶端装有消防炮，其液控炮既可喷射水也可喷射泡沫，具有射程远，流量大的特点．该车主要作业于油田、高层建筑、石化企业等地方的灭火救援和处置工作．在一次模拟高层建筑起火救援中，消防炮喷水口A距离地面35米，距离大楼起火侧面20米，喷出水柱呈抛物线形，水柱最高处B距离地面50米，距离大楼起火侧面5米，如图所示建立平面直角坐标系．

(1)求出水柱所在抛物线的解析式；
(2)目前火焰不断从第17层窗口窜出，若每层楼约2.9米高，窗台高度约为0.9米，窗顶距离该层地面高度约2.4米，此时水柱能否射入该层窗口？
(3)火势已经向上蔓延到距离地面55米处，高喷消防车最后一节伸缩臂CA按原来方向（与水平方向夹角约为）伸长了一截（不超过12米），为阻止火势进一步蔓延，伸缩臂应该伸长几米？（伸缩臂伸长时间忽略，）
【答案】(1)抛物线解析式为：
(2)此时水柱能射入该层窗口，理由见解析
(3)应伸长米
【分析】（1）根据二次函数解析式，用代入法来求出解析式．
（2）根据解析式求出最大值，再进比较．
（3）求出新的二次函数解析式，并根据一元二次方程来解决问题．
【详解】（1）由题意得到：B点坐标：，A点坐标：，
设抛物线的解析式为：，
把A点坐标代入得：，
解得，，
∴抛物线解析式为：．
（2）当时，，
第16层楼顶高度为：，
，，
∵，
∴此时水柱能射入该层窗口
（3）过A作平行于x轴，

设伸长至处，的长即为其伸长的长度，设为，
过作于E，则，
∴，，
即相当于将点A向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度．
新抛物线的解析式：，
当时，，
∴，
解得：（舍去），，
∴应伸长米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，关键用代入法来求出解析式，再转化成一元二次方程解决问题．
2．（2023·安徽蚌埠·二模）如图，蚌埠花博园要建造一圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子，O恰在水面中心，高3米，如图1，由柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各方面沿形状相同的抛物线落下．
(1)如果要求设计成水流在离距离为1米处达到最高点，且与水面的距离是4米，那么水池的内部半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外；（利用图2所示的坐标系进行计算）
(2)若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池内部的半径为5米，要使水流不落到池外，此时水流达到的最高点与水面的距离应是多少米？
【答案】(1)水池的内部半径至少要3米
(2)米
【分析】（1）设抛物线的解析式为，待定系数法，求出函数解析式，求出时的的值，即可得解；
（2）设抛物线的解析式为，待定系数法求出解析式，将解析式转化为顶点式，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵水流在离距离为1米处达到最高点，且与水面的距离是4米，
∴设抛物线的解析式为，由题意，得：抛物线过点，
∴，解得：，
∴．
当时，
，
解得：（舍去），．
∴水池的内部半径至少要3米；
（2）根据水流喷出的抛物线形状与（1）相同，得到新的抛物线解析式的，
设抛物线的解析式为，由题意，得：抛物线过点，
∴，
解得：，
∴，
∴此时水流达到的最高点与水面的距离应是米．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．正确的求出二次函数的解析式，利用二次函数的性质进行求解，是解题的关键．
3．（2023·安徽亳州·二模）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离为d m．当m，m，m时，解答下列问题：
(1)①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求出点B的坐标；
(2)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围．
【答案】(1)①；6m；②
(2)
【分析】（1）①设函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，令，求出抛物线与轴的交点坐标，即可得出结论；②利用对称轴得到点的对称点为，得到下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的，即可得到点的坐标；
（2）根据，求出点的坐标，利用增减性可得的最大值和最小值，从而得出答案．
【详解】（1）解：①由题意，得是上边缘抛物线的顶点，设．
∵上边缘抛物线过点，
∴，解得，
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，解得，（舍去），
∴点C的坐标为，
∴喷出水的最大射程OC为6 m；
②由①知，上边缘抛物线的对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的．
又∵点C的坐标为，
∴点B的坐标为；
（2）∵，
∴点F的纵坐标为，
∴，
解得．
∵，
∴．
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，要使，则．
∵当时，y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为．
由下边缘抛物线可知，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴d的最小值为2．
综上所述，d的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质进行求解，是解题的关键．
题型05 图形类问题
1.考查重点：函数解析式；面积最值；周长最值；掌握图形的面积公式，利用面积公式求解自变量值或范围。
2.高频题型：图形类，参数类。
3.能力要求：利用解析式掌握最值问题的求法。
【典例分析】
例．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线与轴只有一个公共点．
(1)若抛物线过点，求与的关系式；
(2)已知点，，中恰有两点在抛物线上．
求抛物线的解析式；
设直线：与抛物线交于，两点，过中点做轴垂线交直线于点，求证．
【答案】(1)
(2)①；②见解析
【分析】（1）将点代入抛物线解析式可得，再由题意可得，即可求解；
（2）由题意可知，根据函数的定义可知，不能同时在抛物线上，分两种情况讨论：当，在抛物线上时，，求得舍去；当，在抛物线上时，求得，即可求抛物线的解析式为；
联立方程组，可得，由根与系数的关系得，，求出的中点，，则，进一步得出，根据等边对等角得出，，由三角形内角和得出可得出，进而可得出，即可证明．
【详解】（1）解：抛物线过点，
，
，
抛物线与轴只有一个公共点，
，
；
（2）抛物线与轴只有一个公共点，
，
，的横坐标相同，
，不能同时在抛物线上，
，或，两点在抛物线上，
当，在抛物线上时，
，
，
，
，
舍去；
当，在抛物线上时，
抛物线的对称轴为，
，
，
，
，
将点代入，可得，
抛物线的解析式为；
联立方程组，
，
，，
，
的中点，
．
轴交直线于点，
，
，
∴，
∴，，
又，
∴，
∴，
即，
．
【点睛】本题是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，用判别式确定抛物线与轴的交点情况，待定系数法求函数的解析式，等边对等角，三角形内角和定理等等知识， 掌握这些知识是解题的关键．
【变式演练】
1．（2023·安徽合肥·三模）植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长．

(1)按图甲的方案，设的长为xm，矩形的面积为ym2．
①求y与x之间的函数关系式．
②求矩形的面积y(m2)的最大值．
(2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是多少？请说明理由．
【答案】(1)①②
(2)乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是，理由见解析
【分析】（1）①利用矩形的面积公式进行求解即可；②利用二次函数的性质进行求解即可；
（2）求出乙方案的最大面积，与甲方案进行比较后，判断即可．
【详解】（1）解：①设的长为xm，则：的长为，
∴；
②∵甲中的长不超过墙长，
∴，
∵，，
∴时，随的增大而增大，
∴当时，矩形的面积最大，最大为：．
（2）乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，理由如下：
乙方案中，设的长为xm，矩形的面积为ym2．
则：，
∵方案乙中的长大于墙长，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴当时，矩形的面积最大，最大为；
∵，
∴乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．解题的关键是根据题意，正确的列出二次函数表达式．
2．（2023·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于不同的两点A、B，且该抛物线的顶点E在矩形的边上，．

(1)若点A坐标为．
①求该抛物线的关系式：
②若点，都在此抛物线上，且，．试比较与大小，并说明理由；
(2)求边的长度．
【答案】(1)①；②，理由见解析
(2)
【分析】（1）①根据题意得出，，联立两个方程求解即可确定函数解析式；②先求出抛物线的对称轴，然后确定两点与对称轴的距离，再由二次函数的单调性求解即可；
（2）根据题意得出，再由求根公式得出，，即可求解．
【详解】（1）解：①∵，抛物线的顶点E在矩形的边上，
∴顶点的纵坐标为：①；
∵抛物线经过点A，
∴，即②，
将②代入①解得：(舍去)或，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
②由①得抛物线的对称轴为：，
∵点，都在此抛物线上，且，．
∴点P到对称轴的距离为，点Q到对称轴的距离为，
∵，
∴距离对称轴越远，函数值越小，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
当时，，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】题目主要考查二次函数及矩形的性质，待定系数法确定函数解析式及求根的公式法，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
3．（2023·安徽滁州·二模）如图1，一块钢板截面的一边为线段，另一边曲线为抛物线的一部分，现沿线段将这块钢板分成①、②两部分，以边所在直线为x轴，经过点C且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，规定一个单位代表1米．已知：米，米，米．
(1)求曲线所在抛物线的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；
(2)如图2，在该钢板第①部分中截取一个矩形，其中D为的中点，E，F均在线段上，G在曲线上，求的长；
(3)如图3，在该钢板第②部分中截取一个，其中点P在曲线上，记的面积为S，求S的最大值．
【答案】(1)所在抛物线的函数表示式为
(2)
(3)S的最大值为24
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先由中点坐标公式求得点D的坐标为，从而得出点E的坐标为，再令，则，解得，，所以G点横坐标为，从而求得点F的坐标为，即可由两点距离公式求解；
（3）先用等定系数法求出直线的解析式为，设点P的坐标为，，过点P作轴于H，交BC于点Q，则点Q的坐标为，所以，所以，然后利用求二次函数最值求解即可．
【详解】（1）解：∵米，可设所在抛物线的函数表示式，
∵米，米，
∴，，
∴，
解得，
∴所在抛物线的函数表示式为；
（2）解：∵D为BC的中点，
∴点D的坐标为，
∴点E的坐标为，
当时，，解得，，
则G点横坐标为，
∵矩形，
∴轴，轴，
∴点F的坐标为，
∴；
（3）解：设直线的解析式为．
把，代入，得，解，
∴直线的解析式为．
∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标为，，
如图，过点P作轴于H，交BC于点Q，
则点Q的坐标为，
∴
∴
，
即
∴S的最大值为24．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数的图像性质，二次函数的最值，矩形的性质，熟练掌握用待定系数法求函数解析式，二次函数图像性质是解题的关键．
1．（2023·安徽芜湖·一模）某景观公园的人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下表中的数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米．
/米 0 0.7 2 3 4 …
/米 2.0 3.484 5.2 5.6 5.2 …
请解决以下问题：
(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．
(2)①求喷泉抛物线的解析式；
②求喷泉的落水点距水枪的水平距离．
(3)已知喷泉落水点刚好在水池内边缘，如果通过改变喷泉的推力大小，使得喷出的水流形成的抛物线为，此时喷泉是否会喷到水池外？为什么？
(4)在（2）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为4米，顶棚到湖面高度为4.2米的平顶游船，游船从喷泉最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
【答案】(1)见解析
(2)①；②6.7米
(3)会，见解析
(4)游船有被喷泉淋到的危险
【分析】（1）根据对应点画图象即可；
（2）①利用待定系数法求出二次函数的关系式；②把代入即可；
（3）根据喷泉推理大小改变前后的函数解析式可以判断推理改变后抛物线开口变大，从而得出结论；
（4）把代入二次函数关系式得到得值，再与4.2比较即可．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：①由图象得，顶点，
设，
把代入可得，
；
②当时，，
解得或（舍去），（米），
答：喷泉的落水点距水枪的水平距离约为6.7米，
（3）解：，
改变喷泉的推力后抛物线开口变大，
此时喷泉会喷到水池外面．
（4）解：当时，，
答：游船有被喷泉淋到的危险.
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据对应点的坐标得到二次函数关系式是解题关键．
2．（2023·安徽·二模）某校为了丰富校园生活，提高学生身体素质特举行定点投篮比赛．某学生站在与篮框水平距离6米的A处进行定点站立投篮比赛，学校利用激光跟踪测高仪测量篮球运动中的高度．已知篮圈中心B到地面的距离为米，篮球每一次投出时离地面的距离都为米．图中所示抛物线的一部分是某次投篮训练中篮球飞行的部分轨迹，当篮球与篮框水平距离为3米时离地面最高，最大高度为米．

(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
(2)判断本次训练篮球能否直接投中篮圈中心B？若能，请说明理由；若不能，那么在保持投篮力度和方向（即篮球飞行的抛物线形状不变）的情况下，求该球员只要向前或向后移动多少米，就能使篮球直接投中篮圈中心B．
【答案】(1)
(2)不能，该球员只要向前移动米
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先根据对称轴求出原抛物线与y轴的交点，即可判断出本次训练不能投中篮圈中心；设移动后的抛物线的表达式为，把代入求出h的值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标是，
设抛物线的表达式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：由（1）可知抛物线的对称轴为直线，
∵点在抛物线上，
∴抛物线与y轴的交点为，
∵篮圈中心B坐标为，
∴本次训练不能投中，
设移动后的抛物线的表达式为，
∵篮球要直接投中篮圈中心，
∴，
解得，（舍去），
∵．
∴，
∴该球员只要向前移动米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
3．（2023·安徽合肥·三模）为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇签订支助协议，每月向该乡镇购进甲、乙两种水果进行销售，根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利0.4万元，销售乙种水果获利如下表所示：
销售（吨） 3 4 5 6 7
获利（万元） 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7
(1)分别求销售甲、乙两种水果获利（万元）、（万元）与购进水果数量（吨）的函数关系式；
(2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？
(3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为、吨，且，满足，请帮忙商场设计可获得的最大利润的进货方案．
【答案】(1)，；
(2)当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；当进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大；
(3)商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元．
【分析】（1）通过表格信息建立函数关系式即可；
（2）通过购买数量来选择哪种水果即可；
（3）建立二次函数关系式，转化为求最值问题即可．
【详解】解：（1）由题意得，
在直角坐标系中描出以坐标的对应点，易得的图象成一条直线，
设，则，
解得，
．
（2）当，则，
解得；
当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；当进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大．
（3）当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为、吨时，获得利润：
，
即，
当时，，w有最大值，
答：当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元．
【点睛】本题考查了一次函数二次函数的实际应用，解此题的关键是根据题意熟练掌握函数关系的建立，求出解析式．
4．（2023·安徽淮北·一模）某网店店主购进A，B两种型号的装饰链，其中A型装饰链的进货单价比B型装饰链的进货单价多20元，且消费500元购进A型装饰链的数量与消费400元购进B型装饰链的数量相等．销售中发现A型装饰链每月的销售量（个）与销售单价（元）之间满足的函数关系式为：；B型装饰链每月的销售量（个）与销售单价（元）之间满足的函数关系式为．
(1)求A，B两种型号装饰链的进货单价．
(2)已知A型装饰链的销售单价比B型装饰链的销售单价高20元，则当A，B两种型号装饰链的销售单价各为多少元时，每月销售这两种型号装饰链的总利润最大？并求出最大总利润．
【答案】(1)A型装饰链的进货单价为100元，B型装饰链的进货单价为80元
(2)当A型装饰链的销售单价140元，B型装饰链的销售单价120元时，每月销售这两种装饰链的总利润最大，最大总利润是3200元
【分析】（1）设B型号装饰链的进货单价为x元，则A型号装饰链的进货单价为元，利用花500元购进A型装饰链的数量与花400元购进B型装饰链的数量相等，可列分式方程求出即可；
（2）设B型号装饰链的销售单价为m元，每月销售A型、B型装饰链的总利润为W元，根据“总利润=A型装饰链的总利润+B型号装饰链的总利润”，列出二次函数解析式，配方成顶点式，由二次函数性质即可得出答案．
【详解】（1）解：设B型号装饰链的进货单价为x元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
时，．
答：A型装饰链的进货单价为100元，B型装饰链的进货单价为80元；
（2）解：设B型号装饰链的销售单价为m元，每月销售A型、B型装饰链的总利润为W元，根据题意得，
∵，
∴抛物线开口向下，
当时，W有最大值，．此时．
答：当A型装饰链的销售单价140元，B型装饰链的销售单价120元时，每月销售这两种装饰链的总利润最大，最大总利润是3200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，理解题意并列出分式方程和二次函数是解题的关键．
5．（2023·安徽滁州·三模）某厂有名工人，每人每天可以生产甲，乙，丙三种产品中的一种，每天产量与每件产品利润如表：
产品 甲 乙 丙
每人每天产量/件
每件产品利润/元 当每天生产件时，每件利润为元，若每增加件，则每件利润减少元
设每天安排名工人生产丙产品（为不小于的整数）．
(1)若每天每件丙产品的利润为元，求的值；
(2)若每天只生产甲，丙两种产品，丙产品的总利润比甲产品的总利润多元，求每件丙产品的利润；
(3)若每天同时生产甲，乙，丙三种产品，且甲，乙两种产品的产量相等．当这三种产品的总利润的和最大时，请直接写出的值．
【答案】(1)30
(2)120元
(3)33
【分析】（1）当每天生产件时，每件利润为元，若每增加件，则每件利润减少元，故安排名工人生产丙产品，每天每件丙产品的利润为元，列出方程即可得的值；
（2）安排名工人生产丙产品，每天丙产品的利润为元，则安排人生产甲产品，利润是元，列出方程即可得的值，从而可求每件丙产品的利润；
（3）设安排人生产甲产品，这三种产品的每天总利润为元，则需安排人生产乙产品，可列方程，用、的代数式表达为，将代入变形，再配方即可求得取最大值时的值．
【详解】（1）根据已知：安排名工人生产丙产品，每天每件丙产品的利润为元，
可列方程：，
解得：，
答：的值为30；
（2）安排名工人生产丙产品，每天丙产品的利润为元，
则安排人生产甲产品，产量为件，利润是元，
列方程得：，
解得：，，
，
，
此时，
答：每件丙产品的利润是元；
（3）设安排人生产甲产品，这三种产品的每天总利润为元，则需安排人生产乙产品，根据题意可得：
，且，
，
当时，，得，而应是正整数，故不符合题意，舍去，
当时，，得，
当时，最大利润是．
当这三种产品的总利润的和最大时，的值是．
【点睛】本题考查一元一次方程、二次函数的应用，解题的关键是根据题意，分别用代数式表示三种产品的利润．
6．（2023·安徽·一模）如图，抛物线与x轴的两个交点坐标为、．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)矩形的顶点在轴上（不与重合），另两个顶点在抛物线上（如图）．
①当点在什么位置时，矩形的周长最大？求这个最大值并写出点的坐标；
②判断命题“当矩形周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①在时，矩形的周长最大，最大值为；②假命题，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法可求得抛物线的函数表达式为﹔
（2）先求得抛物线的对称轴为，设点，则，①根据关于对称，可得的坐标，则可以表示出矩形的周长，即可求解；②当矩形周长最大时，长为3，宽为2，面积为6，当为正方形时，表示，即可求出，算得正方形的面积大于6，矛盾，即可求得假命题．
【详解】（1）解：将、代入中得
解得
抛物线的函数表达式为
（2）解：抛物线的对称轴为，
设点，则，
①关于对称，
∴，则，
矩形的周长为，
当时，l的值最大，最大值为，
即Р在时，矩形的周长最大，最大值为．
②假命题．由①可知，当矩形周长最大时，长为3，宽为2，面积为6，
当为正方形时，，解得
∴点Р的坐标为，点Q的坐标为，
正方形的面积；
故命题是假命题．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．
7．（2023·安徽滁州·一模）如图1，一段高架桥的两墙，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)求高架桥两端的的距离；
(3)如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，已知矩形广告牌的价格为80元/米，其余部分广告牌的价格为160元/米，试求菱形广告牌所需的最低费用．
【答案】(1)
(2)米
(3)元
【分析】（1）过点作于点，作轴于点，在中，轴，，勾股定理得出，进而得出，根据，得出，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据，解方程，得出的坐标，即可求解．
（3）待定系数法得出直线的解析式为，直线的解析式为，设矩形中，米，则，代入，，继而得出，由（1）得出，设总费用为，进而根据面积乘以广告牌的价格得出的函数关系，根据二次函数的性质求得最值即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，作轴于点，
∵四边形是菱形，，
∴，，
在中，轴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设抛物线对应的函数表达式为，
将，代入得，
，
解得：，
∴；
（2）令，
解得：，
∴，
∴（米）
（3）设直线的解析式为，将点代入得，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将点，代入得，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设矩形中，米，
则，代入，，
得，
∴ ，
∴，
由（1）可得，
，
设总费用为，
∴
；
当时，取得最小值，
最小值为，
∴菱形广告牌所需的最低费用为元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，菱形的性质，矩形的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题07 函数实际问题
（销售利润、投球、拱桥、喷水、图形类）
题型01 销售利润
1.考查重点：销售利润的逻辑思维，掌握销售利润问题的公式。
2.高频题型：销售和利润类实际问题。
3.能力要求：(1)y与x之间的函数表达式；(2)W与x之间的函数表达式；(3)售价为多少时利润最大及利润的最大值。
【典例分析】
例1．（2024·安徽合肥·模拟预测）某公司销售的某种安徽特产每件成本为元，经过市场调研发现，这种商品在未来天内的日销售量（件）与时间第（天）的关系如表：
时间x（天）
日销售量m（件）
未来天内，每天的价格（元/件）与时间第（天）的函数关系式为（且为整数）．
(1)认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的（件）与第（天）之间的关系式，直接写出日销售量（件）与时间第（天）之间的关系式；
(2)未来天内，该公司销售的这款安徽特产的日销售利润为元，请写出与第（天）之间的关系式（销售利润=销售额-成本），并解答下面的问题：
①第几天的日销售量为元：
②求未来天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·二模）如图，在1～12月份期间，某种农产品销售单价y（元/件）与月份x 之间的函数图象是抛物线（部分），7月份该产品的销售单价最高为10元/件；它的生产成本（元/件）与月份x之间函数图象是折线，
(1)分别求出、关于x的函数关系式；
(2)从1月份到8月份，问几月份这种产品每件的销售利润最大，最大时多少元
2．（2024·安徽合肥·三模）材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用．
问题：某厂商生产产品中有一种蓝球工艺品，已知该工艺品销路很好，它的成本C（元）与生产量x（个）的关系式为：
(1)求该工艺品的固定成本和可变成本．
(2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销量单价（元/个）之间的对应关系如下图所示：

①销量与销量单价之间的函数关系式．
②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少
3．（2024·安徽阜阳·一模）某加工厂加工某海产品的成本为30元/千克．根据市场调查发现，该海产品批发价定为48元/千克的时候，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，加工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
(1)写出加工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数表达式．当降价2元时，加工厂每天的利润为多少元？
(2)当降价多少元时．加工厂每天的利润最大，最大利润为多少元？
题型02 投球类问题
1考查重点：(1)求抛物线的表达式；(2)求函数表达式及最大值；(3)横坐标的取值范围.
2.高频题型：投球类问题
3.能力要求：掌握解析式的求法；会利用解析式求最值；会求自变量的取值范围。
利用纵坐标求横坐标的时候，只需将纵坐标的值对应的横坐标的值与要求相比较即可。
例1．（2024·安徽合肥·模拟预测）体育课上，同学们在老师的带领下，设计了一种抛小球入箱的游戏．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，小球从点P处抛出，小球的运动轨迹为抛物线L：．无盖木箱的截面图为矩形，其中，，且在x轴上，．已知当小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为．
(1)求抛物线L的表达式．
(2)请通过计算说明该同学抛出的小球能否投入箱内．
(3)若该小球投入箱内后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且最大高度可达，则该小球能否弹出箱子？请说明理由．
【变式演练】
1．（2024·安徽安庆·三模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），王同学站在原点，将乒乓球从1.5米的高度P处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离王同学1米时，达到最大高度2米．
(1)求抛物线的解析式；
(2)王同学抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明；
(3)若乒乓球投入箱子后立即向右上方弹起，沿与原抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时乒乓球的最大高度达到原最大高度的一半，请判断乒乓球是否弹出箱子，并说明理由．
2．（2022·安徽合肥·模拟预测）2022年2月，在北京冬奥会跳台滑雪中，中国选手谷爱凌、苏翊鸣夺金，激起了人们对跳台滑雪运动的极大热情．某跳台滑雪训练场的横截面如图所示，以某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴建立平面直角坐标系．图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿抛物线：运动．当运动员从点滑出运动到离处的水平距离为米时，距离水平线的高度恰好为米．

(1)求抛物线的解析式（不要求写自变量x的取值范围）：
(2)运动员从点滑出后，当运动员距离点的水平距离为多少米时）运动员达到最大高度，此时，距离水平线的高度是多少米？
(3)运动员从点滑出后，当运动员距离点的水平距离为少米时，运动员与小山坡的竖直距离达到最大值，最大值是多少米？
3．（2023·安徽六安·一模）某数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖正方体箱子放在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，正方形为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线：（单位长度为）的一部分，已知，．
(1)若抛物线经过点．
①求抛物线的解析式和顶点坐标；
②若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由．
(2)要使弹珠能投入箱子，求的取值范围．
题型03 拱桥类问题
1.考查重点：(1)求抛物线的表达式；(2)求最大值。（3）图形结合。
2.高频题型：拱桥类。
3.能力要求：会求解析式；会求个各点坐标。理解题意。
【典例分析】
例1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D．
（i）求主索到射灯光线的最大竖直距离；
（ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米．
【变式演练】
1．（2023·安徽·模拟预测）如图，某长为的隧道的横截面顶部为拋物线形，隧道的左侧是高为的墙，右侧是高为的墙，拱壁上某处离地面的高度与其离墙的水平距离之间的关系满足．现测得两墙体之间的水平距离为．
(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离．
(2)从隧道头到隧道尾，在拋物线形拱壁上安装若干排吊灯，每排吊灯与地面的距离都不低于，每相邻两排吊灯之间的水平距离为，每排内相邻两盏吊灯之间的距离为．求共需要多少盏吊灯？
(3)如果隧道内设双向行车道，每条车道的宽为，两条车道之间是宽为的绿化带，一辆货车载一个长方体集装箱后高为、宽为，那么这辆货车无论从哪条车道都能安全通过吗？请说明理由．
2．（2023·安徽黄山·一模）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线和矩形构成.矩形的边米，米，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点的坐标为.
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板，点正好在抛物线上，支撑轴，米，点是上方抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴的垂线，交于点.
①求的最大值.②某工人师傅站在木板上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围.
3．（2023·安徽合肥·一模）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知米，米，抛物线顶点到地面的垂直距离为10米，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立直角坐标系，
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4米，最高处与地面距离为6米，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为2米，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于米，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
题型04 喷水类问题
1.考查重点：函数解析式；抛物线与x轴的交点坐标；参数值或范围。
2.高频题型：喷水类问题。
3.能力要求：根据解析式求出最大值；求出新的二次函数解析式，并根据一元二次方程来解决问题．
【典例分析】
例1．（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，某小区的景观池中安装一雕塑，米，喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线（图中的，）的部分图象，两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经测算发现抛物线的最高点（顶点）C距离水池面米，且与的水平距离为2米．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线与x轴的交点B的坐标；
(3)小明同学打算操控微型无人机在，之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围不小于米，设无人机与的水平距离为m，求m的取值范围．
【变式演练】
1．（2023·安徽芜湖·三模）消防车中的高喷消防车，采用曲臂加伸缩结构，顶端装有消防炮，其液控炮既可喷射水也可喷射泡沫，具有射程远，流量大的特点．该车主要作业于油田、高层建筑、石化企业等地方的灭火救援和处置工作．在一次模拟高层建筑起火救援中，消防炮喷水口A距离地面35米，距离大楼起火侧面20米，喷出水柱呈抛物线形，水柱最高处B距离地面50米，距离大楼起火侧面5米，如图所示建立平面直角坐标系．

(1)求出水柱所在抛物线的解析式；
(2)目前火焰不断从第17层窗口窜出，若每层楼约2.9米高，窗台高度约为0.9米，窗顶距离该层地面高度约2.4米，此时水柱能否射入该层窗口？
(3)火势已经向上蔓延到距离地面55米处，高喷消防车最后一节伸缩臂CA按原来方向（与水平方向夹角约为）伸长了一截（不超过12米），为阻止火势进一步蔓延，伸缩臂应该伸长几米？（伸缩臂伸长时间忽略，）
2．（2023·安徽蚌埠·二模）如图，蚌埠花博园要建造一圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子，O恰在水面中心，高3米，如图1，由柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各方面沿形状相同的抛物线落下．
(1)如果要求设计成水流在离距离为1米处达到最高点，且与水面的距离是4米，那么水池的内部半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外；（利用图2所示的坐标系进行计算）
(2)若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池内部的半径为5米，要使水流不落到池外，此时水流达到的最高点与水面的距离应是多少米？
3．（2023·安徽亳州·二模）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离为d m．当m，m，m时，解答下列问题：
(1)①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求出点B的坐标；
(2)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围．
题型05 图形类问题
1.考查重点：函数解析式；面积最值；周长最值；掌握图形的面积公式，利用面积公式求解自变量值或范围。
2.高频题型：图形类，参数类。
3.能力要求：利用解析式掌握最值问题的求法。
【典例分析】
例．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线与轴只有一个公共点．
(1)若抛物线过点，求与的关系式；
(2)已知点，，中恰有两点在抛物线上．
求抛物线的解析式；
设直线：与抛物线交于，两点，过中点做轴垂线交直线于点，求证．
【变式演练】
1．（2023·安徽合肥·三模）植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长．

(1)按图甲的方案，设的长为xm，矩形的面积为ym2．
①求y与x之间的函数关系式．
②求矩形的面积y(m2)的最大值．
(2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是多少？请说明理由．
2．（2023·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于不同的两点A、B，且该抛物线的顶点E在矩形的边上，．

(1)若点A坐标为．
①求该抛物线的关系式：
②若点，都在此抛物线上，且，．试比较与大小，并说明理由；
(2)求边的长度．
3．（2023·安徽滁州·二模）如图1，一块钢板截面的一边为线段，另一边曲线为抛物线的一部分，现沿线段将这块钢板分成①、②两部分，以边所在直线为x轴，经过点C且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，规定一个单位代表1米．已知：米，米，米．
(1)求曲线所在抛物线的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；
(2)如图2，在该钢板第①部分中截取一个矩形，其中D为的中点，E，F均在线段上，G在曲线上，求的长；
(3)如图3，在该钢板第②部分中截取一个，其中点P在曲线上，记的面积为S，求S的最大值．
1．（2023·安徽芜湖·一模）某景观公园的人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下表中的数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米．
/米 0 0.7 2 3 4 …
/米 2.0 3.484 5.2 5.6 5.2 …
请解决以下问题：
(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．
(2)①求喷泉抛物线的解析式；
②求喷泉的落水点距水枪的水平距离．
(3)已知喷泉落水点刚好在水池内边缘，如果通过改变喷泉的推力大小，使得喷出的水流形成的抛物线为，此时喷泉是否会喷到水池外？为什么？
(4)在（2）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为4米，顶棚到湖面高度为4.2米的平顶游船，游船从喷泉最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
2．（2023·安徽·二模）某校为了丰富校园生活，提高学生身体素质特举行定点投篮比赛．某学生站在与篮框水平距离6米的A处进行定点站立投篮比赛，学校利用激光跟踪测高仪测量篮球运动中的高度．已知篮圈中心B到地面的距离为米，篮球每一次投出时离地面的距离都为米．图中所示抛物线的一部分是某次投篮训练中篮球飞行的部分轨迹，当篮球与篮框水平距离为3米时离地面最高，最大高度为米．

(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
(2)判断本次训练篮球能否直接投中篮圈中心B？若能，请说明理由；若不能，那么在保持投篮力度和方向（即篮球飞行的抛物线形状不变）的情况下，求该球员只要向前或向后移动多少米，就能使篮球直接投中篮圈中心B．
3．（2023·安徽合肥·三模）为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇签订支助协议，每月向该乡镇购进甲、乙两种水果进行销售，根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利0.4万元，销售乙种水果获利如下表所示：
销售（吨） 3 4 5 6 7
获利（万元） 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7
(1)分别求销售甲、乙两种水果获利（万元）、（万元）与购进水果数量（吨）的函数关系式；
(2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？
(3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为、吨，且，满足，请帮忙商场设计可获得的最大利润的进货方案．
4．（2023·安徽淮北·一模）某网店店主购进A，B两种型号的装饰链，其中A型装饰链的进货单价比B型装饰链的进货单价多20元，且消费500元购进A型装饰链的数量与消费400元购进B型装饰链的数量相等．销售中发现A型装饰链每月的销售量（个）与销售单价（元）之间满足的函数关系式为：；B型装饰链每月的销售量（个）与销售单价（元）之间满足的函数关系式为．
(1)求A，B两种型号装饰链的进货单价．
(2)已知A型装饰链的销售单价比B型装饰链的销售单价高20元，则当A，B两种型号装饰链的销售单价各为多少元时，每月销售这两种型号装饰链的总利润最大？并求出最大总利润．
5．（2023·安徽滁州·三模）某厂有名工人，每人每天可以生产甲，乙，丙三种产品中的一种，每天产量与每件产品利润如表：
产品 甲 乙 丙
每人每天产量/件
每件产品利润/元 当每天生产件时，每件利润为元，若每增加件，则每件利润减少元
设每天安排名工人生产丙产品（为不小于的整数）．
(1)若每天每件丙产品的利润为元，求的值；
(2)若每天只生产甲，丙两种产品，丙产品的总利润比甲产品的总利润多元，求每件丙产品的利润；
(3)若每天同时生产甲，乙，丙三种产品，且甲，乙两种产品的产量相等．当这三种产品的总利润的和最大时，请直接写出的值．
6．（2023·安徽·一模）如图，抛物线与x轴的两个交点坐标为、．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)矩形的顶点在轴上（不与重合），另两个顶点在抛物线上（如图）．
①当点在什么位置时，矩形的周长最大？求这个最大值并写出点的坐标；
②判断命题“当矩形周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由．
7．（2023·安徽滁州·一模）如图1，一段高架桥的两墙，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)求高架桥两端的的距离；
(3)如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，已知矩形广告牌的价格为80元/米，其余部分广告牌的价格为160元/米，试求菱形广告牌所需的最低费用．
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