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专题01 实数及其运算
课标要求 考点 考向
1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小． 2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）． 3．理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）． 4．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算. 5．能运用有理数的运算解决简单的问题． 6．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．能求实数的相反数与绝对值． 7．能用有理数估计一个无理数的大致范围． 有理数 考向一 正负数与具有相反意义的量
考向二 相反数、倒数、绝对值
考向三 有理数的加减运算
考向四 有理数的混合运算
考向五 科学记数法和有效数字
实数 考向一 平方根与立方根
考向二 实数的相关性质与运算
考点一 有理数
考向一 正负数与具有相反意义的量
1．（24-25安徽滁州）下列各数中是正数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25安徽宿州）在，1，0，这四个数中，是负数的是（ ）
A． B．1 C．0 D．
3．（24-25安徽蚌埠）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出1000元记作元，那么元表示（ ）
A．支出60元 B．收入60元 C．支出1060元 D．收入1060元
4．（24-25安徽阜阳）规定：表示向东走，记作，则（）表示向西走，记作（ ）
A． B． C． D．
考向二 相反数、倒数、绝对值
易错易混提醒 （1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点） （2）任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。 （3）数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.
1．（2024·安徽·中考真题）﹣5的绝对值是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．
2．（2023·安徽·中考真题）－5的相反数是( )
A． B． C．5 D．-5
3．（2024 安徽合肥三模）的倒数是（　　）
A． B． C． D．4
考向三 有理数的加减运算
解题技巧/易错易混 规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算 步骤：（1）减法化加法； （2）省略括号和加号； （3）运用加法运算律使计算简便； （4）运用有理数加法法则进行计算。 注：运用加法运算律时，可按如下几点进行： （1）同号的先结合； （2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合； （3）互为相反数的两数相结合； （4）能凑成整数的两数相结合； （5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加
1．（2024·广东·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C．2 D．8
2．（2024·湖南长沙·中考真题）“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·吉林长春·中考真题）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可）
考向四 有理数的混合运算
解题技巧 多个有理数相乘的法则及规律： （1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数； 负因数的个数是偶数时，积是正数。 确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。 （2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0. 注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘
1．（2023·四川资阳·中考真题）体重指数是体重（千克）与身高（米）的平方的比值，是反映人体胖瘦的重要指标（如表所示）．小张的身高米，体重70千克，则小张的体重状况是（ ）
体重指数的范围 体重状况
体重指数 消瘦
体重指数 正常
体重指数 超重
体重指数 肥胖
A．消瘦 B．正常 C．超重 D．肥胖
2．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ．
3．（2023·四川资阳·中考真题）计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”二进制数和十进制数可以互换例如，二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为 ．
4．（2024·广西·中考真题）计算：
5．（2023·广西·中考真题）计算：．
考向五 科学记数法和有效数字
1．（2024·安徽·中考真题）据统计，年我国新能源汽车产量超过万辆，其中万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽·中考真题）据统计，2021年我省出版期刊杂志总印数3400万册，其中3400万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·西藏·中考真题）随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·安徽·中考真题）据统计，年第一季度安徽省采矿业实现利润总额亿元，其中亿用科学记数法表示为 ．
考点二 实数
考向一 平方根与立方根
1．（2024·四川内江·中考真题）16的平方根是（ ）
A． B．4 C．2 D．
2．（2024·广东·中考真题）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（ ）
A．2 B．5 C．10 D．20
3．（2022·四川攀枝花·中考真题）2的平方根是（ ）．
A． B． C．2 D．
4．（2022·江苏南京·中考真题）估计12的算术平方根介于（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
考向二 实数的相关性质与运算
1．（2024·安徽阜阳·三模）定义新运算，如，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2024·安徽·一模）[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.1]＝2，[－0.5]＝－1，则下列说法正确的是 （　　）
A．[2x]＝2[x] B．[－x]＝－[x] C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．设函数y＝x－[x]，则0≤y＜1
3．（2024·安徽六安·模拟预测）计算： ．
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算： ．
5．（2024·安徽宿州·二模）计算： ．
6．（2024·安徽淮南·三模）计算： ．
1．（2024·安徽合肥·二模）如图，直径为1的圆上有一点，且点与数轴上表示的点重合，将这个圆在数轴上无滑动的滚动，当点再次与数轴上的某个点重合，那么这个点的位置可能是（ ）
A．3与4之间 B．6与7之间 C．与之间 D．与之间
2．对于最小的，使得任意个人中必定存在个人均相互认识或存在个人互相不相识．我们称．下列表述错误的是？（ ）
A． B．
C． D．我不能在考场上计算出的值
3．已知是有理数，是无理数，下列算式的结果必定为无理数的是（　　）
A． B． C． D．
4．无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某矩形的长为，宽为，则这个矩形面积的值大约在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
5．定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（ ）
A． B．6 C． D．3
6．（2024·安徽淮北·三模）计算： ．
7．已知，则 ．
8．（24-25安徽）【观察思考】
如图是由长度为和的两种线段拼成的正方形图案：
【规律发现】
请用含的式子表示：
（1）第个图案中需要长的线段的条数为 ；
（2）第个图案中需要长的线段的条数为 ；
【规律应用】
（3）若要组成一个面积为的正方形图案，则需要这两种线段各多少条？
9．（1）计算：；
（2）如图，点A表示的数落在数轴上0和1之间（不包括0和1），且点A表示的数是．求x的取值范围．
10．对于实数，定义新运算“”，规定如下：
如
(1)求的值；
(2)若为某一个实数，记的值为，的值为，请你判断的值是否与的取值有关？并给出证明．
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课标要求 考点 考向
1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小． 2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）． 3．理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）． 4．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算. 5．能运用有理数的运算解决简单的问题． 6．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．能求实数的相反数与绝对值． 7．能用有理数估计一个无理数的大致范围． 有理数 考向一 正负数与具有相反意义的量
考向二 相反数、倒数、绝对值
考向三 有理数的加减运算
考向四 有理数的混合运算
考向五 科学记数法和有效数字
实数 考向一 平方根与立方根
考向二 实数的相关性质与运算
考点一 有理数
考向一 正负数与具有相反意义的量
1．（24-25安徽滁州）下列各数中是正数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查正数和负数、幂的运算及化简绝对值，先根据幂的定义、绝对值的应用化简，再根据正数的定义即可求得答案．
【详解】解：A.，是负数，故选项A不符合题意；
B. ，是负数，故选项B不符合题意；
C. ，是正数，故选项C符合题意；
D. ，是负数，故选项D不符合题意；
故选：C．
2．（24-25安徽宿州）在，1，0，这四个数中，是负数的是（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】A
【分析】根据正负数的意义分析即可．
【详解】解：由题意可知：
∵，
∴是负数，
故选：A．
【点睛】本题考查正负数的意义，解题的关键是掌握正负数的意义，大于0的是正数，小于0的是负数，0既不是正数也不是负数．
3．（24-25安徽蚌埠）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出1000元记作元，那么元表示（ ）
A．支出60元 B．收入60元 C．支出1060元 D．收入1060元
【答案】D
【分析】根据相反意义的量，解答即可．
本题考查了相反意义的量，熟练掌握意义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得支出1000元记作元，则元表示收入1060元，
故选：D．
4．（24-25安徽阜阳）规定：表示向东走，记作，则（）表示向西走，记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正负数的表示相反意义的量，理解正负数的意义是解题关键．根据正负数的意义进行解答即可．
【详解】解：根据题意，表示向东走，记作，
则（）表示向西走，记作．
故选：B．
考向二 相反数、倒数、绝对值
易错易混提醒 （1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点） （2）任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。 （3）数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.
1．（2024·安徽·中考真题）﹣5的绝对值是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．
【答案】A
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．
【详解】解：|﹣5|=5．
故选A．
2．（2023·安徽·中考真题）－5的相反数是( )
A． B． C．5 D．-5
【答案】C
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【详解】-5的相反数是5．
故选C．
【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键．
3．（2024 安徽合肥三模）的倒数是（　　）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义：“乘积为1的两个数互为倒数”求解即可．
【详解】解：的倒数是，
故选：B．
考向三 有理数的加减运算
解题技巧/易错易混 规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算 步骤：（1）减法化加法； （2）省略括号和加号； （3）运用加法运算律使计算简便； （4）运用有理数加法法则进行计算。 注：运用加法运算律时，可按如下几点进行： （1）同号的先结合； （2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合； （3）互为相反数的两数相结合； （4）能凑成整数的两数相结合； （5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加
1．（2024·广东·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C．2 D．8
【答案】A
【分析】本题主要考查有理数的加法法则，掌握“异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并把较大数的绝对值减去较小数的绝对值”是解题的关键．
根据有理数的加法法则，即可求解．
【详解】解：，
故答案是：A．
2．（2024·湖南长沙·中考真题）“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了温差的概念和有理数的运算，解决本题的关键是气温最高值与最低值之差，计算解决即可．
【详解】解：能够耐受的温差是，
故答案为：D．
3．（2024·吉林长春·中考真题）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握“将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同”成为解题的关键．
根据将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同即可解答．
【详解】解：．
故选D．
4．（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可）
【答案】0
【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果．
【详解】解：由题意，填写如下：
，满足题意；
故答案为：0．
考向四 有理数的混合运算
解题技巧 多个有理数相乘的法则及规律： （1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数； 负因数的个数是偶数时，积是正数。 确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。 （2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0. 注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘
1．（2023·四川资阳·中考真题）体重指数是体重（千克）与身高（米）的平方的比值，是反映人体胖瘦的重要指标（如表所示）．小张的身高米，体重70千克，则小张的体重状况是（ ）
体重指数的范围 体重状况
体重指数 消瘦
体重指数 正常
体重指数 超重
体重指数 肥胖
A．消瘦 B．正常 C．超重 D．肥胖
【答案】C
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，根据的计算公式求出小张的，即可得到答案．
【详解】解：由题意得，小张的，
∴小张的体重状况是超重，
故选：C．
2．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ．
【答案】8
【分析】根据定义，得，解得即可．
本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．
【详解】根据定义，得，
故答案为：8．
3．（2023·四川资阳·中考真题）计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”二进制数和十进制数可以互换例如，二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为 ．
【答案】73
【分析】本题考查了用数字表示数及有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键．根据二进制和十进制的互换规则即可解答．
【详解】解：由二进制和十进制的互换规则得：
．
故答案为：73．
4．（2024·广西·中考真题）计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先算乘法和乘方，再算加法即可．
【详解】解：原式
．
5．（2023·广西·中考真题）计算：．
【答案】6
【分析】根据有理数的混合运算法则求解即可．
【详解】
．
【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
考向五 科学记数法和有效数字
1．（2024·安徽·中考真题）据统计，年我国新能源汽车产量超过万辆，其中万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法，先把万转化为，再根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，然后根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键．
【详解】解：万，
故选：．
2．（2022·安徽·中考真题）据统计，2021年我省出版期刊杂志总印数3400万册，其中3400万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将万写成，保留1位整数，写成的形式即可，n为正整数．
【详解】解：万，保留1位整数为，小数点向左移动7位，
因此，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握中a的取值范围和n的取值方法是解题的关键．
3．（2024·西藏·中考真题）随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：将0.0000007用科学记数法表示应为，
故选：C．
4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可．
【详解】解：数字0.00000156用科学记数法表示为，
故选：C．
5．（2023·安徽·中考真题）据统计，年第一季度安徽省采矿业实现利润总额亿元，其中亿用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：亿．
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
考点二 实数
考向一 平方根与立方根
1．（2024·四川内江·中考真题）16的平方根是（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【分析】题考查了平方根，熟记定义是解题的关键．根据平方根的定义计算即可．
【详解】解：16的平方根是，
故选：D．
2．（2024·广东·中考真题）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（ ）
A．2 B．5 C．10 D．20
【答案】B
【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，先求出一个正方形的面积，再根据正方形的面积计算公式求出对应的边长即可．
【详解】解：∵完全相同的4个正方形面积之和是100，
∴一个正方形的面积为，
∴正方形的边长为，
故选：B．
3．（2022·四川攀枝花·中考真题）2的平方根是（ ）．
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：，
2的平方根是，
故选：B．
4．（2022·江苏南京·中考真题）估计12的算术平方根介于（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【分析】首先根据，即可得出12的算术平方根介于3和4之间．
【详解】∵，
∴．
∴估计12的算术平方根介于3和4之间．
故选C．
【点睛】本题主要考查了无理数大小的估算，得出接近的有理数是解题的关键．
考向二 实数的相关性质与运算
1．（2024·安徽阜阳·三模）定义新运算，如，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．
根据题意，将原方程化为，再将方程化为一般式，最后用因式分解法求解即可．
【详解】解：根据题意可得：， ，
∵，
∴，
整理得：，
解得：，，
故选：B．
2．（2024·安徽·一模）[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.1]＝2，[－0.5]＝－1，则下列说法正确的是 （　　）
A．[2x]＝2[x] B．[－x]＝－[x] C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．设函数y＝x－[x]，则0≤y＜1
【答案】D
【分析】运用举反例法证明其错误，计算判断．
【详解】当x=0.5时，[2x]＝[2×0.5]=[1]=1，2[x]=2×[0.5]=2×0=0，不相等，
∴A的说法不正确；
当x= -1.5时，[－x]＝[1.5]=1，－[x]=- [-1.5]=-（-2）=2，不相等，
∴B的说法不正确；
当x= 1.5，y=2.7时，[x＋y]= [1.5＋2.7= [4.2]=4，[x]＋[y]= [1.5]+ [2.7]=1+2=3，
∴[x＋y]＞[x]＋[y]，
∴C的说法不正确；
[x]表示不大于x的最大整数，∴x－[x]表示的x的小数部分，∴D正确，
故选D．
【点睛】本题考查了最大整数的新定义问题，准确理解新定义是解题的关键．
3．（2024·安徽六安·模拟预测）计算： ．
【答案】/
【分析】此题考查了实数混合运算．求出算术平方根，再计算减法即可．
【详解】解：，
故答案为：
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂、算术平方根，先计算零指数幂、算术平方根，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
5．（2024·安徽宿州·二模）计算： ．
【答案】/
【分析】本题主要考查实数的混合运算，先计算立方根、去绝对值，再进行加减运算．
【详解】解：，
故答案为：．
6．（2024·安徽淮南·三模）计算： ．
【答案】4
【分析】本题考查了实数的运算，立方根的定义，零指数幂，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据立方根的定义，零指数幂分别化简计算即可．
【详解】解：，
故答案为：4．
1．（2024·安徽合肥·二模）如图，直径为1的圆上有一点，且点与数轴上表示的点重合，将这个圆在数轴上无滑动的滚动，当点再次与数轴上的某个点重合，那么这个点的位置可能是（ ）
A．3与4之间 B．6与7之间 C．与之间 D．与之间
【答案】D
【分析】本题考查了实数与数轴，直接求出圆的周长，进行利用点位置即可得出答案，正确求出圆的周长是解此题的关键．
【详解】解：∵这个圆在数轴上无滑动的滚动，
∴滚动一周行进的距离为圆的周长（前进或者后退的距离），
∵该圆的直径为，
∴周长为，
∴当点再次与数轴上的某个点重合，可能是或，分别约为或（取），位于和之间或与之间，
故选：D．
2．对于最小的，使得任意个人中必定存在个人均相互认识或存在个人互相不相识．我们称．下列表述错误的是？（ ）
A． B．
C． D．我不能在考场上计算出的值
【答案】D
【分析】本题考查了新定义问题，解题的关键是需要理解的含义，解题的过程中，可以先研究人数较少的情况进行判断．
【详解】解：A．根据再同一个社交群中，无论找个相互认识的人，还是找个相互不认识的人，只是换了一种角度，结果相同，故，正确，不符合题意；
B．在两个人的情况下，如果两个人相互认识，，如果两个人相互不认识，，故正确，不符合题意；
C．在一个8个人的群体中，根据数的性质，必定存在3个人相互认识或者3个人相互不认识，故正确，不符合题意；
D．虽然对于较大的数，，计算比较困难，但不意味着不能被计算出来，说法太绝对，故错误，符合题意；
故选：D．
3．已知是有理数，是无理数，下列算式的结果必定为无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了无理数和有理数，根据无理数和有理数的定义即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键．
【详解】解：是有理数，是无理数，
则必定为无理数，
当时，，是有理数，
当，时，是有理数，
故选：．
4．无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某矩形的长为，宽为，则这个矩形面积的值大约在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的运用，无理数的估算，根据题意利用二次根式乘法求出矩形面积，再由无理数的估算方法估算即可．
【详解】解：根据题意，矩形面积为：，
，即，
，
这个矩形面积的值大约在4与5之间，
故选：C．
5．定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（ ）
A． B．6 C． D．3
【答案】A
【分析】此题考查了新定义实数问题，解不等式组，分式的化简等知识，
首先根据题意得到，求出，由得到，然后代入，解不等式组求解即可．
【详解】∵，是一对“互助数”
∴
去分母得，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
整理得，
∴
∴或
∴或
∴解得或
但当时，，，不符合题意，
所以或，
∴p的值可以为．
故选：A．
6．（2024·安徽淮北·三模）计算： ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了有理数的运算，求一个数的算术平方根，根据，再计算有理数加减即可．
【详解】原式．
故答案为：3．
7．已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义运算，令，将首尾两项依次组合即可化简求值．
【详解】解：，令，
原式
，
∴原式
故答案为：
8．（24-25·安徽）【观察思考】
如图是由长度为和的两种线段拼成的正方形图案：
【规律发现】
请用含的式子表示：
（1）第个图案中需要长的线段的条数为 ；
（2）第个图案中需要长的线段的条数为 ；
【规律应用】
（3）若要组成一个面积为的正方形图案，则需要这两种线段各多少条？
【答案】（1）；（2）；（3）需要长的线段200条，需要长的线段220条
【分析】本题考查算术平方根及图案的规律总结问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
（1）根据题干中所给的图案总结出规律即可；
（2）根据题干中所给的图案总结出规律即可；
（3）由题意可得此为第10个图案，然后代入（1）（2）中所得结论中计算即可．
【详解】解：（1）第1个图案中长的线段的条数为．
第2个图案中长的线段的条数为，
第3个图案中长的线段的条数为，
第个图案中长的线段的条数为，
故答案为：；
（2）第1个图案中长的线段的条数为．
第2个图案中长的线段的条数为，
第3个图案中长的线段的条数为，
第个图案中长的线段的条数为，
故答案为：；
（3）由题意得，面积为 的正方形图案为第个图案，
当时，，，
即需要长的线段200条，需要长的线段220条．
9．（1）计算：；
（2）如图，点A表示的数落在数轴上0和1之间（不包括0和1），且点A表示的数是．求x的取值范围．
【答案】（1）0；（2）
【分析】本题考查的是实数的运算，实数与数轴；
（1）先计算数的乘方及零指数幂，再算加减即可；
（2）根据题意得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】（1），
，
；
（2）根据题意，得，
，
．
10．对于实数，定义新运算“”，规定如下：
如
(1)求的值；
(2)若为某一个实数，记的值为，的值为，请你判断的值是否与的取值有关？并给出证明．
【答案】(1)3 5的值是19
(2)的值是否与的取值无关，证明见解析
【分析】此题考查了整式加减方面新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用运算定义进行计算、辨别．
（1）按照题目运算定义进行代入、求解；
（2）先运用运算定义表示出，的值，再通过计算进行辨别．
【详解】（1）由题意得，
3
，
即3 5的值是19；
（2）的值是否与的取值无关，
证明：由题意得，
3
；

，
，
的值是否与的取值无关．
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