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专题11 规律问题（图形类、数式类、因式分解类）
题型01 图形类
1.考查重点：均匀变化和不均匀变化规律。
2.高频题型：图形类和数式类都有所考察。
3.能力要求：会按照给出的技巧解答规律题型，会利用函数思想解决规律问题。
题型一 均匀变化的规律技巧： 方法一：一组数据 a b c d...... 前后两个数的差值一致都为k时，这组数据的第n个数是：kn+a-k 方法二：设y=kx+b，以数字序数为x值，数据为y值带入求函数解析式 所有的规律题都可以转化为数字规律进行寻找。 ①标出前后数据之差，往前顺推一个数m ②所求数据第一个数与顺推的数作差：a-m ③求出①中所标数据的第n项（根据均匀变化的数字规律来求） ④根据高斯数计算规律求出①中所标数据的和 ⑤所求数据第n项即为：+a-m，化简即可。 题型二 不均匀变化规律 技巧： 方法一：一组数据 a b c d...... ①标出前后数据之差，往前顺推一个数m ②所求数据第一个数与顺推的数作差：a-m ③求出①中所标数据的第n项（根据均匀变化的数字规律来求） ④根据高斯数计算规律求出①中所标数据的和 ⑤所求数据第n项即为：+a-m，化简即可。 方法二：设y=ax +bx+c，以数字序数为x值，数据为y值带入求函数解析式 所有的规律题都可以转化为数字规律进行寻找。
【典例分析】
例．（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，用一些完全相同的正五边形纸片依次“粘连”成一条纸带，探究纸片张数与纸带周长l的关系．设每个正五边形的边长为1.

纸片张数 1 2 3 4 5 …
纸带周长 5 8 11 14 ？ …
根据以上图表规律，解答下列问题：
(1)表格中“？”处应填写______；当时，______；
(2)纸带周长可能等于2025吗？请说明理由．
【变式演练】
1．（2025·安徽·一模）【观察思考】
同样大小的★按如图所示的规律摆放：
【规律发现】
（1）第5个图形中有______颗（★）；第8个图形比第6个图形多______颗星（★）；（填数字）
（2）第个图形比第n个图形中多______（用含n的代数式表示）颗（★）．
【规律应用】
（3）请分析第个图形能否比第n个图形中的星（★）恰好多2024颗．
2．（2024·安徽·一模）【观察思考】下列是由空白长方形和阴影长方形构成的图案：
【规律发现】请用含n的式子填空：
图1中有块阴影长方形，空白长方形有（块）；
图2中有块阴影长方形，空白长方形有（块）；
图3中有块阴影长方形，空白长方形有（块）；
……
（1）图n中有______块阴影长方形，空白长方形有______＝______（块）；
【规律应用】
（2）在图n中，是否存在空白长方形的块数恰好比阴影长方形块数少8块？若存在，通过计算求出n的值；若不存在，请说明理由．
4．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，图案1中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案2中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案3中“☆”的个数为，“★”的个数为；…．
(1)图案5中“☆”的个数为 ；
(2)图案n中，“★”的个数为 ；（用含n的式子表示）
(3)根据图案中“☆”和“★”的排列方式及规律，若图案n中“★”的个数是“☆”的个数的，求n的值．
5．（2024·安徽·三模）【观察思考】
【规律发现】请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中，“”的个数为 ，“△”的个数可表示为 ．
【规律应用】
（2）按上述规律，问第几个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍．
6．（2024·安徽合肥·模拟预测）某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示．
【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；…

【规律总结】
(1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个；
(2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）；
(3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？
题型02 数式类
【典例分析】
例．（2025·安徽阜阳·一模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了一个正整数的平方数问题．
(1)先研究偶数的平方数问题，过程如下：
，
，
，
，
按照以上规律，完成下列问题：
（）______________________；
（）猜想：______________________（n为正整数），并证明你的猜想；
(2)兴趣小组继续研究奇数的平方数问题，一个奇数的平方数可以写成，结合第（1）题的研究结果，请你猜想：______________________（为正整数）．
【变式演练】
1．（2024·安徽六安·模拟预测）观察以下等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：__________；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
2．（2025·安徽淮北·一模）观察下列各式的规律
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
┈┈
(1)根据上述规律，直接写出第4个等式：
(2)猜想满足上述规律的第n个等式，并证明其成立．
3．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）观察下列式子，并探索它们的规律：
①，②，③……
(1)请写出第④个等式：__________；
(2)试写出第n个等式表示这个规律，并加以证明．
4．（2024·安徽·模拟预测）观察下列图形，并根据图形规律解决问题
观察图②，我们把第1、第2、第3,、……、第个图形中反“L”型阴影部分面积分别记为、、、…、，可得：；；；…，
(1)由图①直接写出___________，由图②直接写出___________；
(2)通过图②可以发现：
第1个图形可得等式：；
第2个图形可得等式：；
第3个图形可得等式：；
…
第个图形可得等式：_____________________；
(3)根据以上结论计算：．
5．（2024·安徽·模拟预测）【观察·发现】给出一些按一定规律排列的等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
【归纳·证明】根据上述等式的规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：_________；
(2)试猜想第n个等式，并证明．（用含n的式子表示，n为正整数）
6．（2024·安徽宣城·三模）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式，
…
(1)写出第5个等式：______；
(2)猜想并写出第n个等式，并证明它的正确性．
题型03 因式分解类
【典例分析】
例．（2024·安徽合肥·三模）观察下列各式，并回答后面的问题．
第一个式子：；第二个式子：；第三个式子：；
第四个式子：；第五个式子：；
(1)第六个式子为：______；
(2)求第个式子，并证明．
【变式演练】
1．（2022·安徽合肥·三模）阅读理解，完成任务：
三角形数：古希腊著名数学家毕达哥拉斯把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，第n个“三角形数”可表示为：
发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如：；；；…；
(1)第6个“三角形数”与第7个“三角形数”的和为___________．
(2)第n个“三角形数”与第个“三角形数”的和可用下面等式表示：___________+___________=___________，请补全等式并说明它的正确性．
2．（2023·安徽·二模）观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，
第3个等式：，……
根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：___________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
3．（2023·安徽黄山·一模）观察以下等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
······
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第个等式： ；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
4．（2023·安徽合肥·二模）观察下列图形和其对应的等式：
根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个图形对应的等式是__________．
(2)第个图形对应的等式是__________（用含的等式表示），并证明．
5．（2024·安徽池州·一模）【观察思考】
毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．
【规律发现】
（1）图1中，第个三角形数是______；图2中，第个正方形数是______；（请用含的式子表示）
【猜想验证】
（2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，，请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数．
6．（2022·安徽合肥·二模）观察下列关于自然数的等式：
，①
，②
，③
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第四个等式：　 　；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性；
(3)根据你发现的规律，可知　 　．（直接写出结果即可）
1．（2022·安徽马鞍山·一模）已知实数，（其中n是正整数）满足：
(1)求的值；
(2)求的值（用含n的代数式表示）；
(3)求的值．
2．（2022·安徽合肥·二模）观察下列等式：
；；；…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数和三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称式”．
(1)根据上述规律填空，使式子成为“数字对称式”：
52×______=______×25；______×187=781×______．
(2)设“数字对称式”左边两位数的十位上数字为a，个位上数字为b，且，请用a、b表示“数字对称式”（只写出等式，不需证明）．
3．（2022·安徽安庆·一模）观察由※组成的图案和算式，解答问题：
①1＋3＝4＝2；
②1＋3＋5＝9＝3；
③1＋3＋5＋7＝16＝4；
④1＋3＋5＋7＋9＝25＝5；
……
(1)请猜想1＋3＋5＋7＋…＋37＋39＝____________；
(2)写出第n个算式；
(3)请用上述规律计算：49＋51＋53＋…＋107＋109的值．
4．（2024·安徽淮南·模拟预测）【观察思考】
【规律发现】请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中黑色方块的个数为__________．
（2）第n个图案中黑、白两种方块的总个数为__________．
【规律应用】
（3）白色方块的个数能比黑色方块的个数多2024吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由．
5（2024·安徽合肥·二模）【观察思考】
【规律发现】
（1）第5个图案共有棋子______枚；
（2）第个图案共有棋子______枚（用含的代数式表示）；
【规律应用】
（3）如果连续三个图案的棋子总数恰好是1205枚，它们分别是哪三个图案？
6．（2024·安徽合肥·二模）合肥近几年城市发展迅速，交通便利，2024年计划再筑公路533公里，深入推进“1155”大交通计划．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下：
【观察思考】观察右侧结构简式的分子式回答下列问题：
【规律发现】
（1）图（4）的分子中含______个C原子；
（2）图（n）的分子中含______个C原子；
【规律运用】
（3）若图（m）和图的分子中共含有242个C原子，求m的值．
7．（2023·安徽宿州·模拟预测）观察以下等式：
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第个等式；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
8．（2022·安徽淮北·模拟预测）观察下列等式．
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
.....
按照以上规律，解决下列问题．
(1)写出第6个等式；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
9．（2021·安徽合肥·二模）观察下列等式：
①；②；③；④．
(1)请按以上规律写出第⑥个等式：___________；
(2)猜想并写出第n个等式：___________；并证明猜想的正确性．
(3)利用上述规律，直接写出下列算式的结果：___________．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题11 规律问题（图形类、数式类、因式分解类）
题型01 图形类
1.考查重点：均匀变化和不均匀变化规律。
2.高频题型：图形类和数式类都有所考察。
3.能力要求：会按照给出的技巧解答规律题型，会利用函数思想解决规律问题。
题型一 均匀变化的规律技巧： 方法一：一组数据 a b c d...... 前后两个数的差值一致都为k时，这组数据的第n个数是：kn+a-k 方法二：设y=kx+b，以数字序数为x值，数据为y值带入求函数解析式 所有的规律题都可以转化为数字规律进行寻找。 ①标出前后数据之差，往前顺推一个数m ②所求数据第一个数与顺推的数作差：a-m ③求出①中所标数据的第n项（根据均匀变化的数字规律来求） ④根据高斯数计算规律求出①中所标数据的和 ⑤所求数据第n项即为：+a-m，化简即可。 题型二 不均匀变化规律 技巧： 方法一：一组数据 a b c d...... ①标出前后数据之差，往前顺推一个数m ②所求数据第一个数与顺推的数作差：a-m ③求出①中所标数据的第n项（根据均匀变化的数字规律来求） ④根据高斯数计算规律求出①中所标数据的和 ⑤所求数据第n项即为：+a-m，化简即可。 方法二：设y=ax +bx+c，以数字序数为x值，数据为y值带入求函数解析式 所有的规律题都可以转化为数字规律进行寻找。
【典例分析】
例．（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，用一些完全相同的正五边形纸片依次“粘连”成一条纸带，探究纸片张数与纸带周长l的关系．设每个正五边形的边长为1.

纸片张数 1 2 3 4 5 …
纸带周长 5 8 11 14 ？ …
根据以上图表规律，解答下列问题：
(1)表格中“？”处应填写______；当时，______；
(2)纸带周长可能等于2025吗？请说明理由．
【答案】(1)17；32
(2)纸带周长不可能等于2025，见解析
【分析】本题考查了数字规律，根据题意，找到数字规律是解题的关键．
（1）根据正五边形纸片的“粘连”成一条纸带的规律，可得当时，纸带周长为，当时，；
（2）根据题意，可得用张纸片“粘连”成的纸带周长，令得，求解是否整数，即可求解．
【详解】（1）解：根据图表规律可得，
当时，纸带周长，
当时，纸带周长；
（2）解：纸带周长不可能等于2025．
理由：根据图表规律得，用张纸片“粘连”成的纸带周长，
，解得．
为正整数，
纸带周长不可能等于2025．
【变式演练】
1．（2025·安徽·一模）【观察思考】
同样大小的★按如图所示的规律摆放：
【规律发现】
（1）第5个图形中有______颗（★）；第8个图形比第6个图形多______颗星（★）；（填数字）
（2）第个图形比第n个图形中多______（用含n的代数式表示）颗（★）．
【规律应用】
（3）请分析第个图形能否比第n个图形中的星（★）恰好多2024颗．
【答案】（1）30，30；（2）；（3）不能
【分析】本题主要考查图形规律，掌握整式的混合运算，找出规律是解题的关键．
（1）根据图示，找出规律即可求解；
（2）结合（1）中的规律分别算出，第n个图和第个图中（★）的数量，再根据整式的计算即可求解；
（3）根据题意，假设第个图形能否比第个图形中的星恰好多颗，得到，则，由此判定假设的情况，即可求解．
【详解】解：（1）第1个图有2颗（★），一行两列，
第2个图有6颗（★），二行三列，，
第3个图有12颗（★），三行四列，，
第4个图有20颗（★），四行五列，，
∴第5个图有30颗（★），五行六列，，
第6个图有42颗（★），六行七列，，
第8个图有72颗（★），八行九列，，
∴第8个图形比第6个图形多颗星（★），
故答案为：，；
（2）根据上述计算得到，第n个图，行列，，有颗（★）
第个图，行列，，有颗（★）
∴，
故答案为：；
（3）假设第个图形能否比第个图形中的星恰好多颗，
∴，
解得，，
∵不是正整数，
∴假设不成立，
∴第个图形不能比第个图形中的星恰好多颗．
2．（2024·安徽·一模）【观察思考】下列是由空白长方形和阴影长方形构成的图案：
【规律发现】请用含n的式子填空：
图1中有块阴影长方形，空白长方形有（块）；
图2中有块阴影长方形，空白长方形有（块）；
图3中有块阴影长方形，空白长方形有（块）；
……
（1）图n中有______块阴影长方形，空白长方形有______＝______（块）；
【规律应用】
（2）在图n中，是否存在空白长方形的块数恰好比阴影长方形块数少8块？若存在，通过计算求出n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，；（2）存在，
【分析】本题考查图形类规律探究、整式的加减、解一元二次方程，找到变化规律是解答的关键．
（1）根据题干中数据，得出每个图形中阴影长方形个数和空白长方形个数与图形个数之间的变化规律即可求解；
（2）先假设存在，根据列出方程求解，进而可得结论．
【详解】解：（1）根据题意，图n中有块阴影长方形，空白长方形有块，
故答案为：，，；
（2）存在，理由如下：
假设存在空白长方形的块数恰好比阴影长方形块数少8块，
则．
整理，得，解得（舍去），．
即存在第6个图形中，空白长方形的块数恰好比阴影长方形块数少8块．
3．（2024·安徽合肥·一模）同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
(1)第5个图形中有______颗黑色棋子；第8个图形比第6个图形多______颗黑色棋子；（填数字）
(2)第个图形比第n个图形中多______（用含n的代数式表示）颗黑色棋子．
【答案】(1)19，17
(2)
【分析】本题考查了图形规律的探索，整式加减的应用，找到变化规律是解题的关键．
（1）按规律数黑色棋子的个数，找到规律，代入求解即可；
（2）根据（1）中的规律，列整式求解即可．
【详解】（1）第1个图形中有1颗黑色棋子；
第2个图形中有颗黑色棋子；
第3个图形中有颗黑色棋子；
第4个图形中有颗黑色棋子；
则第5个图形中有颗黑色棋子；
故答案为：19；
第6个图形中有颗黑色棋子；
第8个图形中有颗黑色棋子；
所以第8个图形比第6个图形多颗黑色棋子；
故答案为：17．
（2）由（1）得，第n个图形中有黑色棋子 颗，
第个图形中有黑色棋子 颗，
，
所以第个图形比第n个图形中多颗黑色棋子．
故答案为：．
4．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，图案1中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案2中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案3中“☆”的个数为，“★”的个数为；…．
(1)图案5中“☆”的个数为 ；
(2)图案n中，“★”的个数为 ；（用含n的式子表示）
(3)根据图案中“☆”和“★”的排列方式及规律，若图案n中“★”的个数是“☆”的个数的，求n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)n的值为6
【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现“☆”和“★”个数变化的规律是解题的关键．
（1）根据所给图形，发现“☆”个数变化的规律即可解决问题；
（2）根据所给图形，发现“★”个数变化的规律即可解决问题；
（3根据（1）（2）中发现的规律列方程，解方程即可解决问题．
【详解】（1）第1个图案中“☆”的个数为；
第2个图案中“☆”的个数为；
第3个图案中“☆”的个数为；
……
第n个图案中“☆”的个数为；
即图案5中“☆”的个数为
故答案为：
（2）由题知，
第1个图案中“★”的个数为；
第2个图案中“★”的个数为；
第3个图案中“★”的个数为；
……
第个图案中“★”的个数为；
故答案为：．
（3）由题知，
，
解得或6，
因为为正整数，
所以．
故正整数的值为6．
5．（2024·安徽·三模）【观察思考】
【规律发现】请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中，“”的个数为 ，“△”的个数可表示为 ．
【规律应用】
（2）按上述规律，问第几个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍．
【答案】（1）
（2）17
【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．
（1）根据前几个图案的规律，即可求解；
（2）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）第1个图案中有“”个，“△”个；
第2个图案中有“”个，“△”个；
第3个图案中有“”个，“△”个；
第4个图案中有“”个，“△”个；
∴第n个图案中有“”个，“△”个；
故答案为：．
（2）解：依题意设第x个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍，
∴，
解得：（舍去）或．
故第17个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍．
6．（2024·安徽合肥·模拟预测）某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示．
【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；…

【规律总结】
(1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个；
(2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）；
(3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？
【答案】(1)60，5
(2)，n
(3)当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元
【分析】本题主要考查图形的规律，理解题意找到规律是解题的关键．
（1）根据一直推行进行推理即可得到答案；
（2）设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y，即可求出当地砖铺设了n圈时，地砖的总数；根据铺设了多少圈即可得出围成了多少的封闭图形；
（3）根据曲线围成的封闭图形有25个，地砖铺设了25圈，进行就算即可．
【详解】（1）解：当地砖铺设了1圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有1个；
当地砖铺设了2圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有2个；
当地砖铺设了3圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有3个；…，
当地砖铺设了5圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有5个．
（2）解：，n；
设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y，
铺设1圈形成如题图②所示的图案共用4块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有1个；
铺设2圈形成如题图③所示的图案共用12块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有2个；
铺设3圈形成如题图④所示的图案共用24块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有3个；
当地砖铺设了n圈时，地砖的总数．
曲线围成的封闭图形有个；
（3）解：曲线围成的封闭图形有25个，
地砖铺设了25圈，
当时，（块）．
每块地砖的价钱为18元，
共需花费的费用为（元）．
答：当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元．
题型02 数式类
【典例分析】
例．（2025·安徽阜阳·一模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了一个正整数的平方数问题．
(1)先研究偶数的平方数问题，过程如下：
，
，
，
，
按照以上规律，完成下列问题：
（）______________________；
（）猜想：______________________（n为正整数），并证明你的猜想；
(2)兴趣小组继续研究奇数的平方数问题，一个奇数的平方数可以写成，结合第（1）题的研究结果，请你猜想：______________________（为正整数）．
【答案】(1)（），；（），，理由见解析
(2)，
【分析】本题主要考查了数字类规律探索，完全平方公式，掌握数字类规律探索是解题的关键．
（1）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可得到结果，根据完全平方公式计算，即可证明；
（2）根据题干中推理方法，即可得出结果．
【详解】（1）解：（）根据规律可得；
故答案为：，；
（）根据规律可得（为正整数）；
证明：
，
（为正整数）．；
故答案为：，；
（2）解：（为正整数）．
理由：，
，
，
，
（为正整数）．
故答案为：，．
【变式演练】
1．（2024·安徽六安·模拟预测）观察以下等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：__________；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了数字的规律变化，依次观察每个等式，可以用发现规律．
（1）观察式子进行仿写第5个等式即可；
（2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，第n个等式，左边的分母为，等式右边分母为，分子为．代入再进行验证正确性即可．
【详解】（1）仔细观察每个式子，可得第5个等式：．
故答案为：．
（2）猜想：．
证明如下：
左边，
右边，
左边=右边，
猜想成立．
2．（2025·安徽淮北·一模）观察下列各式的规律
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
┈┈
(1)根据上述规律，直接写出第4个等式：
(2)猜想满足上述规律的第n个等式，并证明其成立．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了数字类的规律以及分式的加减混合运算．
（1）模仿题意，直接写出第4个等式，即可作答．
（2）结合（1）的结论，易得，再把等式左边进行变形整理，即可作答．
【详解】（1）解：∵第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
∴第4个等式；
故答案为：；
（2）解：由（1）的规律得第个等式：，
证明如下：
左边
右边，
∴成立．
3．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）观察下列式子，并探索它们的规律：
①，②，③……
(1)请写出第④个等式：__________；
(2)试写出第n个等式表示这个规律，并加以证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题主要考查了分式类规律题，分式的加减运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
（1）观察给出的3个等式，找出分数的分子、分母的变化规律，即可求解；
（2）用含n的等式表示（1）中发现的规律，写出第n个等式，再根据异分母的分式加法法则计算化简即可证明．
【详解】（1）解：由题意得：第④个等式为，
故答案为：；
（2）解：由题意得，第n个等式为：，
证明：
．
4．（2024·安徽·模拟预测）观察下列图形，并根据图形规律解决问题
观察图②，我们把第1、第2、第3,、……、第个图形中反“L”型阴影部分面积分别记为、、、…、，可得：；；；…，
(1)由图①直接写出___________，由图②直接写出___________；
(2)通过图②可以发现：
第1个图形可得等式：；
第2个图形可得等式：；
第3个图形可得等式：；
…
第个图形可得等式：_____________________；
(3)根据以上结论计算：．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了图形的变化规律，分析所给的等式的形式，进行总结即可求解，解题的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
（1）根据图形得到规律写出答案即可；
（2）根据前几个图形的规律写出第个图形可得等式即可；
（3）利用（2）中得到的规律进行计算即可．
【详解】（1）由图①可得，
，
；
；
；
……
，
故答案为：，
（2）通过图②可以发现：
第1个图形可得等式：；
第2个图形可得等式：；
第3个图形可得等式：；
…
第个图形可得等式：
故答案为：
（3）
5．（2024·安徽·模拟预测）【观察·发现】给出一些按一定规律排列的等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
【归纳·证明】根据上述等式的规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：_________；
(2)试猜想第n个等式，并证明．（用含n的式子表示，n为正整数）
【答案】(1)
(2)，证明见详解
【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．
本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明．
【详解】（1）解：依题意，第3个等式：；
∴第4个等式：；
∴第5个等式：；
故答案为：
（2）解：依题意，第个等式：，证明如下：
证明：左边
，
右边
左边右边．
等式成立．
6．（2024·安徽宣城·三模）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式，
…
(1)写出第5个等式：______；
(2)猜想并写出第n个等式，并证明它的正确性．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查数字的变化规律及分式的混合运算，通过观察所给的等式，探索出式子的一般规律是解题的关键．
（1）通过观察所给的等式，直接写出即可；
（2）通过观察可得第个等式为，加以证明即可．
【详解】（1）由题意可知，第5个等式为：，
故答案为：，
（2）由题意可得，第个等式为，
证明：左侧右侧，
成立．
题型03 因式分解类
【典例分析】
例．（2024·安徽合肥·三模）观察下列各式，并回答后面的问题．
第一个式子：；第二个式子：；第三个式子：；
第四个式子：；第五个式子：；
(1)第六个式子为：______；
(2)求第个式子，并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题考查分式运算的规律探索及运算，熟练找出第个式子和的关系是解题的关键．
（1）寻找规律，即可得出；
（2）先找出规律，再利用分式的运算法则证明即可．
【详解】（1）解：第六个式子为：；
（2）解：，
证明：
．
【变式演练】
1．（2022·安徽合肥·三模）阅读理解，完成任务：
三角形数：古希腊著名数学家毕达哥拉斯把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，第n个“三角形数”可表示为：
发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如：；；；…；
(1)第6个“三角形数”与第7个“三角形数”的和为___________．
(2)第n个“三角形数”与第个“三角形数”的和可用下面等式表示：___________+___________=___________，请补全等式并说明它的正确性．
【答案】(1)
(2)，，，证明见解析
【分析】（1）根据“三角形数”的定义进行求解即可；
（2）由题意得到等式，根据整式的混合运算进行证明即可．
【详解】（1）解：由题意可得第6个“三角形数”与第7个“三角形数”的和为：，
故答案为：
（2）第n个“三角形数”与第个“三角形数”的和可用下面等式表示：，
证明：
右边．
∴等式成立．
故答案为：，，
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
2．（2023·安徽·二模）观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，
第3个等式：，……
根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：___________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据给出的等式的特点，写出第4个等式即可；
（2）根据给出的等式的特点，抽象概括出第个等式，再进行证明即可．
【详解】（1）解：由题意，得：第4个等式为：，
故答案为：；
（2）∵第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
……
∴第个等式为：；
∵，
，
∴．
【点睛】本题考查数字类规律探究，因式分解的应用，解题的关键是根据题干给出的等式，抽象概括出．
3．（2023·安徽黄山·一模）观察以下等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
······
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第个等式： ；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据题目的规律可得第5个等式；
（2）根据题目的规律猜想得到等式，再利用因式分解证明左边等于右边即可．
【详解】（1）解：由题意可得，，
故答案为：；
（2），
证明：左边
右边；
猜想成立．
【点睛】此题考查了整式的规律题，熟练掌握平方差公式进行因式分解是解题的关键．
4．（2023·安徽合肥·二模）观察下列图形和其对应的等式：
根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个图形对应的等式是__________．
(2)第个图形对应的等式是__________（用含的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据图形规律，写出第5个图形对应的等式即可求解；
（2）根据前几个等式的规律，写出第个图形对应的等式即可求解．
【详解】（1）解：写出第5个图形对应的等式是
（2）解：；
证明：右边左边，
所以等式成立．
【点睛】本题考查了图形类规律题，整式的乘法与因式分解，找到规律是解题的关键．
5．（2024·安徽池州·一模）【观察思考】
毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．
【规律发现】
（1）图1中，第个三角形数是______；图2中，第个正方形数是______；（请用含的式子表示）
【猜想验证】
（2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，，请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数．
【答案】（1），；（2）见解析
【分析】本题主要考查图形的变化规律，整式的乘法，因式分解,正确找出图形的规律是解题的关键．
（1）根据题意得出第n个三角形数为，第n个正方形数为，据此可得答案；
（2）设任意两个三角形数为第k个数和第个数，列出代数式并应用因式分解，即得答案．
【详解】（1）由题意知第n个三角形数为，
第n个正方形数为；
故答案为：，．
（2）设任意两个三角形数为第k个数和第个数，
则
，
所以任意第k个数和第个三角形数之和恰等于第个正方形数；
即任意两个相邻三角形数之和是正方形数．
6．（2022·安徽合肥·二模）观察下列关于自然数的等式：
，①
，②
，③
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第四个等式：　 　；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性；
(3)根据你发现的规律，可知　 　．（直接写出结果即可）
【答案】(1)
(2)第n个等式为：，验证见解析
(3)
【分析】（1）观察前三个等式，找到相同点和不同点，相同点每个式子第一个都是3，不同点在于第二个就是序号数字，第三个是序号数字加1，根据此即可解出此题．
（2）根据所给的等式的特点，不难得出第n个等式为：，对等式右边进行整理即可求证；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
【详解】（1）解：观察可发现，等号右边第一个乘式的第一个数字均是序列号，后面就是连续的整数，第二个乘式的第二个数字是序列号，第一个和第三个分别是序列号的相邻数字，
所以第四个式子右边应该是：；
故答案为：；
（2）由观察可得，等式左边乘式的组成为，第一个数字为3，第二个数字为序列号，第三个数字为序列号加1，
再由（1）可知，第n个式子应该就是：；
等式右边左边，
所以猜想正确；
（3）
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
1．（2022·安徽马鞍山·一模）已知实数，（其中n是正整数）满足：
(1)求的值；
(2)求的值（用含n的代数式表示）；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目中的式子可以计算出的值；
（2）根据题目的式子，可以用含n的代数式表示的值；
（3）根据（2）中的结果，可以计算出所求式子的值．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）解：
，
即；
（3）解：∵，
∴
．
【点睛】本题考查数字类变化规律探究、列代数式并求值，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，并灵活运用求出所求式子的值．
2．（2022·安徽合肥·二模）观察下列等式：
；；；…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数和三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称式”．
(1)根据上述规律填空，使式子成为“数字对称式”：
52×______=______×25；______×187=781×______．
(2)设“数字对称式”左边两位数的十位上数字为a，个位上数字为b，且，请用a、b表示“数字对称式”（只写出等式，不需证明）．
【答案】(1)275，572；71，17
(2)
【分析】（1）根据题意可得三位数中间的数等于两数的和，根据这一规律然后进行填空，从而得出答案；
（2）根据题意得出一般性的规律，然后根据多项式的计算法则进行说明理由．
【详解】（1）根据题意：52×275=572×25；71×187=781×17；
故答案为：275，572，71，17；
（2）“数字对称等式”一般规律的式子为：
（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）.
证明如下：
∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，
右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，
∴左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a）
=（10a+b）（110b+11a）=11（10a+b）（10b+a），
右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）=（100a+10a+10b+b）（10b+a）
=（110a+11b）（10b+a）=11（10a+b）（10b+a），
∴左边=右边.
∴“数字对称等式”一般规律的式子为：
（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）.
【点睛】本题是对数字变化规律的考查，同时考查了列代数式，去括号，整式的加减运算，因式分解的应用，根据已知信息，掌握利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数是解题的关键．
3．（2022·安徽安庆·一模）观察由※组成的图案和算式，解答问题：
①1＋3＝4＝2；
②1＋3＋5＝9＝3；
③1＋3＋5＋7＝16＝4；
④1＋3＋5＋7＋9＝25＝5；
……
(1)请猜想1＋3＋5＋7＋…＋37＋39＝____________；
(2)写出第n个算式；
(3)请用上述规律计算：49＋51＋53＋…＋107＋109的值．
【答案】(1)400
(2)
(3)2449
【分析】（1）根据题中规律，找到中间数即可求出；
（2）根据题中规律，找到中间数为，即可求出；
（3）结合题中规律及（2）中结论，将所求表示为，即可得出．
【详解】（1）解：根据题中规律客可知，中间数是20，
1＋3＋5＋7＋…＋37＋39＝；
（2）解：根据题中规律可知，中间数是，
；
（3）解：根据规律可知
．
【点睛】本题考查代数式的规律，求解问题的关键是找出题中式子蕴含的规律．
4．（2024·安徽淮南·模拟预测）【观察思考】
【规律发现】请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中黑色方块的个数为__________．
（2）第n个图案中黑、白两种方块的总个数为__________．
【规律应用】
（3）白色方块的个数能比黑色方块的个数多2024吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）不能，理由见解析
【分析】（1）依次求出图形中黑色方块及黑、白两种方块的总数，发现规律即可解决问题；
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现黑、白两种颜色地砖个数变化的规律是解题的关键．
【详解】解：（1）（2）由所给图形可知。
第1个图案中黑色方块的个数为：，黑、白两种方块的总个数为：；
第2个图案中黑色方块的个数为：，黑、白两种方块的总个数为：
第3个图案中黑色方块的个数为：，黑、白两种方块的总个数为：
…..
∴第n个图案中黑色方块的个数为：，黑、白两种方块的总个数为：；
（2）由（1）得：第n个图案中黑色方块的个数为：，黑、白两种方块的总个数为：
如果白色方块的个数能比黑色方块的个数多2024
则
解得：
因为n为正整数，
所以白色方块的个数不能比黑色方块的个数多2024
5（2024·安徽合肥·二模）【观察思考】
【规律发现】
（1）第5个图案共有棋子______枚；
（2）第个图案共有棋子______枚（用含的代数式表示）；
【规律应用】
（3）如果连续三个图案的棋子总数恰好是1205枚，它们分别是哪三个图案？
【答案】（1）37（2）（3）如果连续三个图案的棋子总数恰好是1205枚，它们分别是第18、19、20个图案
【分析】本题考查了规律型－图形的变化类．解题的关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
（1）找出数量上的变化规律即可求解；
（2）找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论；
（3）利用（2）中得到的代数式列出方程可求解．
【详解】解：（1）第1个图案有棋子5枚，
第2个图案有棋子枚，
第3个图案有棋子枚，
第4个图案有棋子枚，
第5个图案有棋子枚，
故答案为：37；
（2）由（1）知第个图案共有棋子枚，
故答案为：；
（3）设连续三个图案中第一个图案是第个图案，
则，
解得：（不合题意舍去），
如果连续三个图案的棋子总数恰好是1205枚，它们分别是第18、19、20个图案．
6．（2024·安徽合肥·二模）合肥近几年城市发展迅速，交通便利，2024年计划再筑公路533公里，深入推进“1155”大交通计划．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下：
【观察思考】观察右侧结构简式的分子式回答下列问题：
【规律发现】
（1）图（4）的分子中含______个C原子；
（2）图（n）的分子中含______个C原子；
【规律运用】
（3）若图（m）和图的分子中共含有242个C原子，求m的值．
【答案】（1）28（2）（3）19
【分析】本题考查了根据题意列代数式和一元一次方程的应用等知识．
（1）根据题意可以得到图（1）的分子中含C原子个数为个，图（2）的分子中含C原子个数为个，图（3）的分子中含C原子个数为个，图（4）的分子中含C原子个数为个，问题得解；
（2）根据（1）的计算即可得到图（n）的分子中含C原子个数为个；
（3）由（2）得，图（m）的分子中含有个C原子，图的分子中含有个C原子，据此列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）图（1）的分子中含C原子个数为个，
图（2）的分子中含C原子个数为个，
图（3）的分子中含C原子个数为个，
图（4）的分子中含C原子个数为个；
故答案为：28；
（2）图（n）的分子中含C原子个数为个；
故答案为：；
（3）由（2）得，图（m）的分子中含有个C原子，图的分子中含有个C原子，由题意得，
解得，
答：m的值是19．
7．（2023·安徽宿州·模拟预测）观察以下等式：
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第个等式；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
【答案】(1)；
(2)，证明见解析．
【分析】（1）观察各个等式可知：每个等式左边幂的底数等于序号的倍加，等式右边第一个加数最左边数字都是，右边的数字等于序号，最右边数字比序号多，另一个加数都是，由此解答即可；
（2）写出（1）得出结论，然后进行证明．
【详解】（1）解：第个等式：，，，
第个等式：，，，
第个等式：，，，
第个等式：，，，
第个等式为：，
第个等式为：；
（2）第个等式为：，
证明：左边，右边，
左边右边，
．
【点睛】本题主要考查了规律型：数字的变化类，解题关键是根据所给已知条件，找出规律．
8．（2022·安徽淮北·模拟预测）观察下列等式．
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
.....
按照以上规律，解决下列问题．
(1)写出第6个等式；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）观察已知等式，找到规律即可；
（2）根据前几个等式，得出规律，再根据分式的运算进行计算进行验证，即可求解．
【详解】（1）解：第6个等式为：；
（2）猜想的第n个等式：
证明：等式左边=
等式右边
所以，等式左边等式右边，即
【点睛】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律．
9．（2021·安徽合肥·二模）观察下列等式：
①；②；③；④．
(1)请按以上规律写出第⑥个等式：___________；
(2)猜想并写出第n个等式：___________；并证明猜想的正确性．
(3)利用上述规律，直接写出下列算式的结果：___________．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)4850
【分析】（1）根据分母不变，分子是两个数的平方差可得答案；
（2）根据发现的规律写出第个等式并计算可进行验证；
（3）根据，，可得原式，进而可得答案．
【详解】（1）解：第⑥个式子为：；
故答案为：；
（2）猜想第个等式为：，
证明：左边右边，
故答案为：；
（3）原式
．
故答案为：4850．
【点睛】本题考查对规律型问题的理解和有理数的运算能力，找到规律是解题关键．
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