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初四5月数学模拟试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1．下列各数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
2．人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．左图是一块雕刻印章的材料，从左面看到的平面图形为（ ）
A． B． C． D．
5．随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．样本容量是 B．平均数是
C．中位数是 D．的权数是
6．下列命题是真命题的是（　　）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．平分弦的直径垂直于弦
C．面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比也是1：4
D．顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形
7．定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（ ）
B． C． D．
8．直线y=2x+4与直线y=2x-2之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）
11．因式分解=
12．= ．
13．如图，扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，C为OB边上一点，将△AOC沿AC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上的点D，则阴影部分面积为
14．如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将△ABC沿轴正方向平移至△DEF；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于 ．
15．如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0）．则依图中所示规律，A2021的坐标为　 　 ．
16．如图①，在菱形中，，点E是的中点，点P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度之和为y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点H的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（6分）(1)先化简，再求值：，其中．
(2)解不等式组：，并把解集表示在数轴上；
18．（8分）“一字一世界，一书一天堂.”读书能丰富人的精神世界，启智润心，要让读书成为一种习惯，成为一种有品质的生活方式.为了解成年人的阅读情况，某社区进行了家庭成年人阅读情况调查，社区工作人员随机抽取了40户家庭进行问卷调查，将调查结果分为A、之内、B、、C、、D、以上四个等级，下面是部分统计结果.
阅读时间在1.0~2.0h范围内的数据如下：
1.3，1.5，1.2，1.7，1.3，1.1，1.5，1.4，1.3，1.8，
1.7，1.2，1.3，1.0，1.3，1.4，1.5，1.6，1.2，1.9
等级 阅读时间/h 频数
A 16
B a
C b
D 4
合计 40
请结合以上信息解答下列问题：
(1)______，______；
(2)B组数据的众数是______，中位数是______；
(3)统计图中C组对应扇形的圆心角为______度；
(4)该社区宣传工作人员有2男1女，要从中随机选2人参加阅读宣传活动，请用画树状图法或列表法求恰好选中“1男1女”的概率.
19．（7分）在《测量物体的高度》的综合实践课上，王老师先带领同学们制作简易测角仪，随后再用所制作的测角仪测量物体的高度．
（1）小明同学提出如下方法制作测角仪（图1），以较大量角器为主要器材进行设计，在经过中心点O处安置一根可绕点O旋转的空心直管，眼睛可通过空心管的C端瞄准目标物E进行测量，此时CE的方向即为视线的方向，原理是　 　 ．（请从下列选项中选择正确选项的序号填入：①两点之间线段最短；②两点确定一条直线；③两条直线相交有且只有一个交点．）
（2）在量角器的中心点O处悬挂重锤，由物理知识可知只要重锤悬挂线与90°线重合，则AB即为水平线．此时读出α角的度数，就是所测目标的仰角．原理是　 　 ．（请从下列选项中选择正确选项的序号填入：①对顶角相等；②直角三角形的两个锐角互余；③两直线平行，内错角相等．）通过这个方式可得到测量目标的仰角或俯角，为测量物体的高度进行准备．
（3）如图，某高楼顶部有一信号发射塔（图2），小明在矩形建筑物ABCD的D，C两点处测得该塔顶端E仰角分别为α＝53°β＝65°矩形建筑物高度DC＝32m．计算该信号塔顶端到地面的高度EF．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）
20.（8分）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布DeepSeek﹣V3模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
21．（12分）如图，以矩形ABCD的对称中心O为原点建立平面直角坐标系，各边与x轴、y轴交于点E，N，F，M，AB＝4，BC＝8，反比例函数的图象与矩形的边AB，BC分别交于点P，Q，且AB＝8EP，直线l：y2＝k2x+b经过P，Q两点．
（1）请分别求出直线l和反比例函数的表达式；
（2）连接EN．
①求证：EN∥PQ；
②线段EN与反比例函数图象是否有公共点，如有，请求出公共点的坐标；若没有，请说明理由．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，E为CD延长线上一点，过E点作⊙O的切线，切点为G，连接AG交CD于F点．
(1)求证：EF＝EG；
(2)若FG2＝FD FE，试判断AC与GE的位置关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若sinE＝，AH＝3，求⊙O半径的长．
23．（11分）【基础巩固】
(1)如图1，在△ABC中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：．
【尝试应用】
(2)如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长．
【拓展提升】
(3)如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长．
24．（10分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4，其中a≠0．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，其中x1＜x2，求x1+2x2的值．
（3）若a＝1，当t﹣1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值．参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C A C D B D D B
二．填空题（共6小题）
11． a（a+3）（a﹣3）．
12． 　．
13. 3-4．
14 　6　．
15． (1012,0)　．
16. ()
三．解答题（共9小题）
17．（6分）（1）先化简再求值：，其中．
【解答】解：，
.
.（或=.）..................................................................2分
当时，原式6+4，.......................3分
(2) 解不等式组：，并把解集表示在数轴上；
【解答】解：，
解不等式①，得：x＞﹣2，
解不等式②，得：x≤-1，............................4分
∴该不等式组的解集为﹣2＜x≤-1，. ...............5分
其解集在数轴上表示如下：
..............................6分．
18．（8分）
（1）a=12............... ............... ............... ...............1分
b=8............... ............... ............... ...............2分
（2）众数：1.3............... ............... ............... ...............3分
中位数：1.3. .............. ............... ............... ...............4分
（3）72.............. ............... ............... ...............5分
男 男 女
男 \ （男，男） （女，男）
男 （男，男） \ （女，男）
女 （男，男） （男，男） \
（4）
一共有6种等可能结果，其中恰好抽到1男1女的结果有4种
∴P（1男1女）=............... 8分
19．（7分）
解：（1）②..............................1分
（2）①................ ............2分
（3）延长AD交EF于H点，如图.
∵AD//BC
∴∠DCF=∠HFC =∠CDH=∠FHD=90°
∴四边形CDHF为矩形
∴DH＝CF,HF＝CD=32m............3分
在Rt.
∵tan∠EDH=.
∴EH=DH°=1.3DH.............................................4分
在Rt.
∵tan∠ECF=.
∴EF=CF°=DH=2.1DH...............................................5分
∵EF-EH=HF
∴2.1DH-1.3DH=32
DH=40
∴EF=2.1×40=84m..................................................6分
答：该信号塔顶端到地面的高度EF为84m. ...............................7分
20．（8分）（1）设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为（x+200）元。
∴x=300. ..............................2 分
经检验，x=300是所列分式方程的解∴x+200=500.
答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元.............................3分
（2）设购买A型机器人m台，则购买B型机器人（40-m）台.
∵40-m≤3m
∴m≥10.............................4 分
设共花费w元，则
W=0.8×500m+0.8×300（40-m）=160m+9600.............................6 分
∵160＞0
∴w随m的减小而减小
∴当m=10时，w最小，w最小=11200，40-10=30
答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元. .......................8分
21. （12分）
（1）∵以矩形ABC D的对称中心O为原点建立平面直角坐标系，AB=4,BC=8，
∴B（2,4），
∵AB=8EP，
∴EP=AB= = ， ∴P(,4)
把P(,4)，代入 ，
解得k1＝2， ..............................2 分
∴
令 =2得：y1=1，得Q（2,1），
把P(,4)，Q（2，1）代入y2=k2x+b得：
解得
直线l的表达式为y2= -2x+ 5； ..............................4 分
①证明
∵B（2,4），
∴ E (0,4), N (2,0),
设直线EN解析式为y=mx+n，把E（0,4），N （2,0）代入得：
n=4，2m + n= 0
∴m=-2
∴直线EN解析式为y=-2x＋4，直线PQ解析式为y=-2x+5，
∴EN//PQ..............................8分
②线段EN与反比例函数图象有公共点，理由如下：
∴
∴直线EN与反比例函数图象有公共点（1,2）.............................9分
∵xE=0，xN =2，且0<1<2，
：直线EN与反比例函数图象的公共点（1,2）在线段EN上，. ..............................11 分
∴线段EN与反比例函数图象有公共点，公共点坐标为（1,2）. ..............................12 分
22．（10分）
（1）证明：连接OG
∵EG为圆的切线
∴∠FGE +∠OGA= 90°.............................1分
∵CD⊥AB
∴∠AFH +∠OAG=90°
∵OA=OG
∴∠OGA=∠OAG.............................2分
∴∠FGE=∠AFH =∠GFE
∴EF=EG.............................3分
（2）AC//GE.............................4分
连接GD
∵FG2＝FD FE
∴
∵∠FGE=∠GFE
∴ . ............................5分
∴∠E=∠AGD
∵
∴∠C=∠AGD............................6分
∴∠E=∠C
∴AC//GE............................7分
(3)连接OC
∵AC//GE
∴∠E=∠ACH
∴sinE=sin∠ACH=............................8分
∵AH=3
∴AC=5,CH=4
设半径为r
在Rt中，OC=r，OH=r-3，CH=4
由勾股定理得：OH2+CH2=OC2...........................9分
∴(r-3)2+42=r2
∴r=...........................10分
23．（11分）
（1）证明：∵CD=CE，
∴∠CDE = ∠CED,
∴180° - ∠CDE = 180° - ∠CED，
∴∠ADB = ∠CEA,
∵∠BAD = ∠ACE,
∴ABDCAE. ..........................2分
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO = DO = BD =x12=6,
∴BE = DO = BO = 6.
∴∠BEO = ∠BOE, ..........................3分
∴ 180° - ∠BEO = 180° - ∠BOE,
∴∠BEC = ∠COD.
∵∠CBE = ∠DCO,
∴BCECOD， .........................4分
∴
设OC=x ，则CE=0C- OE=x- 5，
∴..........................5分
∴x1=9，x2=-4（舍去）
∴OC=9
∴AC=20C=18 ..........................6分
(3)延长AG，BC，交于点G.
∵
∴设DF = 5t, FC = 3t, 则 CD = 8t,
∵四边形ABCD是菱形，
:∴AB = AD = BC = CD = 8t, AD//BC,
AO = AC= x6=3, AC⊥BD,
∴CGFDAF. .........................8分
∴
即CG
∴ CG = t.
在RtBOC中，
∵E为BC的中点，
∴0E = CE = BC = 4t.
∴∠COE = ∠ACE,
∴∠AOE = ∠ACG,
∵∠AEO = ∠CAF,
∴AOE， ..........................9分
∴
即
∴t1=t2=（舍去），..........................10分
AB= AD=BC =CD =8t=2，..........................11分
即菱形ABCD的边长为2.
24．（10分）
（1）由题意，对称轴是直线x= = 1. ..........................1分
（2）由题意得，y= ax2-2ax +4=a（x2-2x）+4，
∵无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，
∴令x2-2x =0，即 x=0或 x=2，则y=4.
∵x1 < x2，
.∴x1 = 0, x2 = 2. ..........................3分
∴X1+2 x2=0+2×2=4. ..........................4分
（3）由题意得，当a=1时， y=x2-2x+4=（x-1）2+3.
∴当x=1时，y取最小值为3；当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大。
抛物线上的点离对称轴越近函数值越小.
①当t≤1时，当x=t-1时，y取最大值，y= t2-4t+7；当 x=t时，g取最小值，
y= t2-2t+4
∴t2-4t+7-( t2-2t+4)=2
∴t= ..........................6分
②当t-1<1∴当x=1时，y取最小值为3.
又当x＝t-1,y取最大値，y＝t2-4t+7或当x＝t 时，y取最大值，y= t2-2t+4，
∴t2-4t+7-3＝2或t2-2t+4-3＝2
t=2或t=1（舍去）..........................8分
③当t-1≥1，即t≥2時、当x＝t-1时，y取最小值，y= t2-4t+7；当 x=t时，y取最大值，
y=t2-2t+4,
∴t2-2t+4-（t2-4t+7）=2
∴t=
综上所述t=或 ..........................10分

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