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专题03 分式
课标要求 考点 考向
1、了解分式的概念，明确分式与整式的区别，能准确判断一个式子是否为分式. 2、会确定使分式有意义的字母的取值范围，即分母不为零. 3、会求分式值为零时字母的值，需满足分子为零且分母不为零. 4、掌握分式的基本性质，能运用其进行分式的约分、通分，将分式化为最简分式或整式. 5、熟练进行分式的加、减、乘、除运算及混合运算，并能解决相关的化简求值问题. 分式概念 考向一 判断分式有意义
考向二 分式值为零
分式运算 考向一 分式四则运算
考向二 分式化简求值
考点一 分式概念
考向一 判断分式有意义
（2024·江苏镇江·中考真题）使分式有意义的的取值范围是 ．
2．（2024·吉林·中考真题）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ．
3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ．
考向二 分式值为零
1．（2023·四川凉山·中考真题）分式的值为0，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
2．（2024·山东济南·中考真题）若分式的值为0，则的值是 ．
3．（2023·四川南充·中考真题）若分式的值为0，则 ．
考点二 分式运算
考向一 分式四则运算
1．（2024·四川眉山·中考真题）已知（且），，则的值为 ．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）计算：
(1)．
3．（2024·山东东营·中考真题）（1）计算：；
（2）计算：．
4．（2024·辽宁·中考真题）（1）计算：；
（2）计算：．
5．（2024·山东泰安·中考真题）（1）计算：；
（2）化简：．
6．（2024·四川泸州·中考真题）化简：．
考向二 分式化简求值
1．（2024·西藏·中考真题）先化简，再求值：，请为m选择一个合适的数代入求值．
2．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）

3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值：，并从，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．
4．（2024·四川广元·中考真题）先化简，再求值：，其中a，b满足．
5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）先化简，再求值：，其中．
1．（2024·安徽淮北·三模）若x为实数，且，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽滁州·一模）已知a、b、c满足a＋c＝b，且，则下列结论错误的是（ ）
A．若b＞c＞0，则a＞0 B．若c＝1，则a（a－1）＝1
C．若a－c＝2，则ac＝2 D．若bc＝1，则a＝1
3．（2023·安徽马鞍山·一模）甲、乙两人都加工a个零件，甲每小时加工20个，如果乙比甲晚工作1小时，且两人同时完成任务，那么乙每小时加工 个零件（用含a的代数式表示）．
4．（2023·江西·中考真题）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
解：原式 ……
解：原式 ……
(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
5．（2023·安徽阜阳·二模）观察以下等式：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______．
(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
6．（2022·安徽宿州·模拟预测）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：_________；
(2)写出你猜想的第n个等式：_________，并给出证明．
7．（2022·安徽·二模）观察以下等式：
第1个等式：； 第2个等式：；
第3个等式：； 第4个等式：；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________________________；
(2)写出你猜想的第个等式：________________________（用含的等式表示），并证明．
8．（2021·安徽合肥·一模）观察以下等式：
第1个等式：　　　　第2个等式：
第3个等式：　　　　第4个等式：
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：__________________________；
（2）写出你猜想的第n个等式：______________________（用含n的等式表示），并证明．
9．已知，其中．
(1)化简并选择其中符合条件的一个整数作为的值代入求出的值；
(2)请绘制在平面直角坐标系中的图像，并直接判断是否经过第二象限．
10．小杰计算过程如下：
解：原式
小杰的计算是否正确？若正确请在框内打“√”，直接做第题；若错误，请指出错误：______．（从“①”“②”“③”中选填），并写出你的解答过程．
11．小明和小强一起做游戏，他们面前有大小相同的三张写着分式的卡片，要求组成，或的形式，再进行化简，然后两人均取一个相同的，代入计算分式的值．
A． B． C．
(1)小明发现其中有一个分式还可以进行约分，这个分式是______，约分的依据为______．
(2)请你帮他们在两个形式中选择一个进行化简求值．
12．请从下列2个题中任选1题作答：
①已知，求代数式的值；
②已知，求代数式的值．
13．阅读下面的材料：
如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，，若，都有，则称是增函数；若，都有，则称是减函数．
例题：证明函数是减函数．
证明：设，
．
∵，∴，．∴．即．
∴．∴函数（）是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数
(1)计算：__________，__________；
(2)猜想：函数是__________函数（填“增”或“减”）；
(3)请仿照例题证明你的猜想．
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课标要求 考点 考向
1、了解分式的概念，明确分式与整式的区别，能准确判断一个式子是否为分式. 2、会确定使分式有意义的字母的取值范围，即分母不为零. 3、会求分式值为零时字母的值，需满足分子为零且分母不为零. 4、掌握分式的基本性质，能运用其进行分式的约分、通分，将分式化为最简分式或整式. 5、熟练进行分式的加、减、乘、除运算及混合运算，并能解决相关的化简求值问题. 分式概念 考向一 判断分式有意义
考向二 分式值为零
分式运算 考向一 分式四则运算
考向二 分式化简求值
考点一 分式概念
考向一 判断分式有意义
1．（2024·江苏镇江·中考真题）使分式有意义的的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
分式有意义，则分母，由此易求的取值范围．
【详解】解：当分母，即时，分式有意义．
故答案为：．
2．（2024·吉林·中考真题）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得，则，据此可得答案．
【详解】解：∵分式的值为正数，
∴，
∴，
∴满足题意的x的值可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可．
【详解】解：根据题意得，，且，
解得，，
故答案为：．
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
解得且，
故答案为：且．
考向二 分式值为零
1．（2023·四川凉山·中考真题）分式的值为0，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
【答案】A
【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
解得，
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．
2．（2024·山东济南·中考真题）若分式的值为0，则的值是 ．
【答案】1
【分析】直接利用分式值为零的条件，则分子为零进而得出答案．
【详解】∵分式的值为0，
∴x 1＝0，2x≠0
解得：x＝1．
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，正确把握分式的相关性质是解题关键．
3．（2023·四川南充·中考真题）若分式的值为0，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件．根据分式的值为0的条件，可得且，即可求解．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得：．
故答案为：
考点二 分式运算
考向一 分式四则运算
1．（2024·四川眉山·中考真题）已知（且），，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式的混合运算，利用分式的运算法则计算得到每三个为一个循环，分别为，，，进一步即可求出．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
……，
由上可得，每三个为一个循环，
，
．
故答案为：．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）计算：
(1)．
【答案】(1)
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先计算括号里的，再把除法运算化为乘法运算，最后约分即可．
（1）解：
．
3．（2024·山东东营·中考真题）（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）1；（2）．
【分析】（1）先化简，然后计算乘法，最后算加减法即可；
（2）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查分式的混合运算、特殊三角形函数值、零次幂、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4．（2024·辽宁·中考真题）（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）1
【分析】本题考查了实数的运算，分式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先化简二次根式，去绝对值，再进行加减运算；
（2）先计算乘法，再计算加法即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
5．（2024·山东泰安·中考真题）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）7；（2）
【分析】本题考查了实数的运算和分式的化简，实数运算涉及特殊角的三角函数，负指数幂，二次根式和绝对值，熟练掌握相关的法则是解题的关键．
（1）利用特殊角的三角函数，负指数幂，二次根式和绝对值进行实数的运算；
（2）利用分式的运算法则化简即可．
【详解】解：（1）；
；
（2）
．
6．（2024·四川泸州·中考真题）化简：．
【答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先将括号里的通分，再将除法转化为乘法，然后根据完全平方公式和平方差公式整理，最后约分即可得出答案．
【详解】解：
考向二 分式化简求值
1．（2024·西藏·中考真题）先化简，再求值：，请为m选择一个合适的数代入求值．
【答案】，取，原式．
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时分子分解因式，约分得到最简结果，把合适的m值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
∵，，
∴，，
∴取，原式．
2．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）

【答案】；
【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得，的值，将原分式化简后代入数值计算即可．
【详解】解：依题意，，且为整数，又，则，
；
当，时，原式．
3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值：，并从，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．
【答案】，取，原式
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
先计算括号内的减法，再计算除法，然后根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可得．
【详解】解：
．
且，
或或．
当时，原式．
或当时，原式．
或当时，原式．
4．（2024·四川广元·中考真题）先化简，再求值：，其中a，b满足．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值方法是解题的关键．先将分式的分子分母因式分解，然后将除法转化为乘法计算，再计算分式的加减得到，最后将化为，代入即得答案．
【详解】原式
，
，
原式．
5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查分式的化简求值及特殊三角函数值，先对分式进行化简，然后利用特殊三角函数值进行代值求解即可．
【详解】解：原式
，
当时原式．
1．（2024·安徽淮北·三模）若x为实数，且，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式化简，把化简为，则，去分母即可．
【详解】∵
∴
∴
∴
故选：A．
2．（2022·安徽滁州·一模）已知a、b、c满足a＋c＝b，且，则下列结论错误的是（ ）
A．若b＞c＞0，则a＞0 B．若c＝1，则a（a－1）＝1
C．若a－c＝2，则ac＝2 D．若bc＝1，则a＝1
【答案】D
【分析】根据每个选项的条件，将已经确定的式子进行变形，代入知数字化简，即可得到答案．
【详解】解：A．∵b＞c＞0，
∴，
∵，
∴，故选项不符合题意；
B．∵c＝1，a＋c＝b，且，
∴，，
∴，去分母，化简得，
∴，故选项不符合题意；
C．,
由已知得：，，
化简，则，
∴，故选项不符合题意；
D．由已知得：，
∴，
∴，
∵，
∴，故选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查等式的变化，认真观察条件并将式子转化为已知条件是解题的关键．
3．（2023·安徽马鞍山·一模）甲、乙两人都加工a个零件，甲每小时加工20个，如果乙比甲晚工作1小时，且两人同时完成任务，那么乙每小时加工 个零件（用含a的代数式表示）．
【答案】
【分析】根据题意可得甲加工a个零件需要是时间是，乙工作时间是，列出式子化简即可．
【详解】解：甲加工a个零件需要是时间是，乙工作时间是．
则乙每小时加工的零件是：．
故答案是：．
【点睛】此题考查了代数式，解题的关键是根据题意列出代数式．
4．（2023·江西·中考真题）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
解：原式 ……
解：原式 ……
(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】(1)②，③
(2)见解析
【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；
（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；
乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．
【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②，③；
（2）解：甲同学的解法：
原式
；
乙同学的解法：
原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
5．（2023·安徽阜阳·二模）观察以下等式：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______．
(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可；
（2）通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到分母之间的关系，最后通过化简即可证明．
【详解】（1）解：第5个等式为：，
故答案为：．
（2）解：第个等式为：，
证明：
，
∴．
【点睛】本题考查了运算规律的探究，分式的加减运算，掌握规律的探究方法与分式的加减运算是解题的关键．
6．（2022·安徽宿州·模拟预测）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：_________；
(2)写出你猜想的第n个等式：_________，并给出证明．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据题意得：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，即可求解；
（2）由（1）发现规律：第n个等式：，再根据分式的减法运算把左边化简，即可求解．
【详解】（1）解：（1）根据题意得：
第1个等式：，即，
第2个等式：，即，
第3个等式：，即，
第4个等式：，即，
故答案为：；
（2）解：由（1）发现规律：第n个等式：，理由如下：
左边
=右边
【点睛】本题主要考查了规律类题探究，分式加减运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
7．（2022·安徽·二模）观察以下等式：
第1个等式：； 第2个等式：；
第3个等式：； 第4个等式：；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________________________；
(2)写出你猜想的第个等式：________________________（用含的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)；证明见详解
【分析】（1）每个等式两边分别是一个分数与一个数字的差与商，分别分析分数与数字的规律，分数的分母第一个是1，以后序号每增加1分母增加3，第一个等式的分子为2的平方，第二个等式为5的平方，则分子等于分母加1的平方，数字等于分数的分子中的底数，根据此规律写出第5个等式即可；
（2）根据（1）中的规律，写出第n个等式即可，根据完全平方公式以及多项式乘多项式法则将等号左右两边的代数式化简即可证明结论．
【详解】（1）解：根据题意可知，第5个式子为：，
即：，
故答案为：．
（2）解：猜想第n个式子为：，
证明：，
，
∵，
∴成立．
【点睛】本题考查寻找数之间的规律，完全平方公式，多项式乘以多项式，能够发现规律，总结规律，应用规律是解决本题的关键．
8．（2021·安徽合肥·一模）观察以下等式：
第1个等式：　　　　第2个等式：
第3个等式：　　　　第4个等式：
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：__________________________；
（2）写出你猜想的第n个等式：______________________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】（1）；（2），证明见解析
【分析】（1）根据题意规律，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案；
（2）结合题意，根据数字规律、整式混合运算的性质分析，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，得：
故答案为：；
（2）∵第1个等式：　　　　
第2个等式：
第3个等式：　　　　
第4个等式：
…
∴第n个等式：
∵，
∴等式成立；
故答案为：，证明见解析．
【点睛】本题考查了数字规律、有理数混合运算、整式混合运算,分式的运算等知识；解题的关键是熟练掌握数字规律的性质，从而完成求解．
9．已知，其中．
(1)化简并选择其中符合条件的一个整数作为的值代入求出的值；
(2)请绘制在平面直角坐标系中的图像，并直接判断是否经过第二象限．
【答案】(1)，当时，
(2)画图见详解；是
【分析】本题考查了分式的化简求值，画一次函数的图象以及一次函数的性质，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法和一次函数的性质．
（1）根据分式加减法和乘法化简，再根据分式有意义和选值代入求解即可；
（2）画出一次函数图象，根据图象判断即可
【详解】（1）解：
，
∵，
∴，
∵，
∴当时，；
（2）解：令，则，令，则，令，则，令，则，
令，则，故图象经过和，
∵且，
∴点不在图象上，
故的图象如图：
根据图象可得，的图象经过第二象限．
10．小杰计算过程如下：
解：原式
小杰的计算是否正确？若正确请在框内打“√”，直接做第题；若错误，请指出错误：______．（从“①”“②”“③”中选填），并写出你的解答过程．
【答案】错误；①②③都错；，正确解答见解析
【分析】本题考查了实数的运算，涉及特殊角的三角函数，零指数幂，熟练掌握实数混合运算法则是关键．根据实数的混合运算法则运算检验即可．
【详解】解：小杰做的不正确，①②③都错，正确解答如下：
．
故答案为：①②③．
11．小明和小强一起做游戏，他们面前有大小相同的三张写着分式的卡片，要求组成，或的形式，再进行化简，然后两人均取一个相同的，代入计算分式的值．
A． B． C．
(1)小明发现其中有一个分式还可以进行约分，这个分式是______，约分的依据为______．
(2)请你帮他们在两个形式中选择一个进行化简求值．
【答案】(1)C，分式的分子和分母同除以同一个非零数时，这个分式的大小不会改变
(2)，
【分析】本题考查了约分以及分式混合运算，注意计算的准确性即可．
（1）C可进一步约分；
（2）利用分式的混合运算法则即可求解；
【详解】（1）解：∵
故答案为：C，分式的分子和分母同除以同一个非零数时，这个分式的大小不会改变
（2）解：
12．请从下列2个题中任选1题作答：
①已知，求代数式的值；
②已知，求代数式的值．
【答案】①；②
【分析】本题考查的是整式的化简求值、分式的化简求值；
①根据分式的减法法则把原式化简，把x的值代入计算即可；
②根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则、合并同类项把原式化简，把x的值代入计算，得到答案．
【详解】①原式
，
当时，原式，
故答案为：.
②原式
当时，原式．
13．阅读下面的材料：
如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，，若，都有，则称是增函数；若，都有，则称是减函数．
例题：证明函数是减函数．
证明：设，
．
∵，∴，．∴．即．
∴．∴函数（）是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数
(1)计算：__________，__________；
(2)猜想：函数是__________函数（填“增”或“减”）；
(3)请仿照例题证明你的猜想．
【答案】(1)，；
(2)增；
(3)见解析．
【分析】本题主要考查了函数的概念，分式的加减计算：
（1）根据题目中的函数解析式可以解答本题；
（2）根据，，可猜想结论；
（3）设，证明即可．
【详解】（1）解：由题意得，；
；
（2）解：∵，，
∴可以猜想函数是增函数；
（3）证明：设，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴是增函数．
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