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专题09 二次函数中特殊图形的存在性
（直角三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形）
题型01 直角三角形存在性
1.考查重点：（1）勾股定理的运用；（2）分类讨论思想；（3）两点间的距离公式。
2.高频题型：直角三角形存在性。根据题意看给的条件要不要分类讨论，分几类讨论。
3.能力要求：要求会利用两点间距离公式到勾股定理中，求点的坐标。
如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，1），点B坐标为（5，3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标． 一、几何法：两线一圆得坐标 （1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角） 二、构造三垂直： 构造三垂直步骤： ①过直角顶点作一条水平或竖直的直线； ②过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似． 三、代数法：表示线段构勾股 （1）表示点：设坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）； （2）表示线段：，，； （3）分类讨论：当为直角时，； （4）代入得方程：，解得：． 小结： 几何法：（1）“两线一圆”作出点； （2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数． 代数法：（1）表示点A、B、C坐标； （2）表示线段AB、AC、BC； （3）分类讨论①AB +AC =BC 、②AB +BC =AC 、③AC +BC =AB ； （4）代入列方程，求解． 如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等．
【典例分析】
例1．（2023·安徽滁州·一模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，直线经过点、．
(1)抛物线解析式为______，直线解析式为______；
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点与点，不重合，过点作轴于点，交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式及自变量的取值范围，并求出的最大值；
(3)已知点为抛物线对称轴上的一个动点，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)，的最大值为
(3)点的坐标为：或
【分析】（1）抛物线解析式为，即可求解；
（2）设，，则，求出，由二次函数的性质即可求解；
（3）分是斜边、是斜边两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：直线经过点，
时，，
，
设抛物线解析式为，
抛物线与轴交于，
，
解得：，
抛物线解析式为；
设直线的函数解析式为，
直线过点，，
，解得，
；
故答案为：，；
（2）解：设，，
，
，
，
当时，有最大值，最大值；
即关于的函数解析式为，的最大值为；
（3）解：设点，
则，，，
当是斜边时，
则，
解得：；
当是斜边时，
同理可得：，
故点的坐标为：或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法，一次函数的性质，直角三角形的性质，面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·一模）如图，抛物线过点和．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知该抛物线与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．
①若点P是该抛物线位于第一象限部分上的一动点，过点P作x轴的垂线交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标；
②若点M是抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请在备用图上画出符合条件的图形，并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①最大值为，点P坐标为；
②点M的坐标为或或或
【分析】（1）将点和代入，得到方程组，解方程组即可．
（2）①设点，求出直线表达式，则，再用a的代数式表达出，最后转化为二次函数求最值即可；
②设点M的坐标为，而点B、C坐标已知，用两点之间距离公式求出以及表示出、，分类三种情况讨论，由勾股定理建立方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点和，
，解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）解：当时，，点C的坐标为；
当时，，解得或，
∵点A位于点B的左侧，点A的坐标为，点B的坐标为．
①设点P的横坐标为，则点P的纵坐标为，
设直线的函数表达式为，
根据题意得，解得，
直线的函数表达式为，点Q的纵坐标为，，
，此抛物线的开口向下，
，当时，有最大值，此时点P的坐标为；
②存在以点B，C，M为顶点的三角形是直角三角形．
抛物线的对称轴为直线，设点M的坐标为．
分两种情况：i）以为直角边，如图，则或，
或，解得或，
点的坐标为，点的坐标为；
ii）以为斜边，如图，则，，整理得，解得，点的坐标为，点的坐标为，
综上，点M的坐标为或或或．

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，配方法求最值，勾股定理的运用，其中直角三角形的存在性问题和分类讨论的思想是函数综合题常考题型．
2．（2024·安徽亳州·三模）已知，抛物线经过点，其顶点为．
(1)求点的坐标（用表示）；
(2)若该抛物线与轴的交点为，如图．
①当的面积为时，求的值；
②当为直角三角形时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，特殊三角形问题；
（1）将点代入解析式得出，进而化为顶点式，即可求解；
（2）①根据解析式，得出抛物线与轴的交点的坐标为，过点作平行于轴的直线交轴于点，交于点，过点作于点，根据建立方程，即可求解．
②由①得点的坐标为，点的坐标为．勾股定理分别求得，根据为直角三角形，分类讨论，利用勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线经过点，
，
，
，
顶点的坐标为．
（2）①当时，，
抛物线与轴的交点的坐标为．
如图所示，过点作平行于轴的直线交轴于点，交于点，过点作于点，
设直线的表达式为，
把，代入
得，
解得，
直线的表达式为，
当时，，
点的坐标为，
，
，
解得；
②由①得点的坐标为，点的坐标为．
，
，，
为直角三角形，
分以下几种情况：
当时，，
，
整理得，
解得或（舍去），
点的坐标为；
当时，，
，
整理得，
解得或（舍去），
点的坐标为；
当时，，
，
整理得，此方程无实数解；
综上，点的坐标为或．
题型02 等腰三角形存在性
1.考查重点：（1）解析式的求法；（2）分类讨论思想；（3）两点间的距离公式。
2.高频题型：等腰三角形存在性。根据题意看给的条件要不要分类讨论，分几类讨论。
3.能力要求：要求会利用两点间距离公式表示出线段的长度或者线段的平方，分类讨论求点的坐标。
如图，点A坐标为（1，1），点B坐标为（4，3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形． 【几何法】“两圆一线”得坐标 （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC； （2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC； （3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 注意：若有三点共线的情况，则需排除． 【代数法】表示线段构相等 （1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1，1）、B点坐标（4，3）， （2）表示线段：， （3）分类讨论，列出方程：根据，可得：， （4）求解得答案：解得：，故坐标为． 【小结】 几何法：（1）“两圆一线”作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C； （2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC； （3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC； （4）列出方程求解．
【典例分析】
例1．（2025·安徽·一模）如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6．
(1)求b，c；
(2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值；
(3)如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）根据点，得到，由几何面积得到，即点，将点的坐标代入二次函数表达式即可求解；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到点，，如图所示，过点作轴于点，设点M的坐标为，则，，，，根据，代入，结合二次函数求最值的计算方法即可求解；
（3）设点P的坐标为，则，，，根据等腰三角形的定义，分类讨论：当时，即；当时，则；当时，则；由此解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点，
∴，
∵的面积，
∴，即点，
将点的坐标代入二次函数表达式得：，
解得．
（2）解：由（1）得抛物线的表达式为，
令，即，
解的，或，
∴点，，
如图所示，过点作轴于点，
设点M的坐标为，
∴，，，，
∵
∴
，
∵，
∴当时，S最大值，
答：四边形的面积S的最大值为．
（3）解：设点P的坐标为，则，，，
当时，即，
解得（舍去）或3，即点P的坐标为；
当时，则，
解得或，即点P的坐标为或；
当时，则，
解得，即点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查二次函数几何图形的综合，掌握二次函数图象与坐标轴的交点的计算，二次函数图象与几何图形面积的计算，等腰三角形的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)点是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为；
①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形；
②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？
【答案】(1)，；
(2)①；②，当时，的周长最大，最大值是．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线和直线解析式；
（2）①当是等腰三角形时，判断出只有，设出点P的坐标用建立方程组求解即可；
②先表示出，然后建立三角形的周长和m的函数关系式，确定出最大值．
【详解】（1）解：直线经过点，
，
，
直线解析式为，
点在此直线上，点的横坐标为，则，
点的纵坐标为，
，
抛物线交于、两点，
，
，
抛物线解析式为．
（2）解：∵点的横坐标为，则设，
∴，
过点作轴的平行线，与直线交于点，则点的纵坐标为，
∴，则，
点，
，
①当点在轴上方时，
，是钝角，
，，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
或舍，
当时，是等腰三角形；
②当点P在x轴下方时，，
，
，则，点，
，，
，，
∴的周长
，
∵，
当时，，
当时，的周长最大，最大值是．
【点睛】此题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，三角形的周长，两点坐标距离公式等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
2．（2024·安徽阜阳·二模）如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)连接，点D是线段上一动点（不与A、C两点重合），过点D作轴交抛物线于点E．
①当线段DE的长度最大时，求此时D点的坐标；
②在①的条件下，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点F，使得以点D、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在，点F的坐标为或或或或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求得线段的解析式，设、，求得，利用二次函数的性质求解即可；
②求得抛物线的对称轴，，以及的长，分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质列一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：将、代入得，
解得，
抛物线的函数解析式为；
（2）解：①令，则，∴，
设直线的解析式为，将代入得，
解得，
∴线段的解析式为，
设、，则，
∵，
∴当时，最大，此时；
②存在．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，，
∴，
设点；
当时，，此时点F的坐标为；
当，即时，
，整理得，
解得，此时点F的坐标为或；
当，即时，
，整理得，
解得，此时点F的坐标为或；
综上，点F的坐标为或或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，考查了二次函数的图象与性质、等腰三角形的性质、用待定系数法求函数解析式，解最后一小题时要注意分类讨论，求出所有符合条件的点P的坐标．
题型03 平行四边形存在性
1.考查重点：（1）平行四边形在坐标系中的点的特点；（2）分类讨论思想；（3）根据对角线互相平分求点的坐标。
2.高频题型：平行四边形存在性，分类讨论。
3.能力要求：掌握平行四边形在坐标系中的点的特征性质，利用这个性质求点的坐标。
一、解平行四边形的存在性问题步骤： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算． 二、平行四边形的存在性问题的两类题型 1、如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有 3 个点： 以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生 3 个交点． 2、如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况． （1）若定线段是平行四边形的边，则通过平移确定点的坐标；（平移法） （2）若定线段是平行四边形的对角线，则定线段绕中点旋转，利用中点坐标公式确定点的坐标（中点坐标法） 如果线段 AB 的两个端点坐标分别为 （x1,y1）,(x2,y2)， 则线段 AB 的中点 的坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 ) 2 2
【典例分析】
例1．（2024·安徽宿州·一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，以为顶点的抛物线与直线相交于，两点．
(1)求该抛物线和直线的函数表达式；
(2)点位于直线下方的抛物线上，轴，交直线于点，求线段的最大值；
(3)若点，分别是该抛物线和线段上的动点，设线段与轴交于点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标．
【答案】(1)，
(2)1
(3)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数中线段问题、平行四边形问题等知识，解题的关键是分类讨论思想和方程思想的应用．
（1）根据题意，设抛物线的解析式为，直线的解析式为，结合，的坐标利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意设，，则，用表示出，利用二次函数的性质即可求解；
（3）由一次函数解析式求得，设，，，且，分三种情况：①当，是平行四边形的对角线时，②当，是平行四边形的对角线时，③当，是平行四边形的对角线时，利用中点坐标公式即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为坐标原点，
设抛物线的解析式为，将代入，可得：，
∴抛物线的解析式为：，
设直线的解析式为，将，代入，可得：
，解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）∵点位于直线下方的抛物线上，轴，交直线于点，
设，，则，
∴，
则，当时，取最大值，最大值为1；
（3）对于，当时，，则，
由点，分别是该抛物线和线段上的动点，设，，，且，
①当，是平行四边形的对角线时，由中点坐标可得，即：，解得，
②当，是平行四边形的对角线时，由中点坐标可得，即：，解得（不符合题意，舍去），
③当，是平行四边形的对角线时，由中点坐标可得，即：，解得（不符合题意，舍去），
综上，以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，点的横坐标为．
【变式演练】
1．（2024·安徽淮北·三模）如图1，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点P为对称轴l上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求点P的坐标；
(3)如图2，点Q为抛物线上一点，若以O，P，B，Q四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)点的坐标为或
(3)点的坐标为，，
【分析】（1）把，代入，再建立方程组解题即可；
（2）由抛物线的对称轴为直线，故点的横坐标为1，设，再利用勾股定理可得，再解方程即可；
（3）分三种情况讨论：当，为对角线时，当，为对角线时， 当，为对角线时，再利用中点坐标公式建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把，代入，
，
解得：，
．
（2）解：抛物线的对称轴为直线，故点的横坐标为1，设，
则
解得，
∴P点的坐标为或
（3）解：设的横坐标为，则的坐标为
当，为对角线时，，解得，
∴；
∴，
当，为对角线时，，解得，
∴；
∴
当，为对角线时，，解得，
∴；
∴
点的坐标为，，．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
2．（2024·安徽·模拟预测）已知二次函数的图象顶点为，二次函数的图象顶点为．
(1)分别求出点，的坐标（用表示）；
(2)证明：函数与的图象相交于，两点；
(3)当时，点，为图象上的动点，且点在点，之间，，两点的横坐标分别为，，作轴交于点，轴交直线于点，若四边形，为平行四边形，求的值．
【答案】(1)；
(2)详见解析
(3)
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、函数的交点等知识点．
（1）由顶点坐标公式即可求解；
（2）证明：令，得或，即可求解；
（3）由四边形为平行四边形，得到，即可求解．
【详解】（1），对称轴，
当时，，
∴，
，对称轴，
当时，，
∴；
（2）令，得：，
化简得：，即，
解得：，，
将，分别代入二次函数中，得：，，
∴交点坐标为和，
即：函数与相交于、两点．
（3）当时，，顶点；，顶点，
∴直线解析式为：，
设，则
∴，
则，则，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴．
题型04 矩形存在性
1.考查重点：（1）矩形在坐标系中的点的特点；（2）分类讨论思想；（3）根据对角线相等求点的坐标。
2.高频题型：矩形存在性，分类讨论。
3.能力要求：掌握矩形在坐标系中的点的特征性质，利用这个性质求点的坐标。
矩形正方形存在性问题常见处理策略： 1.矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角为直角的四边形是矩形. 2.题型分析： 矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式： 因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解. 确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个. 同时，也可以先根据、的坐标求出直线的解析式，进而得到直线或的解析式，从而确定或的坐标.
【典例分析】
例1．（2024·安徽阜阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点，直线交y轴于点C，点E为直线上方抛物线上的一动点，过点E作轴，垂足为G，分别交直线于点F，H．
(1)求点A，B的坐标；
(2)当时，连接，求的面积；
(3)若点Q是y轴上的一点，当四边形是矩形时，求出点Q的坐标．
【答案】(1)，
(2)2
(3)
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式、二次函数的性质、矩形的判定和性质，锐角三角函等知识点，学会利用三角函数的关系设参数构建方程解决问题是解题的关键．
（1）把代入抛物线中可得，然后令，再求解方程即可；
（2）先求出直线的解析式为，然后由，则，从而得出，得出，，最后根据三角形面积公式即可解答；
（3）根据矩形的性质，再结合可得，由正切的定义可得，设则，，由列方程可得n的值，从而得点Q的坐标．
【详解】（1）解：把代入抛物线中得：，解得，
∴该抛物线的解析式为．
令，得，解得，，
∴，．
（2）解：设直线的解析式为．
把，代入，得解得
∴直线AD的解析式为．
设，则，
∴．
由，得，解得，
∴，，
∴，
∴的面积为．
（3）如图．∵四边形是矩形，
∴，．
∵，
∴．
∵直线AC的解析式为，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
设则，，
∴．
∵，
∴，解得，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为．
【变式演练】
1．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)是二次函数的图象位于轴上方的两动点，且两点关于对称轴对称，点在点的左侧．过点作轴的垂线，分别交轴于点，当的值最大时，求点的坐标．
(3)在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在点，使的面积等于矩形的面积的？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点P的横坐标为1或
【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、二次函数的性质、坐标与图形、矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质，利用点的坐标表示线段长是解答的关键．
（1）利用待定系数法求出该二次函数表达式即可；
（2）先求得二次函数图象的对称轴为直线，设，，，利用坐标与图形性质得到，利用二次函数的性质求解即可；
（3）由（2）得，，设，根据题意可得，然后解方程求得t值即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，
∴，解得，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：由得二次函数图象的对称轴为直线，
设，根据题意，得，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为5，
此时点M的坐标为；
（3）解：存在，
由（2）知，，
∴，，
设，
∵的面积等于矩形的面积的，
∴，
∴或，
整理得或，
解得，，，
故满足条件的点P的横坐标为1或．
2．（2023·安徽铜陵·一模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，交x轴的正半轴于点B，连接．

(1)求抛物线的解析式．
(2)点P在抛物线上，连接，当时，求点P的坐标；
(3)已知点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿运动．当点M，N运动到某一时刻时，在坐标平面内是否存在点D，使得以A，M，N，D为顶点的四边形是矩形 若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）先求出点A，点C的坐标，代入求出解析式即可；
（2）过点C作交的延长线于点Q，过点Q作于点H，可以得到，则有 ，求出点的坐标，进而求出直线的解析式，联立求出交点坐标即可；
（3）设运动时间为t秒，画出图形分情况利用相似求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点，，
∵经过A，C两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）如图1，
图1
过点C作交的延长线于点Q，过点Q作于点H，
∵，
∴为等腰直角三角形，
.∴，
∵,
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
在中，令得，
解得,，
∴点.
∴，
∴点，
设直线的解析式为，
，
解得：，
∴，
联立，
解得（舍）或
∴点P的坐标为；
（3）解：存在，点的坐标为或或；
设运动时间为t秒，如图2，
图2
当点M在上，点N在上时，则，
∴，易得，
∴，
即，
解得或（舍），
∴，
∴，0，，
由平移得点D的坐标为
如图3，
图3
当点M恰好与点O重合，点N在上时，则.
∴
∴点
如图4，
图4
当点在上，点N在上且时，则,，
∴.易得.
∴，即
解得，,
∴点
如图5，
图5
当点在上，点N在上且时，同理可得
.
易得.
∴,即
解得，
∴，
∴，，，
∴由平移得点
综上所述，点的坐标为或或
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练运用分类讨论的数学方法是解题的关键．
题型05 菱形存在性
1.考查重点：（1）菱形在坐标系中的点的特点；（2）分类讨论思想；（3）根据邻边相等求点的坐标。
2.高频题型：菱形存在性，分类讨论。
3.能力要求：掌握菱形坐标系中的点的特征性质，利用这个性质求点的坐标。
解决问题的方法也可有如下两种： 思路1：先平四，再菱形 设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组． 思路2：先等腰，再菱形 在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点． 坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD是菱形，则其4个点坐标需满足：
【典例分析】
例1．（2023·安徽淮北·二模）已知抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，设该抛物线与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．若直线与抛物线交于点E，与直线交于点F．
①求长度的最大值，并求出此时m的值；
②若点P在y轴上，则是否存在以点E，F，C，P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①时，长度最大，最大为 ②点P的坐标为或
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图像和性质，菱形的性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①先求出直线的解析式，根据点E的坐标为，点F的坐标为，表示，计算解题即可；
②根据题意过点作轴于点，则，则，根据菱形的性质得到，求出m的值，然后得到点P的坐标即可．
【详解】（1）解：和代入得：
，解得，
∴函数关系式为：；
（2）①令，则，解得，，
∴点B的坐标为，点A的坐标为，
当时，，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，代入得：
，解得，
∴，
∵点E的坐标为，点F的坐标为，
∴，
∴当时，长度最大，最大为；
②解：∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∴，
过点作轴于点，则，
∴，
∵E，F，C，P为顶点的四边形是菱形，且，
∴，
即，
解得：（舍），，
点P的纵坐标为：，或，
∴点P的坐标为或．
【变式演练】
1．（2023·安徽安庆·一模）如图，直线．与抛物线交于，两点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在抛物线上，且的面积为，求点的坐标；
(3)若点在抛物线上，交直线于点，点在坐标平面内，当以为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)点的坐标为或或或；
(3)点的坐标为或或或；
【分析】（1）将、代入二次函数解析式，利用待定系数法即可解答；
（2）根据题意分当点在直线上方时和点在的下方两种情况即可解答；
（3）设点根据菱形的性质分情况讨论即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点，
∴，
∴解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设点的坐标为，
如图1，当点在直线上方时，过点作轴，垂足为，连接，

∴点，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴点在直线上，
∵点在抛物线上，
∴点是直线与抛物线的交点，
∴，
解得：，，
∴点的坐标或；
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴，
∴直线是直线向上平移2个单位得到的，
∴将直线向下平移2个单位，得到直线，与抛物线的交点与点组成的三角形的面积也为3，
即：当点在直线下方时，为直线与抛物线的交点，

∴，
解得：，；
∴点的坐标为或
综上，点的坐标为或或或．
（3）解：由（2）知：直线为，设直线与轴的交点为，

当时，，
∴直线与轴的交点为：，
∴，
∴，
设点，则：点，
∵以为顶点的四边形是菱形，
当为边，则：，即：点的横坐标为：2，
点在点上方时：①如图，当时，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴轴，
∵，
∴点，
∴，
∴点；
②当时，如图，过点作，则：，

∵，
∴，
又，
∴，
解得：(舍)，，
∴，
∴；
当点在点下方时：如图：

同上②法可得：，
解得：(舍)，，
∴，
∴；
当为对角线时，如图，则：，
∴轴，即点的纵坐标为3，
设相交与点，

∵，
∴，
∴，
∴，
即：，
解得：或（舍去）；
∴，
∴；
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键.
2．（22-23九年级下·重庆丰都·阶段练习）如图1，抛物线与轴相交于点、（点在点左侧），与轴相交于点．已知点坐标为，面积为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上一动点，过点作直线的垂线，垂足为点，过点P作轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标：
(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为直线上的一点，点是平面坐标系内一点，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，的周长有最大值，为
(3)点的坐标为：或或或
【分析】（1）根据题意求出点坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）先判断为等腰直角三角形，得，确定当取最大值时，的周长取最大值，求得直线的解析式为，设，，计算得出，根据二次函数的性质可得结论；
（3）先求出平移后抛物线的表达式以及点D的坐标，分3种情况讨论为等腰三角形，求出点的坐标．
【详解】（1），，
，，
，
，
，
，
设抛物线的解析式为，
把代入得，，
；
（2）解：，
，
轴，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
当取最大值时，的周长取最大值，
设直线的解析式为，
把，代入得，，
解得，，
直线的解析式为，
设，，
，
当时，有最大值，为，此时，，
当时，的周长有最大值，为；
（3）解：的图象向左平移2个单位，
联立方程得，，
解得，，
，
，
又，
设
以点，，，为顶点的四边形为菱形，
为等腰三角形，
，
，
，
当时， ，即：，
解得：，
；
②当时， ，即：，
解得：，
或；
③当时，，即：，
或（舍去），
综上，点的坐标为：或或或．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象和性质与一次函数、四边形、相似三角形的综合应用，解题的关键是结合图形画出适当的辅助线，找到相等关系列出相应的表达式或方程，求出所求的结果．
题型06 相似三角形存在性
1.考查重点：（1）相似三角形方法的运用；（2）分类讨论思想。
2.高频题型：相似三角形存在性。根据题意分类讨论。
3.能力要求：掌握相似三角形的判定方法，根据分类讨论求点的坐标。
相似三角形问题的解题步骤 第一步：找关键点 根据抛物线的表达式求出抛物线上关键点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等 第二步：找等角 找到两个三角形中相等的定角，通常定角为直角、对顶角、公共角同位角、内错角，或通过互余(互补)进行转化等方法得到的等角 第三步：求点坐标 根据相似三角形对应边成比例列关系式。
【典例分析】
例1．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与y轴交于点，连接．
(1)如图1，求的值及直线的解析式；
(2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点．当时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，且点的横坐标小于2，在坐标轴上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，直线的解析式为
(2)点坐标为或
(3)存在，理由见解析
【分析】（1）由待定系数法求解即可得到答案；
（2）证明，得到，即可求解；
（3）当点在轴时，以、、为顶点的三角形与相似，存在、两种情况，利用解直角三角形的方法即可求解；当点在轴上时，同理可解．
【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点，
把代入得，即抛物线的解析式为；
抛物线与轴交于点（点在点左侧），，
当时，，解得或
，
直线过、，
设直线，
将、代入得：，解得：，
直线的解析式为；
（2）解：分别过点、点作轴的平行线，交直线于点和点，如图所示：
设点，，则，
当时，，
，，
，
，
，
，则，
，解得，，
点坐标为或；
（3）解：存在，
理由如下：
由题意得，点；由点、、的坐标得，，，
∴
则，则，，，
当点在轴时，如图所示：
以、、为顶点的三角形与相似，
当时，则，得，则点；
当时，此时，点、重合且符合题意，故点；
当点在轴上时，只有，则，则点，
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、三角形相似的判定与性质、解直角三角形、面积的计算等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合题型解法，尤其注意分类求解是解题的关键．
【变式演练】
1．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于，两点，与轴交于点 ， 为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，点， 在抛物线上，点 在点 左侧，若 是等边三角形，求 的值．
(3)如图2，在线段 上是否存在一点，使得以，， 为顶点的三角形与 相似若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数综合运用，特殊三角形问题，相似三角形的性质；
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意可得关于直线对称，，过点作于点，根据等边三角形的性质，进而列出方程，解方程，即可求解；
（3）先求得，得出，进而分两种情况讨论，分别求得直线的解析式，进而联立的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x 轴交于，两点，
∴
解得：
∴
（2）解：∵
∴对称轴为直线，
∵点， 在抛物线上，点 在点 左侧，
∴关于直线对称，
如图所示，过点作于点，
∵ 是等边三角形，则
∴
∴，
解得：（舍去）或
（3）∵，当时，，则
如图所示，过点作轴于点，过点作于点，
∵，，，，
∴，，，，,
∵，
∴，
∴，
∴
设直线的解析式为
将，，代入
解得：
∴直线的解析式为
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴以，， 为顶点的三角形与 相似有两种情况，
①当时，
此时为第二四象限平分线，即，
∴
解得：
∴
②当时，
∴
∴
∵，，
设直线的解析式为
∴
∴
∴直线的解析式为
联立
解得：
∴
综上所述，或．
2．（2023·安徽·模拟预测）如图，拋物线经过三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)若在直线上方的抛物线上有一点，使得的面积最大，求出点的坐标；
(3)若是抛物线上一动点，过作轴，垂足为，使得以为顶点的三角形与相似，请直接写出符合条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或．
【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值的确定，相似三角形的性质，解本题的关键是求出点D的坐标，分类讨论是解本题的难点．
（1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先判断出点在平行于并且和抛物线只有一个交点，从而确定出点的坐标；
（3）以、、为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论计算即可．
【详解】（1）设抛物线的解析式为，
点在抛物线上，
，
，
抛物线的解析式为；
（2）如图，

当点在抛物线上，且使的面积最大，必有平行于直线的直线，且和抛物线只有一个交点；
设直线解析式为，
，，
∴
解得
直线解析式为，
设直线解析式为①，
抛物线的解析式为②；
联立①②化简得，，
，
，
，
，
（3）如图2，

过点作，
，，
，，
，
设点
．，③，
，
以、、为顶点的三角形与相似，
，①
④，
联立③④解得（舍或或
或
②
⑤
联立③⑤解得，或（舍或
或，
综上，得到点或或或．
题型07 等角度存在性
1.考查重点：利用相似三角形和三角函数结合，分类讨论等角情况下的点的坐标。
2.高频题型：等角度存在性。
3.能力要求：掌握相似三角形的判定方法，找到对应边和角。利用三角函数值求点的坐标。
在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下： （1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等； （2）角平分线：角平分线分的两个角相等； （3）等腰三角形：等边对等角； （4）全等（相似）三角形：对应角相等； （5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等； （6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角． 想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角．
【典例分析】
例．（2025·安徽淮北·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，点A的坐标为，直线的解析式为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M 是抛物线上位于直线下方的一个动点，过点M作轴交于点N，计算线段的最大值；
(3)若点P是抛物线上一动点，则是否存在点P，使．若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)的最大值为；
(3)点P的坐标为或．
【分析】（1）先求得，，设抛物线的解析式为，利用用待定系数法求解即可；
（2）设，，用表示出，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）连接，作于点，求得是等腰直角三角形，利用三角函数再求得，设，作轴于点，由题意得到，再分别求解即可．
【详解】（1）解：对于直线，
令，则，令，则，
∴，，
设抛物线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设，，其中，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：连接，作于点，
∵，，
∴，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
设，作轴于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，
整理得，
解得（舍去）或，
∴点P的坐标为；
当时，
整理得，
解得（舍去）或，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰直角三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线，函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示，在m，n，p这三个实数中，有两个是正数，且没有负数：
x … 0 1 …
y … 4 m n 4 p …
(1)求抛物线的表达式；
(2)该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，D为抛物线上一点．
①若点D在第二象限，过点D作x轴的垂线，垂足为E，设交于点F，当取得最大值时，求点D的坐标；
②是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为
(2)①点的坐标为；②点的坐标为或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）①求出直线的表达式，设点的横坐标为，表示出，，则，，即可求解；
②如图，过点作轴，垂足为，设，则，当时，，由可得．分为（I）当点在轴上方时，（II）当点在轴下方时，分别求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线经过点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
∵这三个实数中，有两个是正数，且没有负数，
∴，
∴抛物线经过，代入可得，
∵，
，
将代入到中，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：①根据解析式可得，
将代入，得或，
，
设直线的表达式为，
将代入，
得，解得，
∴直线的表达式为，
设点的横坐标为，
∵抛物线的表达式为，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
此时点的坐标为；
②存在点，使得．
如图，过点作轴，垂足为，设，
根据题意可得是锐角，故点D在点A右侧，
，
∵，
∴，
，
∴当时，，
由可得．
（I）当点在轴上方时，，
整理得，
解得(舍去)；
（II）当点在轴下方时，，整理得，
解得(舍去)，
∴点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，解一元二次方程，解直角三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．本题难度较大，属中考压轴题．
2．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点为第一象限抛物线上的点，连接，，，．
(1)直接写出结果：　　；　　；点的坐标为 　　；　　；
(2)如图1，当时，求点的坐标；
(3)如图2，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点，分别为的边，上的动点，且，求的最小值．
【答案】(1)，2，，；
(2)点P坐标为
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出、的值，得到抛物线解析式为，由可得，根据正切定义可求出；
（2）过点作轴，交于点，过点作轴，由可得，证明，得到，设点坐标为，可得，解之即可求解；
（3）作，且使，连接，证明得到，，，共线时，的值最小，作于点，设，则，得到，求出，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）抛物线经过点，，
，
解得，
抛物线解析式为，
抛物线与轴交于、两点，
时，，
解得，，
，
，，
在中，，
故答案为：，2，，；
（2）如图1，过点作轴，交于点，过点作轴，交轴于点，
，，，
，
由（1）可得，，即，
，
，
，
轴，轴，
，，
，
又，
，
，
设点坐标为，则，，
，
解得（舍去）或，
点坐标为
（3）如图2，作，且使，连接，
，，
，
，，
，
，
，
，，共线时，的值最小，
作于点，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
解得或（舍去），
，
，
，，
．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与轴的交点、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
1．（2024·安徽蚌埠·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线和直线的函数表达式；
(2)点P是第三象限抛物线上的点，过点P作，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)．
(2)有最大值，最大值为．点P的坐标为
(3)存在，
【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的函数表达式，再求出，根据待定系数法即可求出直线的函数表达式；
（2）过点P作轴，交x轴于点E，交于点F．设点，得出，，表示出，在中，求出，在中，表示出，从而表示出，，根据二次函数最值求法即可求出有最大值时，点P的坐标．
（3）过点A作交的延长线于点G，取的中点H，连接．求出，根据，，得出点O，A，G，C在上，再根据，得出点G在直线上，设，证出是等腰直角三角形，根据直角三角形性质得出，再根据勾股定理列方程解出，求出直线的函数表达式，即可求解；
【详解】（1）解：将点和点代入抛物线中，
得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
当时，，
∴，
设直线的函数表达式为，代入点和点，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）过点P作轴，交x轴于点E，交于点F．
设点，
∴，，，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为．
此时点P的坐标为．
（3）存在．过点A作交的延长线于点G，取的中点H，连接．
∵H是的中点，
∴，
∵，，
∴点O，G在以为直径的圆上，
∴点O，A，G，C在上，
∵，
∴，
∴点G在直线上，
∴设，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵H是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为，
代入点和，
得，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
∵，
∴对称轴为直线，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的平移，二次函数与线段综合，二次函数与特殊的角度综合，解直角三角形，圆相关知识点，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质并数形结合是解题的关键．
2．（2011·安徽·中考模拟）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M，点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．
(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
(2)判断△BDC的形状，并给出证明；当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此时点P的坐标；
(3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)y=﹣x2+3x+4
(2)△BDC是直角三角形，证明见解析；△POC是等腰三角形时，点P坐标是（﹣1+，1+）或（2，4）
(3)①不能成为菱形，理由见解析；②能成为等腰梯形，点P的坐标是（2.5，4.5）
【分析】（1）利用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；
（2）利用勾股定理的逆定理，判断直角三角形；先求出直线AD的解析式，设点P坐标是（m，m+2）然后当OP=OC时得到m2+（m+2）2=16，当PC=OC时得到（m+2）2+（4﹣m）2=16，方程无解；当PO=PC时，点P在OC的中垂线上，由此即可得到答案；
（3）①分别设出P，Q点坐标，按照菱形的条件，求P点坐标，判断是否存在即可得到答案；②分别设出P，Q点坐标，等腰梯形的条件，求P点坐标，判断是否存在即可得到答案．
【详解】（1））解：∵OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，
∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（-1，0），点E的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，0）
设过B、C、E三点的抛物线解析式是y=ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴过B、C、E三点的抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4；
（2）解：△BDC是直角三角形，理由如下：
∵BD2=BO2+DO2=5，DC2=DO2+CO2=20，BC2=（BO+CO）2=25
∴BD2+DC2=BC2，
∴△BDC是直角三角形．
由题意得：点A坐标是（﹣2，0），点D坐标是（0，2），
设直线AD的解析式是y=kx+b，则，
解得：，
∴直线AD的解析式是y=x+2，
设点P坐标是（m，m+2）
当OP=OC时m2+（m+2）2=16，
解得：m=﹣1±（m=﹣1-（不符合，舍去）此时点P（﹣1+，1+）
当PC=OC时（m+2）2+（4﹣m）2=16，方程无解；
当PO=PC时，点P在OC的中垂线上，
∴点P横坐标是2，得点P坐标是（2，4）；
∴当△POC是等腰三角形时，点P坐标是（﹣1+，1+）或（2，4）；
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴点N坐标是（，），
∴点M横坐标为坐标是，
∴
∴点M坐标是（，），
∴MN=，
设点P为（n，n+2），则Q（n，﹣n2+3n+4），
∴PQ=﹣n2+2n+2，
①若四边形PQNM是菱形，则PQ=MN，
∴，
可得n1=0.5，n2=1.5
当n2=1.5时，点P与点M重合；当n1=0.5时，
∴点P的坐标为（0.5，2.5）
∴
∴四边形PMNQ不能为菱形，即菱形不存在．
②能成为等腰梯形，理由如下：
过点Q作QH⊥MN于点H，作PJ⊥MN于点J，则NH=MJ（等腰梯形的性质），
则﹣（﹣n2+3n+4）=n+2﹣，
解得：n=2.5，
此时点P的坐标是（2.5，4.5）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，等腰梯形的性质，菱形的性质，勾股定理的逆定理，两点距离公式，等腰三角形的定义，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
3．（2024·安徽芜湖·三模）如图，抛物线与坐标轴分别交于点，连接，已知抛物线的对称轴为直线，．
(1)求的值．
(2)若点在线段上，过点作，交抛物线于点，求线段的最大值．
(3)若点在轴上，点在抛物线上，当为平行四边形的四个顶点时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)的最大值为
(3)点的坐标为或
【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；
（2）过点作轴，将的长度用二次函数表示，即可求出最大值，从而求得线段的最大值；
（3）分两种情况进行讨论，求出点的坐标．
【详解】（1）解：由题意可得点的坐标为，
∴，
解得；
（2）解：过点作轴于点，
当时，，
∴点的坐标为，，
当时，，，
∴点的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∵点在抛物线上，
∴设，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为，
∴的最大值为；
（3）解：设，
情况一：当时，过点作轴于点，，
∵，，
∴，
解得（舍去），，
∴，，
∴，；
情况二：当时，过点作轴于点，，
∵，，
∴，
解得（舍去），，
∴，，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数最值问题，二次函数与四边形结合，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
4．（2024·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点和．
(1)试确定该抛物线的函数表达式；
(2)如图，设该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），其顶点为C，对称轴为l，l与x轴交于点D．
①求证：是直角三角形；
②在l上是否存在点P，使得以A，D，P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为：
(2)①见详解
②存在，点P坐标为或或或
【分析】（1）运用待定系数法解方程组即可；
（2）①利用勾股定理的逆定理证明垂直；
②分两种情况：当以及，列出比例式，求出长，再求点P坐标．
【详解】（1）（1）抛物线经过点和，
解得
抛物线的函数表达式为；
（2）（2）①时，，整理得，解得或，
点A在点左侧，
点A坐标为，点坐标为．
点C坐标为，
，，，
，
是直角三角形，且；
②存在以A，D，P为顶点的三角形与相似．
分两种情况：
i）当时，，
，解得，
此时点坐标为或；
ii）当时，，
，解得，
此时点P坐标为或；
综上，点P坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理。解答本题注意分类讨论的思想以及数形结合的思想的应用．
5．（2020·甘肃白银·二模）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴交于点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、E（3，0），点P为抛物线上动点，设点P的横坐标为t．
(1)若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求C点的坐标及抛物线的解析式；
(2)若点P在第四象限，连接PA、PE及AE，当t为何值时，△PAE的面积最大？最大面积是多少？
(3)是否存在点P，使△PAE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)C（2，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3
(2)当t时，S有最大值
(3)存在，（﹣2，5）或（1，﹣4）
【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（﹣1，0）、E（3，0），则抛物线的对称轴为x＝1，再利用抛物线的对称性即可求得C点坐标；设抛物线的解析式为交点式y＝a（x﹣3）（x+1），把点A的坐标代入即可求得a的值，从而求得解析式；
（2）如图，过点P作y轴的平行线交AE于点H，由点A，E的坐标可求得直线AE的表达式；设点P（t，t2﹣2t﹣3），则可得点H的坐标，由△PAE的面积SPH×OE可得关于t的二次函数，即可求得最大值；
（3）分∠PEA＝90°、∠PAE＝90°两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（﹣1，0）、E（3，0），
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，点A（0，﹣3），
∴C（2，﹣3），
设抛物线表达式为y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），
把点A的坐标代入上述解析式中，得﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，过点P作y轴的平行线交AE于点H，
由点A，E的坐标得直线AE的表达式为y＝x﹣3，
设点P（t，t2﹣2t﹣3），则点H（t，t﹣3），
∴△PAE的面积SPH×OE（t﹣3﹣t2+2t+3）（﹣t2+3t），
∴当t时，S有最大值；
（3）∵OE=OA=3，OE⊥OA，
∴∠AEO＝∠EAO=45°，
①当∠PEA＝90°时，
∵PE⊥AE，
∴直线PE与x轴的夹角为45°，
∴PE与y轴的夹角为45゜
∴PE与y轴交点的坐标为(0，3)
设直线PE的表达式为y＝mx+3，将点E的坐标代入并解得m＝ 1，
∴直线PE的表达式为y＝﹣x+3，
联立得，
解得x＝﹣2或x=3（不合题意，舍去）
故点P的坐标为（﹣2，5），
②当∠PAE＝90°时，
∵PA⊥AE，∠EAO=45°，
∴直线PE与y轴的夹角为45°，
∴PE与x轴的夹角为45゜
∴PE与x轴交点的坐标为( 3，0)
设直线PE的表达式为y＝nx 3，将点( 3，0)代入并解得n＝ 1，
∴直线PE的表达式为y＝﹣x 3，
联立得，
解得x＝1或x=0（不合题意，舍去）
∴点P（1，﹣4），
综上，点P的坐标为（﹣2，5）或（1，﹣4）．
【点睛】本题是二次函数的综合运用，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，直角三角形的性质，二次函数的性质及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题09 二次函数中特殊图形的存在性
（直角三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形）
题型01 直角三角形存在性
1.考查重点：（1）勾股定理的运用；（2）分类讨论思想；（3）两点间的距离公式。
2.高频题型：直角三角形存在性。根据题意看给的条件要不要分类讨论，分几类讨论。
3.能力要求：要求会利用两点间距离公式到勾股定理中，求点的坐标。
如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，1），点B坐标为（5，3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标． 一、几何法：两线一圆得坐标 （1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角） 二、构造三垂直： 构造三垂直步骤： ①过直角顶点作一条水平或竖直的直线； ②过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似． 三、代数法：表示线段构勾股 （1）表示点：设坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）； （2）表示线段：，，； （3）分类讨论：当为直角时，； （4）代入得方程：，解得：． 小结： 几何法：（1）“两线一圆”作出点； （2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数． 代数法：（1）表示点A、B、C坐标； （2）表示线段AB、AC、BC； （3）分类讨论①AB +AC =BC 、②AB +BC =AC 、③AC +BC =AB ； （4）代入列方程，求解． 如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等．
【典例分析】
例1．（2023·安徽滁州·一模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，直线经过点、．
(1)抛物线解析式为______，直线解析式为______；
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点与点，不重合，过点作轴于点，交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式及自变量的取值范围，并求出的最大值；
(3)已知点为抛物线对称轴上的一个动点，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·一模）如图，抛物线过点和．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知该抛物线与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．
①若点P是该抛物线位于第一象限部分上的一动点，过点P作x轴的垂线交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标；
②若点M是抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请在备用图上画出符合条件的图形，并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024·安徽亳州·三模）已知，抛物线经过点，其顶点为．
(1)求点的坐标（用表示）；
(2)若该抛物线与轴的交点为，如图．
①当的面积为时，求的值；
②当为直角三角形时，求点的坐标．
题型02 等腰三角形存在性
1.考查重点：（1）解析式的求法；（2）分类讨论思想；（3）两点间的距离公式。
2.高频题型：等腰三角形存在性。根据题意看给的条件要不要分类讨论，分几类讨论。
3.能力要求：要求会利用两点间距离公式表示出线段的长度或者线段的平方，分类讨论求点的坐标。
如图，点A坐标为（1，1），点B坐标为（4，3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形． 【几何法】“两圆一线”得坐标 （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC； （2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC； （3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 注意：若有三点共线的情况，则需排除． 【代数法】表示线段构相等 （1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1，1）、B点坐标（4，3）， （2）表示线段：， （3）分类讨论，列出方程：根据，可得：， （4）求解得答案：解得：，故坐标为． 【小结】 几何法：（1）“两圆一线”作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C； （2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC； （3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC； （4）列出方程求解．
【典例分析】
例1．（2025·安徽·一模）如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6．
(1)求b，c；
(2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值；
(3)如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)点是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为；
①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形；
②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？
2．（2024·安徽阜阳·二模）如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)连接，点D是线段上一动点（不与A、C两点重合），过点D作轴交抛物线于点E．
①当线段DE的长度最大时，求此时D点的坐标；
②在①的条件下，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点F，使得以点D、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．
题型03 平行四边形存在性
1.考查重点：（1）平行四边形在坐标系中的点的特点；（2）分类讨论思想；（3）根据对角线互相平分求点的坐标。
2.高频题型：平行四边形存在性，分类讨论。
3.能力要求：掌握平行四边形在坐标系中的点的特征性质，利用这个性质求点的坐标。
一、解平行四边形的存在性问题步骤： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算． 二、平行四边形的存在性问题的两类题型 1、如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有 3 个点： 以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生 3 个交点． 2、如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况． （1）若定线段是平行四边形的边，则通过平移确定点的坐标；（平移法） （2）若定线段是平行四边形的对角线，则定线段绕中点旋转，利用中点坐标公式确定点的坐标（中点坐标法） 如果线段 AB 的两个端点坐标分别为 （x1,y1）,(x2,y2)， 则线段 AB 的中点 的坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 ) 2 2
【典例分析】
例1．（2024·安徽宿州·一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，以为顶点的抛物线与直线相交于，两点．
(1)求该抛物线和直线的函数表达式；
(2)点位于直线下方的抛物线上，轴，交直线于点，求线段的最大值；
(3)若点，分别是该抛物线和线段上的动点，设线段与轴交于点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标．
【变式演练】
1．（2024·安徽淮北·三模）如图1，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点P为对称轴l上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求点P的坐标；
(3)如图2，点Q为抛物线上一点，若以O，P，B，Q四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点Q的坐标．
2．（2024·安徽·模拟预测）已知二次函数的图象顶点为，二次函数的图象顶点为．
(1)分别求出点，的坐标（用表示）；
(2)证明：函数与的图象相交于，两点；
(3)当时，点，为图象上的动点，且点在点，之间，，两点的横坐标分别为，，作轴交于点，轴交直线于点，若四边形，为平行四边形，求的值．
题型04 矩形存在性
1.考查重点：（1）矩形在坐标系中的点的特点；（2）分类讨论思想；（3）根据对角线相等求点的坐标。
2.高频题型：矩形存在性，分类讨论。
3.能力要求：掌握矩形在坐标系中的点的特征性质，利用这个性质求点的坐标。
矩形正方形存在性问题常见处理策略： 1.矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角为直角的四边形是矩形. 2.题型分析： 矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式： 因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解. 确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个. 同时，也可以先根据、的坐标求出直线的解析式，进而得到直线或的解析式，从而确定或的坐标.
【典例分析】
例1．（2024·安徽阜阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点，直线交y轴于点C，点E为直线上方抛物线上的一动点，过点E作轴，垂足为G，分别交直线于点F，H．
(1)求点A，B的坐标；
(2)当时，连接，求的面积；
(3)若点Q是y轴上的一点，当四边形是矩形时，求出点Q的坐标．
【变式演练】
1．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)是二次函数的图象位于轴上方的两动点，且两点关于对称轴对称，点在点的左侧．过点作轴的垂线，分别交轴于点，当的值最大时，求点的坐标．
(3)在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在点，使的面积等于矩形的面积的？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·安徽铜陵·一模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，交x轴的正半轴于点B，连接．

(1)求抛物线的解析式．
(2)点P在抛物线上，连接，当时，求点P的坐标；
(3)已知点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿运动．当点M，N运动到某一时刻时，在坐标平面内是否存在点D，使得以A，M，N，D为顶点的四边形是矩形 若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
题型05 菱形存在性
1.考查重点：（1）菱形在坐标系中的点的特点；（2）分类讨论思想；（3）根据邻边相等求点的坐标。
2.高频题型：菱形存在性，分类讨论。
3.能力要求：掌握菱形坐标系中的点的特征性质，利用这个性质求点的坐标。
解决问题的方法也可有如下两种： 思路1：先平四，再菱形 设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组． 思路2：先等腰，再菱形 在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点． 坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD是菱形，则其4个点坐标需满足：
【典例分析】
例1．（2023·安徽淮北·二模）已知抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，设该抛物线与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．若直线与抛物线交于点E，与直线交于点F．
①求长度的最大值，并求出此时m的值；
②若点P在y轴上，则是否存在以点E，F，C，P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式演练】
1．（2023·安徽安庆·一模）如图，直线．与抛物线交于，两点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在抛物线上，且的面积为，求点的坐标；
(3)若点在抛物线上，交直线于点，点在坐标平面内，当以为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标．
2．（22-23九年级下·重庆丰都·阶段练习）如图1，抛物线与轴相交于点、（点在点左侧），与轴相交于点．已知点坐标为，面积为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上一动点，过点作直线的垂线，垂足为点，过点P作轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标：
(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为直线上的一点，点是平面坐标系内一点，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型06 相似三角形存在性
1.考查重点：（1）相似三角形方法的运用；（2）分类讨论思想。
2.高频题型：相似三角形存在性。根据题意分类讨论。
3.能力要求：掌握相似三角形的判定方法，根据分类讨论求点的坐标。
相似三角形问题的解题步骤 第一步：找关键点 根据抛物线的表达式求出抛物线上关键点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等 第二步：找等角 找到两个三角形中相等的定角，通常定角为直角、对顶角、公共角同位角、内错角，或通过互余(互补)进行转化等方法得到的等角 第三步：求点坐标 根据相似三角形对应边成比例列关系式。
【典例分析】
例1．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与y轴交于点，连接．
(1)如图1，求的值及直线的解析式；
(2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点．当时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，且点的横坐标小于2，在坐标轴上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式演练】
1．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于，两点，与轴交于点 ， 为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，点， 在抛物线上，点 在点 左侧，若 是等边三角形，求 的值．
(3)如图2，在线段 上是否存在一点，使得以，， 为顶点的三角形与 相似若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·安徽·模拟预测）如图，拋物线经过三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)若在直线上方的抛物线上有一点，使得的面积最大，求出点的坐标；
(3)若是抛物线上一动点，过作轴，垂足为，使得以为顶点的三角形与相似，请直接写出符合条件的点的坐标．
题型07 等角度存在性
1.考查重点：利用相似三角形和三角函数结合，分类讨论等角情况下的点的坐标。
2.高频题型：等角度存在性。
3.能力要求：掌握相似三角形的判定方法，找到对应边和角。利用三角函数值求点的坐标。
在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下： （1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等； （2）角平分线：角平分线分的两个角相等； （3）等腰三角形：等边对等角； （4）全等（相似）三角形：对应角相等； （5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等； （6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角． 想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角．
【典例分析】
例．（2025·安徽淮北·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，点A的坐标为，直线的解析式为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M 是抛物线上位于直线下方的一个动点，过点M作轴交于点N，计算线段的最大值；
(3)若点P是抛物线上一动点，则是否存在点P，使．若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线，函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示，在m，n，p这三个实数中，有两个是正数，且没有负数：
x … 0 1 …
y … 4 m n 4 p …
(1)求抛物线的表达式；
(2)该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，D为抛物线上一点．
①若点D在第二象限，过点D作x轴的垂线，垂足为E，设交于点F，当取得最大值时，求点D的坐标；
②是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
2．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点为第一象限抛物线上的点，连接，，，．
(1)直接写出结果：　　；　　；点的坐标为 　　；　　；
(2)如图1，当时，求点的坐标；
(3)如图2，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点，分别为的边，上的动点，且，求的最小值．
1．（2024·安徽蚌埠·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线和直线的函数表达式；
(2)点P是第三象限抛物线上的点，过点P作，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2011·安徽·中考模拟）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M，点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．
(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
(2)判断△BDC的形状，并给出证明；当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此时点P的坐标；
(3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
3．（2024·安徽芜湖·三模）如图，抛物线与坐标轴分别交于点，连接，已知抛物线的对称轴为直线，．
(1)求的值．
(2)若点在线段上，过点作，交抛物线于点，求线段的最大值．
(3)若点在轴上，点在抛物线上，当为平行四边形的四个顶点时，求点的坐标．
4．（2024·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点和．
(1)试确定该抛物线的函数表达式；
(2)如图，设该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），其顶点为C，对称轴为l，l与x轴交于点D．
①求证：是直角三角形；
②在l上是否存在点P，使得以A，D，P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2020·甘肃白银·二模）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴交于点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、E（3，0），点P为抛物线上动点，设点P的横坐标为t．
(1)若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求C点的坐标及抛物线的解析式；
(2)若点P在第四象限，连接PA、PE及AE，当t为何值时，△PAE的面积最大？最大面积是多少？
(3)是否存在点P，使△PAE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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