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镇江市扬中市第二高级中学2024-2025高一数学第二学期期末模拟试卷
姓名
一 单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数是关于的一元二次方程的一个根，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在正方体所成角的正弦值为 （ ）
A． B．
C． D．
3．如图，锐二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，则锐二面角的平面角的余弦值是 （ ）
A． B． C． D．
4．已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 （ ）
A. 若，，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，且与所成的角和与所成的角相等，则
5．已知向量方向上的投影向量的模从为 （ ）
A． B． C． D．
6．已知点均位于单位圆（圆心为，半径为1）上，且的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
7．已知，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知正方体的棱长为6，的中点， 内的动点，若，则点的距离的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
二 多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全
9. 已知是虚数；且，则 （ ）
A. B.
C. D.
10．在四棱台中，，点内部（含边界），则 （ ）
A． B．二面角
C．该四棱台外接球的体积为 D．
11．在，则 （ ）
A． B．满足条件有两个
C． D．
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12．已知，若 .
13．已知梯形，,若,，，则的取值范围为 .
14．如图，在四棱柱中，为平行四边形，分别在线段上，且，上，且平面，则 .
四 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．如图所示，则四棱锥中，底面是矩形，且分别是线段的中点.
（1）证明：；（2）若的距离.
16．已知向量
（1）若；（2）设，若，当取最小值时，求的值.
17．由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，的交点.（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）设平面的交线为，求证：
18．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，
上，平面（1）证明：；（2）若，求三棱锥的体积；（3）若二面角
19．如图，在在平面四边形上一点，，
（1）证明：；
（2）若
（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的取值范围.镇江市扬中市第二高级中学2024-2025高一数学第二学期期末模拟试卷
姓名
一 单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数是关于的一元二次方程的一个根，则 （ C ）
A． B． C． D．
2．在正方体所成角的正弦值为 （ D ）
A． B．
C． D．
3．如图，锐二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，则锐二面角的平面角的余弦值是 （ B ）
A． B． C． D．
4．已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 （ C ）
A. 若，，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，且与所成的角和与所成的角相等，则
5．已知向量方向上的投影向量的模从为 （ A ）
A． B． C． D．
6．已知点均位于单位圆（圆心为，半径为1）上，且的最大值为 （ C ）
A． B． C． D．
7．已知，则 （ C ）
A． B． C． D．
8．已知正方体的棱长为6，的中点， 内的动点，若，则点的距离的取值范围是 （ B ）
A． B． C． D．
二 多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全
9. 已知是虚数；且，则 （ ABD ）
A. B.
C. D.
10．在四棱台中，，点内部（含边界），则 （ AD ）
A． B．二面角
C．该四棱台外接球的体积为 D．
11．在，则 （ACD）
A． B．满足条件有两个
C． D．
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12．已知，若 .
13．已知梯形，,若,，
，则的取值范围为 .
14．如图，在四棱柱中，为平行四边形，分别在线段上，且，上，且平面，则 .
四 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．如图所示，则四棱锥中，底面是矩形，且分别是线段的中点.
（1）证明：；（2）若的距离.
15．（1）证明：连接，
又,
，
又,
，
,
；
（2）
，
，
解得，即的距离为
16．已知向量
（1）若；（2）设，若，当取最小值时，求的值.
16．解：（1）,
,
；
（2），
，
，
，
所以
，
所以当取得最小值.
17．由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，的交点.（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）设平面的交线为，求证：
17．证明：（1）取，
连接，
是四棱锥，
，
所以四边形为平行四边形，
，
；
（2）平行且等于平行且等于平行且等于,
所以四边形是平行四边形，
,
由（1）得，
（3）由（2）得,
又，
18．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，
上，平面（1）证明：；（2）若，求三棱锥的体积；（3）若二面角
18．（1）证明：因为平面，
，
又；
（2）因为，
（其中点的交点也是中点），
中点，
而，
,
所以,
,
在，
由余弦定理得：，
结合,
；
（3）由题意知，
过点，
，
所以，
由（2）可知S是等腰三角形，
同理也是等腰直角三角形，
，
在，
，
不妨设，
则，
所以
19．如图，在在平面四边形上一点，，
（1）证明：；
（2）若
（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的取值范围.
19．解：（1）,
在，
，
即；
（2）（ⅰ）在中,由正弦定理得
，
，，
所以，
解得（舍去）
；
（ⅱ）在中，由正弦定理得
即，
由余弦定理得
，
,
在中，由余弦定理得
，
所以.

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