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专题05 圆的计算与证明
（求线段、角度、弧长、角度和差、最值、证明）
题型01 圆中求线段长
圆中求线段的长是中考的常考题型，无论是选填问题还是解答题，近几年的解答题一般有两小问，其中一问就是求线段长的，是必考题型。
考察重点：垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，相似等；
高频考点：垂径定理，勾股定理。
能力要求：要求学生掌握垂径定理的性质，利用勾股定理求线段长；同角三角函数值求线段长；相似比例求线段长；
圆中求线段长一般采用方法有： 垂径定理，通过构造直角三角形，利用勾股定理求线段长； 等腰三角形，一般有等腰三角形的性质和判定，三线合一等； 等边三角形，三个内角60°，三边相等，30°的直角三角形的性质找到边的关系； 平行线，一般涉及同位角、内错角、同旁内角、两平行线之间的距离； 角平分线，等圆周角对等弧，等弧对等圆周角； 三角函数，同角的三角函数值； 相似，利用相似求线段长。
【典例分析】
例1．（2024·安徽合肥·一模）如图，为的直径，弦，垂足为点E，连接，若的半径为4，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式演练】
1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在中，已知是的半径，于点C，，的直径为10，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，内接于，，的半径为1，则弦的长为 （ ）
A．1 B．2 C． D．
3．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，在半径为5的中，弦与弦互相垂直，垂足为点E，如果，那么的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．
4．（2022·黑龙江鸡西·一模）如图，是的弦，半径于点C，为直径，，，则线段的长为 ．
5．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，内接于，，于点，若，，则的半径为
6．（2024·安徽阜阳·二模）如图，为的内接三角形，，，则的半径为 ．
题型02 圆中求角度
考查重点：同弧所对的圆周角相等；直径所对圆周角是直角；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；
包含一些特殊图形，比如等腰三角形，等腰直角三角形，等边三角形，直角三角形。
2. 题型变化：选择、填空、解答题均有涉及，2022年首次在选择题中考查；
3. 题干条件特点：涉及计算时，常会给出角度和半径，结合含特殊角度的直角三角形求解.
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径. 【补充】圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为180° 【解题思路】 （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化. （2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”. （3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角． （4）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等。
【典例分析】
例1．（21-22九年级上·北京东城·期末）如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练】
1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，是以O为圆心的半圆的直径，A是延长线上一点，过A点的直线交半圆于B，E两点，B在A，E之间，若，，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
2．（21-22九年级上·江苏泰州·期末）如图，是的直径，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽·二模）如图，已知的直径与弦的夹角为，过C点的切线与的延长线交于点P，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安徽·模拟预测）为的外接圆，，为的直径，若，则为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·安徽马鞍山·三模）如图，是的直径，C，D为上两点，且平分，连接，，若，则的度数为 ．
7．（2017·辽宁营口·二模）如图，四边形内接于是直径，过C点的切线与的延长线交于P点，若，则的度数为 ．
8．（2024·安徽合肥·三模）如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数为 ．
9．（2022·安徽·三模）如图，是的直径，是弦，交于点，，则 °．

题型03 圆中求弧长
1. 考查题位：均在选填考查；
2. 考查特点：2017-2023年未考查，2015－2017年均利用到弧长公式，2024年考察。
3.能力要求：掌握弧长公式。
设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为，n为弧所对的圆心角的度数，则 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．）
【典例分析】
例1．（2012·江苏盐城·二模）在半径为1的中，的圆心角所对的弧长是（ ）
A． B． C． D．
【变式演练】
1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）若某圆弧所在圆的直径为2，弧所对的圆心角为，则这条弧长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽六安·二模）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽滁州·三模）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，内接于，是的直径且长为4，与相交于点E，，则劣弧的长为 ．
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作恰好经过点B，交于点D，交于点E，若，，则劣弧的长为 ．
6．（2024·安徽宿州·二模）如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，则的长度为 ．
7．（2024·安徽·模拟预测）如图，在中，．若以点C为圆心，长为半径厮弧，交于点D，则的长为 ．
题型04 圆中求角度的和与差
1.考查重点：正多边形的中心角和内角的度数和或差。
2.能力要求：掌握正多边形的求内角的公式和方法；掌握求中心角的方法。
边长（Rn为正多边形外接圆的半径）周长Pn=n an外角/中心角度数面积对角线条数边心距内角和（ n-2 ）×180°.内角度数n边形的边数（内角和÷180°）＋2 （an 、Rn、rn为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解.）
【典例分析】
例1．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，在正五边形中，经过两点的分别与相切于点，连接，则（ ）
A． B． C． D．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·二模）如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级下·安徽淮北·阶段练习）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽淮南·三模）如图，正三角形和正六边形都内接于连接则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安徽池州·三模）如图，等边内接于⊙，点E是弧上的一点，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·安徽合肥·一模）如图，内接于，为的直径，，，则 ．
6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，A，B，C，D，E分别为上的点，连接和．若的度数为，则的度数为 ．
7．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，四边形内接于，，与分别相切于A，C，若，则 ．
题型05 圆中求最值
最值问题一般涉及线段和最值和单线段最值，根据所求线段的特点分析，每个特点下的不同解题法。
线段和求最值类：一般方法有将军饮马的解决方法、阿氏圆和胡不归的方法； 单线段求最值类：一般有隐形圆的解决方法、直角三角形斜边中线等于斜边一半求最值、遇中点构造中位线类； 面积类最值：一般根据图像的面积公式将面积转化为底和高的最值；还可以将面积用函数解析式的形式表示，根据函数的性质求最值。
【典例分析】
例1．（24-25九年级上·安徽·开学考试）如图，的半径为，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练】
1．（2024·安徽·三模）如图，矩形中，，，P为边上一点（不与A、D重合），连接，过C点作，垂足为点E，点F为的中点，则的最小值是（ ）

A．3 B． C． D．
2．（2021·安徽·二模）如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
3．（2024·安徽合肥·三模）如图，P为线段上一动点（点P不与点A，B重合），将线段绕点P顺时针旋转得到线段，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，，交点为Q．若，点H是线段的中点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．2
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
5．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，，点D是斜边上的动点，将沿直线翻折得到，连接，则周长的最小值为（ ）
A． B． C．9 D．
6．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）如图，正方形的边长为4，点E是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接AE．以为斜边作等腰（点A，E，F按逆时针排序），则长的最小值为 ．
7．（2022·安徽安庆·一模）如图，在中，，、，点是内部的一个动点，连接，且满足．
（1） ；
（2）当线段最短时，的面积为 ．
题型06 圆中证明题型
安徽省近几年的考察圆的解答题型，一般是两个问题，一个是证明，一个是求值计算。近几年的证明一般是证垂直，或者角平分线，求值一般是求线段长。难度上一般。
1.证垂直：一般用到直角三角形的两锐角互余的性质； 2.证切线：知垂直证半径；知半径证垂直； 3.证角平分线：等弧对等角； 4.求选段长：等面积；勾股定理；锐角三角函数；相似。
【典例分析】
例1．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【变式演练】
1．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
2．（2024·安徽合肥·三模）如图，的两条弦，垂足为，点在上，平分，连接，分别交于于．
(1)求证：；
(2)连接，若的半径为2，求的长．
3．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接．

(1)求证：为的切线；
(2)若且，求的半径．
4．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，平分．点 O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点 E，交于点 F，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
5．（2023九年级·安徽·专题练习）如图，已知为上一点，为的直径．

(1)过点作直线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，若，，求的长．
6．（2024·安徽·二模）如图，是的直径，是上两点，且，连接并延长与过点的的切线相交于点，连接．
(1)证明：平分；
(2)若，求的长．
1．（2024·安徽·二模）如图，内接于，，，则劣弧BC的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏南京·一模）如图，是⊙O的直径，点是的中点，弦与交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽宿州·二模）如图，在矩形中，，，点E是右侧一点且，点G是上一点，点F是的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安徽淮北·模拟预测）如图，以正方形纸片的顶点A为圆心，长为半径画弧，用这个纸片制作一个无底的圆锥．若正方形的边长为1，则圆锥底面的半径为（　　）
A． B． C． D．1
5．（21-22九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，弦交于点，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2020·贵州毕节·中考真题）如图，已知点，是以为直径的半圆的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023·安徽·模拟预测）如图，在中，直径，弦，连接相交于点，则的度数是 ．
8．（2023·安徽·模拟预测）如图，是的内接三角形，，，则劣弧的长为 ．
9．（2023·安徽·模拟预测）如图，四边形为菱形，且顶点都在上，过点作的切线，与的延长线相交于点．若的半径为2，则的长为 ．

10．（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图，中，直径于，于，交于N，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径；
11．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是的直径，D为上一点，C为上一点，且，延长交于E，连．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
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（求线段、角度、弧长、角度和差、最值、证明）
题型01 圆中求线段长
圆中求线段的长是中考的常考题型，无论是选填问题还是解答题，近几年的解答题一般有两小问，其中一问就是求线段长的，是必考题型。
考察重点：垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，相似等；
高频考点：垂径定理，勾股定理。
能力要求：要求学生掌握垂径定理的性质，利用勾股定理求线段长；同角三角函数值求线段长；相似比例求线段长；
圆中求线段长一般采用方法有： 垂径定理，通过构造直角三角形，利用勾股定理求线段长； 等腰三角形，一般有等腰三角形的性质和判定，三线合一等； 等边三角形，三个内角60°，三边相等，30°的直角三角形的性质找到边的关系； 平行线，一般涉及同位角、内错角、同旁内角、两平行线之间的距离； 角平分线，等圆周角对等弧，等弧对等圆周角； 三角函数，同角的三角函数值； 相似，利用相似求线段长。
【典例分析】
例1．（2024·安徽合肥·一模）如图，为的直径，弦，垂足为点E，连接，若的半径为4，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
根据题意得出 ，进而根据含0度角的直角三角形的性质得出，在中，勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：∵为的直径， 弦
∴，
，
，
在中，
则，
，
，
故选： D．
【变式演练】
1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在中，已知是的半径，于点C，，的直径为10，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．由垂径定理得，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵于点C，，
∴．
∵的直径为10，
∴，
∴．
故选A．
2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，内接于，，的半径为1，则弦的长为 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形的外接圆和外心，根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得的度数，然后根据勾股定理即可求得的长，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：如图，在圆上找一点不同于的点，连接、、、，
的半径为1，内接于，，
，
，
，
，
故选：C．
3．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，在半径为5的中，弦与弦互相垂直，垂足为点E，如果，那么的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】A
【分析】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的应用垂径定理求值是解本题的关键．如图，连接 过作于 过作于 再利用垂径定理求解 再证明四边形是正方形，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，连接 过作于 过作于
四边形是正方形，
故选A．
4．（2022·黑龙江鸡西·一模）如图，是的弦，半径于点C，为直径，，，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了中位线的判定与性质、垂径定理的应用，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，先根据勾股定理列式计算，得出半径，根据分别是，的中点，得出，即可利用勾股定理作答．
【详解】解：连接，如图

∵是的弦，半径于点，
∴
在中，
解得
∵分别是，的中点
∴是的中位线
∴
∵为直径
∴
在，
故答案为：．
5．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，内接于，，于点，若，，则的半径为
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，结合勾股定理、等腰直角三角形的性质，连接和，根据，于点，推出，算出，根据勾股定理算出，证是等腰直角三角形，根据代入计算即可，，掌握知识点计算是解题的关键．
【详解】
解：如图，连接和，
，于点，，，
，，，
，
，
，（同弧所对圆周角是圆心角的一半）
又，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：
6．（2024·安徽阜阳·二模）如图，为的内接三角形，，，则的半径为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，等腰三角形的性质．连接，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：连接并延长交于点，连接，
，
，
过圆心，
；
，
，
，
设，则，
，
，
解得，
故的半径为．
故答案为：．
题型02 圆中求角度
考查重点：同弧所对的圆周角相等；直径所对圆周角是直角；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；
包含一些特殊图形，比如等腰三角形，等腰直角三角形，等边三角形，直角三角形。
2. 题型变化：选择、填空、解答题均有涉及，2022年首次在选择题中考查；
3. 题干条件特点：涉及计算时，常会给出角度和半径，结合含特殊角度的直角三角形求解.
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径. 【补充】圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为180° 【解题思路】 （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化. （2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”. （3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角． （4）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等。
【典例分析】
例1．（21-22九年级上·北京东城·期末）如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．如图所示，连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，根据多边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的切线，为切点，
∴，即，
∵点为上一点，，
∴，
在四边形中，，
故选：D．
【变式演练】
1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，是以O为圆心的半圆的直径，A是延长线上一点，过A点的直线交半圆于B，E两点，B在A，E之间，若，，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等边对等角、三角形的外角的性质等知识点，连接，可推出，，根据，得，进而得，即可求解；
【详解】解：连接，如图所示：

∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B
2．（21-22九年级上·江苏泰州·期末）如图，是的直径，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，熟记定理并灵活运用是解题的关键．
连接，根据弧长公式和，可求得，，根据平角的定义求出，再利用圆周角定理求出即可．
【详解】解：连接，如图：

设，则，
则的长为，的长为，
∵，
即，
整理得：，
解得：，
即，，
∵，
∴．
故选：D．
3．（2024·安徽·二模）如图，已知的直径与弦的夹角为，过C点的切线与的延长线交于点P，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了切线的性质、三角形的外角定理和等腰三角形的性质，切记切线垂直于过切点的半径，直角三角形两锐角互余，本题先求出，再利用切线的性质得到，由此可以求出．
【详解】，
，
，
是的切线，
，
，
，
故选：B．
4．（2024·安徽·模拟预测）为的外接圆，，为的直径，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，最后利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答．
【详解】为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
5．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理及三角形内角和定理，解题的关键是连接，构造出直角三角形；
连接，则，根据圆周角定理可求出的度数等于的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：连接，
∵是圆的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
6．（2024·安徽马鞍山·三模）如图，是的直径，C，D为上两点，且平分，连接，，若，则的度数为 ．
【答案】/29度
【分析】本题考查了圆周角定理和角平分线的性质，根据圆周角定理，，，，可得，又平分，可得，由此求得．
【详解】解：，
，
为的直径，
，
，
平分，
，
，
．
故答案为：．
7．（2017·辽宁营口·二模）如图，四边形内接于是直径，过C点的切线与的延长线交于P点，若，则的度数为 ．
【答案】/115度
【分析】根据过C点的切线与的延长线交于P点，，可以求得和的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．
本题考查切线的性质、圆内接四边形，等边对等角，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【详解】解：连接，如图：
由题意可得，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
故答案为：．
8．（2024·安徽合肥·三模）如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数为 ．
【答案】/25度
【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，再根据“直径所对的圆周角为直角”可得，然后由求解即可．
【详解】解：如下图，连接，
∵，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
故答案为：．
9．（2022·安徽·三模）如图，是的直径，是弦，交于点，，则 °．

【答案】30
【分析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等．也考查了三角形内角和．连接，利用等腰三角形的性质得到，，即，然后利用三角形内角和计算的度数．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：30．
题型03 圆中求弧长
1. 考查题位：均在选填考查；
2. 考查特点：2017-2023年未考查，2015－2017年均利用到弧长公式，2024年考察。
3.能力要求：掌握弧长公式。
设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为，n为弧所对的圆心角的度数，则 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．）
【典例分析】
例1．（2012·江苏盐城·二模）在半径为1的中，的圆心角所对的弧长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了圆心角所对弧长的公式，熟记公式是解题的关键．
利用弧长公式即可求出．
【详解】解：在半径为1的中，的圆心角所对的弧长是．
故选：B．
【变式演练】
1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）若某圆弧所在圆的直径为2，弧所对的圆心角为，则这条弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了弧长计算公式，解题的关键是熟记弧长公式：（n是弧所对的圆心角度数），代入计算即可．
【详解】解：．
故选：A．
2．（2024·安徽六安·二模）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长计算，先根据圆周角定理得到角度，然后根据弧长公式计算即可求得结果，熟练掌握圆周角定理及弧长计算是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的半径为5，
∴的长为，
故选：C．
3．（2024·安徽滁州·三模）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长计算，熟练掌握圆周角定理及弧长计算是解题的关键．连结，，根据圆周角定理可求得的度数，的度数，进而可求得，再根据弧长计算公式，即可求得答案．
【详解】连结，，
，，
的度数为，的度数为，
的度数为：，
，
的长为．
故选B．
4．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，内接于，是的直径且长为4，与相交于点E，，则劣弧的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查弧长公式，圆周角定理，熟练掌握弧长公式是解题的关键，连接，根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：连接，如图，
∵，
∴，
∵是的直径且长为4，
∴
∴劣弧的长为：，
故答案为：．
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作恰好经过点B，交于点D，交于点E，若，，则劣弧的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查圆的基本知识，弧长公式，连接，，由，，可知，进而得，可知，易得，再利用弧长公式即可求解．根据等边对等角结合题意求得是解决问题的关键．
【详解】解：如图，连接，．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴劣弧的长为．
故答案为：．
6．（2024·安徽宿州·二模）如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，则的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是正六边形的性质和弧长的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
由正六边形的边长为2，可得，，进而求出，，过作于，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，根据扇形的弧长公式即可得到结论．
【详解】解：正六边形的边长为2，
，，
，
，
过作于，
，，
在中，，
，
同理可证，，
，
的长度为
故答案为：．
7．（2024·安徽·模拟预测）如图，在中，．若以点C为圆心，长为半径厮弧，交于点D，则的长为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了弧长的计算，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质， 连接，先求出，再根据得，进而得，然后由弧长的公式即可求出的长．
【详解】解：连接，如图所示∶
在中，，，，
，
∵点C为圆心，长为半径画弧，交于点D，
∴，
，
∴弧的长为：．
故答案为：．
题型04 圆中求角度的和与差
1.考查重点：正多边形的中心角和内角的度数和或差。
2.能力要求：掌握正多边形的求内角的公式和方法；掌握求中心角的方法。
边长（Rn为正多边形外接圆的半径）周长Pn=n an外角/中心角度数面积对角线条数边心距内角和（ n-2 ）×180°.内角度数n边形的边数（内角和÷180°）＋2 （an 、Rn、rn为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解.）
【典例分析】
例1．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，在正五边形中，经过两点的分别与相切于点，连接，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查切线的性质、多边形的内角和问题，熟练掌握切线的性质是解答的关键．先根据正五边形的内角和公式和切线性质求得，，再利用四边形的内角和为求得，进而可求解．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴，
∵与相切于点N，
∴，即，
在四边形中，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·二模）如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正五边形的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，根据正五边形的性质求出，再根据圆内接四边形的性质求出，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握正五边形和圆内接四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
故选：．
2．（23-24九年级下·安徽淮北·阶段练习）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点O为正六边形的中心，得到，，继而得到，，解答即可．
本题考查了正多边形的性质，中心角的计算，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和中心角的计算是解题的关键．
【详解】∵点O为正六边形的中心，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
3．（2024·安徽淮南·三模）如图，正三角形和正六边形都内接于连接则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是正多边形与圆，等腰三角形的性质，先求解，，再进一步结合等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵正三角形，
∴，
∵，
∴，
∵正六边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选D
4．（2024·安徽池州·三模）如图，等边内接于⊙，点E是弧上的一点，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，结合圆内接四边形对角互补，得出，根据等边三角形性质以及圆周角性质，得出，运用三角形内角性质，列式计算，即可作答．
【详解】解：连接，，
∵，，
∴，
则，
∵是等边三角形，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
则，
故选：C．
5．（2024·安徽合肥·一模）如图，内接于，为的直径，，，则 ．
【答案】15
【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得到，根据三角形的内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论．
【详解】解：连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：15．
6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，A，B，C，D，E分别为上的点，连接和．若的度数为，则的度数为 ．
【答案】/160度
【分析】本题考查了圆周角的度数与所对弧度数之间的关系，熟练掌握圆周角的度数等于所对弧度数的一半是解题的关键．
根据整个圆弧的度数为360度，计算出的度数与的度数之和，根据圆周角的度数等于所对弧度数的一半，计算即可．
【详解】解：∵的度数为40°，
∴的度数与的度数之和为，
∵的度数为的度数与的度数之和的一半，
∴，
故答案为：
7．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，四边形内接于，，与分别相切于A，C，若，则 ．
【答案】150
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理求出，根据切线性质求出，计算即可．
【详解】连接，，
∵四边形内接于，
∴，
由圆周角定理得，，
∵，与分别相切于A，C，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：150．
题型05 圆中求最值
最值问题一般涉及线段和最值和单线段最值，根据所求线段的特点分析，每个特点下的不同解题法。
线段和求最值类：一般方法有将军饮马的解决方法、阿氏圆和胡不归的方法； 单线段求最值类：一般有隐形圆的解决方法、直角三角形斜边中线等于斜边一半求最值、遇中点构造中位线类； 面积类最值：一般根据图像的面积公式将面积转化为底和高的最值；还可以将面积用函数解析式的形式表示，根据函数的性质求最值。
【典例分析】
例1．（24-25九年级上·安徽·开学考试）如图，的半径为，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，，此时是最小值，证明是等腰直角三角形，即可得到答案．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，
点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点，
，，
点是弧的中点，
，
，
又，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了结合图形的性质，考查了对称轴——最短路径问题，也考查了对称的性质，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识，利用弧、弦、圆心角的关系证明是解题关键．
【变式演练】
1．（2024·安徽·三模）如图，矩形中，，，P为边上一点（不与A、D重合），连接，过C点作，垂足为点E，点F为的中点，则的最小值是（ ）

A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】取中点O，再取中点G，点E的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆弧，连接，可知，所以点F的轨迹是以G为圆心，以1为半径的圆弧，当点D、F、G共线时，值最小，再进一步可得答案．
【详解】解：∵矩形，
∴，，
如图，取中点O，再取中点G，连接，，
∴，，

∵，，
∴点E的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆弧，
∵点F为的中点，
∴，
∴点F的轨迹是以G为圆心，以1为半径的圆弧，
当点D、F、G共线时，值最小，
连接，
∴，
∴最小为，
故选：D．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，圆的确定，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
2．（2021·安徽·二模）如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质和圆周角定理，在的上方，作，使得，连接，过点分别作于点于点．则，那么，点的运动轨迹是以为圆心，长为半径的在矩形内的部分，当点落在线段上时，的值最小，根据矩形的性质得，结合已知求得和，继而证明四边形是矩形，可知和，利用勾股定理可求得，即可求得．
【详解】解：如图，在的上方，作，使得，连接，过点分别作于点于点．
，
点的运动轨迹是以为圆心，长为半径的在矩形内的部分，
当点落在线段上时，的值最小，
四边形是矩形，
，
，，
，
，，，
，，
，，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
．
故选：A．
3．（2024·安徽合肥·三模）如图，P为线段上一动点（点P不与点A，B重合），将线段绕点P顺时针旋转得到线段，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，，交点为Q．若，点H是线段的中点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形手拉手问题、三角形中位线及四点共圆最小值问题，作且，先证，结合旋转角度问题得到A、Q、B、E四点共圆，结合三角形三边关系即可得到答案；
【详解】解：∵线段绕点P顺时针旋转得到线段，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，
∴，，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
作且，取的中点O，连接，，，
，
∵，，
∴，，
∵点H、O是中点，
∴，，
∵，
∴A、Q、B、E四点共圆，
∵，
∴A、Q、B、E是在以点O为圆心为半径的圆上，
当O、H、Q在同一直线时，
，
当O、H、Q不在同一直线时
，
则最小值为，
故选：B．
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】作的外接圆，连接，取的中点Q，连接，证明是等边三角形，求出，得到点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出，当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值，根据等边三角形的性质及勾股定理即可求解．
【详解】解：作的外接圆，连接，取的中点Q，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出，
当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值，
∵是等边三角形，，
∴，
∵，，
∴．
∴的最小值是，
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形，点到圆上的距离，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线构造三角形外接圆是解题的关键．
5．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，，点D是斜边上的动点，将沿直线翻折得到，连接，则周长的最小值为（ ）
A． B． C．9 D．
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键：
利用直角三角形30度角的性质及勾股定理求出，根据折叠的性质得到，推出的周长，当最短时，的周长最小，以点C为圆心，长为半径作圆，则点C，E，B三点共线时，最短，由此得到答案．
【详解】∵在中，，
∴，，
由翻折得：，
的周长，
则当最短时，的周长最小，
以点C为圆心，长为半径作圆，则点C，E，B三点共线时，最短，
∴，
∴的周长，
故选：B．
6．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）如图，正方形的边长为4，点E是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接AE．以为斜边作等腰（点A，E，F按逆时针排序），则长的最小值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，圆周角定理，连接交于点Q，连接并延长交于点P， 取的中点O，以点O为圆心，以长为半径作圆，连接，证明A、E、F、Q四点都在上，圆周角定理得到，进而得到，根据，即可得出结果．
【详解】解：连接交于点Q，连接并延长交于点P，
∵四边形是边长为4的正方形，且点Q是正方形的中心，
∴，
∴，
∴是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
取的中点O，以点O为圆心，以长为半径作圆，连接，
∵，
∴A、E、F、Q四点都在上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为2，
故答案为：2．
7．（2022·安徽安庆·一模）如图，在中，，、，点是内部的一个动点，连接，且满足．
（1） ；
（2）当线段最短时，的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．
（1）由得到，即可得到；
（2）首先证明点在以为直径的上，连接与交于点，此时最小，利用勾股定理求出即可得到，即可得到．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）设的中点为，连接，
则(直角三角形斜边中线等于斜边一半)，
∴点在以为直径的上，连接交于点，此时最小，
在中，，
∴，
∴．
∴，
故答案为：
题型06 圆中证明题型
安徽省近几年的考察圆的解答题型，一般是两个问题，一个是证明，一个是求值计算。近几年的证明一般是证垂直，或者角平分线，求值一般是求线段长。难度上一般。
1.证垂直：一般用到直角三角形的两锐角互余的性质； 2.证切线：知垂直证半径；知半径证垂直； 3.证角平分线：等弧对等角； 4.求选段长：等面积；勾股定理；锐角三角函数；相似。
【典例分析】
例1．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，得出，进而得出，则，推出，即可求证是的切线；
（2）连接，即可得出，结合等腰三角形的性质得出，进而推出是等边三角形，则，，得出，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵于点E，
∴，
∵是的半径，，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的知识，涉及等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线定理，直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟悉掌握圆的基本性质，并能与结合等腰三角形的性质．
【变式演练】
1．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等；
（1）连接，由同弧所对的圆周角相等得，由同角的余角相等得，从而可得，由等腰三角形的判定及性质即可得证；
（2）连接，设，可得，由线段和差得，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解；
掌握垂径定理，能构建直角三角形，并熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
设，
，
，
，
，
为直径，，
，
在中，
，
，
解得：，，
故的半径为．
2．（2024·安徽合肥·三模）如图，的两条弦，垂足为，点在上，平分，连接，分别交于于．
(1)求证：；
(2)连接，若的半径为2，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了圆周角定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识，作出合理的辅助线并熟练运用圆周角定理、三角形中位线定理是解题的关键．
（1）根据圆周角定理求出，结合对顶角相等及三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据“等角对等边”即可得证；
（2）连接，，，，结合圆周角定理、三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出为的中点，为的中点，根据三角形中位线的判定与性质求．根据圆周角定理求出，进而推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
平分，
，
又，
，
又，
，
，
，
∵，
∴，
，
；
（2）解：如图，连接，，，，
，，
，
，
又，
为的中点．
由（1）知，，
为的中点，
是的中位线，
．
，
，
是等腰直角三角形，
．
，
，
．
3．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接．

(1)求证：为的切线；
(2)若且，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键．
（1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论；
（2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵是半径，
∴为的切线；
（2）解：由（1）得，
设的半径，则，
∴，，
在中，由勾股定理得，，
，
解得，或舍去，
∴的半径为．
4．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，平分．点 O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点 E，交于点 F，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)的长为
【分析】（1）连接，证明，得到，即可求证；
（2）由，，可得垂直平分，，进而可得，即可求出，再利用勾股定理得到的长即可．
【详解】（1）如图，连接，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵与相切于点B，
∴，
∴，
∴，即，
∴是的切线；
（2）∵，，
∴垂直平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点晴】本题主要考查了角平分线的定义，切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆的有关性质是解决此题的关键．
5．（2023九年级·安徽·专题练习）如图，已知为上一点，为的直径．

(1)过点作直线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）本题考查作垂线，直接做垂直平分线即可得到答案；
（2）本题考查垂径定理以及勾股定理，根据垂径定理得到，结合勾股定理求解即可得到答案；
【详解】（1）解：如图所示，以C为圆心画圆弧交于两点，再以两点为圆心同样的半径画圆弧交于一点与C相连即为垂线，
；
（2）解：连接，设的半径为，则，，
，
，
，
，解得，
，
∴．
6．（2024·安徽·二模）如图，是的直径，是上两点，且，连接并延长与过点的的切线相交于点，连接．
(1)证明：平分；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查垂径定理，切线的性质，勾股定理以及矩形的判定等知识：
（1）连接交于点，根据垂径定理可得结论；
证明四边形为矩形，求得，，分别求出．，，根据勾股定理可求出
【详解】（1）证明：连接交于点，
，
且，
平分，
（2）解：为的直径，
，
是的切线，
，
，
由（1）知，，
四边形为矩形，
，
，
在中，，
，
．
．
是的中位线，
，
，
在中，．
1．（2024·安徽·二模）如图，内接于，，，则劣弧BC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质及弧长公式，解题的关键是连接辅助线求出弧所对的圆心角度数．连接，，根据圆周角定理求出圆心角，求出，根据弧长公式求解即可．
【详解】解：连接，，
，
，
，
，
劣弧BC的长为，
故选：A．
2．（2024·江苏南京·一模）如图，是⊙O的直径，点是的中点，弦与交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，弧、弦、圆心角之间的关系，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
先根据直径所对的圆周角是直角得，再根据弧，弦之间的关系得，可得，最后根据三角形外角的性质得出答案．
【详解】连接，
∵是的直径，
∴．
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∴．
∵是的外角，
∴．
故选：B．
3．（2024·安徽宿州·二模）如图，在矩形中，，，点E是右侧一点且，点G是上一点，点F是的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，矩形的性质，勾股定理．先判断点在以为直径的上，得到当在同一直线上时，有最大值，即的最大值为，据此求解即可．
【详解】解：∵，点F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴点在以为直径的上，如图，
∴当在同一直线上时，有最大值，即的最大值为，
∵在矩形中，，，
∴，，
∴，，
∴的最大值为，
故选：A．
4．（2024·安徽淮北·模拟预测）如图，以正方形纸片的顶点A为圆心，长为半径画弧，用这个纸片制作一个无底的圆锥．若正方形的边长为1，则圆锥底面的半径为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查了圆锥的计算，掌握这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长是解题的关键．
根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，求出半径即可．
【详解】解：设圆锥的底面半径为，
由题意得：，
解得：，
故选：A．
5．（21-22九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，弦交于点，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，连接，先由直径所对的圆周角是直角得到，进而得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到，即可利用三角形外角的性质得到．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故选：A．
6．（2020·贵州毕节·中考真题）如图，已知点，是以为直径的半圆的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了扇形面积的计算，连接，，根据，是以为直径的半圆的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，根据求解即可．
【详解】解：连接，，，
，是以为直径的半圆的三等分点，
，，
又，
、是等边三角形，
，
，
，
弧的长为，
，
解得：，
．
故选：A．
7．（2023·安徽·模拟预测）如图，在中，直径，弦，连接相交于点，则的度数是 ．
【答案】/60度
【分析】本题主要考查圆周角定理及其推论，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理．连接常用的辅助线是解题关键．连接，由题意可得出，即证明为等边三角形，得出，根据圆周角定理及其推论可得出，，结合三角形内角和定理即可求出．
【详解】解：如图，连接，
∵，且为直径，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
8．（2023·安徽·模拟预测）如图，是的内接三角形，，，则劣弧的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接，先关键圆周角定理得出，再利用勾股定理求出，继而证明是等边三角形，即可得出，最后利用弧长公式计算即可．
【详解】连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴劣弧的长为，
故答案为：．
9．（2023·安徽·模拟预测）如图，四边形为菱形，且顶点都在上，过点作的切线，与的延长线相交于点．若的半径为2，则的长为 ．

【答案】
【分析】本题考查了圆的综合题，菱形的性质，切线的判定与性质，正确添加辅助线，注意数形结合思想的应用是解题的关键．
连接，由菱形的性质得，再由三角函数即可解答．
【详解】解：连接．
四边形是菱形，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
．
10．（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图，中，直径于，于，交于N，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径；
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）先根据圆周角定理得出，再由直角三角形的性质得出，故可得出，由全等三角形的判定定理得出，故可得出结论．
（2）先根据的长，设，则，，连接，则，在中根据勾股定理可得出的值，进而得出结论．
【详解】（1）证明：∵与是同弧所对的圆周角，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴设，则，
连接，则，
∵是直角三角形，，，，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
11．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是的直径，D为上一点，C为上一点，且，延长交于E，连．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握圆周角的相关性质是解题关键．
（1）根据圆周角定理得到，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到，从而得到结论；
（2）连接OC、OE，利用（1）的结论和圆周角定理得到，，所以，然后利用勾股定理计算的长．
【详解】（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接、，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
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