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专题06 一元二次方程
课标要求 考点 考向
1、了解一元二次方程的概念，能将方程化为一般形式 ，并准确指出各项系数，会根据概念确定二次项系数中所含字母的取值范围 2、掌握配方法、公式法、因式分解法等一元二次方程的解法，理解各种解法的依据，并能根据方程特点灵活选择恰当的方法求解数字系数的一元二次方程 3、理解一元二次方程根的判别式的意义，会用判别式判定方程根的情况，也会用判别式确定方程中字母的取值或取值范围. 4、能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程解决实际问题，并能根据实际意义检验方程的解是否合理 解一元二次方程 考向一 一元二次方程概念
考向二 解一元二次方程
考向三 根的判别式
一元二次方程应用 考向一 方程的实际应用
考向二 方程的几何应用
考点一 解一元二次方程
考向一 一元二次方程概念
1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
即，
解得：，
的取值范围是且．
故选：D．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，即，
∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且，
故选：D．
3．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，
∴
故答案为：6．
4．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可．
【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为，
满足一元二次方程，
，
解得，．
故答案为：．
5．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
则
∴
故答案为：7
考向二 解一元二次方程
1．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
根据利用完全平方公式的特征求解即可；
【详解】解：
故选B．
2．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由得到，据此可得答案．
【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个根，
．
，
，
∴
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
故选：B．
3．（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案．
【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故选：B．
4．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A． B．2024 C． D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键．
用配方法把移项，配方，化为，即可．
【详解】解：∵，
移项得，，
配方得，，
即，
∴，，
∴．
故选：D．
5．（2024·江苏镇江·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
【答案】9
【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得．
故答案为：9．
6．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设方程的另一个根为m，
∵方程有一个根为，
∴，
解得：．
故答案为：4．
7．（2024·上海·中考真题）解方程组：．
【答案】，或者，．
【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解．
【详解】解：，
由得：代入中得：
，
，
，
，
解得：或，
当时，，
当时，，
∴方程组的解为或者．
8．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
【答案】（1）或
（2）第三边的长是或
【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理．
（1）用因式分解法解即可；
（2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可．
【详解】解：（1）
或；
（2）当两条直角边分别为3和1时，
根据勾股定理得，第三边为；
当一条直角边为1，斜边为3时，
根据勾股定理得，第三边为．
答：第三边的长是或．
考向三 根的判别式
1．（2024·江苏徐州·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
2．（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可．
【详解】解∶∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∴当k取0时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：0（答案不唯一）．
3．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；
（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．
【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根．
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴
；
4．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，且，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)或．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
（1）根据根的判别式证明恒成立即可；
（2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解．
【详解】（1）证明：，
∵无论取何值，，恒成立，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
解得：或．
考点二 一元二次方程应用
考向一 方程的实际应用
1．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ）
A．1 B． C． D．1或
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得方程，利用公式法求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：或（舍）
故选：C．
2．（2024·内蒙古·中考真题）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．先求出宽为步，再利用矩形的面积公式列出方程即可得．
【详解】解：由题意可知，宽为步，
则可列方程为，
故选：C．
3．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价/元
日销售量/件
(1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析。
【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式；
（2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为，
将，代入得
，
解得，
与之间的函数表达式为；
（2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下：
依题意得，
整理得，
∴，
∴该商品日销售额不能达到元．
4．（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
(1)求该商场投入资金的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
【答案】(1)该商场投入资金的月平均增长率
(2)预计该商场七月份投入资金将达到万元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
（1）设该商场投入资金的月平均增长率为，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
（2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金．
【详解】（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴该商场投入资金的月平均增长率；
（2）解：（万元），
∴预计该商场七月份投入资金将达到万元．
5．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为
(2)购买的这种健身器材的套数为200套
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为；
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，售价元（不符合题意，故舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
6．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
【答案】(1)，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元
(2)这天售出了64辆轮椅
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；
（2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：；
∵每辆轮椅的利润不低于180元，
∴，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，每天的利润最大，为元；
答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元；
（2）当时，，
解得：（不合题意，舍去）；
∴（辆）；
答：这天售出了64辆轮椅．
考向二 方程的几何应用
1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可．
【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为，
则平行于墙的一边的长为，
由题意得，
解得：，，
当时，平行于墙的一边的长为；
当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意；
∴该矩形场地长为米，
故选C．
2．（2024·山东青岛·中考真题）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可．
【详解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，
由题意得，，
同理得，
解得或（舍去），
∴小路的宽为，
故答案为：．
3．（2024·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)已知变量的对应关系如下表已知值呈现的对应规律．
x … 1 2 3 4 …
… 8 4 2 1 …
写出与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象；
(3)一次函数的图象与函数的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接，，．若的面积为15，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)点的坐标为
【分析】本题考查了求一次函数的解析式、画反比例函数的图象、一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题关键．
（1）利用待定系数法求解即可得；
（2）根据表格中的规律即可得函数表达式，再利用描点法画出函数图象即可；
（3）先求出点的坐标，再求出直线的解析式，设点的坐标为，过点作轴的垂线，交直线于点，则，然后利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】（1）解：将点，代入得：，
解得，
则一次函数的解析式．
（2）解：由表格可知，，
画出函数图象如下：
．
（3）解：联立，解得或，
∵一次函数的图象与函数的图象相交于，两点（点在点的左侧），
∴，
∵点关于坐标原点的对称点为点，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，
如图，过点作轴的垂线，交直线于点，则，
∴，点到的距离与点到的距离之和为，
∵的面积为15，
∴，即，
解得或（不符合题意，舍去），
经检验，是所列分式方程的解，
则，
所以点的坐标为．
4．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．
(1)求与与的关系式．
(2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．
【答案】(1)；
(2)能，
(3)的最大值为800，此时
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：
（1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式；
（2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ；
（3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可．
【详解】（1）解：∵篱笆长，
∴，
∵
∴
∴
∵墙长42m，
∴，
解得，，
∴；
又矩形面积
；
（2）解：令，则，
整理得：，
此时，，
所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴围成的矩形花圃面积能为；
∴
∴
∵，
∴；
（3）解：
∵
∴有最大值，
又，
∴当时，取得最大值，此时，
即当时，的最大值为800
5．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______
(2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
【答案】(1)36；120；
(2)不能
(3)一共能摆放20排．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；
（2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断；
（2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值．
【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为，
前15行的点数之和为，
那么，前行的点数之和为；
故答案为：36；120；；
（2）解：不能，
理由如下：
由题意得，
得，
，
∴此方程无正整数解，
所以三角点阵中前n行的点数和不能是500；
故答案为：不能；
（3）解：同理，前行的点数之和为，
由题意得，
得，即，
解得或（舍去），
∴一共能摆放20排．
1．（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、反比例函数的图象和性质.
先利用一元二次方程无实数根得到，解得，则，根据反比例的图象和性质即可判断反比例函数的图象所在的象限.
【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
解得，
∴，
∴反比例函数的图象所在的象限分别位于第一、三象限，
故选：C
2．（2024·安徽·三模）如图，菱形中，为对角线，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，若，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识．连接交于点O，由菱形的性质可得出，，，设，根据题意则，，利用勾股定理可得出，代入求值即可得出答案．
【详解】解：连接交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，，，
设，
根据题意则，，
在中，，
在中，，
∴，
即
解得∶ (负值舍去)，
∴，即，
故选∶B．
3．（2024·安徽池州·模拟预测）对于一个函数上的一个点，若自变量m与对应函数值n互为相反数，我们称m为这个函数的“反自变量”．如果二次函数有两个相异的反自变量，，且，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题是新定义题，考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的情况．根据题意可得，再利用，为该方程的两个不等实根，且，即可求出答案．
【详解】由题意知，，为二次函数上的两个相异的反自变量，
则，
，
即，
，为该方程的两个不等实根，且，
，
，
故选：A．
4．（2024·安徽合肥·三模）某企业今年1月份的利润为500万元，2月份和3月份的利润合计为1200万元，设2月份和3月份利润的平均增长率为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设2月份和3月份利润的平均增长率为，则2月份的利润为：，3月份的利润为：，根据2月份和3月份的利润合计为1200万元，可列出方程即可．
【详解】解：设2月份和3月份利润的平均增长率为，
则2月份的利润为：， 3月份的利润为：，
根据题意有：，
故选：D．
5．（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为，令，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式及一元二次方程的解，解答本题的关键是掌握一元二次方程判别式与方程根的关系．先根据得出的取值范围，根据是方程的一个实数根，可得，整体代入，可得的取值范围．
【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
是方程的一个实数根，
，
，
，
，
，
故选：A．
6．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，是反比例函数上的一点，其中，过点作轴于点，连接．
（1）若的面积是3，则的值为 ．
（2）将绕点按顺时针方向旋转得到，且点的对应点恰好落在该反比例函数的图象上，则 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形，解一元二次方程等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
（1）先根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，利用坐标与图形和三角形的面积公式求得即可求解；
（2）延长交x轴于H，根据旋转性质和正方形的判定与性质得到四边形是正方形，则，，即轴，进而求得，再反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解一元二次方程即可求解．
【详解】解：（1）∵是反比例函数上的一点，
∴，
∵轴于点，
∴，，
∴，
∴，则，
故答案为：；
（2）延长交x轴于H，
由旋转性质得，，，
∴四边形是正方形，
∴，，即轴，
∴，，
∴，
∵点Q、M都是反比例函数上的一点，
∴，即，
∴，解得，
∵，
∴，
故答案为：．
7．（2024·安徽合肥·一模）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，先将方程化为一般式，再根据求出答案．
【详解】，
整理，得，
∴，
解得．
故答案为：．
8．（2024·安徽合肥·一模）我们定义：如果一个函数图象上存在纵坐标是横坐标6倍的点，则把该函数称为“行知函数”，该点称为“行知点”，例如：“行知函数”，其“行知点”为．
（1）直接写出函数图象上的“行知点”是 ；
（2）若二次函数的图象上只有一个“行知点”，则的值为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，理解新定义，将新定义与所学二次函数，一元二次方程的知识相结合，熟练掌握跟与系数关系是解题关键．
（1）根据题目所给“行知点”的定义，列出方程求解即可；
（2）根据题目所给“行知点”的定义，列出方程，根据只有一个“行知点”得出该方程只有一个实数根，再根据一元二次方程根的判别式，即可解答．
【详解】解：（1）根据题意可得：
，
整理得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解；
∴函数图象上的“行知点”是或；
故答案为：或．
（2）∵二次函数的图象上只有一个“行知点”，
∴方程有两个相等的实数根，且，
整理得：，
∴，
解得：，
综上：a的值为．
故答案为：．
9．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线与轴只有一个公共点．
(1)若抛物线过点，求与的关系式；
(2)已知点，，中恰有两点在抛物线上．
求抛物线的解析式；
设直线：与抛物线交于，两点，过中点做轴垂线交直线于点，求证．
【答案】(1)
(2)①；②见解析
【分析】（1）将点代入抛物线解析式可得，再由题意可得，即可求解；
（2）由题意可知，根据函数的定义可知，不能同时在抛物线上，分两种情况讨论：当，在抛物线上时，，求得舍去；当，在抛物线上时，求得，即可求抛物线的解析式为；
联立方程组，可得，由根与系数的关系得，，求出的中点，，则，进一步得出，根据等边对等角得出，，由三角形内角和得出可得出，进而可得出，即可证明．
【详解】（1）解：抛物线过点，
，
，
抛物线与轴只有一个公共点，
，
；
（2）抛物线与轴只有一个公共点，
，
，的横坐标相同，
，不能同时在抛物线上，
，或，两点在抛物线上，
当，在抛物线上时，
，
，
，
，
舍去；
当，在抛物线上时，
抛物线的对称轴为，
，
，
，
，
将点代入，可得，
抛物线的解析式为；
联立方程组，
，
，，
，
的中点，
．
轴交直线于点，
，
，
∴，
∴，，
又，
∴，
∴，
即，
．
【点睛】本题是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，用判别式确定抛物线与轴的交点情况，待定系数法求函数的解析式，等边对等角，三角形内角和定理等等知识， 掌握这些知识是解题的关键．
10．（2024·安徽·模拟预测）今年“五一”假期期间，合肥骆岗公园举办了大型电音节等活动，由此带来旅游热潮，引发酒店预订热．据统计，某酒店5月1日入住128人次，入住人次逐日增加，1日、2日、3日这三天累计入住608人次，求该酒店入住人次的日平均增长率．
【答案】该酒店入住人次的日平均增长率为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该酒店入住人次的日平均增长率为，则5月2日入住人次，5月3日入住人次，根据该酒店1日、2日、3日这三天累计入住608人次，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】设日平均增长率为．
根据题意，得：
解得：，（不合题意，舍去）
答：该酒店入住人次的日平均增长率为．
11．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，图案1中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案2中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案3中“☆”的个数为，“★”的个数为；…．
(1)图案5中“☆”的个数为 ；
(2)图案n中，“★”的个数为 ；（用含n的式子表示）
(3)根据图案中“☆”和“★”的排列方式及规律，若图案n中“★”的个数是“☆”的个数的，求n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)n的值为6
【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现“☆”和“★”个数变化的规律是解题的关键．
（1）根据所给图形，发现“☆”个数变化的规律即可解决问题；
（2）根据所给图形，发现“★”个数变化的规律即可解决问题；
（3根据（1）（2）中发现的规律列方程，解方程即可解决问题．
【详解】（1）第1个图案中“☆”的个数为；
第2个图案中“☆”的个数为；
第3个图案中“☆”的个数为；
……
第n个图案中“☆”的个数为；
即图案5中“☆”的个数为
故答案为：
（2）由题知，
第1个图案中“★”的个数为；
第2个图案中“★”的个数为；
第3个图案中“★”的个数为；
……
第个图案中“★”的个数为；
故答案为：．
（3）由题知，
，
解得或6，
因为为正整数，
所以．
故正整数的值为6．
12．（2024·安徽合肥·二模）“高山云雾出好茶”，我国的产茶区大多处于高海拔山区，交通和信息都相对不便．清明节刚过，大学生李明为了能够尽快帮助茶农销售明前新茶，以160元/千克的价格将附近茶农的明前新茶全部收购，并利用网络平台进行网上销售．根据往年的销售经验，这种明前新茶以200元/千克的价格销售，每天可售出80千克，若价格每上涨10元/千克，销售量会减少5千克．设销售单价为x元/千克，每天的销售量为y千克，且销售单价高于收购价，且不超过收购价的2倍．
(1)试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)销售单价为多少元时，所获得的日利润最大？最大日利润为多少元？
(3)由于明前新茶产量较少，李明仅收购了320千克，在（2）的条件下全部销售完之后，明后春茶上市．李明提高了的收购量收购了一批春茶，以每千克40元的利润进行网上销售，很快被抢购一空，李明再次收购一批春茶，并将收购量再提高，每千克的利润不变，所有茶叶全部销售完后，明前新茶和明后春茶共获利80000元，求m的值．
【答案】(1)，
(2)元，5000元
(3)50
【分析】此题主要考查求一次函数表达式、一元二次方程及二次函数的的应用，解题关键在理解题意，列出函数关系式求解，
（1）根据“以200元/千克的价格销售，每天可售出80千克，若价格每上涨10元/千克，销售量会减少5千克”列出一次函数表达式即可；
（2）根据题意列出二次函数表达式，并求出最大值即可；
（3）根据题意列出一元二次方程并解方程即可解决．
【详解】（1）解：由题意知：
又，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为，自变量x的取值范围是．
（2）设日利润为w元，则根据题意可知：
∵，且，
∴当时，w有最大值为5000元．
（3）由题意可知：
解得：，（舍去）
∴m的值为50．
13．（2024·安徽滁州·三模）2024年3月中国新能源汽车在国家积极政策的鼓励下，居民环保意识日渐增强，新能源汽车的市场非常火爆．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆.若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价？
【答案】下调后每辆汽车的售价为21万元．
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
设下调后每辆汽车的售价万元，售价降低万元，则平均每周多售出辆，根据总利润=每辆汽车的销售利润×销售量建立方程，求解即可
【详解】解：设下调后每辆汽车的售价万元，每辆汽车的销售利润为万元时，
，
整理可得：，解得：，，
因为要尽量让利顾客，所以．
答：下调后每辆汽车的售价为21万元．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题06 一元二次方程
课标要求 考点 考向
1、了解一元二次方程的概念，能将方程化为一般形式 ，并准确指出各项系数，会根据概念确定二次项系数中所含字母的取值范围 2、掌握配方法、公式法、因式分解法等一元二次方程的解法，理解各种解法的依据，并能根据方程特点灵活选择恰当的方法求解数字系数的一元二次方程 3、理解一元二次方程根的判别式的意义，会用判别式判定方程根的情况，也会用判别式确定方程中字母的取值或取值范围. 4、能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程解决实际问题，并能根据实际意义检验方程的解是否合理 解一元二次方程 考向一 一元二次方程概念
考向二 解一元二次方程
考向三 根的判别式
一元二次方程应用 考向一 方程的实际应用
考向二 方程的几何应用
考点一 解一元二次方程
考向一 一元二次方程概念
1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
3．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ．
4．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则 ．
5．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
考向二 解一元二次方程
1．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A． B．2024 C． D．1
5．（2024·江苏镇江·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
6．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ．
7．（2024·上海·中考真题）解方程组：．
8．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
考向三 根的判别式
1．（2024·江苏徐州·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ．
2．（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ．
3．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
4．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，且，求的值．
考点二 一元二次方程应用
考向一 方程的实际应用
1．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ）
A．1 B． C． D．1或
2．（2024·内蒙古·中考真题）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价/元
日销售量/件
(1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
4．（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
(1)求该商场投入资金的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
5．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
6．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
考向二 方程的几何应用
1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ）
A．或 B．或 C． D．
2．（2024·山东青岛·中考真题）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 ．

3．（2024·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)已知变量的对应关系如下表已知值呈现的对应规律．
x … 1 2 3 4 …
… 8 4 2 1 …
写出与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象；
(3)一次函数的图象与函数的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接，，．若的面积为15，求点P的坐标．
4．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．
(1)求与与的关系式．
(2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．
5．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______
(2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
1．（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限
2．（2024·安徽·三模）如图，菱形中，为对角线，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，若，则长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽池州·模拟预测）对于一个函数上的一个点，若自变量m与对应函数值n互为相反数，我们称m为这个函数的“反自变量”．如果二次函数有两个相异的反自变量，，且，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安徽合肥·三模）某企业今年1月份的利润为500万元，2月份和3月份的利润合计为1200万元，设2月份和3月份利润的平均增长率为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为，令，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，是反比例函数上的一点，其中，过点作轴于点，连接．
（1）若的面积是3，则的值为 ．
（2）将绕点按顺时针方向旋转得到，且点的对应点恰好落在该反比例函数的图象上，则 ．
7．（2024·安徽合肥·一模）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的取值范围是 ．
8．（2024·安徽合肥·一模）我们定义：如果一个函数图象上存在纵坐标是横坐标6倍的点，则把该函数称为“行知函数”，该点称为“行知点”，例如：“行知函数”，其“行知点”为．
（1）直接写出函数图象上的“行知点”是 ；
（2）若二次函数的图象上只有一个“行知点”，则的值为 ．
9．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线与轴只有一个公共点．
(1)若抛物线过点，求与的关系式；
(2)已知点，，中恰有两点在抛物线上．
求抛物线的解析式；
设直线：与抛物线交于，两点，过中点做轴垂线交直线于点，求证．
10．（2024·安徽·模拟预测）今年“五一”假期期间，合肥骆岗公园举办了大型电音节等活动，由此带来旅游热潮，引发酒店预订热．据统计，某酒店5月1日入住128人次，入住人次逐日增加，1日、2日、3日这三天累计入住608人次，求该酒店入住人次的日平均增长率．
11．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，图案1中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案2中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案3中“☆”的个数为，“★”的个数为；…．
(1)图案5中“☆”的个数为 ；
(2)图案n中，“★”的个数为 ；（用含n的式子表示）
(3)根据图案中“☆”和“★”的排列方式及规律，若图案n中“★”的个数是“☆”的个数的，求n的值．
12．（2024·安徽合肥·二模）“高山云雾出好茶”，我国的产茶区大多处于高海拔山区，交通和信息都相对不便．清明节刚过，大学生李明为了能够尽快帮助茶农销售明前新茶，以160元/千克的价格将附近茶农的明前新茶全部收购，并利用网络平台进行网上销售．根据往年的销售经验，这种明前新茶以200元/千克的价格销售，每天可售出80千克，若价格每上涨10元/千克，销售量会减少5千克．设销售单价为x元/千克，每天的销售量为y千克，且销售单价高于收购价，且不超过收购价的2倍．
(1)试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)销售单价为多少元时，所获得的日利润最大？最大日利润为多少元？
(3)由于明前新茶产量较少，李明仅收购了320千克，在（2）的条件下全部销售完之后，明后春茶上市．李明提高了的收购量收购了一批春茶，以每千克40元的利润进行网上销售，很快被抢购一空，李明再次收购一批春茶，并将收购量再提高，每千克的利润不变，所有茶叶全部销售完后，明前新茶和明后春茶共获利80000元，求m的值．
13．（2024·安徽滁州·三模）2024年3月中国新能源汽车在国家积极政策的鼓励下，居民环保意识日渐增强，新能源汽车的市场非常火爆．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆.若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价？
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