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专题10 函数关系与实际问题图像的判断
（面积判断、线段关系判断、实际问题判断）
题型01 引起图形面积变化的函数图像判断问题
1.考查重点：对图形变化引起的面积图像的判断。
2.高频题型：图像变化引起函数关系的图像判断。
3.能力要求：会利用给出的解题攻略有技巧的解题。
确定所求面积图形的底和高变化趋势，根据趋势确定图像.（确定图形形状，找出底和高，底和高都变化时看做是y＝ax 变化图像所在的不同象限，一个不变时，看做是一次函数的图像变化，都不变时，就是一条横线 底的变化高的变化对应函数图像增长增长 减小减小 一增一减 当面积总变化趋势是增加时 当面积总变化趋势是减小时不变增长 不变减小 增长不变 减小不变 不变不变
【典例分析】
例1．（2024·安徽宣城·三模）如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了动点函数图象，分别求出和时的函数解析式，进行判断即可.
【详解】解：当时，如图，
∵三个动点同速，
∴三个动点路程相同，
∴，
∵
∴，
∴
当时，如图，
此时
∴，
∴，
∴
∴结合两个函数判断B符合题意，
故选：B
【变式演练】
1．（2020·安徽合肥·一模）如图，中，，点P从点A出发，以的速度沿A→C向点C运动，同时点Q从点A出发，以的速度沿向点C运动，直到它们都到达点C为止．若的面积为，点P的运动时间为，则S与t的函数图象是（ ）
B．C． D．
【答案】B
【分析】分两种情况讨论：当时，过作交于点，；当时，．本题考查二次函数的图象性质，动点运动，三角形面积．点是点运动的分界点，将运动过程分两种情况进行讨论是解题的关键．
【详解】解：①当时，点在上，
，，
过作交于点，
∵中，，
，
∵，
∴，
，
，
，
∵
∴开口向上
②当时，点在上，
，
∵
∴开口向下
综上所述，正确的图象是B．
故选：B．
2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点的坐标为．点从点出发，以每秒1个单位沿轴向右移动，过点且垂直的直线与菱形的两边分别交于两点，设的面积为，则与点移动的时间之间的函数关系的图象大致为（ ）
B．C．D．
【答案】C
【分析】作于，求出，，分三个阶段：当时，当时，当时，分别求出关于的函数关系式，判断即可得出答案．
【详解】解：如图，作于，
，
∵点的坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
当时，由题意得：，
∵垂直，
∴，
∴，，
∴；
当时，，，
同理可得：，
，
，
∴，
∴；
当时，作轴于，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴；
综上所述，与点移动的时间之间的函数关系的图象大致为：
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、菱形的性质、解直角三角形、三角形面积公式、函数图象的识别，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键．
3．（2024·安徽蚌埠·三模）已知点在第一象限，其坐标为，一次函数的图象与轴分别相交于两点，将该图象以每秒2个单位水平向右平移，设时间为（秒），的面积为，则与的函数关系大致为（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是动态问题的函数图象，二次函数的图象与性质，先分两种情况求解S与t之间的函数关系式，再判断即可．
【详解】解：如图，作直线，
∴，解得：，
∴，
∴，
当时，
当向右平移个单位长度可得，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，且函数过，
∴A，B，D不符合题意；
当时，如图，
同理可得：，，
∴，
∴，
∴C符合题意；
故选C
题型02 线段间关系的函数图像判断问题
1.考查重点：对图形变化引起的线段之间图像的判断。
2.高频题型：图像变化引起函数关系的图像判断。
3.能力要求：会利用给出的解题攻略有技巧的解题。
线段间关系需要找到题目中将两个线段联系起来的条件，一般是全等、相似、勾股定理等。由全等结合时，一般为一次函数或者不变化的常函数图像；由相似结合时，一般为反比例函数图像；由勾股定理结合时，一般为二次函数图像。
【典例分析】
例1．（2022·安徽·模拟预测）如图，在矩形中，，点在上从点运动到点后，停止运动，连接．设点的运动距离为，则关于的函数图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数在图形运动问题中的应用，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质；过点作于点，过点作于点，证得；利用勾股定理得，即可确定函数关系式，得出函数图象．
【详解】解：过点作于点，过点作于点．
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
，
在中，，
，
同理得．
在矩形中，，
在中，，
，，
，
，
即；
，
，
故选：C
【变式演练】
1．（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，在中，，，，点D为的中点，点P为上一动点，点P从点B出发运动到点A处停止，设点P经过的路程为x，，令，则w的最小值为（ ）

B．7 C．5 D．
【答案】A
【分析】作于H，由直角三角形的性质得到，，得到，由勾股定理得到，因此，即可求出w的最小值．
【详解】解：作于H，
，，
∴，
，由勾股定理得： ，
，
，，
是中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故选：A．

【点睛】本题考查含角的直角三角形，勾股定理，二次函数的应用，关键是由直角三角形的性质得到．
2．（21-22九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，点从点出发沿路线以每秒1个单位的速度运动，点从点出发沿路线以每秒个单位的速度运动，当一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设，运动时间为秒，则正确表达与的关系图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先分析各个线段的长，在Rt△OAB中，可知，OA=2，OB=2，AB=4，∠BAO=60°，过点C作CM⊥y轴于点M，易得△OBC是等边三角形，OC=BC=OB=2，点P在OA上运动用时2s，在AB上运动用时4s，点Q在OC上运动用时2s，在OC上运动用时2s，则点P和点Q共用时4s，可排除D选项；再算出点P在OA上时，y的函数表达式，结合选项可得结论．
【详解】解：如图，∵点A（2，0），点B（0，2），
∴OA=2，OB=2，
∴AB=4，∠BAO=60°，
过点C作CM⊥y轴于点M，
则OM=BM=，CM=3，
∴OC=BC=2，
∴△OBC是等边三角形，∠BOC=60°，
∴点P在OA上运动用时2s，在AB上运动用时4s，点Q在OC上运动用时2s，在OC上运动用时2s，
即点P和点Q共运动4s后停止；由此可排除D选项．
当点P在线段OA上运动时，点Q在线段OC上运动，过点Q作QN⊥x轴于点N，
由点P，点Q的运动可知，OP=t，OQ=t，
∴
∴
∴
即当0＜t＜2时，函数图象为抛物线，
结合选项可排除A，C．
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，主要考查等边三角形的性质，二次函数图象的性质，含30°的直角三角形，勾股定理等知识，由坐标转线段长，得出特殊的三角形是解题关键．
3．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，按的方向在，边上移动，记，点D到直线的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题函数图象，关键是利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点的位置分两种情况讨论．分两种情况：（1）当点在上移动时，点到直线的距离不变，恒为5；（2）当点在上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出，即可判断出，据此判断出关于的函数大致图象是哪个即可．
【详解】解：根据题意，分两种情况：
（1）当点在上移动时，
点到直线的距离为：
，即点到的距离为的长度，是定值5；
（2）当点在上移动时，
连接，过作于，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上，观察各选项，只有B选项图形符合．
故选：B．
题型03 实际问题分析的函数图像判断问题
1.考查重点：从实际问题中获取信息，利用函数和实际问题的思想判断问题。
2.高频题型：图像类和文字类。
3.能力要求：会利用图形获取关键函数信息，解题。
实际问题分析要紧扣题目所设情景，搞清楚每句话的实际意义是什么，进而判断相应的函数图像，此类题型一般难度低且图像基本都是一次函数的分段函数图像
【典例分析】
例1．（2025·安徽阜阳·一模）生物兴趣小组观察一株植物的生长情况，得到植物的高度（单位：）与观察时间（单位：天）的函数关系如图所示，设该植物第天和第天的高度分别为和，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查函数的图象，一次函数的应用，先确定与的函数表达式，再分别求出、，然后相减即可．仔细观察图象，准确获取信息并利用待定系数法确定函数表达式是解题的关键．
【详解】解：当时，
设与的函数表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴此时与的函数表达式为；
当时，
设与的函数表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴此时与的函数表达式为；
综上所述，与的函数表达式为：，
当时，，即；
当时，，即；
∴．
故选：C．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·一模）如图为甲、乙两种物质的图象．下列说法正确的是（ ）

A．甲物质的密度与质量成正比 B．体积为的甲物质的质量为
C．甲物质的密度比乙的密度小 D．甲、乙质量相同时，乙的体积是甲的倍
【答案】D
【分析】本题考查了函数的图象，根据图象分析逐项求解即可，解题的关键是熟练掌握从图象中获取信息．
【详解】、甲物质的密度与质量无关，密度是物质的特性，不随其质量的变化而变化，故此选项错误；
、由图象可知，甲物质的密度为，当体积为时的甲物质的质量为，故此选项错误；
、甲物质的密度为，乙物质的密度为，
∵，
∴甲物质的密度比乙的密度大，故此选项错误；
、∵甲物质的密度为，乙物质的密度为，
设甲、乙质量为时，
∴甲的体积为，乙的体积为，
则，故此选项正确；
故选：．
2．（2024·安徽合肥·一模）某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向勾速步行，先到终点的人休息．已知甲先出发6分钟，在整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）

A．甲步行的速度为75米/分钟 B．起点到终点的距离为5940米
C．甲走完全程用了79分钟 D．乙步行的速度为90米/分钟
【答案】C
【分析】本题考查函数图象的应用，根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得：甲步行速度（米/分钟），故A正确；
由图象知，乙用（分钟）时到达终点，
设乙步行的速度为x米/分，
根据题意得：，
解得，
∴乙步行的速度为90米/分，故D正确；
起点到终点的距离为（米），故B正确；
甲走完全程所用时间为：（分钟），
故C错误；
∴结论错误的是C，
故选：C．
3．（2023·安徽·模拟预测）在四边形中，，点从点出发，沿运动，点同时以相同的速度从点出发，沿运动，结果同时到达点的面积与点运动的路程满足的函数关系如图所示，其中为抛物线的一部分．根据图象得出下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，从函数图象获取信息是关键；由图象可知，当时，点到达点，此时，则由面积为2可判定①；由图可知，则可判定②；由等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，易证明，即可判定③；当时，由勾股定理求得，与比较即可判定④，最后即可确定答案．
【详解】解：由图象可知，当时，点到达点，此时，
，
；
结论①正确；
由图可知，
，
结论②正确；
连接，如图，
∵，
∴，，
∴，
∴；
∵点到达点，，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
∴，
，
∴，
，
，
；
结论③正确；
当时，点到达点，
，
结论④错误．即正确结论有3个；
故选：C．
1．（2020·安徽·中考真题）如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ）
B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得
【详解】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=,
B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为
y=(4－x)··=,
两个三角形重合时面积正好为.
由二次函数图象的性质可判断答案为A,
故选A.
【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论.
2．（2023·安徽合肥·三模）如图，正方形中，，， 分别从，同时出发，点以每秒的速度沿运动，点以每秒的速度沿运动，点到达点时运动停止．设点运动（秒）时，的面积，则关于的函数图象大致为：（　　）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】分两种情况：当点在上，即时，此时，利用三角形面积公式得到关于的函数关系；当点在上，即时，此时，利用正方形和三角形面积公式得到关于的函数关系．进而可得关于的分段函数，根据函数解析式即可判断函数图象．
【详解】解：当点在上，即时，
此时，，
∴，
当点在上，即时，

此时，，
∴，，
∵，
∴，
综上，，
故选：．
【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题的关键．
3．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，四边形是菱形，边长为4，，垂直于的直线从点A出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线P与菱形的两边分别交于点E，F（点E在点F的上方），若的面积为y，直线的运动时间为x秒，则能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当时，利用三角函数求出，列出y与x的函数关系式；当时，为常数，列出y与x的函数关系式．
【详解】解：∵四边形是菱形，边长为4，，
∴当E和点B重合时，，
当时，，
∴，
即，
∴y与x的函数是二次函数，
∴函数图象为开口向上的二次函数；
②当时，为常数，
∴，
即，
∴y与x的函数是正比例函数，
∴函数图象是一条直线，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，三角形面积，二次函数图像，一次函数图像，菱形的性质等知识，能根据这些知识进行计算是解题的关键，用的数学思想是分类讨论思想．
4．（2023·安徽亳州·二模）如图，点A、B、C在上，且AB经过点O，，，动点D在AB上，过点D作DE⊥AB，交折线于点E，设，的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（　　）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】可求，①点在上时，可求，从而可求面积解析式；②当点在上时，可求，从而可求面积解析式；进而可求解．
【详解】经过点，
，
，
，
①如图，点在上时，
，
，
，
，
，
；
图象为过原点的开口向上的一段抛物线；
②当点在上时，连接
，，
，
；
图象为一段开口向下的抛物线；
故选：．
【点睛】本题考查了三角函数，二次函数在动点问题与面积问题中的应用，掌握三角函数的定义，求出点在上和点在上的函数解析式是解题的关键．
5．（2023·安徽六安·三模）如图，正三角形的边长为2，动点D在折线上运动，过点D作边的垂线，交于点M，则的面积y与线段的长度x之间的函数关系图像为（ ）
A． B． C．D． 【答案】D
【分析】先求出当点与点重合时，，再分两种情况：①和②，利用正切的定义可得的长，然后利用三角形的面积公式可得与之间的函数关系，最后根据二次函数的图象特征即可得．
【详解】解：正三角形的边长为2，
，
，
，
如图，当点与点重合时，
，
，
①如图，当点在上，即时，

在中，，
；
②如图，当点在上，即时，

在中，，
；
综上，，
观察四个选项可知，只有选项D符合，
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、正切、二次函数的图象等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．
6．（2021·安徽·三模）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为BC边上的任意一点(不与点B、C重合)，连接AE，∠BAE的平分线交BC于点P，过P作PF⊥AE于点F，∠FPE的平分线交DC于点Q，设PF＝x，CQ＝y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】证明△ABP≌△AFP（AAS），AP⊥PQ，进而求解．
【详解】解：∵∠BAE的平分线交BC于点P，PB⊥AB，PF⊥AE，
∴BP=PF=x，
∵∠BAP=∠FAP，∠ABP=∠AFP=90°，PB=PF，
∴△ABP≌△AFP（AAS），
∴∠APB=∠APF，
∵PQ平分∠FPC，故∠FPQ=∠CPQ，
∵∠APB+∠APF+∠FPQ+∠CPQ=180°，
∴∠APF+∠QPF=90°，即AP⊥PQ，
∵∠APB+∠QPC=90°，∠QPC+∠PQC=90°，
∴∠APB=∠PQC，
∴tan∠APB=tan∠PQC，则，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，涉及到二次函数、三角形全等、解直角三角形等知识，确定PA、PQ相互垂直是本题解题的关键．
7．（20-21九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图①，在菱形中，∠A=120°，点是边的中点，点是对角线上一动点，设的长为，与长度的和为．图②是关于的函数图象，点为图象上的最低点，则函数图象的右端点的坐标为（ ）
B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，在菱形中点与点关于对称，推出，推出，当三点在同一直线上时取最小值，的最小值为线段的长，观察图像可知，，在Rt△ADF1中，由三角函数求出AD的长，由平行得出∽，求出BE和F1B的长，当点和点重合时，此时取最大值6，，即可求出点Q的坐标．
【详解】解：连接，如图，
∵在菱形中点与点关于对称，
∴，
∴，
当三点在同一直线上时取最小值，的最小值为线段的长，
由图②知此时，即，在菱形中点是边的中点，
易得，
∵，
∴，
∴，
∵//，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点和点重合时，此时取最大值6，．
∴点的坐标为，
故选D．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象菱形的性质和解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
8．（2020·安徽·二模）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝4cm2．正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD＝CF＝x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】先根据题意求得AC＝BC＝2，然后分0＜x≤和＜x≤2两种情况解答即可．
【详解】解：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝4cm2
∴AC×BC＝4，
∴AC＝BC＝2，
当0＜x≤时，y＝x2；
当＜x≤2时，设ED交AB于M，EF交AB于N，如图：
∵CD＝x，
∴AD＝2﹣x，
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝45°，
∵四边形CDEF是正方形，
∴∠MDA＝∠MDC＝90°，
∴△AMD为等腰直角三角形，
∴DM＝2﹣x，
∴EM＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2，
∴S△EMN＝
＝2，
∴
＝﹣x2+4x﹣4，
∴当＜x≤2时，y为开口向下的抛物线，
观察各选项，只有A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解答本题的关键．
9．（2020·安徽合肥·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，矩形CDEF的顶点E在边AB上，D，F两点分别在边AC，BC上，且，将矩形CDEF以每秒1个单位长度的速度沿射线CB方向匀速运动，当点C与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒，矩形CDEF与△ABC重叠部分的面积为S，则反映S与t的函数关系的图象为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】证明△DEF≌△BFE（AAS），则；分0≤t≤4、4＜t≤8两种情况，分别求出函数表达式，即可求解．
【详解】如图1，连接DF，

∵，即tanB＝tan∠EDF，
∴∠B＝∠EDF，而∠DEF＝∠EFB＝90°，EF＝EF，
∴△DEF≌△BFE（AAS），
∴，即点F是BC的中点，
，
故矩形DCFE的面积为3×4＝12；
当0≤t≤4时，如图2，

设直线AB交D′C′F′E′于点H，
则EE′＝t， ，
，
该函数为开口向下的抛物线，当t＝4时，S＝6；
当4＜t≤8时，
同理可得：，
该函数为开口向上的抛物线；
故选：D．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、三角形全等、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
10．（18-19八年级下·北京顺义·期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4cm，动点E从点A出发，以1cm/秒的速度沿折线AB﹣BC的路径运动，到点C停止运动．过点E作EF∥BD，EF与边AD（或边CD）交于点F，EF的长度y（cm）与点E的运动时间x（秒）的函数图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据线段长度=运动速度×时间，再根据勾股定理，可得EF长即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，EF∥BD，
∴当0≤x≤4时，y＝，
当4＜x≤8，y＝＝，
只有选项A符合．
故答案为A．
【点睛】本题考查了动点的函数图像，根据题意确定函数解析式是解答本题的关键.
11．（2019·安徽·模拟预测）如图，在中，，，，两点同时从点分别出发，点以的速度，沿运动，点以的速度，沿运动，相遇后停止，这一过程中，若两点之间的距离，则与时间的关系大致图像是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】根据题意分当、时两种情况，分别表示出的长与的关系式，进而得出答案．
【详解】解：在中，，，AB=10,
∴AC=5, ，
I. 当时，P在AB上，Q在AC上，由题意可得：，，
依题意得：，
又∵
∴,
∴
则，
II.当，P、Q在BC上，由题意可得：P走过的路程是，Q走过的路程是，
∴,
故选：A．
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，正确理解PQ长与时间是一次函数关系，并得出函数关系式是解题关键．
12．（2019·山东烟台·一模）已知某座小山从山脚到山顶的距离为，甲同学从山脚以的速度往山顶走，甲同学出发后，乙同学以的速度从山顶往山脚走，下列图象能正确反映两位同学之间的距离与时间的函数关系的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得y与t的变化可分为几个阶段：相遇前至乙出发、相遇前、相遇后、相遇后乙到达山脚、最后甲到达山顶，故求出各个时间点得出相应的分段函数，从而找出符合题意的图象．
【详解】甲出发4min走了：4 m，乙未走，两人相距1440m；
乙出发后6min两人就会相遇；
走完全程乙需要12min，甲走完全程需20min，
∴相遇后乙再走6min到达山脚；
相遇后甲再走10min才到达山顶；
∴能正确反映两位同学之间的距离与时间的函数关系的图象是选项C．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数图象，根据题意得出关键转折点是解题关键．
13．（2019·安徽阜阳·模拟预测）如图1，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E、F是边AB、DC的中点，连接EF、AF，动点P从A向F运动，AP＝x，y＝PE+PB．图2所示的是y关于x的函数图象，点（a，b）是函数图象的最低点，则a的值为（　　）

B． C． D．2
【答案】B
【分析】由已知易得四边形ADFE是正方形，进而利用轴对称的性质得当点D、P、B三点共线时，y取得最小值b，此时AP1＝a，BD＝b，最后利用相似三角形的判定与性质以及勾股定理计算出a的值．
【详解】解：∵矩形ABCD，E、F是边AB、DC的中点，AB＝4，AD＝2
∴易证四边形ADFE是正方形
∴点E关于EF的对称点是点D
∴PE＝PD
∴y＝PE+PB＝PD+PB
∴当点D、P、B三点共线时，y取得最小值b
连接BD交于点P1，此时AP1＝a，BD＝b，如图：

∵AB∥CD
∴
∴AP1＝AF＝×＝
即a＝．
故选B．
【点睛】本题是动点问题的函数图象问题，综合考查矩形和正方形的性质，相似三角形，勾股定理，要注意数形结合的运用．
14．（2019·安徽合肥·一模）如图，EF垂直平分矩形ABCD的对角线AC，与AB、CD分别交于点E、F，连接AF．已知AC＝4，设AB＝x，AF＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（　　）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】先由自变量x的取值，函数y的最小值，排除掉选项B和C，再得出y为关于x的反比例函数，排除A，从而得正确答案．
【详解】解：由AB＜AC＝4可知，B错误，不符合题意；
由EF垂直平分矩形ABCD的对角线AC，得FA＝FC，连接EC，则EC＝EA，
易证△CFO≌△AEO（ASA）
∴AE＝CF＝AF＝CE＝y，BE＝AB﹣AE＝x﹣y，
∵在直角三角形AEO中，AE＞AO＝，
∴y＞2，排除C，不符合题意；
在直角三角形ABC和直角三角形ECB中，
由勾股定理可得：AC2﹣AB2＝EC2﹣BE2，
16﹣x2＝y2﹣（x﹣y）2，
化简得：xy＝8，
∴，故y为关于x的反比例函数，排除A，不符合题意；
综上，D正确．
故选D．
【点睛】本题属于动点函数图象问题，需要数形结合，并合理运用排除法，在必要时写出函数的解析式，从而求解，难度较大．
15．（2012·山东淄博·一模）在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点F在对角线AC上，连接FB、FE．当点F在AC上运动时，设AF＝x，△BEF的周长为y，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）
B．C． D．
【答案】B
【分析】先根据正方形的对称性找到y的最小值，可知图象有最低点，再根据距离最低点x的值的大小（AM＞MC）可判断正确的图形．
【详解】如图，连接DE与AC交于点M，
则当点F运动到点M处时，三角形△BEF的周长y最小，且AM＞MC．
通过分析动点F的运动轨迹可知，y是x的二次函数且有最低点，利用排除法可知图象大致为：
故选B．
【点睛】解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的变化关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．
16．（2012·北京通州·一模）如图，在平行四边形ABCD中，AC = 4，BD = 6，P是BD上的任一点，过P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E，F．设BP=x，EF=y，则能大致反映y与x之间关系的图象为（　　）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当在上和在上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．
【详解】解：设与交于点，
当在上时，
即
；
当在上时，有，
．
故选：A．
【点睛】本题为一次函数与相似形的综合题，解题的关键是要看图象先求关系式．
17．（2011·北京·中考真题）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（　　）
B． C． D．
【答案】B
【分析】本题需先根据题意，求出BC，AC的长，再分别计算出当x=0和x=1时，y的值，即可求得y与x的函数图象．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，
∴,
当x=0时，y的值是．
当x=1时，D为AB的中点，
∴，，
∵DE⊥CD，
∴，
∵当x=2时，CD的垂线与CA平行，虽然x不能取到2，但y应该是无穷大，
∴y与x的函数关系图象大致是B选项．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象．能得出关键点的函数值，并依此判断是解题关键．
18．（2012·山东烟台·中考真题）如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（不与A，B重合）．过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N．设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为y．则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是
A．B．C． D．
【答案】D
【详解】如图，连接PQ，作PE⊥AB垂足为E，
∵过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N，
∴S△PAB=PE×AB，S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN PB+×PA×MQ．
∵矩形ABCD中，P为CD中点，∴PA=PB．
∵QM与QN的长度和为y，
∴S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN×PB+×PA×MQ=PB（QM+QN）=PBy．
∴S△PAB=PE×AB=PBy，∴．
∵PE=AD，∴PB，AB，PE都为定值．
∴y的值为定值，符合要求的图形为D．
故选D．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题10 函数关系与实际问题图像的判断
（面积判断、线段关系判断、实际问题判断）
题型01 引起图形面积变化的函数图像判断问题
1.考查重点：对图形变化引起的面积图像的判断。
2.高频题型：图像变化引起函数关系的图像判断。
3.能力要求：会利用给出的解题攻略有技巧的解题。
确定所求面积图形的底和高变化趋势，根据趋势确定图像.（确定图形形状，找出底和高，底和高都变化时看做是y＝ax 变化图像所在的不同象限，一个不变时，看做是一次函数的图像变化，都不变时，就是一条横线 底的变化高的变化对应函数图像增长增长 减小减小 一增一减 当面积总变化趋势是增加时 当面积总变化趋势是减小时不变增长 不变减小 增长不变 减小不变 不变不变
【典例分析】
例1．（2024·安徽宣城·三模）如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（ ）
A．B． C． D．
【变式演练】
1．（2020·安徽合肥·一模）如图，中，，点P从点A出发，以的速度沿A→C向点C运动，同时点Q从点A出发，以的速度沿向点C运动，直到它们都到达点C为止．若的面积为，点P的运动时间为，则S与t的函数图象是（ ）
A．B．C． D．
2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点的坐标为．点从点出发，以每秒1个单位沿轴向右移动，过点且垂直的直线与菱形的两边分别交于两点，设的面积为，则与点移动的时间之间的函数关系的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·安徽蚌埠·三模）已知点在第一象限，其坐标为，一次函数的图象与轴分别相交于两点，将该图象以每秒2个单位水平向右平移，设时间为（秒），的面积为，则与的函数关系大致为（ ）
A．B．C． D．
题型02 线段间关系的函数图像判断问题
1.考查重点：对图形变化引起的线段之间图像的判断。
2.高频题型：图像变化引起函数关系的图像判断。
3.能力要求：会利用给出的解题攻略有技巧的解题。
线段间关系需要找到题目中将两个线段联系起来的条件，一般是全等、相似、勾股定理等。由全等结合时，一般为一次函数或者不变化的常函数图像；由相似结合时，一般为反比例函数图像；由勾股定理结合时，一般为二次函数图像。
【典例分析】
例1．（2022·安徽·模拟预测）如图，在矩形中，，点在上从点运动到点后，停止运动，连接．设点的运动距离为，则关于的函数图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【变式演练】
1．（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，在中，，，，点D为的中点，点P为上一动点，点P从点B出发运动到点A处停止，设点P经过的路程为x，，令，则w的最小值为（ ）

A． B．7 C．5 D．
2．（21-22九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，点从点出发沿路线以每秒1个单位的速度运动，点从点出发沿路线以每秒个单位的速度运动，当一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设，运动时间为秒，则正确表达与的关系图象是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，按的方向在，边上移动，记，点D到直线的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．C．D．
题型03 实际问题分析的函数图像判断问题
1.考查重点：从实际问题中获取信息，利用函数和实际问题的思想判断问题。
2.高频题型：图像类和文字类。
3.能力要求：会利用图形获取关键函数信息，解题。
实际问题分析要紧扣题目所设情景，搞清楚每句话的实际意义是什么，进而判断相应的函数图像，此类题型一般难度低且图像基本都是一次函数的分段函数图像
【典例分析】
例1．（2025·安徽阜阳·一模）生物兴趣小组观察一株植物的生长情况，得到植物的高度（单位：）与观察时间（单位：天）的函数关系如图所示，设该植物第天和第天的高度分别为和，则（　　）
A． B． C． D．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·一模）如图为甲、乙两种物质的图象．下列说法正确的是（ ）

A．甲物质的密度与质量成正比 B．体积为的甲物质的质量为
C．甲物质的密度比乙的密度小 D．甲、乙质量相同时，乙的体积是甲的倍
2．（2024·安徽合肥·一模）某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向勾速步行，先到终点的人休息．已知甲先出发6分钟，在整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）

A．甲步行的速度为75米/分钟 B．起点到终点的距离为5940米
C．甲走完全程用了79分钟 D．乙步行的速度为90米/分钟
3．（2023·安徽·模拟预测）在四边形中，，点从点出发，沿运动，点同时以相同的速度从点出发，沿运动，结果同时到达点的面积与点运动的路程满足的函数关系如图所示，其中为抛物线的一部分．根据图象得出下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1．（2020·安徽·中考真题）如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·安徽合肥·三模）如图，正方形中，，， 分别从，同时出发，点以每秒的速度沿运动，点以每秒的速度沿运动，点到达点时运动停止．设点运动（秒）时，的面积，则关于的函数图象大致为：（　　）
A．B． C． D．
3．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，四边形是菱形，边长为4，，垂直于的直线从点A出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线P与菱形的两边分别交于点E，F（点E在点F的上方），若的面积为y，直线的运动时间为x秒，则能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·安徽亳州·二模）如图，点A、B、C在上，且AB经过点O，，，动点D在AB上，过点D作DE⊥AB，交折线于点E，设，的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（　　）
A．B．C． D．
5．（2023·安徽六安·三模）如图，正三角形的边长为2，动点D在折线上运动，过点D作边的垂线，交于点M，则的面积y与线段的长度x之间的函数关系图像为（ ）
A． B． C．D．
6．（2021·安徽·三模）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为BC边上的任意一点(不与点B、C重合)，连接AE，∠BAE的平分线交BC于点P，过P作PF⊥AE于点F，∠FPE的平分线交DC于点Q，设PF＝x，CQ＝y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
7．（20-21九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图①，在菱形中，∠A=120°，点是边的中点，点是对角线上一动点，设的长为，与长度的和为．图②是关于的函数图象，点为图象上的最低点，则函数图象的右端点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·安徽·二模）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝4cm2．正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD＝CF＝x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A．B．C． D．
9．（2020·安徽合肥·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，矩形CDEF的顶点E在边AB上，D，F两点分别在边AC，BC上，且，将矩形CDEF以每秒1个单位长度的速度沿射线CB方向匀速运动，当点C与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒，矩形CDEF与△ABC重叠部分的面积为S，则反映S与t的函数关系的图象为（　　）
A． B． C． D．
10．（18-19八年级下·北京顺义·期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4cm，动点E从点A出发，以1cm/秒的速度沿折线AB﹣BC的路径运动，到点C停止运动．过点E作EF∥BD，EF与边AD（或边CD）交于点F，EF的长度y（cm）与点E的运动时间x（秒）的函数图象大致是（　　）
A． B． C． D．
11．（2019·安徽·模拟预测）如图，在中，，，，两点同时从点分别出发，点以的速度，沿运动，点以的速度，沿运动，相遇后停止，这一过程中，若两点之间的距离，则与时间的关系大致图像是（ ）
A．B．C． D．
12．（2019·山东烟台·一模）已知某座小山从山脚到山顶的距离为，甲同学从山脚以的速度往山顶走，甲同学出发后，乙同学以的速度从山顶往山脚走，下列图象能正确反映两位同学之间的距离与时间的函数关系的是（）
A．B．C．D．
13．（2019·安徽阜阳·模拟预测）如图1，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E、F是边AB、DC的中点，连接EF、AF，动点P从A向F运动，AP＝x，y＝PE+PB．图2所示的是y关于x的函数图象，点（a，b）是函数图象的最低点，则a的值为（　　）

A． B． C． D．2
14．（2019·安徽合肥·一模）如图，EF垂直平分矩形ABCD的对角线AC，与AB、CD分别交于点E、F，连接AF．已知AC＝4，设AB＝x，AF＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（　　）
A．B． C． D．
15．（2012·山东淄博·一模）在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点F在对角线AC上，连接FB、FE．当点F在AC上运动时，设AF＝x，△BEF的周长为y，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）
A．B．C． D．
16．（2012·北京通州·一模）如图，在平行四边形ABCD中，AC = 4，BD = 6，P是BD上的任一点，过P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E，F．设BP=x，EF=y，则能大致反映y与x之间关系的图象为（　　）
A．B．C． D．
17．（2011·北京·中考真题）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（　　）
A．B． C． D．
18．（2012·山东烟台·中考真题）如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（不与A，B重合）．过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N．设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为y．则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是
A．B．C． D．
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