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专题02 整式与因式分解
课标要求 考点 考向
1、能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示，会把具体数代入代数式求值. 2、了解整数指数幂的意义和基本性质. 3、理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加减运算以及简单的整式乘法运算，其中多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法. 4、理解乘法公式（完全平方公式与平方差公式）了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单的计算和推理. 5、能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解，其中指数是正整数. 整式 考向一 列代数式及求值
考向二 单项式与多项式
考向三 同类项
考向四 整式运算
因式分解 考向一 乘法公式
考向二 因式分解
考点一 整式
考向一 列代数式及求值
1．（2024·新疆·中考真题）若每个篮球30元，则购买n个篮球需 元．
2．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ．
考向二 单项式与多项式
1．（2024·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：
①满足条件的整式中有5个单项式；
②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；
③满足条件的整式共有16个．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
考向三 同类项
1．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·四川内江·中考真题）下列单项式中，的同类项是（ ）
A． B． C． D．
考向四 整式运算
解题技巧/易错易混 整式加减 1. 识别同类项：同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项,识别同类项是整式加减的关键步骤 2. 合并同类项：系数相加：在合并同类项时，只需将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变- 简化计算：可以将多项式中的同类项分别标记出来，然后再进行合并，这样能有效避免遗漏或重复计算。 3. 去括号法则：括号前是正号：去掉括号和前面的正号时，括号里各项的符号都不变。 括号前是负号：去掉括号和前面的负号时，括号里各项都要变号。 4. 整体思想的运用：视多项式为整体：在一些复杂的整式加减问题中，可以将一个多项式看成一个整体进行运算。 整式乘除 1. 单项式与单项式相乘法则：将系数相乘作为积的系数，相同字母的幂相乘，单独在一个单项式里的字母连同它的指数作为积的一个因式。 2. 单项式与多项式相乘法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 3. 多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 4. 单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 5. 多项式除以单项式法则：用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
1．（2023·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中．
4．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中．
5．（2024·陕西·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
考点二 因式分解
考向一 乘法公式
1．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
2．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）：
奇数 的倍数
表示结果
一般结论 ______
按上表规律，完成下列问题：
（）（ ）（ ）；
（）______；
(2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容．
3．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
4．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为．
(1)用含，的代数式表示中能使用的面积___________；
(2)若，，求比多出的使用面积．
考向二 因式分解
解题技巧/易错易混 1. 提取公因式法：确定公因式：先找出多项式各项的公因式，公因式要找全各项系数的最大公因数和各项都含有的相同字母及其最低次幂， 提取公因式：将公因式提取出来，原多项式除以公因式得到另一个因式 2. 公式法：平方差公式：当多项式符合平方差的形式时可直接运用此公式- 完全平方公式：若多项式是完全平方的形式则用该公式分解 3. 分组分解法：合理分组：把多项式适当分组，使分组后能直接提公因式或运用公式。 4. 十字相乘法：二次三项式分解：对于二次三项式ax^2+bx + c，如果能找到两个数m、n，使得m + n=b，mn=c，则可分解为(ax + m)(x + n)。
1．（2024·山东东营·中考真题）因式分解： ．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ．
3．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ．
4．（2024·福建·中考真题）已知实数满足．
(1)求证：为非负数；
(2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由．
1．（2024·安徽六安·三模）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽安庆·二模）已知，，，下列结论正确的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2024·安徽合肥·一模）峰原制药厂1月份产值为m，为让惠于民，产品单价下调，2月份产值下降，3月份制药厂加大推广，产品销售量有较大提高，3月份产值比2月份增加，则该制药厂2，3月份的总产值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·安徽合肥·一模）某新能源汽车销售公司2021年盈利a万元，2021年至2023年盈利的年平均增长率为，则该公司2023年的盈利是 万元．（用含a的代数式表示）
5．（2024·安徽池州·一模）【观察思考】
毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．
【规律发现】
（1）图1中，第个三角形数是______；图2中，第个正方形数是______；（请用含的式子表示）
【猜想验证】
（2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，，请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数．
6．（2024·安徽·模拟预测）观察下列图形，并根据图形规律解决问题
观察图②，我们把第1、第2、第3,、……、第个图形中反“L”型阴影部分面积分别记为、、、…、，可得：；；；…，
(1)由图①直接写出___________，由图②直接写出___________；
(2)通过图②可以发现：
第1个图形可得等式：；
第2个图形可得等式：；
第3个图形可得等式：；
…
第个图形可得等式：_____________________；
(3)根据以上结论计算：．
7．（2024·安徽·三模）观察下列等式：
；；；；
根据以上规律，解决如下问题：
(1)请填空：；
(2)请用含字母a，b的等式表示规律，并验证其正确性．
8．（2024·安徽安庆·二模）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，记第一个展开式中各项系数的和为，第二个展开式 中各项系数的和为，第三个展开式中各项系数的和为，第四个展开式中各项系数的和为，… 第n个展开式中各项系数的和为，根据图中各式的规律．
(1) ；
(2)求：的值．
9．（2024·安徽合肥·二模）某汽车4S店去年销售燃油汽车a辆，新能源汽车b辆，混动汽车的销量是燃油车辆的一半、今年计划销售燃油汽车比去年减少30%，新能源汽车是去年的2倍，混动汽车保持不变，
(1)今年燃油汽车计划的销量为 辆（用含a或b的代数式表示）
(2)若今年计划的总销量就比去年增加，求的值．
10．（2022·安徽芜湖·二模）某花卉生产基地举行花卉展览，如图所示是用这两种花卉摆成的图案，白色圆点为盆景，灰色圆点为盆花．图1中盆景数量为2，盆花数量为2；图2中盆景数量为4，盆花数量为6；图3中盆景数量为6，盆花数量为12……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)图6中盆景数量为________，盆花数量为___________；
(2)已知该生产基地展出以上两种花卉在某种图案中的数量之和为130盆，分别求出该图案中盆景和盆花的数量；
(3)若有n（n为偶数，且）盆盆景需要展出（只摆一种图案），照此组合图案，需要盆花的数量为________．（用含n的代数式表示）
11．（2024·安徽合肥·模拟预测）某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示．
【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；…

【规律总结】
(1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个；
(2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）；
(3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？
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课标要求 考点 考向
1、能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示，会把具体数代入代数式求值. 2、了解整数指数幂的意义和基本性质. 3、理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加减运算以及简单的整式乘法运算，其中多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法. 4、理解乘法公式（完全平方公式与平方差公式）了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单的计算和推理. 5、能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解，其中指数是正整数. 整式 考向一 列代数式及求值
考向二 单项式与多项式
考向三 同类项
考向四 整式运算
因式分解 考向一 乘法公式
考向二 因式分解
考点一 整式
考向一 列代数式及求值
1．（2024·新疆·中考真题）若每个篮球30元，则购买n个篮球需 元．
【答案】
【分析】本题考查了列代数式，熟练掌握代数式的书写格式是解题的关键． 根据总价=数量×单价，进而求出篮球的总价即可．
【详解】解：若每个篮球30元，则购买n个篮球需元，
故答案为：．
2．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ．
【答案】2028
【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可．
【详解】解：∵a和b是方程的两个解，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：2028．
考向二 单项式与多项式
1．（2024·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题的关键．
【详解】解：∵按一定规律排列的代数式：，，，，，，
∴第个代数式是，
故选：．
2．（2023·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据单项式的规律可得，系数为，字母为，指数为1开始的自然数，据此即可求解．
【详解】解：按一定规律排列的单项式：，第个单项式是，
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．
3．（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：
①满足条件的整式中有5个单项式；
②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；
③满足条件的整式共有16个．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可．
【详解】解：∵为自然数，为正整数，且，
∴，
当时，则，
∴，，
满足条件的整式有，
当时，则，
∴，，，，
满足条件的整式有：，，，，
当时，则，
∴，，，，，，
满足条件的整式有：，，，，，；
当时，则，
∴，，，，
满足条件的整式有：，，，；
当时，，
满足条件的整式有：；
∴满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意；
不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故②符合题意；
满足条件的整式共有个．故③符合题意；
故选D
考向三 同类项
1．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可
【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式，
∴单项式与单项式是同类项，
∴，
解得，，
∴点在第四象限，
故选：D
2．（2024·四川内江·中考真题）下列单项式中，的同类项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，据此判断即可．
【详解】解：A．是同类项，此选项符合题意；
B．字母a的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
C．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
D．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意．
故选：A．
考向四 整式运算
解题技巧/易错易混 整式加减 1. 识别同类项：同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项,识别同类项是整式加减的关键步骤 2. 合并同类项：系数相加：在合并同类项时，只需将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变- 简化计算：可以将多项式中的同类项分别标记出来，然后再进行合并，这样能有效避免遗漏或重复计算。 3. 去括号法则：括号前是正号：去掉括号和前面的正号时，括号里各项的符号都不变。 括号前是负号：去掉括号和前面的负号时，括号里各项都要变号。 4. 整体思想的运用：视多项式为整体：在一些复杂的整式加减问题中，可以将一个多项式看成一个整体进行运算。 整式乘除 1. 单项式与单项式相乘法则：将系数相乘作为积的系数，相同字母的幂相乘，单独在一个单项式里的字母连同它的指数作为积的一个因式。 2. 单项式与多项式相乘法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 3. 多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 4. 单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 5. 多项式除以单项式法则：用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
1．（2023·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项的运算法则是解题的关键．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可．
【详解】解：
．
当时，原式．
4．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
5．（2024·陕西·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，6
【分析】本题考查了整式的混合运算以及求值．根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项，最后代入即可求解．
【详解】解：
；
当，时，
原式．
考点二 因式分解
考向一 乘法公式
1．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为．
【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为，
∴，即①，
∵，
∴②，
①②得，
∴大正方形的面积，
故选：B．
2．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）：
奇数 的倍数
表示结果
一般结论 ______
按上表规律，完成下列问题：
（）（ ）（ ）；
（）______；
(2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容．
【答案】(1)（），；（）；
(2)
【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解；
（）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可；
本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键．
【详解】（1）（）由规律可得，，
故答案为：，；
（）由规律可得，，
故答案为：；
（2）解：假设，其中均为自然数．
分下列三种情形分析：
若均为偶数，设，，其中均为自然数，
则为的倍数．
而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数．
若均为奇数，设，，其中均为自然数，
则为的倍数．
而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数．
若一个是奇数一个是偶数，则为奇数．
而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数．
由可知，猜测正确．
故答案为：．
3．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；
（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．
【详解】（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：，
故答案为：；
（2）解：第n个等式为，
证明如下：
等式左边：，
等式右边：
，
故等式成立．
【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
4．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为．
(1)用含，的代数式表示中能使用的面积___________；
(2)若，，求比多出的使用面积．
【答案】(1)
(2)50
【分析】（1）利用正方形秧田的面积减去不能使用的面积即可得；
（2）先求出中能使用的面积为，再求出比多出的使用面积为，利用平方差公式求解即可得．
【详解】（1）解：中能使用的面积为，
故答案为：．
（2）解：中能使用的面积为，
则比多出的使用面积为，
，，
，
答：比多出的使用面积为50．
【点睛】本题考查了列代数式、平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．
考向二 因式分解
解题技巧/易错易混 1. 提取公因式法：确定公因式：先找出多项式各项的公因式，公因式要找全各项系数的最大公因数和各项都含有的相同字母及其最低次幂， 提取公因式：将公因式提取出来，原多项式除以公因式得到另一个因式 2. 公式法：平方差公式：当多项式符合平方差的形式时可直接运用此公式- 完全平方公式：若多项式是完全平方的形式则用该公式分解 3. 分组分解法：合理分组：把多项式适当分组，使分组后能直接提公因式或运用公式。 4. 十字相乘法：二次三项式分解：对于二次三项式ax^2+bx + c，如果能找到两个数m、n，使得m + n=b，mn=c，则可分解为(ax + m)(x + n)。
1．（2024·山东东营·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，掌握用公式法分解因式、提公因式法分解因式是解题关键．先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值．
【详解】解：∵，，
，
故答案为：2．
3．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解，
，
，
故答案为：．
4．（2024·福建·中考真题）已知实数满足．
(1)求证：为非负数；
(2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)不可能都为整数，理由见解析．
【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力．
（1）根据题意得出，进而计算，根据非负数的性质，即可求解；
（2）分情况讨论，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可．
【详解】（1）解：因为，
所以．
则
．
因为是实数，所以，
所以为非负数．
（2）不可能都为整数．
理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数．
①当都为奇数时，则必为偶数．
又，所以．
因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数．
又因为，所以．
因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
综上所述，不可能都为整数．
1．（2024·安徽六安·三模）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握以上运算法则．
根据幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项进行判断．
【详解】A．，选项正确，不符合题意；
B．，选项正确，不符合题意；
C．，选项错误，符合题意；
D．，选项正确，不符合题意．
故选：C．
2．（2024·安徽安庆·二模）已知，，，下列结论正确的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查整式的乘法，先把变形为，然后代入即可确定，然后根据即可判断．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选C．
3．（2024·安徽合肥·一模）峰原制药厂1月份产值为m，为让惠于民，产品单价下调，2月份产值下降，3月份制药厂加大推广，产品销售量有较大提高，3月份产值比2月份增加，则该制药厂2，3月份的总产值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查列代数式的相关知识，读懂题意，理解增长与减少的产值表示是解决问题的关键．根据题意分别表示出2月份产值和3月份产值，即可得到2，3月份的总产值．
【详解】解：由题知，2月份产值下降，
2月份产值为，
3月份产值比2月份增加，
3月份产值为，
2，3月份的总产值为，
故选：C．
4．（2024·安徽合肥·一模）某新能源汽车销售公司2021年盈利a万元，2021年至2023年盈利的年平均增长率为，则该公司2023年的盈利是 万元．（用含a的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查列代数式的相关知识，根据增长率问题列出代数式，即可解题．
【详解】解：由题意得，公司2023年的盈利是，
故答案为：．
5．（2024·安徽池州·一模）【观察思考】
毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．
【规律发现】
（1）图1中，第个三角形数是______；图2中，第个正方形数是______；（请用含的式子表示）
【猜想验证】
（2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，，请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数．
【答案】（1），；（2）见解析
【分析】本题主要考查图形的变化规律，整式的乘法，因式分解,正确找出图形的规律是解题的关键．
（1）根据题意得出第n个三角形数为，第n个正方形数为，据此可得答案；
（2）设任意两个三角形数为第k个数和第个数，列出代数式并应用因式分解，即得答案．
【详解】（1）由题意知第n个三角形数为，
第n个正方形数为；
故答案为：，．
（2）设任意两个三角形数为第k个数和第个数，
则
，
所以任意第k个数和第个三角形数之和恰等于第个正方形数；
即任意两个相邻三角形数之和是正方形数．
6．（2024·安徽·模拟预测）观察下列图形，并根据图形规律解决问题
观察图②，我们把第1、第2、第3,、……、第个图形中反“L”型阴影部分面积分别记为、、、…、，可得：；；；…，
(1)由图①直接写出___________，由图②直接写出___________；
(2)通过图②可以发现：
第1个图形可得等式：；
第2个图形可得等式：；
第3个图形可得等式：；
…
第个图形可得等式：_____________________；
(3)根据以上结论计算：．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了图形的变化规律，分析所给的等式的形式，进行总结即可求解，解题的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
（1）根据图形得到规律写出答案即可；
（2）根据前几个图形的规律写出第个图形可得等式即可；
（3）利用（2）中得到的规律进行计算即可．
【详解】（1）由图①可得，
，
；
；
；
……
，
故答案为：，
（2）通过图②可以发现：
第1个图形可得等式：；
第2个图形可得等式：；
第3个图形可得等式：；
…
第个图形可得等式：
故答案为：
（3）
7．（2024·安徽·三模）观察下列等式：
；；；；
根据以上规律，解决如下问题：
(1)请填空：；
(2)请用含字母a，b的等式表示规律，并验证其正确性．
【答案】(1)2，6，2，6或3，5，3，5
(2)；证明见解析
【分析】本题考查的是分式运算的规律探究，掌握探究的方法是解本题的关键；
（1）观察对应位置上的数的特点，可得答案；
（2）根据提示直接归纳可得，再证明即可．
【详解】（1）解：；或；（答案不唯一）
（2）解：∵；；；；
归纳可得：，
左边右边．
8．（2024·安徽安庆·二模）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，记第一个展开式中各项系数的和为，第二个展开式 中各项系数的和为，第三个展开式中各项系数的和为，第四个展开式中各项系数的和为，… 第n个展开式中各项系数的和为，根据图中各式的规律．
(1) ；
(2)求：的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律．
（1）利用所给的“杨辉三角”中各项系数间的关系展开即可解题；
（2）根据规律得，即可求出和，然后求出比值即可．
【详解】（1）解：根据“杨辉三角”可知各项系数为，
即，
故答案为：；
（2）解：根据前几项得规律：，则，，
∴．
9．（2024·安徽合肥·二模）某汽车4S店去年销售燃油汽车a辆，新能源汽车b辆，混动汽车的销量是燃油车辆的一半、今年计划销售燃油汽车比去年减少30%，新能源汽车是去年的2倍，混动汽车保持不变，
(1)今年燃油汽车计划的销量为 辆（用含a或b的代数式表示）
(2)若今年计划的总销量就比去年增加，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了列代数式，整式的运算．
（1）根据题意列式，化简即可得解；
（2）根据题意列式，化简即可得解．
【详解】（1）解：今年燃油汽车计划的销量为，
故答案为：；
（2）解：由题意得，
，
变形得，，
∴．
10．（2022·安徽芜湖·二模）某花卉生产基地举行花卉展览，如图所示是用这两种花卉摆成的图案，白色圆点为盆景，灰色圆点为盆花．图1中盆景数量为2，盆花数量为2；图2中盆景数量为4，盆花数量为6；图3中盆景数量为6，盆花数量为12……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)图6中盆景数量为________，盆花数量为___________；
(2)已知该生产基地展出以上两种花卉在某种图案中的数量之和为130盆，分别求出该图案中盆景和盆花的数量；
(3)若有n（n为偶数，且）盆盆景需要展出（只摆一种图案），照此组合图案，需要盆花的数量为________．（用含n的代数式表示）
【答案】(1)12；42
(2)该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110
(3)
【分析】（1）由图可知，依次写出图1到图5的盆景的数量，盆花的数量；推导出一般性规律：图中盆景的数量为：；盆花的数量为：，将代入求解即可；
（2）由题意知，，求出满足要求的值，进而可得盆景，盆花的数量；
（3）根据推导出的一般性规律作答即可．
【详解】（1）解：由图可知，盆景的数量依次为：、、、、
盆花的数量依次为：、、、、
∴可推导出一般性规律：图中盆景的数量为：；盆花的数量为：
∴图6中盆景的数量为：；盆花的数量为：
故答案为：12；42．
（2）解：由题意知，
整理得
解得，（不合题意，舍去）
当时，盆景数量为，盆花数量为
∴该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110．
（3）解：由一般性规律可知，当有n盆盆景需要展出时，需要盆花的数量为
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形类规律探究，列代数式，解一元二次方程．解题的关键在于推导出一般性规律．
11．（2024·安徽合肥·模拟预测）某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示．
【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；…

【规律总结】
(1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个；
(2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）；
(3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？
【答案】(1)60，5
(2)，n
(3)当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元
【分析】本题主要考查图形的规律，理解题意找到规律是解题的关键．
（1）根据一直推行进行推理即可得到答案；
（2）设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y，即可求出当地砖铺设了n圈时，地砖的总数；根据铺设了多少圈即可得出围成了多少的封闭图形；
（3）根据曲线围成的封闭图形有25个，地砖铺设了25圈，进行就算即可．
【详解】（1）解：当地砖铺设了1圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有1个；
当地砖铺设了2圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有2个；
当地砖铺设了3圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有3个；…，
当地砖铺设了5圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有5个．
（2）解：，n；
设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y，
铺设1圈形成如题图②所示的图案共用4块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有1个；
铺设2圈形成如题图③所示的图案共用12块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有2个；
铺设3圈形成如题图④所示的图案共用24块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有3个；
当地砖铺设了n圈时，地砖的总数．
曲线围成的封闭图形有个；
（3）解：曲线围成的封闭图形有25个，
地砖铺设了25圈，
当时，（块）．
每块地砖的价钱为18元，
共需花费的费用为（元）．
答：当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元．
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