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专题07 分式方程
课标要求 考点 考向
1、概念理解：考生要能准确理解分式方程的定义，清楚分式方程是分母中含有未知数的方程，并能正确判断给定方程是否为分式方程。 2、方程求解：熟练掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，理解增根产生的原因，会通过将求得的解代入最简公分母进行检验，判断是否为增根，从而确定原分式方程的解。 3、实际应用：能够根据实际问题中的数量关系，列出分式方程解决问题，在解题过程中，要注意检验方程的解是否符合实际意义。 分式方程的运算 考向一 分式方程的解
考向二 解分式方程
分式方程的应用 考向三 分式方程几何应用
考向四 分式方程实际应用
考点一 分式方程运算
考向一 分式方程的解
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
【答案】A
【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的解是负数得到，并结合分式方程的解满足最简公分母不为，求出的取值范围即可，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以得，，
解得，
∵分式方程的解是负数，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴且，
故选：．
2．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以得，，
解得，
∵分式方程的解为正数，
∴，
∴，
又∵，
即，
∴，
∴的取值范围为且，
故选：．
3．（2024·四川达州·中考真题）若关于的方程无解，则的值为 ．
【答案】或2
【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，先解分式方程得到，再根据分式方程无解得到或，解关于k的方程即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
∵关于的方程无解，
∴当或时，分式方程无解，
解得：或（经检验是原方程的解），
即或，无解．
故答案为：或2．
4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可．
【详解】解：，
化简得：，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
由方程的解是正整数，得到为正整数，即或，
解得：或（舍去，会使得分式无意义）．
故答案为：．
考向二 解分式方程
1．（2024·四川德阳·中考真题）分式方程的解是（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．先去分母化分式方程为整式方程，求出方程的解后再检验即可．
【详解】解：，
去分母，得，
解得，
当时，，
∴是原方程的解．
故选D
2．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：x=9，
经检验：x=9是原分式方程的解，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增根．
3．（2024·四川泸州·中考真题）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程方法和步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验）求解，即可解题．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
经检验是该方程的解，
故选：D．
4．（2024·四川广元·中考真题）若点满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】此题考查了解分式方程，先将方程两边同时乘以后去分母，令x代入一个数值，得到y的值，以此为点的坐标即可，正确解分式方程是解题的关键
【详解】解：等式两边都乘以，得，
令，则，
∴“美好点”的坐标为，
故答案为（答案不唯一）
5．（2024·四川宜宾·中考真题）分式方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；先去分母，化为整式方程，再解方程并检验即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴方程的根为，
故答案为：．
6．（2013·山东济南·一模）分式方程的解是 ．
【答案】x=3
【详解】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程x=3（x﹣2），求出整式方程的解得到x=3，经检验x=3是分式方程的解，即可得到分式方程的解．
考点：解分式方程
7．（2024·广东广州·中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验．依次去分母、去括号、移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
该分式方程的解为．
8．（2024·陕西·中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
考点二 分式方程的应用
考向一 列分式方程
1．（2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：C．
2．（2024·四川广元·中考真题）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，列出方程即可．
【详解】解：设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据题意得：
，
故选：C．
3．（2024·四川达州·中考真题）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件，再根据时间工作总量工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少30分钟列出方程即可．
【详解】解：设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件，
由题意得，
故选：D．
考向二 分式方程应用
4．（2024·山东·中考真题）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ）
A．200 B．300 C．400 D．500
【答案】B
【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为，根据“改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为，
根据题意，得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
答：改造后每天生产的产品件数．
故选：B．
5．（2024·四川自贡·中考真题）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
【答案】甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用．设乙组每小时包个粽子，则甲组每小时包个粽子，根据时间等于总工作量除以工作效率，即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结果．
【详解】解：设乙组平均每小时包个粽子，则甲组平均每小时包个粽子，
由题意得：
，解得：，
经检验：是分式方程的解，且符合题意，
∴分式方程的解为：，
∴
答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
6．（2024·江苏扬州·中考真题）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？
【答案】B型机器每天处理60吨垃圾
【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】解：设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的解．
答：B型机器每天处理60吨垃圾．
7．（2024·山东威海·中考真题）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量．
【答案】千瓦·时
【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意列方程是关键，并注意检验．根据两种节能灯数量相等列式分式方程求解即可．
【详解】解：设一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时，
则一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时
整理得
解得
经检验：是原分式方程的解．
答：一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时.
8．（2024·重庆·中考真题）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元．
(1)求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
【答案】(1)种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元．
(2)甲每小时粉刷外墙的面积是平方米．
【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关键；
（1）设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，再根据总费用为15000元列方程求解即可；
（2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；利用乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．从而建立分式方程求解即可．
【详解】（1）解：设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，
∴，
解得：，
∴，
答：种外墙漆每千克的价格为元，种外墙漆每千克的价格为元．
（2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；
∴，
解得：，
经检验：是原方程的根且符合题意，
答：甲每小时粉刷外墙的面积是平方米．
9．（2024·广西·中考真题）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．
浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？
(2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．
(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
(3)两次漂洗的方法值得推广学习
【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键；
（1）把，代入， 再解方程即可；
（2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案；
（3）根据（1）（2）的结果得出结论即可．
【详解】（1）解：把，代入
得，
解得．经检验符合题意；
∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．
（2）解：第一次漂洗：
把，代入，
∴，
第二次漂洗：
把，代入，
∴，
而，
∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
（3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，
∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．
10．（2024·云南·中考真题）某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度．
【答案】型车的平均速度为
【分析】本题考查分式方程的应用，设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据“乘坐型车比乘坐型车少用2小时，”建立方程求解，并检验，即可解题．
【详解】解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，
根据题意可得，，
整理得，，
解得，
经检验是该方程的解，
答：型车的平均速度为．
1．（2024·安徽·模拟预测）为改善生态环境，打造宜居城市，某市园林绿化部门计划植树20万棵，由于工程进度需要，实际每天植树棵数比原计划增加了，结果提前4天完成任务．若设实际每天植树x万棵，则根据题意可得方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设实际每天植树x万棵，则原计划每天植树万棵，根据“提前4天完成任务”列出方程即可．
【详解】解：设实际每天植树x万棵，则原计划每天植树万棵，
根据题意可得方程为，
整理为：，
故选：A．
2．（2024·安徽淮北·二模）解方程，的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解分式方程，先将分式方程两边同时乘以，变形为整式方程，求解，最后检验即可．
【详解】解：
经检验，是原方程的解，
故选：C．
3．（2024·安徽安庆·三模）已知代数式和的值互为相反数，则x的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程，先根据代数式和的值互为相反数，建立分式方程，然后 解分式方程的步骤进行解方程，注意要验根，即可作答．
【详解】解：根据题意，，
去分母，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
检验：当时，，
故x的值为．
故选：A．
4．（2024·安徽·一模）若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则满足条件的所有整数a的值之积为（ ）
A．0 B． C． D．8
【答案】C
【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，解题的关键是正确解和，由不等式组有且仅有4个整数解和分式方程解是非负整数确定a的值．
【详解】解：解不等式组，得，
不等式组有且仅有4个整数解，
不等式组的4个整数解为4，3，2，1，
，
，
解分式方程，得，
为非负整数，
且，
分式的解是非负整数，
可取，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意，
所有满足条件的只有，
所有整数a的值之积是，
故选：C．
5．（22-23七年级下·安徽六安·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．
【详解】去分母得：，
解得
∵分式方程有增根，
∴，即，
∴增根为3，，
把代入整式方程得：，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的增根问题，解题的关键是掌握分式方程的解题步骤以及对分式方程增根的理解．
6．（2024·安徽·模拟预测）分式方程的解是 ．
【答案】无解
【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程两边同乘以得整式方程，解整式方程并检验即可得出方程的解．
【详解】解：
去分母得，，
解得，，
经检验，是增根，
所以，原分式方程无解
7．（2024·安徽·模拟预测）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程的解为，再根据题意列出不等式知且，最后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：
∴，
由题意可知且，
解得且，
故答案为：且．
8．（2024·安徽淮北·三模）《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方几何？”意思是：在一座正方形城池的北边、西边正中A，C处各开一道门，从点A往正北方向走30步刚好有一棵树位于点B处．从点C往正西方向走750步到达点D处时，正好看到这棵树（如图所示），则正方形城池的边长为 ．

【答案】300步
【分析】本题考查了分式方程的应用，正方形性质，相似三角形的性质和判定，设正方形城池的边长为步，利用正方形性质证明，利用相似三角形性质建立方程求解，即可解题．
【详解】解：设正方形城池的边长为步，
由题知，步，步， 步，，
，
由正方形性质可知，，
，
，
，
即，解得，
经检验是方程的解，
故答案为：步．
9．（23-24九年级下·安徽阜阳·期中）代数式与2的值互为相反数，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．
【详解】解：∵代数式与2的值互为相反数，
∴，
两边都乘以，得
，
∴，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
故答案为：．
10．（2024·安徽滁州·一模）若，则代数式的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了求代数式的值．先对已知去分母变形，得到，再对所求式子变形为，整体代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：1．
11．（2024·安徽合肥·三模）甲乙施工队共同完成一项工作，20天后，甲施工队因故离开，乙施工队又单独工作了20天才完成这项任务．已知甲施工队单独完成这项工作需要40天．
(1)求乙施工队单独完成这项工作需要多少天？
(2)如果乙施工队的工作时间不能超过30天，要完成这项工作，甲施工队至少要工作多少天？
【答案】(1)乙施工队单独完成这项工作需要80天
(2)甲施工队至少要工作25天
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设乙施工队单独完成这项工作需要天，根据甲乙施工队共同完成一项工作，20天后，甲施工队因故离开，乙施工队又单独工作了20天才完成这项任务．列出分式方程，解方程即可；
（2）设甲施工队要工作天，根据乙施工队的工作时间不能超过30天，要完成这项工作，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设乙施工队单独完成这项工作需要天，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程得解，且符合题意，
答：乙施工队单独完成这项工作需要80天；
（2）设甲施工队要工作天，
由题意得：，
解得：，
答：甲施工队至少要工作25天．
12．（2024·陕西西安·模拟预测）每年的4月23日是世界读书日，全国各地开展了丰富多彩的读书主题活动，为推动全民阅读，营造良好的文明风尚．某学校为鼓励学生多读书读好书，计划购进了一批A、B种图书，已知购买一本A种图书比购买一本B种图书贵5元，用160元购买B种图书的数量是用400元购买种图书数量的一半．求购买的、种图书的单价各多少元？
【答案】购买的种图书的单价为25元，则购买的B种图书的单价为元．
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设购买的种图书的单价为x元，则购买的B种图书的单价为元，根据用160元购买B种图书的数量是用400元购买种图书一半列出方程求解即可．
【详解】解：设购买的种图书的单价为x元，则购买的B种图书的单价为元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：购买的种图书的单价为25元，则购买的B种图书的单价为元．
13．（2024·安徽芜湖·三模）某中学的科技兴趣小组制作的甲、乙两种型号的机器人都被用来搬运快递，甲型机器人比乙型机器人每小时少搬运60千克快递，甲型机器人搬运600千克快递所用的时间与乙型机器人搬运800千克快递所用的时间相同，问甲、乙两种型号的机器人每小时分别搬运多少千克快递？
【答案】甲型机器人每小时搬运180千克快递，乙型机器人每小时搬运240千克快递
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设甲型机器人每小时搬运x千克快递，则乙型机器人每小时搬运千克快递，根据“甲型机器人搬运600千克快递所用的时间与乙型机器人搬运800千克快递所用的时间相同”，这一等量关系列方程，解答，检验即可．
【详解】解：设甲型机器人每小时搬运x千克快递，则乙型机器人每小时搬运千克快递，
依题意，得
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴（千克）．
答：甲型机器人每小时搬运180千克快递，则乙型机器人每小时搬运240千克快递．
14．（2024·安徽合肥·二模）某中铁集团有甲乙两个施工队，该集团承担一条高速铁路的施工任务，甲工程队单独施工10个月后，为了加快进度，乙工程队也加入施工，这样又用了20个月完成了任务．已知乙工程队单独施工该项任务需要40个月才能完成．
(1)求甲工程队单独施工完成该项任务需要多少个月？
(2)如果两个施工队从一开始就合作完成此项施工任务，需要多少个月？
【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要60天
(2)如果两队一开始就合作完成此项工程，需要24天
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
（1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，利用甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程款=总工程量，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）利用工作时间=工作总量÷两队的工作效率之和，即可求出结论．
【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要x天，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：甲工程队单独完成此项工程需要60天；
（2）（天）．
答：如果两队一开始就合作完成此项工程，需要24天．
15．（2024·安徽·二模）观察下列等式：
；
；
；
(1)由此可推断：________；
(2)根据上述规律，解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查数字类规律探究，解分式方程：
（1）根据已有等式，推出结论即可；
（2）方程左边裂项相加后，再解分式方程即可．
【详解】（1）解：由题意，可知：；
故答案为：；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为：．
16．（2022·安徽·模拟预测）面对全球疫情蔓延、芯片短缺等不利影响，新能源汽车销量仍大幅增长，因此，2022年的新能源汽车补贴标准在2021年基础上退坡30%．某新能源汽车销售公司去年二月份的销售额为300万元，今年受补贴标准的影响，二月份A型汽车的售价比去年同期每辆涨价1万元，在卖出相同数量的A型汽车的前提下，二月份的销售额为320万元．
(1)求今年二月份每辆A型汽车的售价．
(2)经过一段时间后，该销售公司发现，A型汽车的售价在二月份的基础上每涨1万元，销售量会减少2辆，已知A型汽车的进价不变，每辆12万元，那么如何确定售价才可以获得最大利润？
【答案】(1)16万元
(2)每辆型车的售价为19万元时，可以获得最大利润，且最大利润为98万元
【分析】（1）设今年二月份每辆型汽车的售价为万元．根据卖出相同数量的A型汽车列方程，解方程并检验即可得到答案；
（2）设每辆型车的售价为元，利润为元．列出w关于a的二次函数，根据二次函数的性质求出答案即可；
此题考查了二次函数的应用、分式方程的应用，读懂题意，正确列出方程和函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设今年二月份每辆型汽车的售价为万元．
根据题意，得，
解得．
经检验，是分式方程的解且符合题意．
答：今年二月份每辆型汽车的售价为16万元．
（2）设每辆型车的售价为元，利润为元．
根据题意，得，
∴当每辆型车的售价为19万元时，可以获得最大利润，且最大利润为98万元．
17．（19-20八年级上·山东威海·期中）阅读下列材料：
，，，，，
．
解答下列问题：
(1)在和式中，第项为______，第项是______．
(2)上述求和的想法是：将和式中的各分数转化为两数之差，使得除首末两项外的中间各项可以抵消，从而达到求和的目的，受此启发，请你解下面的方程：．
【答案】(1)；
(2)
【分析】(1)由已知中所给的条件找出规律解答；
(2)把每一个分式先分列为两个分式，找抵消规律，再计算．
【详解】（1）解：由算式规律可得：分子都是1，第几项分母就是从小到大的第几个正奇数与比它大的相邻奇数的积，
∴第项为，第项是 ；
（2）解：将分式方程变形为，
整理得，
方程两边都乘以，
得，
解得．
经检验，是原分式方程的根．
【点睛】解答此类题目关键是找出规律再解答，在计算分式时若分母有规律可循是可将其分开以简化计算．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题07 分式方程
课标要求 考点 考向
1、概念理解：考生要能准确理解分式方程的定义，清楚分式方程是分母中含有未知数的方程，并能正确判断给定方程是否为分式方程。 2、方程求解：熟练掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，理解增根产生的原因，会通过将求得的解代入最简公分母进行检验，判断是否为增根，从而确定原分式方程的解。 3、实际应用：能够根据实际问题中的数量关系，列出分式方程解决问题，在解题过程中，要注意检验方程的解是否符合实际意义。 分式方程的运算 考向一 分式方程的解
考向二 解分式方程
分式方程的应用 考向三 列分式方程
考向四 分式方程应用
考点一 分式方程运算
考向一 分式方程的解
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
2．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A． B．且
C． D．且
3．（2024·四川达州·中考真题）若关于的方程无解，则的值为 ．
4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ．
考向二 解分式方程
1．（2024·四川德阳·中考真题）分式方程的解是（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川泸州·中考真题）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川广元·中考真题）若点满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标 ．
5．（2024·四川宜宾·中考真题）分式方程的解为 ．
6．（2013·山东济南·一模）分式方程的解是 ．
7．（2024·广东广州·中考真题）解方程：．
8．（2024·陕西·中考真题）解方程：．
考点二 分式方程的应用
考向一 列分式方程
1．（2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·四川广元·中考真题）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·四川达州·中考真题）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
考向二 分式方程应用
4．（2024·山东·中考真题）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ）
A．200 B．300 C．400 D．500
5．（2024·四川自贡·中考真题）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
6．（2024·江苏扬州·中考真题）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？
7．（2024·山东威海·中考真题）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量．
8．（2024·重庆·中考真题）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元．
(1)求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
9．（2024·广西·中考真题）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．
浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？
(2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
10．（2024·云南·中考真题）某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度．
1．（2024·安徽·模拟预测）为改善生态环境，打造宜居城市，某市园林绿化部门计划植树20万棵，由于工程进度需要，实际每天植树棵数比原计划增加了，结果提前4天完成任务．若设实际每天植树x万棵，则根据题意可得方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·安徽淮北·二模）解方程，的值为（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2024·安徽安庆·三模）已知代数式和的值互为相反数，则x的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
4．（2024·安徽·一模）若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则满足条件的所有整数a的值之积为（ ）
A．0 B． C． D．8
5．（22-23七年级下·安徽六安·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024·安徽·模拟预测）分式方程的解是 ．
7．（2024·安徽·模拟预测）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ．
8．（2024·安徽淮北·三模）《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方几何？”意思是：在一座正方形城池的北边、西边正中A，C处各开一道门，从点A往正北方向走30步刚好有一棵树位于点B处．从点C往正西方向走750步到达点D处时，正好看到这棵树（如图所示），则正方形城池的边长为 ．

9．（23-24九年级下·安徽阜阳·期中）代数式与2的值互为相反数，则的值为 ．
10．（2024·安徽滁州·一模）若，则代数式的值是 ．
11．（2024·安徽合肥·三模）甲乙施工队共同完成一项工作，20天后，甲施工队因故离开，乙施工队又单独工作了20天才完成这项任务．已知甲施工队单独完成这项工作需要40天．
(1)求乙施工队单独完成这项工作需要多少天？
(2)如果乙施工队的工作时间不能超过30天，要完成这项工作，甲施工队至少要工作多少天？
12．（2024·陕西西安·模拟预测）每年的4月23日是世界读书日，全国各地开展了丰富多彩的读书主题活动，为推动全民阅读，营造良好的文明风尚．某学校为鼓励学生多读书读好书，计划购进了一批A、B种图书，已知购买一本A种图书比购买一本B种图书贵5元，用160元购买B种图书的数量是用400元购买种图书数量的一半．求购买的、种图书的单价各多少元？
13．（2024·安徽芜湖·三模）某中学的科技兴趣小组制作的甲、乙两种型号的机器人都被用来搬运快递，甲型机器人比乙型机器人每小时少搬运60千克快递，甲型机器人搬运600千克快递所用的时间与乙型机器人搬运800千克快递所用的时间相同，问甲、乙两种型号的机器人每小时分别搬运多少千克快递？
14．（2024·安徽合肥·二模）某中铁集团有甲乙两个施工队，该集团承担一条高速铁路的施工任务，甲工程队单独施工10个月后，为了加快进度，乙工程队也加入施工，这样又用了20个月完成了任务．已知乙工程队单独施工该项任务需要40个月才能完成．
(1)求甲工程队单独施工完成该项任务需要多少个月？
(2)如果两个施工队从一开始就合作完成此项施工任务，需要多少个月？
15．（2024·安徽·二模）观察下列等式：
；
；
；
(1)由此可推断：________；
(2)根据上述规律，解方程：．
16．（2022·安徽·模拟预测）面对全球疫情蔓延、芯片短缺等不利影响，新能源汽车销量仍大幅增长，因此，2022年的新能源汽车补贴标准在2021年基础上退坡30%．某新能源汽车销售公司去年二月份的销售额为300万元，今年受补贴标准的影响，二月份A型汽车的售价比去年同期每辆涨价1万元，在卖出相同数量的A型汽车的前提下，二月份的销售额为320万元．
(1)求今年二月份每辆A型汽车的售价．
(2)经过一段时间后，该销售公司发现，A型汽车的售价在二月份的基础上每涨1万元，销售量会减少2辆，已知A型汽车的进价不变，每辆12万元，那么如何确定售价才可以获得最大利润？
17．（19-20八年级上·山东威海·期中）阅读下列材料：
，，，，，
．
解答下列问题：
(1)在和式中，第项为______，第项是______．
(2)上述求和的想法是：将和式中的各分数转化为两数之差，使得除首末两项外的中间各项可以抵消，从而达到求和的目的，受此启发，请你解下面的方程：．
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