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专题08 二次函数与几何问题
（线段、线段和、周长和面积问题）
题型01 线段最值
1.考查重点：（1）函数解析式；（2）点的坐标：（3）利用解析式求最大值。
2.高频题型：两点之间的距离最大值。
3.能力要求：要求能够利用函数解析式求点的坐标和最值问题。
设横坐标为x，线段长L=y上-y下，配方得最小值.
【典例分析】
例1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，连接，点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作直线，交于点D．

(1)求二次函数的表达式；
(2)当D点为线段的中点时，求点P的坐标；
(3)求线段的最大值．
【变式演练】
1．（2024·江苏连云港·二模）如图，已知、、三点的坐标分别为、、，抛物线的图象经过、两点

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)过点作线段的平行线，交抛物线于点，连接，试判断四边形的形状；
(3)点为线段上一动点，过点作轴的平行线，交该抛物线于点，当线段的长最大时，求点的坐标．
2．（2024·安徽黄山·一模）已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若点M是x轴上位于点A与点B之间的一个动点（含点A与点B），过点M作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点E、点F．求线段的最大值．
3．（2023·安徽合肥·二模）已知：抛物线与轴交于点A、B（点B在轴正半轴），顶点为C，且．
(1)求a的值；
(2)求的面积；
(3)若点为抛物线上一点，轴交直线于点，求的最小值．
题型02 线段和问题
考查重点：（1）函数解析式；（2）点的坐标：（3）线段和的最值问题，代数式的最值问题。
2.高频题型：线段和或代数式的最值问题。
3.能力要求：会用点的坐标表示线段，线段的和就是将线段的解析式合并，组成新的代数式求最值问题。
将军饮马问题最值； 线段和组成新的二次函数表达式，求新的解析式最值问题。
【典例分析】
例1．（2024·安徽合肥·二模）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且．
(1)求二次函数的表达式；
(2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点．
①当时，求的长；
②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
【变式演练】
1．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，抛物线经过，两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点C为直线上方抛物线上一动点，过点C作，垂足为点D，作轴，交于点E，求的最大值及此时点C的坐标．
2．（2024·安徽合肥·三模）如图，抛物线与直线的两个交点，都在坐标轴上，与轴上另一交点坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上的一个动点，连接，，记，①求关于的函数解析式；②求出的最小值．
3．（2024·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，点．点在轴正半轴上，且，分别是线段，上的动点（点不与点重合，点不与点重合）．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)连接．
①将沿轴翻折得到，点的对应点分别是点和点，当点在拋物线上时，求点的坐标；
②连接，当时，求的最小值．
题型03 周长问题
1.考查重点：（1）函数解析式；（2）点的坐标；（3）“最短路径”问题求最值的方法。
2.高频题型：线段和最值和周长最值。
3.能力要求：会利用函数解析式求点的坐标；会设坐标求最值。
【典例分析】
例1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)点是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为；
①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形；
②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？
【变式演练】
1．（2024·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标；
2．（2022·安徽六安·一模）如图，直线AB∶y=x-3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=x +bx+c经过点A，B，抛物线的对称轴与x轴交于点D，与直线AB交于点N，顶点为C
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M在线段BN上运动，过点M作线段EF平行于y 轴，分别交抛物线于点F，交x轴于点E，作FG⊥CD于点G；
①若设E（t，0），试用含t的式子表示 DE的长度；
②试求四边形 EFGD的周长取得最大值．
3．（2021·安徽合肥·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，点的坐标为，与轴交于点，直线经过、两点．
（1）求、、的值；
（2）若点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，过作轴，交直线于点，以、为边作矩形，设矩形的周长为，求的最大值；
题型04 面积问题
1.考查重点：（1）利用解析式把面积问题转化为坐标问题；（2）利用解析式求面积最值；（3）根据面积关系求参数范围或值。（4）利用两个图形的面积和差，求新解析式的最值。
2.高频题型：面积最值；求参数值。
3.能力要求：会利用面积关系求参数值或范围；能够根据用解析式表示面积并求最值。
利用割补法（铅锤线法）：过动点竖直作切割线，将几何图形切割成两个图形分别求面积然后求和化简即可得到相应的二次函数解析式，配方可得最大面积.
【典例分析】
例1．（2024·安徽淮北·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数且）的对称轴为直线且抛物线经过点．
(1)求的值；
(2)已知抛物线与轴的一个交点（不是原点），且抛物线经过点和点，点的横坐标比点的横坐标大2，分别过点和点作轴于点，作轴于点．设点则点．
①当时，连接，求和的面积之和；
②当时，若点围成的面积为14，求的值．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且与轴相交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，点在轴上（在的右侧），且，过点，分别作轴的垂线交抛物线于点，连接，并延长交于点．
①求的长（用含的代数式表示）；
②若的面积记作的面积记作，记，则是否有最大值，若有请求出，若没有，请说明理由．
2．（23-24九年级上·吉林辽源·期末）如图，已知抛物线经过点三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长；
(3)在（2）的条件下，连接，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值和的面积；若不存在，说明理由．
3．（20-21九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为该抛物线对称轴上一点，当最小时，求点M的坐标；
(3)若点P在抛物线第一象限的图象上，则面积的最大值为________．
1．（2025·安徽马鞍山·一模）已知点A和点B在第一象限，点A坐标，点B坐标，点P为线段上一点，分别垂直x，y轴，垂足为C，D；设，四边形面积为S；
(1)求直线的解析式（含有字母n）；
(2)若，求S的最大值；
(3)若点P在线段上移动时，S总随m的增大而增大，求n的取值范围．
2．（2023·安徽合肥·二模）如图，已知抛物线交x轴于点，，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式：
(2)若D为直线上方的抛物线上的一点，且的面积为3，求点D的坐标；
(3)将抛物线向右平移个单位长度，设平移后的抛物线中y随x增大而增大的部分记为图象G， 若图象G与直线只有一个交点，求m的取值范围．
3．（2024·安徽·三模）抛物线交x轴于，，交y轴于点C，点E为对称轴l与x轴的交点，点P为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式：
(2)求面积的最大值；
(3)点Q为l上一点，连接，若，，求m的值．
4．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于点，点（点位于点左侧），与轴交于点，且．
(1)求的值；
(2)连接，点是直线下方抛物线上的一点，连接．
（ⅰ）如图2，与交于点，若，求此时点的坐标；
（ⅱ）如图3，过点作交于点，连接，求的最大值．
5．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知抛物线关于直线对称，且经过点．
(1)求，的值；
(2)若两点，都在抛物线上，分别过点，作轴的垂线，分别与直线交于点，．
①如图1，当时，连接，求与的面积之和；
②如图2，当时，试说明四边形的面积不可能等于．
6．（2024·安徽·三模）已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过，两点.点是抛物线在第四象限部分上的动点，且位于抛物线的下方，过点作直线轴，交抛物线于点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴是直线，且，求点的横坐标；
(3)若点恰为抛物线的最低点时，，求的取值范围.
7．（2024·安徽·二模）如图1，抛物线的顶点D的坐标为，与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式及点A，点B的坐标；
(2)如图2，连接交y轴于点E，过点E作交x轴于点F，连接交抛物线于点G，试求点G的坐标；
(3)如图3，连接，，点P是抛物线在第一象限内的点，过点P作，交于点Q，当的长最大时，求点P的坐标．
8．（2024·安徽·一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点，一次函数的图象经过，两点.
(1)求二次函数和一次函数的函数表达式；
(2)若点是二次函数图象的对称轴上的点，且，如图2，求点的坐标；
(3)点是二次函数的图像位于第一象限部分上的一动点，过点作轴的垂线交直线于点，若点的横坐标为.试探免：是否存在常数，使得的长为4？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
9．（2022·安徽淮北·模拟预测）已知抛物线：和直线：均与x轴相交于点A，抛物线与x轴的另一个交点为点．
(1)求a，b的值；
(2)将抛物线向右平移h个单位长度，使其顶点C落在直线上，求h的值；
(3)设抛物线和直线的另一个交点为点D，点P为抛物线上一个动点，且点P在线段的下方（点P不与点A，D重合），过点P分别作x轴和y轴的平行线，交直线于点M，N，记，求W的最大值．
10．（2023·安徽六安·模拟预测）如图，直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线对称轴交于点M，且点A，B分别在x轴，y轴上，抛物线的顶点为C．

(1)求抛物线的解析式和点M的坐标；
(2)点N是线段上的动点，交B，C两点之间的抛物线于点P，点P的坐标为，．
①求（用含n的代数式表示）；
②求m与n之间的函数关系式，并求出m的最小值．
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（线段、线段和、周长和面积问题）
题型01 线段最值
1.考查重点：（1）函数解析式；（2）点的坐标：（3）利用解析式求最大值。
2.高频题型：两点之间的距离最大值。
3.能力要求：要求能够利用函数解析式求点的坐标和最值问题。
设横坐标为x，线段长L=y上-y下，配方得最小值.
【典例分析】
例1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，连接，点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作直线，交于点D．

(1)求二次函数的表达式；
(2)当D点为线段的中点时，求点P的坐标；
(3)求线段的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)线段的最大值为
【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似等，理解当最大时，最大，是解题的关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）当D点为线段的中点时，求出点坐标，再利用求得直线的解析式，即可解答；
（3）过点作轴的平行线，交于点，证明为直角三角形，则可得，则最大时，最大，求得最大值，再利用相似比求得最大值即可。
【详解】（1）解：二次函数的图象交轴于点点，，
设二次函数的表达式为，
将点代入，得，
解得：．
二次函数的表达式为；
（2）解：当D点为线段的中点时，可得
直线的一次函数解析式的值为，
，
直线的一次函数解析式的值为，
设直线的一次函数解析式为，
把代入，可得，解得，
直线的一次函数解析式为，
列方程，
解得，
点P是第一象限内抛物线上的一动点，
（3）解：如图，过点作轴的平行线，交于点，
，
，
为直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
当最大时，最大，
设，
设直线的解析式为，
把代入，可得，
直线的解析式为，
，
，
当时，取最大值为2，
此时，
故线段的最大值为．

【变式演练】
1．（2024·江苏连云港·二模）如图，已知、、三点的坐标分别为、、，抛物线的图象经过、两点

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)过点作线段的平行线，交抛物线于点，连接，试判断四边形的形状；
(3)点为线段上一动点，过点作轴的平行线，交该抛物线于点，当线段的长最大时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)四边形是菱形，理由见解析
(3)
【分析】（1）用待定系数法即可求函数的解析式；
（2）利用待定系数法求出的解析式，再求出直线的解析式，联立抛物线与直线解析式，可知点的坐标，即可得出结论；
（3）设，则，表示出的长，然后根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：(1)将点，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）四边形是菱形，理由如下：
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
设直线的解析式为
，解得，
直线的解析式为，
联立，
解得或，
，
，
，
四边形是平行四边形，
、、三点的坐标分别为，、，、，，
，
四边形是菱形；
（3）设，则，
，
当时，线段的长最大，，
点的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法，平行四边形的判定，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的判定及性质是解题的关键．
2．（2024·安徽黄山·一模）已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若点M是x轴上位于点A与点B之间的一个动点（含点A与点B），过点M作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点E、点F．求线段的最大值．
【答案】(1)抛物线的函数解析式为
(2)线段EF的最大值为
【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，以及两点之间的距离公式．
（1）利用待定系数求函数解析式即可；
（2）先求出的解析式，设 ， 则 ，根据两点之间的距离公式得出关于的绝对值方程，根据m的取值范围分类讨论求出的最大值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴可设抛物线的函数解析式为．
∵抛物线经过点，则，
解得．
∴抛物线的函数解析式为
（2）当时，
设直线的解析式为，把代入，
得
解得：
∴直线的解析式为
设 ，
则
，
当时， ，
∴当时，有最大值2．
当时，，
当时， 有最大值
3．（2023·安徽合肥·二模）已知：抛物线与轴交于点A、B（点B在轴正半轴），顶点为C，且．
(1)求a的值；
(2)求的面积；
(3)若点为抛物线上一点，轴交直线于点，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)的面积为8；
(3)最小值为．
【分析】（1）先求得抛物线与x轴的两个交点的横坐标，利用，即可求解；
（2）由（1）得到抛物线的解析式，点A、B的坐标，对称轴为，求得顶点，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）设，求得，利用两点之间的距离公式求得，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：令，则，即，
解得，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，抛物线的解析式为，点，对称轴为，
∴顶点，
∴的面积为；
（3）解：设，
∵轴，
∴，

∵，
∴，
∵，
∴当时，取得最小值，最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，考查了二次函数图象和性质以及待定系数法求函数的解析式以及平行的知识，解决（3）问需要求出的长，利用二次函数的求解．
题型02 线段和问题
考查重点：（1）函数解析式；（2）点的坐标：（3）线段和的最值问题，代数式的最值问题。
2.高频题型：线段和或代数式的最值问题。
3.能力要求：会用点的坐标表示线段，线段的和就是将线段的解析式合并，组成新的代数式求最值问题。
将军饮马问题最值； 线段和组成新的二次函数表达式，求新的解析式最值问题。
【典例分析】
例1．（2024·安徽合肥·二模）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且．
(1)求二次函数的表达式；
(2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点．
①当时，求的长；
②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在，点坐标为
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）①求得直线为，由，则，，，，即可求得；
②表示出，，，，即可求得，，即可得到，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）把，，代入中得：
解得，
所以解析式为：；
（2）①点的横坐标是，
的纵坐标是
由，求得直线解析式为
的纵坐标是，
所以当时，
②存在，理由如下：
点在直线上，
点的横坐标是
，当时，最大
点坐标为．
【变式演练】
1．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，抛物线经过，两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点C为直线上方抛物线上一动点，过点C作，垂足为点D，作轴，交于点E，求的最大值及此时点C的坐标．
【答案】(1)
(2)的最大值为，此时点C的坐标为
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，利用待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标的特征等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示点的坐标以及相关线段的长度，
（1）将，两点代入即可得出结论．
（2）根据平行线性质得出，，得出，先求出直线所在的解析式，设点，则点，
则表示出，确定的最大值，即可得出结论．
【详解】（1）解：将，两点代入，
得，，
解得，
则抛物线的表达式为；
（2）根据，得，，
，
，
在中，，
，
∵，
则．
设直线的表达式为，
将，两点代入得：，
解得：，
故直线的表达式为，
设点，则点，
则，
即的最大值为3，的最大值为，
此时点C的坐标为．
2．（2024·安徽合肥·三模）如图，抛物线与直线的两个交点，都在坐标轴上，与轴上另一交点坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上的一个动点，连接，，记，①求关于的函数解析式；②求出的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查了待定系数法，二次函数最值，二次函数在线段长的应用；
（1）由抛物线的解析式可求，将其代入直线的解析式得，由直线解析式可求，将、的坐标分别代入抛物线的解析式，即可求解；
（2）由可求得，由在抛物线上得，即可求解；②将化成顶点式即可求解．
掌握待定系数法，会求二次函数的最值是解题的关键．
【详解】（1）解：由得，
当时，，
，
，
，
当时，
，
，
，
解得：，
；
（2）解：①由题意得
，
点是抛物线上的一个动点，
，
；
②
，
．
3．（2024·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，点．点在轴正半轴上，且，分别是线段，上的动点（点不与点重合，点不与点重合）．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)连接．
①将沿轴翻折得到，点的对应点分别是点和点，当点在拋物线上时，求点的坐标；
②连接，当时，求的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）抛物线与轴交于两点，点，用待定系数法即可求解；
（2）①如图，连接交于点，根据折叠的性质，设，用含的式子表示点， 根据点在抛物线上即可求解；②如下图，过点作轴，可证，、、三点共线时，取到最小值，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点，，
，解得，
，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：已知抛物线与轴交于两点，点，
∴令，则，解得，，，
∴，
①如图，连接交于点，
与关于轴对称，
，，
设，则，且，
在中，，
∴，
∴在中，，
，
点在抛物线上，
，解得或（舍去），
；
②如下图，过点作轴，使得，作延长线于点，
，
又，，
，
，
、、三点共线时，取到最小值，
，，，
，，
在中，，，
．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图像的性质，几何图形的性质，折叠的性质，勾股定理，最短路径的计算方法是解题的关键．
题型03 周长问题
1.考查重点：（1）函数解析式；（2）点的坐标；（3）“最短路径”问题求最值的方法。
2.高频题型：线段和最值和周长最值。
3.能力要求：会利用函数解析式求点的坐标；会设坐标求最值。
【典例分析】
例1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)点是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为；
①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形；
②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？
【答案】(1)，；
(2)①；②，当时，的周长最大，最大值是．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线和直线解析式；
（2）①当是等腰三角形时，判断出只有，设出点P的坐标用建立方程组求解即可；
②先表示出，然后建立三角形的周长和m的函数关系式，确定出最大值．
【详解】（1）解：直线经过点，
，
，
直线解析式为，
点在此直线上，点的横坐标为，则，
点的纵坐标为，
，
抛物线交于、两点，
，
，
抛物线解析式为．
（2）解：∵点的横坐标为，则设，
∴，
过点作轴的平行线，与直线交于点，则点的纵坐标为，
∴，则，
点，
，
①当点在轴上方时，
，是钝角，
，，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
或舍，
当时，是等腰三角形；
②当点P在x轴下方时，，
，
，则，点，
，，
，，
∴的周长
，
∵，
当时，，
当时，的周长最大，最大值是．
【点睛】此题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，三角形的周长，两点坐标距离公式等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式演练】
1．（2024·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标；
【答案】(1)；
(2)的周长的最小值为，点P的坐标为；
【分析】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长及最大面积问题，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接交对称轴于点，此时的周长最小，利用勾股定理以及待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可；
【详解】（1）解：由题意得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接交对称轴于点，此时，取得最小值，最小值为的长，
令，则，
∴，
∵，，
∴，，
∴的周长的最小值为，
设直线的解析式为，
则，
解得,
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点P的坐标为；
2．（2022·安徽六安·一模）如图，直线AB∶y=x-3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=x +bx+c经过点A，B，抛物线的对称轴与x轴交于点D，与直线AB交于点N，顶点为C
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M在线段BN上运动，过点M作线段EF平行于y 轴，分别交抛物线于点F，交x轴于点E，作FG⊥CD于点G；
①若设E（t，0），试用含t的式子表示 DE的长度；
②试求四边形 EFGD的周长取得最大值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由直线AB∶y=x-3，求出其与x轴、y轴的交点坐标，再代入二次函数解析式，求解即可；
（2）①由抛物线的解析式得出它的对称轴，对称轴与x轴交点的横坐标减去点 E 的横坐标，就是 DE 的长度；
②用含t的代数式表示 EF 的长度，再表示矩形 EFGD 的周长，将得到的二次函数解析式转化为顶点式，求四边形 EFGD周长最大时 t的值即可．
【详解】（1）直线AB∶y=x-3，令 得 ，令 得
将A、B的坐标代入y=x +bx+c
得 解得
抛物线的解析式为
（2）①
E（t，0）
② E（t，0）
四边形 EFGD的周长
时，四边形 EFGD的周长取得最大值为 ．
【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及二次函数求最值的问题等，熟练掌握知识点并能够运用数形结合的思想是解题的关键．
3．（2021·安徽合肥·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，点的坐标为，与轴交于点，直线经过、两点．
（1）求、、的值；
（2）若点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，过作轴，交直线于点，以、为边作矩形，设矩形的周长为，求的最大值；
【答案】（1）；；；（2）的最大值为12；
【分析】（1）求出C点坐标，将B(1，0)，C(0，2)代入y=ax2-x+c，即可求出抛物线的解析式；即可求出a，c，令=0，求出A(-4，0)代入y=kx+2，得k的值；
(2)设D(m，m+2)，则E点坐标(m，-)由点D，E的纵坐标相等得到x=， 表示出F(-，-)，DE=-，EF=-， 由矩形DEFG周长l：2(DE+EF)=-3=，从而求出周长的最大值．
【详解】解：直线y=kx+2经过c点，当x=0时，y=2，
∴C(0，2)
将B(1，0)，C(0，2)代入y=ax2-x+c，得
得
∴抛物线的解析式为：y=
=0，
解得：
∴A(-4，0)
将（-4，0）代入y=kx+2，得：-4k+2=0，k=
(2)D在直线AC上，设D(m，m+2)，则E点坐标(m，-)
-
x=
∴F(-，-)
DE=-，EF=-
矩形DEFG周长l=2(DE+EF)=-3=；
∴当m=-2时，l取最大值为12
【点睛】主要考查了一次函数，二次函数的解析式的求法，以及与几何图形结合的综合能力的培养，利用数形结合的思想，把代数与几何图形结合起来，以及利用点的坐标的意义表示线段的长度，用二次函数表示矩形的周长，从而求出二次函数的最值，是解本题的关键．
题型04 面积问题
1.考查重点：（1）利用解析式把面积问题转化为坐标问题；（2）利用解析式求面积最值；（3）根据面积关系求参数范围或值。（4）利用两个图形的面积和差，求新解析式的最值。
2.高频题型：面积最值；求参数值。
3.能力要求：会利用面积关系求参数值或范围；能够根据用解析式表示面积并求最值。
利用割补法（铅锤线法）：过动点竖直作切割线，将几何图形切割成两个图形分别求面积然后求和化简即可得到相应的二次函数解析式，配方可得最大面积.
【典例分析】
例1．（2024·安徽淮北·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数且）的对称轴为直线且抛物线经过点．
(1)求的值；
(2)已知抛物线与轴的一个交点（不是原点），且抛物线经过点和点，点的横坐标比点的横坐标大2，分别过点和点作轴于点，作轴于点．设点则点．
①当时，连接，求和的面积之和；
②当时，若点围成的面积为14，求的值．
【答案】(1)
(2)①16；②或
【分析】（1）根据抛物线（是常数且）的对称轴为直线且抛物线经过点，建立关于的方程组，求解即可；
（2）①先求出点，根据题意得：，则，进而得到，由，代入计算即可；②当时，由点围成的图形为梯形，面积为，当时，由点围成的图形为三角形，面积为，当时，由点围成的图形为四边形，面积为，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：；
（2）解：由（1）知，
抛物线的解析式为：，
令，则，
解得：，
根据题意得到，
①如图，
设点则点，且，
抛物线经过点和点，点的横坐标比点的横坐标大2，
，
，则，
，
，
，
和的面积之和为；
②如图，当时，
由点围成的图形为梯形，
面积为，
此时，，
，即，
解得：（舍去）或；
如图，当时，点重合，
由点围成的图形为三角形，面积为，
此时，，
，
（舍去）；
如图，当时，
由点围成的图形为四边形，面积为，
此时，，
，即，
解得：；
综上，的值为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，二次函数的性质，面积问题，解题的关键是用灵活运用数形结合的思想及分类讨论的思想．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且与轴相交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，点在轴上（在的右侧），且，过点，分别作轴的垂线交抛物线于点，连接，并延长交于点．
①求的长（用含的代数式表示）；
②若的面积记作的面积记作，记，则是否有最大值，若有请求出，若没有，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②有最大值，最大值为
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求二次函数的解析式：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）①先求出点，点，再直线的解析式，可得点，即可求解；②分别过点作，垂足分别为M，N，则，可得，再根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且与轴相交于点．
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①∵，
∴，
∴点，
当时，，
∴点，
当时，，
∴点，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点，
∴；
②有最大值，最大值为，
如图，分别过点作，垂足分别为M，N，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，S取得最大值，最大值为．
2．（23-24九年级上·吉林辽源·期末）如图，已知抛物线经过点三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长；
(3)在（2）的条件下，连接，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值和的面积；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，当时，△BNC的面积最大为
【分析】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）用，即可得出结果；
（3）根据的面积等于，列出二次函数解析式，求值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点三点，
∴设抛物线的解析式为，
把代入得：，
∴，
∴抛物线的解析式：；
（2）设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴，
又∵轴，
∴，
∴；
（3）存在，
，
∴当最大时，的面积最大，
∵，
当时，有最大值为，
所以当时，的面积最大为．
3．（20-21九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为该抛物线对称轴上一点，当最小时，求点M的坐标；
(3)若点P在抛物线第一象限的图象上，则面积的最大值为________．
【答案】(1)；
(2)M（，）；
(3)27
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）连接AC，与对称轴交点即为所求点M，先利用待定系数法求出AC所在直线解析式，再将二次函数解析式配方得到其对称轴方程，继而可得答案；
（3）如图2，连接OP，设点P的坐标为(m，-m2+5m+6) ，利用求出S关于m的二次函数关系式，由二次函数最值的求法解答．
【详解】（1）解：将点代入，得
，解得，
∴；
（2）如图1，连接AC，与对称轴交点即为所求点M，
由抛物线的解析式，对称轴为直线，
∵点M在抛物线的对称轴上，
∴MB=MA，CM+BM=CM+AM，
当点C、M、A在同一直线上时，CM+BM最小，
设直线AC的解析式为y=kx+n，则
，解得，
∴y=-x+6，
当时，y=，
∴M（，）；
（3）连接OP，
∵A(6，0)，C（0，6），
∴OA=6，OC=6，
设点P的坐标为(m, -m2+5m+6) ，
=
=，
当m=3时，△ACP的面积有最大值为27，
故答案为：27．
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的轴对称性质，二次函数的最值问题，正确掌握解题方法是解题的关键．
1．（2025·安徽马鞍山·一模）已知点A和点B在第一象限，点A坐标，点B坐标，点P为线段上一点，分别垂直x，y轴，垂足为C，D；设，四边形面积为S；
(1)求直线的解析式（含有字母n）；
(2)若，求S的最大值；
(3)若点P在线段上移动时，S总随m的增大而增大，求n的取值范围．
【答案】(1)；
(2)S的最大值为；
(3)n的取值范围为或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意求得点P坐标为，再利用矩形的面积公式列得S关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）同（2）求得S关于的二次函数解析式为，对称轴为直线，再分当点在点的下方和点在点的上方时，两种情况讨论，根据对称轴的位置列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
由题意得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：当时，直线的解析式为，
当时，，
∴点P坐标为，
∴，
∵，∴当时，S有最大值，最大值为；
（3）解：同理，，
∴S是关于的二次函数，对称轴为直线，
∵点P在线段上移动，
∴，
分两种情况讨论，
当点在点的下方时，，
∴，即，
∴该函数图象的开口向下，
∵时，S总随m的增大而增大，
∴，
解得，
∵，
∴n的取值范围为；
当点在点的上方时，，
∴，即，
∴该函数图象的开口向上，
∵时，S总随m的增大而增大，
∴，
解得，
∵，
∴n的取值范围为；
综上，n的取值范围为或．
【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴交点的求法，待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的增减性，（3）注意要根据点的位置分情况讨论．
2．（2023·安徽合肥·二模）如图，已知抛物线交x轴于点，，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式：
(2)若D为直线上方的抛物线上的一点，且的面积为3，求点D的坐标；
(3)将抛物线向右平移个单位长度，设平移后的抛物线中y随x增大而增大的部分记为图象G， 若图象G与直线只有一个交点，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质．
（1）将，代入，求出a和b的值，即可得出解析式；
（2）先求出，再用待定系数法求出直线的解析式为，过点D作y轴的平行线，交于点E，设，则，得出，则，列出方程，求出t的值即可；
（3）根据题意进行分类讨论：①当平移后的抛物线顶点在直线左侧时，得出平移后的抛物线的顶点坐标为，把代入得出，则；②当平移后的抛物线与直线相切时，得出平移后的解析式为，则方程方程有两个相同实根，根据一元二次方程根的判别式，即可解答．
【详解】（1）解：将，代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：当时，，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
过点D作y轴的平行线，交于点E，
设，则，
∴，
∴，
解得：，
∴或；
（3）解：①当平移后的抛物线顶点在直线左侧时：
∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线顶点坐标为，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为，
把代入得：，
解得：，
∵图象G与直线只有一个交点，
∴；
②当平移后的抛物线与直线相切时：
∵抛物线解析式为，
∴平移后的解析式为，
∵图象G与直线只有一个交点，
∴方程方程有两个相同实根，
整理为，
∴，
解得：，
综上：或．
3．（2024·安徽·三模）抛物线交x轴于，，交y轴于点C，点E为对称轴l与x轴的交点，点P为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式：
(2)求面积的最大值；
(3)点Q为l上一点，连接，若，，求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，全等三角形的性质与判定：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求先求出，，过P作轴于F，则点F坐标为，再根据表示出，最后利用二次函数的性质求解即可；
（3）分两种情况：当点Q在的下方时，和当点Q在的上方时，过C、Q分别作直线的垂线，交于M、N两点，证明，得到．进而得到方程或，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：把点、代入解析式得，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线，
∴点E的坐标为，
在中，当时，，则，
由题意得，点P的坐标为，
过P作轴于F，则点F坐标为．
∴
，
∵，
当时，面积的最大值为．
（3）解：由题意可知，点Q的横坐标为1，
当点Q在的下方时，如图，过C、Q分别作直线的垂线，交于M、N两点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，解得
∵点P为第一象限对称轴右侧图象上一点，故舍去，
∴；
当点Q在的上方时，如图，过C、Q分别作直线的垂线，交于M、N两点，
同理可得：，
∴．
∵，，
∴，解得，
∵点P为第一象限对称轴右侧图象上一点，故舍去，
∴；
综上所述：或
4．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于点，点（点位于点左侧），与轴交于点，且．
(1)求的值；
(2)连接，点是直线下方抛物线上的一点，连接．
（ⅰ）如图2，与交于点，若，求此时点的坐标；
（ⅱ）如图3，过点作交于点，连接，求的最大值．
【答案】(1)，
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合应用，主要涉及了求二次函数解析式、利用面积的转化求三角形面积、在坐标系中求线段的长度，解题的关键是正确设出点的坐标，表示出线段长度．
（1）由点坐标和可以求出的值，再将点代入抛物线中即可求出的值；
（2）（ⅰ）设点的坐标为，再将转化为即可求出结果；（ⅱ）连接，过点作轴于点，交于点，由，可得，设点的坐标为，则，即可得出的长，再根据面积计算公式乘水平宽乘铅直高即可得出结论．
【详解】（1）解： ，
，
点位于原点下方，
，
，
把点代入抛物线中，
得，
解得，
故的值分别为．
（2）（ⅰ）由（1）可知抛物线的解析式为，
当时，，
解得，
，
，
设点的坐标为，其中，
则，
整理，得，
解得（舍去），，
当时，，
此时点的坐标为；
（ⅱ）如图，连接，过点作轴于点，交于点，
，
，
，
设直线的解析式为，
将点和点代入得，
，
直线的解析式为，
设点的坐标为，则，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为．
5．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知抛物线关于直线对称，且经过点．
(1)求，的值；
(2)若两点，都在抛物线上，分别过点，作轴的垂线，分别与直线交于点，．
①如图1，当时，连接，求与的面积之和；
②如图2，当时，试说明四边形的面积不可能等于．
【答案】(1)的值为，的值为4
(2)①2；②见解析
【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和二次函数的综合应用，四边形面积等，其中数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）①求得直线的解析式，得到和，过点作于点，则，，利用三角形面积公式列式计算即可求解；
②过点作于点，则，，利用四边形面积公式列式计算即可判断．
【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，且经过点，
∴解得，
∴的值为，的值为4；
（2）解：①由（1）得，
当时，；
当时，，即，
，．
设直线的解析式为，将代入，得，
，直线的解析式为，
，．
如图1，设与轴交于点，
过点作于点，则，，
∴
．
②当时，如图2，过点作于点，
则，，
，即，
解得，，
当时，四边形的面积不可能等于．
6．（2024·安徽·三模）已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过，两点.点是抛物线在第四象限部分上的动点，且位于抛物线的下方，过点作直线轴，交抛物线于点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴是直线，且，求点的横坐标；
(3)若点恰为抛物线的最低点时，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)的横坐标为12
(3)
【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数的图象和性质、一元一次不等式等知识，数形结合是解题的关键.
（1）利用待定系数法求解即即可；
（2）求出抛物线的解析式为，根据得到，解方程即可得到答案；
（3）求出点的坐标为，得到点的坐标为，根据得到不等式，解不等式即可得到答案.
【详解】（1）解：抛物线过，两点，
，
解得，
则抛物线的函数解析式为；
（2）抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得，
抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
整理，得，
解得（舍去），，
点的横坐标为12；
（3），
此时点的坐标为.
则点的坐标为，
又，
，
解得，
的取值范围是.
7．（2024·安徽·二模）如图1，抛物线的顶点D的坐标为，与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式及点A，点B的坐标；
(2)如图2，连接交y轴于点E，过点E作交x轴于点F，连接交抛物线于点G，试求点G的坐标；
(3)如图3，连接，，点P是抛物线在第一象限内的点，过点P作，交于点Q，当的长最大时，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）设出顶点式，将代入求出解析式即可；
（2）求出直线的解析式，进而求出点坐标，利用同角的余角相等和正切值，得到，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线与抛物线，求出交点坐标即可；
（3）过点作轴的平行线，与过点平行于轴的直线交于点，设点坐标为，求出直线，的解析式，根据平移求出直线的解析式，进而求出点坐标，得到的长，三角函数，表示出的长，转化为二次函数求最值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点D的坐标为，
∴设抛物线的解析式为：，
把，代入，得：，
∴，
∴；
令，
解得：，
∴，
（2）设直线的解析式为：，
把代入得：，解得：，
∴，当时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同法可得：直线的解析式为：，
联立，解得：或，
∴；
（3）设直线的解析式为，把代入得：，
∴，
∴，
同法可得：直线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
设点，
∵，
∴设直线的解析式为：，把，代入，得：
，
∴，
∴，
联立，解得：，
∴，
如图，过点作轴的平行线，与过点平行于轴的直线交于点，
则：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，
此时．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移，解直角三角形等知识点，属于中考压轴题，解题的关键的掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解．
8．（2024·安徽·一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点，一次函数的图象经过，两点.
(1)求二次函数和一次函数的函数表达式；
(2)若点是二次函数图象的对称轴上的点，且，如图2，求点的坐标；
(3)点是二次函数的图像位于第一象限部分上的一动点，过点作轴的垂线交直线于点，若点的横坐标为.试探免：是否存在常数，使得的长为4？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）把点、的坐标代入抛物线和直线表达式，即可求解；
（2）先求出二次函数的对称轴，设，再用两点间距离公式列方程即可求解；
（3）先得点坐标为，，再根据的长为4列出方程求解即可．
【详解】（1）把点，代入抛物线得：
，解得：，
故二次函数的表达式为：，
把，代入一次函数表达式得：
，解得：，
故一次函数的表达式为：；
（2）二次函数的的对称轴为直线，
由点是二次函数图象的对称轴上的点，可设，
，
，
，
解得：，
；
（3）第一象限点的模坐标为.
点坐标为，
点坐标为，
的长为4，
或
，（舍去），
的值为，
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，两点间距离公式是解题的关键．
9．（2022·安徽淮北·模拟预测）已知抛物线：和直线：均与x轴相交于点A，抛物线与x轴的另一个交点为点．
(1)求a，b的值；
(2)将抛物线向右平移h个单位长度，使其顶点C落在直线上，求h的值；
(3)设抛物线和直线的另一个交点为点D，点P为抛物线上一个动点，且点P在线段的下方（点P不与点A，D重合），过点P分别作x轴和y轴的平行线，交直线于点M，N，记，求W的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)W的最大值为
【分析】（1）利用直线求出交点，将点将，将代入抛物线：，解方程组即可求出a，b的值；
（2）求出抛物线的顶点C的坐标为，将代入求出x的值，即可求解；
（3）设，则，可得点M的坐标为，用含m的式子表示，可得的二次函数，根据二次函数的最值即可得W的最大值．
【详解】（1）令直线：中，得，
∴直线与x轴的交点，
将代入抛物线：，得，
将代入抛物线：，得，
解方程组，解得 ；
（2）由（1）得抛物线为，配方得，顶点C的坐标为，
把代入，解得，
即将抛物线向右平移2个单位长度，抛物线的顶点C落在直线上；
（3）令，得，
当时，，
∴抛物线和直线的另一个交点D的坐标为，
设点的坐标分别为，，点M的横坐标为，纵坐标为，
∵点在直线上，
∴，解得，
即点M的坐标为，
∴，
∴
配方得，
∵，，
∴当时，W有最大值，最大值为．
【点睛】此题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，平移的性质，坐标与图形，根据坐标分别表示出线段的长是解题的关键．
10．（2023·安徽六安·模拟预测）如图，直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线对称轴交于点M，且点A，B分别在x轴，y轴上，抛物线的顶点为C．

(1)求抛物线的解析式和点M的坐标；
(2)点N是线段上的动点，交B，C两点之间的抛物线于点P，点P的坐标为，．
①求（用含n的代数式表示）；
②求m与n之间的函数关系式，并求出m的最小值．
【答案】(1)，
(2)①；②，的最小值为
【分析】（1）先求出点的坐标，再代入抛物线求解即可得；
（2）①将点代入可得，再根据对称轴为直线，可得，由此即可得；
②先求出点的坐标，从而可得，再利用两点之间的距离公式可得与之间的距离公式，然后利用二次函数的性质即可得最小值．
【详解】（1）解：对于直线，
当时，，解得，即，
当时，，即，
将点，代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为，
，
这个抛物线的对称轴为直线，
当时，，
则点的坐标为．
（2）解：①将点代入得：，
∵这个抛物线的对称轴为直线，，
；
②，
，
，，是抛物线的对称轴，
点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为，
又，点是线段上的动点，
，
，，
，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取最小值，最小值为，
所以，的最小值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
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