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专题12 解直角三角形（背靠背模型、叠合模型、拥抱模型）
题型01 背靠背模型
1.考查重点：通过构造直角三角形分解求出三角函数与线段的数量关系。
2.高频题型：背靠背模型。
3.能力要求：会构造直角三角形解题。
背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。
【典例分析】
例．（2024·安徽六安·模拟预测）图1为某超市在外墙上安装的遮阳篷，其侧面示意图如图2所示．把遮阳篷靠墙端离地面的高度记作，遮阳篷的长为5米，与水平面的夹角为．当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为1.8米（点在同一平面内），求遮阳篷靠墙端离地面的高．（结果精确到0.1米，参考数据：，）
【答案】遮阳篷靠墙端离地面的高为4.4米
【分析】本题考查矩形的判定与性质及解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，在和中，利用三角函数分别求出，，即可得答案．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∴，
四边形是矩形，
．
在中，米，，
（米），
（米）．
米，
（米），
在中，，
（米），
（米），
（米）．
答：遮阳篷靠墙端离地面的高为4.4米．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）某数学兴趣小组想使用无人机测量写字楼的高度，他们作出如下的测量方案：如图，将无人机放在水平面的点处（无人机自身高度忽略不计），先控制无人机从点出发向右上方匀速飞行9.9秒到达空中点处，再调整飞行方向，向左上方匀速飞行13秒到达该楼顶点处（点均在同一平面），已知无人机的速度为10米/秒，且无人机在点处测得点的俯角为，点的仰角为，求写字楼的高度．（结果精确到1米）
参考数据：，，，
【答案】高度约为148米
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点作于点，过点作于点，证明四边形为矩形，易得，由题意得（米），（米），利用三角函数解得，的值，即可获得答案．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
由题意得（米），（米），
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴（米）．
答：写字楼的高度约为148米．
2．（2024·安徽蚌埠·三模）2024年5月，“嫦娥六号”突破月球逆行轨道设计与控制、月背智能采样和月背起飞上升等关键技术，实施月球背面自动采样返回，同时开展着陆区科学探测和国际合作，如图，在斜坡上有一瞭望台，斜坡的坡度为，坡长为50米， 雷达的高度为10米，火箭发射，雷达中心测得火箭底端点的俯角为，仅2秒的时间，测得火箭上升至的处的仰角为，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：，，）
【答案】火箭发射时速度约为425米/秒
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，延长交的延长线于点，设，则，利用勾股定理求出的值，再利用正切的定义求出、，即可得解．
【详解】解：过点作于点，延长交的延长线于点，
在中，坡度为，米，
设，则，
∴，
∴
∴米，米，
∵，
∴米，
∵，
∴，
∵，
∴米，
∴米，
∴（米/秒）
答：火箭发射时速度约为425米/秒．
3．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度（假定该塔与地面垂直），他们在与塔底B在同一水平线上的C处测得塔顶A的仰角为，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
(1)求点D到直线的距离；
(2)求古塔的高度．
【答案】(1)点D到直线的距离为
(2)古塔的高度是
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）过点D作于点M，解直角三角形求出即可；
（2）证明，在中，解直角三角形求出，再在中求出即可．
【详解】（1）解：过点D作于点M，
∵斜坡的斜面坡度，
∴，
∴，
∴．
即点D到直线的距离为；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
答：古塔的高度是．
题型02 叠合模型
1.考查重点：会利用两个直角三角形的公共边作为中介进行转换
2.高频题型：叠合模型。
3.能力要求：进行转化，特别是涉及到坡度坡角问题时。
图1 图2 图3 图4 母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。
【典例分析】
例．（2025·安徽淮北·一模）小鹏想测量学校内一棵古树的高度．如图，小鹏在B 处测得树顶A的仰角α为，然后他向前走了到达C处，测得树顶A的仰角β为．已知，点B，C，O在同一条直线上，请你帮助小鹏计算出古树的高度．(结果精确到，参考数据：，，，)
【答案】古树的高度约为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设，在中，求得，在中，求得，根据，列式计算即可求解．
【详解】解：延长交于点F，则，
，．
设，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
由题意得，
∴，即，
解得，即．
∴．
答：古树的高度约为．
【变式演练】
1．（2024·安徽六安·模拟预测）和平路中学一年一度的校运会正在如火如荼的进行中，负责通讯报道的小明和小亮使用无人机采集一组航拍画面． 在航拍时，小明在C处测得无人机A的仰角为，同时小亮登上看台上的D处测得无人机A的仰角为． 若小亮所在看台的坡比为，铅垂高度米（点E，G，C，B在同一水平线上），求此时无人机的高度．（结果精确到1米，参考数据：）
【答案】此时无人机的高度约为米
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，过点D作于点H，设米，四边形是矩形，则，米，得到米．证明米，进一步得到米．在中，，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图，过点D作于点H，设米，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，米，
米．
小亮所在看台的坡比为，铅垂高度米，
（米）．
，
米，
米．
在中，
，
，
解得，
米．
答：此时无人机的高度约为米．
2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，兰兰欲测量广场上某旗杆的高度，她在该旗杆正前方的石坡顶点处测得旗杆顶端的仰角为，在坡脚点处测得旗杆顶端的仰角为，已知石坡高为3米，坡度，求旗杆的高度（其中点在同一直线上）．（结果精确到1米，，，）
【答案】36米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，过作于．由石坡的坡度是，得出米，证明四边形是矩形，得出，米．设米，解直角三角形得出米，从而得到（米），（米），再由得出方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：如图，过作于．
石坡的坡度是，米，
米．
由题意得：，
∴四边形是矩形，
，米．
设米，
，
（米），
（米），（米），
在台阶点处测得旗杆顶的仰角为，
，
，
解得：，
（米），
答：旗杆的高度约为36米．
3．（2024·安徽淮北·模拟预测）数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选择测量一座砖塔的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为．若斜坡的坡比，，且点B，C，E在同一水平线上．．
(1)求点D到水平线的距离；
(2)求砖塔的高度（结果保留根号）．
【答案】(1)点D到水平线的距离为
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，坡度坡角问题，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键．
（1）作于，则，根据斜坡的坡比，，结合勾股定理求出的长即可得解；
（2）作于，则四边形为矩形，设 ，则 ，则，，根据，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：如图1，作于，则，
斜坡的坡比，
，
设 ，则 ，
由题意得：，，
，
解得：，
，
点到水平线的距离为；
（2）解：如图2，作于，
则，
四边形为矩形，
，，
设，则，
，，
，
，
解得：，
，
砖塔的高度为．
题型03 拥抱模型
1.考查重点：会分解直角三角形。
2.高频题型：拥抱模型。
3.能力要求：理解线段间的关系。
拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。
【典例分析】
例．（2020·安徽马鞍山·二模）如图，坡的坡度为，坡面长26米，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡(请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：)．
(1)若修建的斜坡的坡角(即)恰为，则此时平台的长为多少米？
(2)坡前有一建筑物，小明在D点测得建筑物顶部H的仰角为30°，在坡底A点测得建筑物顶部H的仰角为60°，点B、C、A、G、H在同一平面内，点C、A、G在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？
【答案】(1)7米
(2)建筑物高约为米．
【分析】（1）根据题意解直角三角形即可得出答案；
（2）过点D作，垂足为P，再解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）解：∵坡的坡度为，坡面长26米，D为的中点，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，而，
∴，，
∴（米）；
则平台的长为7米；
（2）过点D作，垂足为P．
在中，，
同理可得：，
在矩形中，，，
在中， ，
∴，
∵，
∴ ，
解得：，
∴（米），
答：建筑物高约为米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形中坡角问题，仰角问题，根据图形构建直角三角形，进而利用锐角三角函数得出答案是解题关键．
【变式演练】
1．（2024·安徽·二模）如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶1500米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果保留整数，参考数据：，，，）
【答案】982米
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．分别过点，作，垂足分别为，结合矩形的判定和性质可得出，．根据三角形外角的性质可求出，即得出．再根据锐角三角函数可求出，，进而即可由求解．
【详解】解：分别过点，作，垂足分别为，
四边形为矩形，
，．
，
，
．
在中，，，
，，
．
在中，，
，
米．
答：大桥的长度约是982米．
2．（2025·安徽芜湖·一模）中国南北分界线位于安徽蚌埠龙子湖畔，以淮河地理分界为基准，核心景观是“火凤凰·龙”青铜雕塑，其顶部红蓝双色球象征南北气候冷暖差异，青龙（北）、朱雀（南）对应地域文化．下表是某校九年级学生在测量该雕塑高度的活动中的记录单．
活动项目 测量南北分界线雕塑的高度
活动方案 方案一 方案二
测量工具 测角仪、卷尺 平面镜、卷尺
方案示意图
测量过程 ①站在与雕塑底端B位于同一水平面的点D处； ②用测角仪测量从点C处观察雕塑顶点A的仰角； ③测量点C到地面的高度． ①站在与雕塑底端B位于同一水平面的点D处； ②在线段上放置一个平面镜，调整平面镜E的位置，后退到点D使观测者刚好从镜中看到雕塑的顶点A； ③测量B，E两点和D，E两点间的距离； ④测量C到地面的高度．
活动数据 ，，，，，． ，，．
备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直． ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③由物理学知识可得．
请你从以上两种方案中任选其中一种，计算雕塑的高度．（结果精确到米）
【答案】雕塑的高度约为．
【分析】本题考查三角函数测高与相似测高，选择方案一，利用三角函数测高的方法，解直角三角形即可得到答案；选择方案二，利用三角形相似的判定与性质，由相似比列方程求解即可得到答案；熟练掌握三角函数测高与相似测高的方法，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：选择方案一，
，
∴四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
答：雕塑的高度约为；
解：选择方案二，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
答：雕塑的高度约为．
3．（24-25九年级上·河南新乡·期末）学完了三角函数知识后，我校“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量某塔的高度，他们把“测量塔高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表：
课题 测量某塔的高 测量说明
测量示意图 说明：是高为米的测角仪，在点C处测得塔顶A的仰角，点E处测得此时塔顶A的仰角，（B、F、D三点在同一条直线上）
测量数据 ∠1的度数 ∠2的度数 的水平距离
26米
请根据表中的测量数据，求塔高（精确到米，参考数据，）
【答案】米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，据此的性质与判定，设为米，则米，在中可以得出，在中，可以得到，再列方程即可求解．
【详解】解：由题意得，米，，，四边形，，为矩形，则米，
设为米，则米，
在中，，即，解得，
在中，，即，
解得，
∴，
解得，
∴（米），
答：白塔的高约为米．
1．（2024·安徽合肥·三模）昌景黄高铁于2023年底通车运行，在设计线路图时，有很多地方需要打隧道．如图就是某隧道示意图，为了测量隧道的长度，施工队用无人机在距地面高度为200米的C处测得隧道南北两端A、B的俯角、（已知A、B、C三点在同一平面上），求该隧道南北两端A、B的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，）
【答案】隧道南北两端A、B的距离约为155米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键，分别过A、B两点作于E，于F，解直角三角形得出（米）， （米），求出结果即可．
【详解】解：分别过A、B两点作于E，于F，如图所示：
在中，，米，
，（米）．
在中，，
，（米）．
（米）．
答：隧道南北两端A、B的距离约为155米．
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在同一水平地面上有和两栋楼，从楼顶部A点处测得楼的底部D点的俯角为，从楼顶部C点处测得楼的G点的俯角为，且米，已知楼高25米，求楼的高度．（精确到1米，参考数据：，，）
【答案】18米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点C作，垂足为F，根据题意可得：，，，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出长，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：如图：过点C作，垂足为F，
由题意得：，，，，
∴，
∵在中，米，
∴（米），
∴米，
∴在中，（米），
∵米，
∴（米），
∴楼的高度约为18米．
3．（2024·安徽六安·二模）如图，某测绘小组计划利用无人机测量某段山体的长度AB，无人机飞行速度为，无人机先是悬停在山体边缘A点正上方C处，然后沿山体的平行方向飞行18s到D处悬停，测得山体边缘A点的俯角为，然后继续向前飞行到达E处，测得山体边缘B点的俯角为．试求山体的长度．（参考数据：，，）
【答案】山体的长度为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的性质，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，过作于，根据三角函数的定义即可得到结论，熟练掌握正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：无人机飞行速度为，
，，
，
，
过作于，
则，，
，，
，
，
答：山体的长度为．
4．（2024·安徽马鞍山·三模）如图，某景点中一建筑可看作由等腰三角形和矩形构成，其中建筑的横梁长为8米，小明同学站到高的平台上的处，发现建筑顶端点，檐角点和视点点正好在同一条直线上，此时测得檐角点的仰角为，小明往前步行至处，测得檐角点的仰角为，已知小明的视点距平台的竖直高度为，过点作垂直水平面于点，且所有点均在同一平面中，求此建筑的高度（的值）（精确到）．参考数据：，，．

【答案】此建筑的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键在于借助俯仰角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．连接并延长交于点，过点作于点，易得四边形为矩形，得到，设，则，利用和表示出，建立等式求出的值，利用等腰三角形性质和矩形性质得到，从而得到，再利用解直角三角形得到，最后根据求解，即可解题．
【详解】解：如解图，连接并延长交于点，过点作于点，

由题易知，，
四边形为矩形，
，
由题意知，，，，，
，
设，则，
在中，由得，，
在中，由得，，
，解得，
，，
，
，
在中，，
，
答：此建筑的高度约为．
5．（2024·安徽蚌埠·二模）《周髀算经》是中国古代数学著作中最早涉及解三角形的专著之一，其中记载为了掌握“农时”，古人开始观象授时，其中一种办法叫“圭表测影（如图1）”，即“表”垂直于地而，“圭”横放于地面，通过“表影”长短判断季节．如图2，为了测量某古塔的高度，小明将一根长的竹竿（）立在M处，当塔顶点 A，竹竿顶点 N以及地面点C在同一条直线上时，测得，然后小明将竹竿向前移动 到点，，当点 A，，共线时，测得 求古塔的高度．（结果精确到，参考数据：）

【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据三角函数值，结合直角三角形表示出、、、，再根据即可求解．解题的关键在于正确利用正切值进行计算．
【详解】解：由题意可知，，，，，，
则
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
而，
即：，
∴．
6．（2024·安徽淮北·二模）某数学活动小组测量图书馆和实验楼的高度，已知两楼中间有一棵树，楼、和树都垂直于地平面，点在同一条直线上．测得是的中点，且米，从实验楼楼顶处测得图书馆楼顶处的仰角为，测得树顶处的俯角为，已知树高为10米，求图书馆和实验楼的高度．（精确到1米，参考数据：）
【答案】图书馆高40米，实验楼高28米
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
过E点作于点M ，过 C点作于点，得出四边形均为矩形，依题意和矩形性质得出米，且米，米，解和即可求解；
【详解】
解：过E点作于点M ，过 C点作于点，
则四边形均为矩形，
依题意有米，且米，米，
则米．
，
，
∴，
在中有：．
∴(米)，
∴(米)，则米，
在中，
即，
米，
米，
答： 图书馆高40米，实验楼高28米．
7．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，三座山峰在同一水平线MN上，在两座小山峰的山顶A，B分别测得主峰C的仰角为和．已知两座小山峰的高度米，米，索道米．求索道的长度．（点A，B，C在同一平面上，参考数据：，，，）
【答案】索道的长度为580米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
过点作，过点作，，过点作，设，勾股定理求出的长，进而表示出的长，解直角三角形，求出的长，根据，求出的值，进而求出的值，再利用勾股定理，求出的长即可．
【详解】解：过点作，过点作，，过点作，则：，，，，
在中，由勾股定理，得：，
设，则：，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
答：索道的长度为580米．
8．（2024·安徽合肥·二模）2023年中国航天共发射了67次火箭，成功地将200多个航天器送入太空，下图是一枚火箭从地面L处垂直发射，当火箭到达A处时，在地面R处的雷达站测得，仰角是，后，火箭到达B处，此时，在R处测得仰角为，求这枚火箭从点A到点B的平均速度．
（精确到，参考数据：，，，，，）
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系求出的长，从而进行计算即可解答．
【详解】解：在中，，，，，，
．
在中，，，，
，
，
这枚火箭从点A到点B的平均速度是．
9．（2024·安徽合肥·三模）位于安徽省合肥市的渡江纪念馆旁的胜利塔是合肥滨湖新区的标志性建筑．它体现的是中国正义之师的历史功绩和光辉荣耀．如图，某兴趣小组想测量胜利塔的高度，先在A处仰望它顶C，测得仰角为，再往塔的方向前进120米到B处，测得仰角为．
(1)求第一次测量点A到塔顶C的距离的长．
(2)求胜利塔的高度．（结果精确到1米；参考数据：，，）
【答案】(1)第一次测量点A到塔顶C的距离的长为168米
(2)胜利塔的高度为101米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于熟练掌握三角函数的定义．
（1）过点B作于点E，解直角三角形求出（米），（米），求出，解直角三角形得出（米），计算求解即可；
（2）在中解直角三角形求出结果即可．
【详解】（1）解：过点B作于点E，如图所示：
则，
在中，，米，
∴（米），
（米），
∵，，
∴，
∴（米），
∴（米），
答：第一次测量点A到塔顶C的距离的长为168米．
（2）解：∵在中，米，，
∴（米），
答：胜利塔的高度为101米．
10．（2023·安徽黄山·一模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，）．
【答案】楼与之间的距离的长约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长、分别于直线交于、，分别利用解三角形求出、、即可．
【详解】解：延长、分别交直线于、，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴楼与之间的距离的长约为．
11．（2024·安徽合肥·三模）某数学兴趣小组用无人机测量一小山坡的高度，测量方案如图，先将无人机垂直上升至离水平面的点，此时测得山坡底端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行至处，此时测得山坡顶端的俯角为，求山坡的高度．（结果精确到，参考数据：，，．
【答案】山坡的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，延长交于点，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：延长交于点，如图所示：
由题意得，，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
山坡的高度约为．
12．（2024·安徽合肥·一模）如图，旅游部门准备为某景点修建一条索道，无人机在P点测到索道底端A和顶端B的俯角分别为，，已知的坡角为，P点到地面的距离米，求索道的长．参考数据：，，，，，．
【答案】索道的长约为200米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：米，，，从而可得，然后设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而可得米，最后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：如图：过点作，垂足为，延长交于点，
由题意得：米，，，
，
设米，
在中，（米），
米，
在中，，
（米），
在中，，
米，
，
，
解得：，
（米），
在中，，
（米），
答：索道的长约为200米．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题12 解直角三角形（背靠背模型、叠合模型、拥抱模型）
题型01 背靠背模型
1.考查重点：通过构造直角三角形分解求出三角函数与线段的数量关系。
2.高频题型：背靠背模型。
3.能力要求：会构造直角三角形解题。
背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。
【典例分析】
例．（2024·安徽六安·模拟预测）图1为某超市在外墙上安装的遮阳篷，其侧面示意图如图2所示．把遮阳篷靠墙端离地面的高度记作，遮阳篷的长为5米，与水平面的夹角为．当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为1.8米（点在同一平面内），求遮阳篷靠墙端离地面的高．（结果精确到0.1米，参考数据：，）
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）某数学兴趣小组想使用无人机测量写字楼的高度，他们作出如下的测量方案：如图，将无人机放在水平面的点处（无人机自身高度忽略不计），先控制无人机从点出发向右上方匀速飞行9.9秒到达空中点处，再调整飞行方向，向左上方匀速飞行13秒到达该楼顶点处（点均在同一平面），已知无人机的速度为10米/秒，且无人机在点处测得点的俯角为，点的仰角为，求写字楼的高度．（结果精确到1米）
参考数据：，，，
2．（2024·安徽蚌埠·三模）2024年5月，“嫦娥六号”突破月球逆行轨道设计与控制、月背智能采样和月背起飞上升等关键技术，实施月球背面自动采样返回，同时开展着陆区科学探测和国际合作，如图，在斜坡上有一瞭望台，斜坡的坡度为，坡长为50米， 雷达的高度为10米，火箭发射，雷达中心测得火箭底端点的俯角为，仅2秒的时间，测得火箭上升至的处的仰角为，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：，，）
3．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度（假定该塔与地面垂直），他们在与塔底B在同一水平线上的C处测得塔顶A的仰角为，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
(1)求点D到直线的距离；
(2)求古塔的高度．
题型02 叠合模型
1.考查重点：会利用两个直角三角形的公共边作为中介进行转换
2.高频题型：叠合模型。
3.能力要求：进行转化，特别是涉及到坡度坡角问题时。
图1 图2 图3 图4 母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。
【典例分析】
例．（2025·安徽淮北·一模）小鹏想测量学校内一棵古树的高度．如图，小鹏在B 处测得树顶A的仰角α为，然后他向前走了到达C处，测得树顶A的仰角β为．已知，点B，C，O在同一条直线上，请你帮助小鹏计算出古树的高度．(结果精确到，参考数据：，，，)
【变式演练】
1．（2024·安徽六安·模拟预测）和平路中学一年一度的校运会正在如火如荼的进行中，负责通讯报道的小明和小亮使用无人机采集一组航拍画面． 在航拍时，小明在C处测得无人机A的仰角为，同时小亮登上看台上的D处测得无人机A的仰角为． 若小亮所在看台的坡比为，铅垂高度米（点E，G，C，B在同一水平线上），求此时无人机的高度．（结果精确到1米，参考数据：）
2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，兰兰欲测量广场上某旗杆的高度，她在该旗杆正前方的石坡顶点处测得旗杆顶端的仰角为，在坡脚点处测得旗杆顶端的仰角为，已知石坡高为3米，坡度，求旗杆的高度（其中点在同一直线上）．（结果精确到1米，，，）
3．（2024·安徽淮北·模拟预测）数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选择测量一座砖塔的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为．若斜坡的坡比，，且点B，C，E在同一水平线上．．
(1)求点D到水平线的距离；
(2)求砖塔的高度（结果保留根号）．
题型03 拥抱模型
1.考查重点：会分解直角三角形。
2.高频题型：拥抱模型。
3.能力要求：理解线段间的关系。
拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。
【典例分析】
例．（2020·安徽马鞍山·二模）如图，坡的坡度为，坡面长26米，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡(请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：)．
(1)若修建的斜坡的坡角(即)恰为，则此时平台的长为多少米？
(2)坡前有一建筑物，小明在D点测得建筑物顶部H的仰角为30°，在坡底A点测得建筑物顶部H的仰角为60°，点B、C、A、G、H在同一平面内，点C、A、G在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？
【变式演练】
1．（2024·安徽·二模）如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶1500米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果保留整数，参考数据：，，，）
2．（2025·安徽芜湖·一模）中国南北分界线位于安徽蚌埠龙子湖畔，以淮河地理分界为基准，核心景观是“火凤凰·龙”青铜雕塑，其顶部红蓝双色球象征南北气候冷暖差异，青龙（北）、朱雀（南）对应地域文化．下表是某校九年级学生在测量该雕塑高度的活动中的记录单．
活动项目 测量南北分界线雕塑的高度
活动方案 方案一 方案二
测量工具 测角仪、卷尺 平面镜、卷尺
方案示意图
测量过程 ①站在与雕塑底端B位于同一水平面的点D处； ②用测角仪测量从点C处观察雕塑顶点A的仰角； ③测量点C到地面的高度． ①站在与雕塑底端B位于同一水平面的点D处； ②在线段上放置一个平面镜，调整平面镜E的位置，后退到点D使观测者刚好从镜中看到雕塑的顶点A； ③测量B，E两点和D，E两点间的距离； ④测量C到地面的高度．
活动数据 ，，，，，． ，，．
备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直． ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③由物理学知识可得．
请你从以上两种方案中任选其中一种，计算雕塑的高度．（结果精确到米）
3．（24-25九年级上·河南新乡·期末）学完了三角函数知识后，我校“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量某塔的高度，他们把“测量塔高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表：
课题 测量某塔的高 测量说明
测量示意图 说明：是高为米的测角仪，在点C处测得塔顶A的仰角，点E处测得此时塔顶A的仰角，（B、F、D三点在同一条直线上）
测量数据 ∠1的度数 ∠2的度数 的水平距离
26米
请根据表中的测量数据，求塔高（精确到米，参考数据，）
1．（2024·安徽合肥·三模）昌景黄高铁于2023年底通车运行，在设计线路图时，有很多地方需要打隧道．如图就是某隧道示意图，为了测量隧道的长度，施工队用无人机在距地面高度为200米的C处测得隧道南北两端A、B的俯角、（已知A、B、C三点在同一平面上），求该隧道南北两端A、B的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，）
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在同一水平地面上有和两栋楼，从楼顶部A点处测得楼的底部D点的俯角为，从楼顶部C点处测得楼的G点的俯角为，且米，已知楼高25米，求楼的高度．（精确到1米，参考数据：，，）
3．（2024·安徽六安·二模）如图，某测绘小组计划利用无人机测量某段山体的长度AB，无人机飞行速度为，无人机先是悬停在山体边缘A点正上方C处，然后沿山体的平行方向飞行18s到D处悬停，测得山体边缘A点的俯角为，然后继续向前飞行到达E处，测得山体边缘B点的俯角为．试求山体的长度．（参考数据：，，）
4．（2024·安徽马鞍山·三模）如图，某景点中一建筑可看作由等腰三角形和矩形构成，其中建筑的横梁长为8米，小明同学站到高的平台上的处，发现建筑顶端点，檐角点和视点点正好在同一条直线上，此时测得檐角点的仰角为，小明往前步行至处，测得檐角点的仰角为，已知小明的视点距平台的竖直高度为，过点作垂直水平面于点，且所有点均在同一平面中，求此建筑的高度（的值）（精确到）．参考数据：，，．

5．（2024·安徽蚌埠·二模）《周髀算经》是中国古代数学著作中最早涉及解三角形的专著之一，其中记载为了掌握“农时”，古人开始观象授时，其中一种办法叫“圭表测影（如图1）”，即“表”垂直于地而，“圭”横放于地面，通过“表影”长短判断季节．如图2，为了测量某古塔的高度，小明将一根长的竹竿（）立在M处，当塔顶点 A，竹竿顶点 N以及地面点C在同一条直线上时，测得，然后小明将竹竿向前移动 到点，，当点 A，，共线时，测得 求古塔的高度．（结果精确到，参考数据：）

6．（2024·安徽淮北·二模）某数学活动小组测量图书馆和实验楼的高度，已知两楼中间有一棵树，楼、和树都垂直于地平面，点在同一条直线上．测得是的中点，且米，从实验楼楼顶处测得图书馆楼顶处的仰角为，测得树顶处的俯角为，已知树高为10米，求图书馆和实验楼的高度．（精确到1米，参考数据：）
7．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，三座山峰在同一水平线MN上，在两座小山峰的山顶A，B分别测得主峰C的仰角为和．已知两座小山峰的高度米，米，索道米．求索道的长度．（点A，B，C在同一平面上，参考数据：，，，）
8．（2024·安徽合肥·二模）2023年中国航天共发射了67次火箭，成功地将200多个航天器送入太空，下图是一枚火箭从地面L处垂直发射，当火箭到达A处时，在地面R处的雷达站测得，仰角是，后，火箭到达B处，此时，在R处测得仰角为，求这枚火箭从点A到点B的平均速度．
（精确到，参考数据：，，，，，）
9．（2024·安徽合肥·三模）位于安徽省合肥市的渡江纪念馆旁的胜利塔是合肥滨湖新区的标志性建筑．它体现的是中国正义之师的历史功绩和光辉荣耀．如图，某兴趣小组想测量胜利塔的高度，先在A处仰望它顶C，测得仰角为，再往塔的方向前进120米到B处，测得仰角为．
(1)求第一次测量点A到塔顶C的距离的长．
(2)求胜利塔的高度．（结果精确到1米；参考数据：，，）
10．（2023·安徽黄山·一模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，）．
11．（2024·安徽合肥·三模）某数学兴趣小组用无人机测量一小山坡的高度，测量方案如图，先将无人机垂直上升至离水平面的点，此时测得山坡底端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行至处，此时测得山坡顶端的俯角为，求山坡的高度．（结果精确到，参考数据：，，．
12．（2024·安徽合肥·一模）如图，旅游部门准备为某景点修建一条索道，无人机在P点测到索道底端A和顶端B的俯角分别为，，已知的坡角为，P点到地面的距离米，求索道的长．参考数据：，，，，，．
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