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专题15 二次函数图像与系数关系
（图像共存、系数判断、复杂函数图像判断、字母范围）
题型01 函数图像共存问题
1.考查重点：一次函数、二次函数与反比例函数之间的综合图像的判断，熟练掌握二次函数的图象特点。
2.高频题型：图像综合判断，是否共存。
3.能力要求：要求掌握各个函数的性质，根据函数的性质判断是否能够共存。
1：根据函数图像判断函数系数的正负情况，当正负一致时，即为正确选项； 2：先根据图像判断其中一个函数的系数的正负，然后带入另一个函数中，若符合要求，即为正确；
【典例分析】
例1．（一次函数与二次函数）（2025·安徽合肥·一模）如图，这是一次函数的图象，则二次函数的图象不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数的图象可得，从而可得二次函数的图象的开口向上，对称轴为直线，再结合二次函数的图象经过原点即可得．
【详解】解：由一次函数的图象可知，，
∴二次函数的图象的开口向上，对称轴为直线，
又∵当时，，即二次函数的图象经过原点，
∴二次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
例2．（二次函数与反比例函数）（2025·安徽·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与反比例函数图象的性质，掌握二次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键．
根据二次函数中二次项系数、一次项系数的分析得到二次函数图象，从而判断反比例函数图象即可求解．
【详解】解：二次函数，对称轴直线为，
当时，二次函数图象开口向上，则反比例函数的图象经过第一、三象限；
当时，二次函数图象开口向下，则反比例函数的图象经过第二、四象限；
只有B选项符合题意，
故选：B ．
【变式演练】
1．（2025·安徽·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和（a是常数，且）的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误，不符合题意；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，和x轴的负半轴相交，故选项错误，不符合题意；
C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，和x轴的负半轴相交，故选项正确，符合题意；
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交两点，则二次函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，由一次函数与二次函数图象相交于两点，得出函数与轴有两个交点，两个交点为，利用对称轴即可进行判断的图象，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由一次函数与二次函数图象相交于两点的横坐标可得：
函数与轴有两个交点，两个交点为，
，
即，
，
，
，
故二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左边，只有A选项的图象符合条件，
故选：A．
3．（2024·安徽·二模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象可能为（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了通过函数图像判断二次函数的各项系数，一次函数与反比例函数图像的综合判断．观察二次函数的图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于y轴的右侧，可得，，再根据一次函数和反比例函数的图象，即可求解．
【详解】解：观察二次函数的图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于y轴的右侧，
∴，
∴，
∴一次函数的图象进过第一、三、四象限，反比例函数的图象为第二、四象限．
故选：C
4．（2024·安徽马鞍山·一模）已知二次函数的图象如图所示，图象与x轴交于，顶点是，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（　　）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图像，一次函数和反比例函数的图像，熟练掌握知识点是解题的关键．
先由二次函数的图像来确定，的符号，再由顶点坐标的位置确定的符号即可
【详解】解：图象与x轴交于，顶点是，
∴对称轴为直线，
∴图像与x轴另一交点为，
∴设，
化简得：，
∴，
有图像可知，，与x轴有两个交点，
∴，
∴，
而，
∴图像经过第一、二、四象限，
∵顶点在第三象限，∴，∴
而，
∴反比例函数解析式为，
∴图像过第一、三象限，
综上，可知A选项符合题意．
故选：A．
题型02 二次函数图像与系数的关系判断
1.考查重点：各个函数系数的特征，以及图像与系数之间关系的互相影响，判断系数或式子的大小或范围问题。
2.高频题型：判断式子的大小或范围。
3.能力要求：能够根据各函数之间的性质，会判断字母范围，特别是一些比较复杂的式子取值范围。
二次函数的图像与系数的关系判定结论： a：根据开口方向：开口向上a＞0，开口向下a＜0 b：结合开口方向和对称轴：左同右异：对称轴在Y轴左侧时，a、b符号相同，对称轴在Y轴右侧时，a、b符号相反 c：根据图像与Y轴交点的纵坐标：交点纵坐标为负数时，c＜0，交点纵坐标为正数时，c＞0 a、b：根据对称轴方程：，带入化简变形即可 a、c与b、c： 当对称轴为确定值时，联立对称轴方程：和一个特殊值带入，替换掉缺失的字母，然后化简变形即可 当对称轴不是确定值时，联立两个特殊值带入，加减消元法去掉缺失的字母，然后化简变形即可 a、b、c： ①：遇到b -4ac时，运用函数与X轴交点个数判断：当有两个交点时：b -4ac＞0，当有一个交点时：b -4ac=0，当没有交点时：b -4ac＜0 ②：遇到a+b+c、4a+2b+c、9a+3b+c.....等时，代入特殊值x=±1、±2、±3....即可 ③：遇到abc时，运用上面单独a、b、c的正负判断即可。
【典例分析】
例．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，抛物线（为常数，且）的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，先根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置，确定a，b，c的符号，再根据对称轴、当和时的取值，即可确定相关式子是否正确．
【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与y轴交于正半轴，
，，，与轴的另一个交点为，
，
，，故B选项和C选项错误，不合题意；
由图可知，当时，
，故A 选项错误，不合题意；
由图可知，当时，
，
∵，
∴，故D选项正确，符合题意，
故选：D．
【变式演练】
1．（2024·安徽安庆·二模）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于x的方程无实数根．其中正确结论的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①④
【答案】B
【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根．
【详解】解：①抛物线图象开口向上，
，
对称轴在直线轴左侧，
，同号，，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，故①正确．
②，
当时，由图象可得当时，，即，
当时，，由图象可得时，，即，
，即，故②正确．
③，，
∵，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，故③错误．
④抛物线的顶点坐标为，
，
，
无实数根．故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系．
2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，抛物线是常数，的顶点在第四象限，对称轴是直线，过第一、二、四象限的直线与抛物线交于轴上一点，则下列结论错误的是（）
A．
B．
C．若当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上，则
D．若为任意实数，则
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线与直线图象关系，由抛物线的对称轴，二次函数与方程及不等式的关系，分别进行判断即可．
【详解】直线
令，得
直线与轴的交点为，
∴抛物线与直线在轴上的交点为．
∵抛物线的对称轴为直线
抛物线与轴的另一个交点为．
把代入，得．
∵抛物线的对称轴为直线
，解得
，解得，
故选项A错误；
抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线过点
当时，，即
直线经过第一、二、四象限，
，
故选项B正确；
抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上，
，即当时，
．
由，得，
故选项C正确；
抛物线开口向上，对称轴为直线
当时，二次函数取最小值，最小值为，
即当时，，
，
，
故选项D正确．
3．（2024·安徽池州·三模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，关键能根据图象得出各个系数的符号和各系数之间的关系，A、把抛物线与x轴的一个交点为代入函数解析式即可；B、由图象的开口方向和图象与y轴的交点位置可知a、c的正负，即可判断该选项；C、根据抛物线与x轴有两个交点可判断该选项；D、当时，表示出函数值y，即可判断该选项．
【详解】A、抛物线与x轴的一个交点为，
，即，
故A错误；
B、抛物线开口方向向上，
，
由抛物线与y轴的交点可知，
，
故B错误；
C、抛物线与x轴有两个交点，
，即，
故C错误；
D、由图象可知，抛物线与x轴的另一个交点为，
当时，，
即，
故D正确．
4．（2023·广东东莞·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．已知抛物线的对称轴是直线，下列结论：
①，②，③，④．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．
根据二次函数的图象与系数的关系，以及反比例函数的图象即可求出答案．
【详解】解：由图象可知：，，
∵，
∴，
∴，故①正确；
由对称轴可知：，
∴，
∴，故②正确；
当时，，故③正确；
∵当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
故选：D．
5．（2023·安徽芜湖·二模）如图所示，点A，B，C是抛物线（为任意实数）上三点，则下列结论：
①；②函数最大值大于4；③；其中正确的有（ ）

A．②③ B．②③ C．①③ D．①②
【答案】B
【分析】由图可得：抛物线的开口方向向下，当 ，，即，可判断结论③正确；当与时，函数值不相等，可得抛物线的对称轴不是直线，即，函数最大值大于4，即可得出答案.
【详解】解：由图可得：抛物线的开口方向向下，当时，，当 ，，即，结论③正确；
∴当与时，函数值不相等，
∴抛物线的对称轴不是直线，即，函数最大值大于4；
故结论①错误，②正确；
故选：B.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质、数形结合是解题的关键.
题型03 “复杂函数”的图像综合判断
根据已知条件的函数的图像性质，判断出字母的取值范围，根据字母特点，求出新的函数的图像判断。
【典例分析】
例．（2024·安徽合肥·一模）已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数图象和性质，根据反比例函数图象和一次函数函数的图象得到， ，，再根据二次函数进行观察图象即可判断，解题的关键是根据函数图象确定，，的取值范围．
【详解】解：根据题意和已知图像关系，可知反比函数分布在第二象限，
∴
又∵函数图像经过一、二、三象限，
∴，且，
∴的对称轴为：，故D不符合题意；
将代入函数，可得到，故B和C不符合题意，A符合题意；
故选：A．
【变式演练】
1．（2024·安徽蚌埠·一模）已知一次函数与的图象如图所示，则函数 的图象可能是（　）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象和性质，熟知一次函数的性质，二次函数的性质是解题的关键.
根据一次函数 与 的图象，即可判断 且，据此即可判断函数的图象位置.
【详解】解：由图象可知 ，且，
∴函数的图象开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在的上方，与轴的一个交点为，
故选:C.
2．（2024·安徽合肥·一模）已知反比例函数的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，先根据一次函数、反比例函数的图象得到的符号，进而由判断出抛物线与轴的交点位置、对称轴位置，又结合可知抛物线开口向上，据此即可求解，掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：由反比例函数的图象可得，，
由一次函数图象与轴的交点在轴的正半轴上可得，，
∵，
∴二次函数与轴的交点在轴的正半轴上，
∵抛物线的对称轴，
∴抛物线的对称轴位于轴的左侧，
又∵，
∴抛物线开口向上，
故选：．
3．（2023·安徽·二模）已知：抛物线与关于直线对称，则直线和y＝的图象可能是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分和，两种情况讨论，根据对称轴的位置确定b的符号，与y轴的交点位置确定c的符号，即可判断．
【详解】解：当抛物线的开口向上时，，对称轴，

∴，与y轴的交点在x轴的上方，
∴，
则直线经过一、三象限，直线y＝经过一、二、四象限，
观察四个选项，没有符合条件的选项；
当抛物线的开口向下时，，对称轴，

∴，与y轴的交点在x轴的下方，
∴，
则直线经过二、四象限，直线y＝经过一、三、四象限，
观察四个选项，D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象，一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，求出a、b、c的正负情况，利用二次函数的性质解答．
4．（2023·安徽安庆·一模）若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为( )
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据反比例函数和二次函数的图象确定k、a、c的正负，然后根据一次函数的性质判断即可．
【详解】解：根据反比例函数的图象位于二、四象限可知，
根据二次函数的图象可知，，
，函数的大致图象经过一、三、四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象的知识，熟练掌握反比例函数和一次函数及二次函数的图像和性质是解题的关键．
5．（21-22九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝cx+a和二次函数y＝ax2﹣bx+c在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象的性质得到，再根据一次函数与二次函数的图象性质判断即可；
【详解】∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴，
A．∵二次函数的开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∵，
∴，与不相符，故A错误；
B. ∵二次函数的开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∵，
∴，
与已知b>0矛盾
故B错误；
C.∵二次函数的开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∵，
∴，
∵二次函数图象与y轴交于负半轴，
∴，
∴一次函数y＝cx+a的图象过二、三、四象限，故C错误；
D. ∵二次函数的开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∵，c<0
∴，则b>0,
所以一次函数图象经过第一、二、四象限
故D正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键。
题型04 求字母参数问题
能够根据函数的性质，或者式子转换为函数，确定字母的大小范围，进而求得选项中的字母范围。
【典例分析】
例．（2022·安徽·一模）已知抛物线经过点，且当时，，则下列判断正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】由抛物线经过点且当时，，代入解析式即可求解b的范围；根据题意可得抛物线与x轴与两个交点，由二次函数与一元二次方程的关系可得．
【详解】抛物线经过点
当时，
由题意得，抛物线与x轴与两个交点
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数点的坐标的特征、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式演练】
1．（2023·安徽合肥·三模）已知二次函数的最大值为，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵二次函数的最大值为，
∴开口向下，对称轴为直线，
∴；
又∵，
∴时及时，
∴，
∴．
∴，故A选项正确；
∴，故B选项正确；
∵顶点纵坐标大于，
∴变形为，故选项正确；
∵抛物线与轴两交点间距离大于4，
∴，
故D选项错误．

故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与x轴的交点等知识点，明确二次函数的相关性质是解题的关键．
2．（2023·安徽合肥·三模）关于的二次函数图像经过点和，且对称轴在轴的左侧，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将点和代入解析式，即可求得，，根据对称轴在轴的左侧，且过点可得得出抛物线与x轴的另一交点在的左侧且，当时，即，故，根据，得到，结合，求得，即可得到的取值范围．
【详解】解：∵抛物线点和
代入可得
∴，
∵对称轴在y轴左侧，且过点
∴抛物线与x轴的另一交点在的左侧
故，开口向上
∴当时
即
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴的取值范围为
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，不等式的性质，难度适中．得出与x轴的另一交点在的左侧是解题的关键．
3．（2023·安徽合肥·二模）抛物线经过点和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．函数的最小值一定小于
C． D．抛物线的对称轴可能是直线
【答案】C
【分析】根据题意，判断抛物线系数之间的关系，再根据二次函数与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵抛物线经过点和，
∴，整理得，，
∵，
∴，即，，
∴选项，，
∵，
∴无法判断的正负，故错误，不符合题意；
选项，抛物线的对称轴为，
∴函数的最值为，无法判定，故错误，不符合题意；
选项，，
∵，
∴，即正确，符合题意；
选项，抛物线的对称轴为，
∵，
∴无法判定的值，故错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的系数与对称轴，最值的计算方法是解题的关键．
4．（2023·安徽六安·二模）在抛物线L：上存在一点，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知抛物线的开口向上，对称轴为直线，由对称轴公式得到，整理得，解得，得到抛物线，把点代入即可求得的值．
【详解】解：∵在抛物线L：上存在一点，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴，，
整理得：，
解得或（舍去）
∴抛物线为，
把点代入得，，
∴的值为．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，根据题意得出抛物线的对称轴是解题的关键．
5．（2021·安徽合肥·三模）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，若a＞0，则下列结论错误的是（ ）
A．当x＞2时，y随着x的增大而增大
B．（a＋c）2＝b2
C．若A（x1，m）、B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1＋x2时，y＝c
D．若方程a（x＋1）（5﹣x）＝﹣1的两根为x1、x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜5＜x2
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质即可判断A；根据对称轴得到b＝﹣4a，经过点（﹣1，0）得到c＝﹣5a，从而求得a+c＝﹣4a，即可判断B；由抛物线的对称性得到，结合x＝x1+x2，即可判断C；利用二次函数与一元二次方程的关系即可判断D．
【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c中，a＞0，对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随着x的增大而增大，故A正确；
∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，即a+4a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴a+c＝﹣4a，
∴（a+c）2＝b2，故B正确；
∵A（x1，m）、B（x2，m）是抛物线上的两点，
∴抛物线对称轴，
∴2x＝x1+x2，
∵x＝x1+x2，
∴2x＝x，
∴x＝0，
∴此时，y＝ax2+bx+c＝c，故C正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，图象与x轴交于（﹣1，0），
∴抛物线x轴的另一个交点是（5，0），
∴抛物线与直线y＝﹣1的交点横坐标x1＞﹣1，x2＜5，如图，
∴方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣1的两根为x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜5，故D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
1．（2024·江西南昌·一模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象的综合．本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致即可判断．
【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项正确；
C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误．
故选：B．
2．（2024·安徽合肥·二模）如图，抛物线、、为常数，且的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，先根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置，确定a，b，c的符号，再根据对称轴、当和时的取值，即可确定相关式子是否正确．
【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与y轴交于正半轴，
，，，与轴的另一个交点为，
，
，，故B选项和C选项错误，不合题意；
由图可知，当时，
，故A 选项错误，不合题意；
由图可知，当时，
，
∵，
∴，故D选项正确，符合题意，
故选：D．
3．（2024·安徽亳州·一模）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图像，二次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的思想解答．
根据k的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，由反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质判断即可．
【详解】解：对于二次函数，当时，，
∴与y轴交于，
当时，，对于反比例函数，图像经过第一、三象限；对于二次函数，开口向下，与y轴交点在y轴负半轴；
当时，，对于反比例函数，图像经过第二、四象限；对于二次函数，开口向上，与y轴交点在y轴正半轴，
∴选项C符合题意．
故选：C．
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知实数a，b，c满足，，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题意求出，即可得到，求出抛物线与x轴有两个交点，即可得到．
【详解】解：设抛物线的函数表达式为，
，
当时，．
由①，②，
①②得，
，则
，
解得，
抛物线开口向下，
当时，，
抛物线与x轴有两个交点，
．
故选B．
5．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）二次函数图象如图．下列结论：①；②；③若m为任意实数，则有；④若，且，则；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断的大小，根据抛物线与轴的交点判断的大小，根据对称轴和抛物线与轴的交点情况进行推理，对结论逐一判断，即可解答．会利用对称轴求得与的关系，以及熟练掌握二次函数与方程、不等式之间的转化，是解题的关键．
【详解】解：图象的开口向下，
∴，
图象与轴交于正半轴，
∴
∵对称轴为，
∴，
，故①错误；
根据对称轴为直线，抛物线与轴的交点在的左边，
可得：抛物线与轴的另一个交点在和之间，
当时，，故②正确；
当时，函数具有最大值为，
，即，故③正确；
设，在二次函数上，
，，
，关于对称轴直线对称，
根据中点公式可得，
，故④正确，
综上所述，正确的有3个，
故选：C．
6．（21-22九年级上·湖北荆州·期中）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由题意可知：对称轴为，由对称性可知：抛物线与x轴的另外一个交点在与之间，从而可判断出①正确；抛物线对称轴为直线，得，则，把代入得，，从而可判断出②正确；由抛物线顶点坐标为，则有两个相等实数根，所以，则，从而可判断出③正确；根据的最大函数值为，则有实数根，从而可判断出故④错误．
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵图象与x轴的一个交点在，之间，
∴图象与x轴另一交点在，之间，
∴时，，
即，
故①正确，符合题意．
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴时，，
故②正确，符合题意．
∵抛物线顶点坐标为，
∴有两个相等实数根，
∴，
∴，
故③正确，符合题意．
∵的最大函数值为，
∴有实数根，
故④错误，不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是根据图象求出对称轴以及a，Δ与0的大小关系，本题属于中等题型．
7．（2023·安徽马鞍山·一模）如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线．现有下列说法：①；②；③；④若与是抛物线上的两个点，则；⑤关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（　　）

A．②④ B．②⑤ C．②③ D．④⑤
【答案】B
【分析】利用开口方向和与y轴交点位置判定①；代入并利用对称轴判断②；根据抛物线与x轴交点个数判断③；利用增减性和对称性判断④；利用抛物线与交点个数判断⑤即可解题．
【详解】解：∵开口向下，
∴，
∵与y轴交点在正半轴，
∴，
∴，故①不正确；
把代入得，
又∵对称轴，
∴，
即，
又∵
∴，故②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
即，故③不正确；
∵对称轴是，
∴与时函数值相等为，
在对称轴左侧y随x的增大而增大，
∴当时，，故④不正确；
直线与抛物线有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，
故⑤正确；
综上，正确的是②⑤，
故选：．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握数形结合的思想是解题的关键．
8．（2022·安徽马鞍山·一模）设二次函数与x轴的交点为，若且y的最小值为．
（1） ；
（2）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】（1）先根据题意判断出，然后利用在顶点处取最小值以及推出，再根据即可解答；
（2）根据二次函数图像和性质列出不等式求解即可．
【详解】解：（1）根据题意可知，二次函数的最小值为，
∴图像是开口向上的，则，
∴当时，，
∴，整理得：，
∵
∴，
∵二次函数与x轴的交点为，
∴，即，
故答案为：；
（2）由（1）可知：，即，
∵当时，不等式恒成立，
∴，整理得：，
∵，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，
∴解得：，与矛盾，舍去；
当时，
∵，
∴，解得：
∴实数a的取值范围为;
当时，
∵，
∴，解得：与矛盾，舍去
综上，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像和性质、二次函数的图像和系数的关系、二次函数的最值等，掌握二次函数的基本性质和运用分情况讨论解决问题是解题的关键．
9．（2023·安徽六安·模拟预测）已知直线经过抛物线的顶点，且当时，．则：
（1）直线与抛物线都经过同一个定点，这个定点的坐标是 ．
（2）当时，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】（1）先把两抛物线变形可得与都经过同一个点，即可求解；
（2）根据题意可得直线与抛物线的交点为，，再结合当时，，画出大致图象，即可．
【详解】解：（1）∵，
∴直线经过点，
∵，
∴抛物线经过点，
即与都经过同一个点；
故答案为：
（2）∵，
∴抛物线的顶点为，
∵直线经过抛物线的顶点，
∴直线与抛物线的交点为，，
∵当时，，
∴，．
画出大致图象如下：
∴当时．的取值范围是．
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式，涉及到二次函数和一次函数的性质，画出函数大致图象是本题解题的关键．
10．（2020·安徽合肥·二模）如果二次函数y＝x2+b（b为常数）与正比例函数y＝2x的图象在﹣1≤x≤2时有且只有一个公共交点，那么常数b的值应为 ．
【答案】﹣3≤b＜0或b＝1
【分析】分b＞0、b＝0、b＜0三种情况，确定临界点即可求解．
【详解】解：①当b＞0时，
抛物线与y＝2x只有一个交点，则联立二次函数与y＝2x并整理得：x2﹣2x+b＝0，
△＝4﹣4b＝0，解得：b＝1；
②当b＝0时，
则抛物线与正比例函数交点为（0，0）和（2，0），即两个交点，不符合题意；
③当b＜0时，
当x＝﹣1时，y＝2x＝﹣2，
临界点为（﹣1，﹣2），
将（﹣1，﹣2）代入y＝x2+b得：﹣2＝1+b，解得：b＝3，
此时抛物线不过（2，4）点，
故﹣3≤b＜0；
【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，分情况确定临界点是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题15 二次函数图像与系数关系
（图像共存、系数判断、复杂函数图像判断、字母范围）
题型01 函数图像共存问题
1.考查重点：一次函数、二次函数与反比例函数之间的综合图像的判断，熟练掌握二次函数的图象特点。
2.高频题型：图像综合判断，是否共存。
3.能力要求：要求掌握各个函数的性质，根据函数的性质判断是否能够共存。
1：根据函数图像判断函数系数的正负情况，当正负一致时，即为正确选项； 2：先根据图像判断其中一个函数的系数的正负，然后带入另一个函数中，若符合要求，即为正确；
【典例分析】
例1．（一次函数与二次函数）（2025·安徽合肥·一模）如图，这是一次函数的图象，则二次函数的图象不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例2．（二次函数与反比例函数）（2025·安徽·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【变式演练】
1．（2025·安徽·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和（a是常数，且）的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交两点，则二次函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽·二模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象可能为（ ）
A．B．C． D．
4．（2024·安徽马鞍山·一模）已知二次函数的图象如图所示，图象与x轴交于，顶点是，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（　　）
A． B． C．D．
题型02 二次函数图像与系数的关系判断
1.考查重点：各个函数系数的特征，以及图像与系数之间关系的互相影响，判断系数或式子的大小或范围问题。
2.高频题型：判断式子的大小或范围。
3.能力要求：能够根据各函数之间的性质，会判断字母范围，特别是一些比较复杂的式子取值范围。
二次函数的图像与系数的关系判定结论： a：根据开口方向：开口向上a＞0，开口向下a＜0 b：结合开口方向和对称轴：左同右异：对称轴在Y轴左侧时，a、b符号相同，对称轴在Y轴右侧时，a、b符号相反 c：根据图像与Y轴交点的纵坐标：交点纵坐标为负数时，c＜0，交点纵坐标为正数时，c＞0 a、b：根据对称轴方程：，带入化简变形即可 a、c与b、c： 当对称轴为确定值时，联立对称轴方程：和一个特殊值带入，替换掉缺失的字母，然后化简变形即可 当对称轴不是确定值时，联立两个特殊值带入，加减消元法去掉缺失的字母，然后化简变形即可 a、b、c： ①：遇到b -4ac时，运用函数与X轴交点个数判断：当有两个交点时：b -4ac＞0，当有一个交点时：b -4ac=0，当没有交点时：b -4ac＜0 ②：遇到a+b+c、4a+2b+c、9a+3b+c.....等时，代入特殊值x=±1、±2、±3....即可 ③：遇到abc时，运用上面单独a、b、c的正负判断即可。
【典例分析】
例．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，抛物线（为常数，且）的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式演练】
1．（2024·安徽安庆·二模）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于x的方程无实数根．其中正确结论的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①④
2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，抛物线是常数，的顶点在第四象限，对称轴是直线，过第一、二、四象限的直线与抛物线交于轴上一点，则下列结论错误的是（）
A．
B．
C．若当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上，则
D．若为任意实数，则
3．（2024·安徽池州·三模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·广东东莞·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．已知抛物线的对称轴是直线，下列结论：
①，②，③，④．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023·安徽芜湖·二模）如图所示，点A，B，C是抛物线（为任意实数）上三点，则下列结论：
①；②函数最大值大于4；③；其中正确的有（ ）

A．②③ B．②③ C．①③ D．①②
题型03 “复杂函数”的图像综合判断
根据已知条件的函数的图像性质，判断出字母的取值范围，根据字母特点，求出新的函数的图像判断。
【典例分析】
例．（2024·安徽合肥·一模）已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）．
A． B． C． D．
【变式演练】
1．（2024·安徽蚌埠·一模）已知一次函数与的图象如图所示，则函数 的图象可能是（　）
A．B．C． D．
2．（2024·安徽合肥·一模）已知反比例函数的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
3．（2023·安徽·二模）已知：抛物线与关于直线对称，则直线和y＝的图象可能是 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·安徽安庆·一模）若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为( )
A．B． C． D．
5．（21-22九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝cx+a和二次函数y＝ax2﹣bx+c在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
题型04 求字母参数问题
能够根据函数的性质，或者式子转换为函数，确定字母的大小范围，进而求得选项中的字母范围。
【典例分析】
例．（2022·安徽·一模）已知抛物线经过点，且当时，，则下列判断正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式演练】
1．（2023·安徽合肥·三模）已知二次函数的最大值为，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·安徽合肥·三模）关于的二次函数图像经过点和，且对称轴在轴的左侧，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·安徽合肥·二模）抛物线经过点和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．函数的最小值一定小于
C． D．抛物线的对称轴可能是直线
4．（2023·安徽六安·二模）在抛物线L：上存在一点，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·安徽合肥·三模）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，若a＞0，则下列结论错误的是（ ）
A．当x＞2时，y随着x的增大而增大
B．（a＋c）2＝b2
C．若A（x1，m）、B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1＋x2时，y＝c
D．若方程a（x＋1）（5﹣x）＝﹣1的两根为x1、x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜5＜x2
1．（2024·江西南昌·一模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽合肥·二模）如图，抛物线、、为常数，且的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
3．（2024·安徽亳州·一模）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ）
A．B．C． D．
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知实数a，b，c满足，，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）二次函数图象如图．下列结论：①；②；③若m为任意实数，则有；④若，且，则；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（21-22九年级上·湖北荆州·期中）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023·安徽马鞍山·一模）如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线．现有下列说法：①；②；③；④若与是抛物线上的两个点，则；⑤关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（　　）

A．②④ B．②⑤ C．②③ D．④⑤
8．（2022·安徽马鞍山·一模）设二次函数与x轴的交点为，若且y的最小值为．
（1） ；
（2）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ．
9．（2023·安徽六安·模拟预测）已知直线经过抛物线的顶点，且当时，．则：
（1）直线与抛物线都经过同一个定点，这个定点的坐标是 ．
（2）当时，的取值范围是 ．
10．（2020·安徽合肥·二模）如果二次函数y＝x2+b（b为常数）与正比例函数y＝2x的图象在﹣1≤x≤2时有且只有一个公共交点，那么常数b的值应为 ．
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