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专题10 一次函数
课标要求 考点 考向
1、理解一次函数是形如y = kx + b（k ≠ 0）的函数，其中x是自变量，y是因变量，k和b是常数，k是斜率，b是截距，明白一次函数表示的是一条直线，理解斜率和截距对直线的影响。 2、掌握一次函数图像的绘制方法，能根据表达式y = kx + b（k ≠ 0），探索并理解k>0和k<0时图像的变化情况，理解正比例函数，掌握一次函数的增减性、与坐标轴交点等基本性质。 3、会用待定系数法确定一次函数的表达式，能根据已知条件求出k和b的值。 4、能用一次函数解决简单的实际问题，能根据实际问题建立一次函数模型，并利用其性质解决问题。 5、体会一次函数与二元一次方程、不等式的关系，能综合运用一次函数、方程、不等式的知识解决相关问题。 一次函数概念 考向一 一次函数定义
考向二 一次函数图像与性质
考向三 一次函数解析式
一次函数与方程不等式 考向一 一次函数与不等式
考向二 一次函数与一次方程
一次函数应用 考向一 一次函数实际应用
考向二 一次函数与几何综合
考点一 一次函数概念
考向一 一次函数定义
一、单选题
1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，为点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解．
【详解】解：过点B作轴，垂足为点D，
∵顶点在直线上，点的横坐标是8，
∴，即，
∴，
∵轴，
∴由勾股定理得：，
∵四边形是菱形，
∴轴，
∴将点B向左平移10个单位得到点C，
∴点，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
2．（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：设该扇面所在圆的半径为，
，
∴，
∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为，
∴，
∴，
∴是的正比例函数，
∵，
∴它的图像是过原点的一条射线．
故选：C．
二、填空题
3．（2024·湖北·中考真题）铁的密度为，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：）之间的函数关系式为．当时， g．
【答案】79
【分析】本题考查一次函数的应用，将自变量的值代入函数关系式求出对应函数值是解题的关键．
将代入求出对应m的值即可．
【详解】解：当时，．
故答案为：79．
4．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出，当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，由对称性质可知，，，当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，作于点，有，设，则，利用锐角三角函数建立等式求出，证明，再利用相似三角形性质求出，最后根据求解，即可解题．
【详解】解：点A在直线上，且点A的横坐标为4，
点A的坐标为，
，
当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，
由对称性质可知，，
当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，
由对称性质可知，，
作于点，有，
设，则，
，
，
解得，
经检验是方程的解，
，，
，
，
，
，
，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，角平分线性质，垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据轴对称性质和垂线段最短找出最短的情况．
考向二 一次函数图像与性质
一、单选题
1．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小
C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案．
【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确；
B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误；
C.当时，，原说法错误；
D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误；
故选A．
2．（2024·山西·中考真题）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数的图象和性质即可解决问题．
【详解】
随的增大而增大，
又点在正比例函数的图象上，且
．
故选：B
3．（2024·新疆·中考真题）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，要知道，在直线中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而增大，
∴，
而四个选项中，只有D符合题意，
故选：D．
二、填空题
4．（2024·山东潍坊·中考真题）请写出同时满足以下两个条件的一个函数： ．
①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数中的随着的增大而减小可得，再根据函数图象与轴正半轴相交可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵随着的增大而减小，
∴一次函数的比例系数，
又∵函数图象与轴正半轴相交，
∴，
∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
5．（2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）．
【答案】<
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据，可知一次函数值y随着x的增大而增大，再比较x值的大小，可得答案．
【详解】∵一次函数中，，
∴一次函数值y随着x的增大而增大．
∵，
∴．
故答案为：．
6．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一次函数性质应用，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，找出规律即可解决．
【详解】解：作轴于点H，
均在直线上，
，
，
，，
，
，
，
，
，
同理，，
，
同理，
，
即点的横坐标是，
故答案为：．
考向三 一次函数解析式
一、单选题
1．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　）
尾长 6 8 10
体长 45.5 60.5 75.5
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意可设，利用待定系数法求出k，b即得x、y之间的函数关系式．
【详解】解：∵蛇的体长是尾长的一次函数，
设，
把时，；时，代入得，
解得，
∴y与x之间的关系式为．
故选：A．
二、填空题
2．（2024·宁夏·中考真题）在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线的解析式可能为 （写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，一次函数的几何应用，如图，直线过，，再求解一次函数的解析式即可．
【详解】解：如图，直线过，，
∴为等腰直角三角形，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
故答案为：，（答案不唯一．）
3．（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ．
【答案】/0.6
【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，根据题意画出图形，求待定系数法求出的解析式，再根据直线经过点，求出，联立两直线求出点D的坐标，再根据靠近原点部分的面积为为等量关系列出关于k的等式，求解即可得出答案．
【详解】解：根据题意画出图形如下，
设直线的解析式为：，
把，代入，
可得出：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴直线，
联立两直线方程：，
解得：，
∴
∵，，
∴，，
根据题意有：，
即，
，
解得：,
故答案为：．
4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）请写出一个过点且y的值随x值增大而减小的函数的解析式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了函数的增减性，待定系数法求函数解析式．写出一个一次项系数为负数且经过点的一次函数即可．
【详解】解：设满足题意得的一次函数的关系式为，
代入得：，
，
∴满足题意的一次函数的解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
三、解答题
5．（2024·西藏·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请直接写出满足的x取值范围．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：依题意，点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
．
∵，两点均在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴当时，x的取值范围为或．
6．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为．
(1)求，的值；
(2)将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出a，然后利用待定系数法即可求得k的值；
（2）根据直线向上平移m个单位长度，可得直线解析式为，根据三角形全等的判定和性质即可得到结论．
【详解】（1）解：∵点A在反比例函数图象上，
∴，解得，
将代入，
；
（2）解：如图，过点C作轴于点F，
，
，，
，
，
，，
∵直线向上平移m个单位长度得到，
令，得，令，得，
，，
，，
，
双曲线过点C，
，
解得或（舍去），
．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，正确表示点C的坐标是解题的关键．
7．（2024·山东泰安·中考真题）直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点．
(1)求直线的表达式；
(2)若，请直接写出满足条件的的取值范围；
(3)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题、根据函数图像求不等式解集、三角形的面积等知识点，掌握运用待定系数法求解析式及数形结合思想是解题的关键．
（1）分别将点、点代入，求出m、n的值，再分别代入中即可解答；
（2）根据函数图像确定不等式的解集即可；
（3）先把代入中，求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：分别将点、点代入中，可得：，，解得：，，
点坐标为，点坐标为，
把A点坐标，点坐标分别代入,可得，解得：
，
一次函数表达式为．
（2）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点，
∴由图象可知，当时，或．
（3）解：把时代入中，得，
点坐标为，即，
．
考点二 一次函数与方程不等式
考向一 一次函数与不等式
一、单选题
1．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可．
【详解】解∶∵不等式的解集是，
∴当时，，
观察各个选项，只有选项B符合题意，
故选：B．
二、填空题
2．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键．
可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ．
【详解】解：可知过原点，
∵中，时，，
∴当过点时，，
得；
当与平行时，
得．
由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：．
故答案为： ．
三、解答题
3．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点.
(1)求，的值；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
（1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b；
（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可．
【详解】（1）解：由题意，将代入得：，
解得：，
将，，代入函数中，
得：，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴两个一次函数的解析式分别为，
当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，
即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为：
由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意，
∴当直线与直线平行时，，
∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，，
∴m的取值范围为．
考向二 一次函数与一次方程
一、单选题
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断．
【详解】解∶ 联立方程组，
解得，
∴P的坐标为，
∴点P在第四象限，
故选∶D．
二、填空题
2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可．
根据一次函数与轴交点坐标可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵一次函数的图象与轴交于点，
∴当时，，即时，，
∴关于的方程的解是．
故答案为：．
三、解答题
3．（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积．
【答案】(1)
(2)6
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可．
【详解】（1）解：点在正比例函数图象上，
，解得，
，
在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为．
（2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为，
令，则，
∴记直线与轴交点坐标为，连接，
联立方程组，
解得，（舍去），
，
由题意得：，
∴同底等高，
．
考点三 一次函数应用
考向一 一次函数实际应用
一、填空题
1．（2024·山东济南·中考真题）某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多 ．
【答案】12
【分析】本题考查一次函数的应用，根据“电动汽车每干米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象的函数关系式，并计算当时对应函数值是解题的关键．
根据“电动汽车每干米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象的函数关系式，将分别代入，求出对应函数值并计算二者之差即可．
【详解】解：款新能源电动汽车每千米的耗电量为，
款新能源电动汽车每千米的耗电量为，
∴图象的函数关系式为，
图象的函数关系式为，
当时，，
，
∴当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多．
故答案为：12．
二、解答题
2．（2024·山东德州·中考真题）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
(1)两种棋的单价分别是多少？
(2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
【答案】(1)五子棋的单价是40元，象棋的单价是元
(2)购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键．
（1）设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．列出分式方程求解并检验即可；
（2）设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍，列出不等式，求出m的取值范围；再列出购买两种棋的费用的关系式，根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得：
解得：，
经检验是所列分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得：
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
在中，
为正整数，
当时，有最小值，最小值为（元），
则（副）
答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元．
3．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的．
【问题解决】
(1)问题一：求出两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
【答案】(1)1200元；1000元
(2)；购买A种书架8个，B种书架12个
(3)120
【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题．
（1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答；
（2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值；
（3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答．
【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元．
由题意得，
解得，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
．
答：两种书架的单价分别为1200元，1000元．
（2）解：购买a个A种书架时，购买总费用，
即，
由题意得，a应满足：，解得．
，
∴w随着a的增大而增大，
当时，w的值最小，最小值为，
费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个．
（3）解：由题意得
，
解得．
4．（2024·山东青岛·中考真题）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．
(1)求航空和航海模型的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
【答案】(1)航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元；
(2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，根据用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的列出方程求解即可；
（2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元；
（2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，
由题意得，，
解得，
，
∵，
∴y随m增大而增大，
∴当时，y有最小值，最小值为，
此时有，
答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少．
5．（2024·山东济南·中考真题）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．
(1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
(2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
【答案】(1)修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元
(2)修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式．
（1）设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元列出方程组，解方程组即可；
（2）设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，先根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后W关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可．
【详解】（1）解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据题意，得，
解得
答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元．
（2）解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，根据题意，得，
解得，
，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，此时（万元），
答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元．
6．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．
相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多
【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
(2)选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键．
（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多．
【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
解得，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，
∴，
∴，
∵每天分拣快递的件数，
∴当时，每天分拣快递的件数最多为万件，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．
7．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表：
A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元）
第一次 20 25 1150
第二次 10 20 800
(1)求两种型号劳动用品的单价；
(2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变）
【答案】(1)A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元
(2)该校购买这40件劳动用品至少需要950元
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用．
（1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可；
（2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答．
【详解】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，
，
解得：，
答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元．
（2）解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，
根据题意可得：，
设购买这40件劳动用品需要W元，
，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当时，W取最小值，，
∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元．
8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)．
(1) ，_____；
(2)写出第天的销售额与之间的函数关系式；
(3)求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？
【答案】(1)，
(2)
(3)在试销售的天中，共有天销售额超过元
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据销售额等于销量乘以售价，分段列出函数关系式，即可求解；
（3）根据题意，根据，列出方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，将，代入，
∴
解得：
∴
故答案为：，．
（2）解：依题意，
当时，
当时，
∴
（3）解：依题意，当时，
当时，
解得：
为正整数，
∴第天至第天，销售额超过元
（天）
答：在试销售的天中，共有天销售额超过元
考向二 一次函数与几何综合
一、填空题
1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，得到点在直线上运动，求出点分别与重合时，点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】解：以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，
则：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作，则：，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
令，
则：，
∴点在直线上运动，
当点与重合时，，此时，
当点与重合时，，此时，
∴点E所经过的路径长为；
故答案为：．
二、解答题
2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根．请解答下列问题：
(1)求点D的坐标；
(2)若线段的垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值；
(3)在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，12个，
【分析】（1）先解方程求出，然后求出直线解析式即可求得点D的坐标；
（2）过点E作于点H，求出，然后证明，即可得到，然后求出得正切值即可；
（3）利用分类讨论画出图形，利用勾股定理解题即可．
【详解】（1）解：解方程得，，
∴，即点A的坐标为，
把代入得，
∴，点D的坐标为；
（2）解：过点E作于点H，
∵，
∴，，
∴，
又∵是平行四边形，
∴，，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，当时，有个，
解：∵，
∴，
由（2）得，，
∴，
∴点N得坐标为；
当时，有个，如图，
当时，有个，如图，
∵，
∴，
∴，
∴点与O重合，
故点得坐标为，
综上所述，点的个数为个，和点N的坐标为或．
【点睛】本题考查解一元二次方程，直线的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
3．（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在的延长线上，使得，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，是线段外一点，在的延长线上，且，因为点Q在线段上，所以点P是线段的“延长2分点”．
(1)如图1，已知图形：线段，，，在中，______是图形的“延长2分点”；
(2)如图2，已知图形：线段，，，若直线上存在点P是图形的“延长2分点”，求b的最小值：
(3)如图3，已知图形：以为圆心，半径为1的，若以，，为顶点的等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意，画出图象，进行判断即可；
（2）作以原点为位似中心，位似比为的位似图形，根据直线上存在点P是图形的“延长2分点”，得到直线与有交点，进而得到当过点时，值最小，进行求解即可；
（3）作以原点为位似中心，位似比为的位似，得到与有交点，求出与相切以及与相切，两种情况求出的临近值，即可得出结果．
【详解】（1）解：作线段以原点为位似中心，位似比为的位似图形，
∵，，
∴，，
∵点是图形的“延长2分点”，
∴点在线段上，
∵在线段上，
∴是图形的“延长2分点”；
故答案为：；
（2）作以原点为位似中心，位似比为的位似图形，如图，
∵，，
∴，，
∵直线上存在点P是图形的“延长2分点”，
∴直线与有交点，
∴当过点时，值最小，
把，代入，得：，
∴的最小值为；
（3）作以原点为位似中心，位似比为的位似，
∵，，，
∴，，，
∵等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”，
∴当与有交点时，满足题意，
当与相切时，如图，则：或，
∴时，满足题意；
当与相切时，且切点为，连接，则：，
∵为等腰直角三角形，
∴为等腰直角三角形，
∵，，，
∴轴，
∴，
∵以为圆心，半径为1的，
∴点在直线上，，
∴，
∴，
∴或，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查坐标与图形变换—位似，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的性质等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，理解并掌握新定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
一、单选题
1．（2024·安徽·模拟预测）从，，这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和，则一次函数图象经过第二象限的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：画树状图如下，

一共有种可能，其中经过第二象限的共有种可能，分别为，；，；，；，；
∴经过第二象限的概率是，
故选：．
2．（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的图象，其图象是直线，要求学生掌握通过函数的解析式，判断直线的位置及与坐标轴的交点．
联立方程，得出两直线的交点为，依次分析选项可得答案．
【详解】解：联立方程，可解得，故两直线的交点为，
选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项不符合题意；
而选项中交点横坐标是负数，故选项不符合题意；
选项中交点横坐标是负数，选项不符合题意；
选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即，根据图象可得，故选项符合题意；
故选：．
3．（2024·安徽·模拟预测）下列函数中，随的增大而减小的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一次函数的性质，二次函数的性质，根据一次函数和二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A、是一次函数，，随的增大而减小，故该选项符合题意；
B、是一次函数，，随的增大而增大，故该选项不符合题意；
C、是二次函数，开口向上，对称轴是轴，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意；
D、是二次函数，开口向下，对称轴是轴，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意．
故选：A．
4．（2024·安徽宣城·模拟预测）下列函数中，随增大而减小的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数、反比例函数以及二次函数的性质，熟知相关函数的性质是解答的关键．根据一次函数、反比例函数以及二次函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、∵，∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；
B、∵，对称轴为y轴，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；
C、∵，∴当时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；
D、∵，∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；
故选：C．
5．（2024·安徽六安·模拟预测）直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限，则反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象与系数的关系．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于反比例函数，当时，图象在一、三象限均有随的增大而减小；当时，图象在二、四象限均有随的增大而增大．熟记相关结论即可求解．
【详解】解：∵直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限，
∴，；
∴
∴反比例函数的图象位于第二、四象限
故选：C
6．（2024·安徽合肥·三模）在平面直角坐标系中，已知函数的图象过点，则b不可能是（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象和图象上点的坐标特征，根据题意可以得到，求出即可解题．
【详解】解：把代入得，
∴，
解得，
∴b不可能是2，
故选C．
7．（2024·安徽合肥·三模）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质、比较一次函数函数值的大小，由一次函数解析式得出随的增大而增大，结合，即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵直线，，
∴随的增大而增大，
∵，
∴，
故选：D．
8．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，直线与坐标轴交于点A、，过点作的垂线交轴于点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及正切函数的应用，熟练掌握直角三角形的特征和正切函数是解题的关键．由直线与坐标轴交于点、，得到，结合，得到，利用正切函数计算即可，
【详解】解：∵直线与坐标轴交于点、，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即
解得，
∴，
故选：A．
9．（2024·安徽合肥·模拟预测）若将直线向下平移3个单位，则关于平移后的直线，下列描述正确的是（ ）
A．与轴交于点 B．不经过第一象限
C．随的增大而增大 D．与轴交于点
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图象平移，根据平移规律“上加下减”，得到的解析式为，再根据一次函数的图象性质逐一判断即可选出正确答案．
【详解】解：直线向下平移3个单位长度后得到的解析式为，
A、当，，与轴交于点 ，故该选项不正确，不符合题意；
B、 ，不经过第一象限，故该选项正确，符合题意；
C、 ，则随的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；
D、当时，，则与轴交于点，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
二、填空题
10．（2024·安徽·模拟预测）甲、乙两人在一条直线道路上分别从A，两地同时骑摩托车出发，相向而行．当两人相遇后，甲继续向地前进甲到达地时停止运动，乙也立即调头返回地．在整个运动过程中，甲、乙均保持各自的速度匀速行驶．若甲、乙两人之间的距离米与乙运动的时间秒之间的关系如图所示，则A，两地之间的距离为 米．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据题意和函数图象可以得到甲乙相遇时行驶的时间，然后根据函数图象中的数据可以列出相应的方程，即可求得A，两地之间的距离．
【详解】解：由题意和图象可得，
甲从A地到地用的时间为秒，乙从开始到回到地用的时间为秒，
甲乙相遇的时，甲乙都行驶了秒，
设，两地的路程为米，
，
解得，，
故答案为：．
11．（2024·安徽阜阳·模拟预测）规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数（，为整数），例如：，，．则下列说法正确的是 ．（写出所有正确说法的序号）
①当时，；
②当时，；
③方程的解为；
④当时，函数的图象与正比例函数的图象有两个交点．
【答案】③
【分析】本题考查了一次函数的交点及有理数的加法，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据定义依次代入数据即可判断①②，当时，代入求解即可判断③，分时，当时，当时，，当时，当时，等集中情况求解判断④．
【详解】解：①当时，
，故①错误；
②当时，
，故②错误；
③当时，
，故③正确；
④∵时，
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∵，则时，得；时，得；当时，，
∴当时，函数的图象与正比例函数的图象有三个交点，故④错误，
故答案为③．
三、解答题
12．（2024·安徽·模拟预测）公司有台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共辆．已知每辆甲种货车一次最多运送机器台、租车费用为元，每辆乙种货车一次最多运送机器台、租车费用为元．
(1)设租用甲种货车辆（为非负整数），试填写下表．
表一：
租用甲种货车的数量 / 辆
租用的甲种货车最多运送机器的数量 / 台
租用的乙种货车最多运送机器的数量 / 台
表二：
租用甲种货车的数量 / 辆
租用甲种货车的费用/ 元
租用乙种货车的费用 / 元
(2)给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由．
【答案】(1)表一：，，，；表二：，，，
(2)甲种货车辆，乙种货车辆
【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的方程和不等式．
（1）根据计划租用甲、乙两种货车共辆．已知每辆甲种货车一次最多运送机器台、租车费用为元，每辆乙种货车一次最多运送机器台、租车费用为元，可以分别把表一和表二补充完整；
（2）由（1）中的数据和公司有台机器需要一次性运送到某地，列出不等式，求出，结合一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，
在表一中，当甲车辆时，运送的机器数量为：（台），
则乙车辆，运送的机器数量为：（台），
当甲车辆时，运送的机器数量为：（台），
则乙车辆，运送的机器数量为：（台），
在表二中，当租用甲货车辆时，租用甲种货车的费用为：（元），
则租用乙种货车辆，租用乙种货车的费用为：（元），
当租用甲货车辆时，租用甲种货车的费用为：（元），
则租用乙种货车辆，租用乙种货车的费用为：（元），
故答案为：表一：，，，；
表二：，，，．
（2）解：能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲车辆，乙车辆，
理由：当租用甲种货车辆时，设两种货车的总费用为元，
则两种货车的总费用为：，
又∵，
解得：，
∵，
∴在函数中，随的增大而增大，
∴当时，取得最小值，
即能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲种货车辆，乙种货车辆．
13．（2024·安徽·模拟预测）在直角坐标系中，，．
(1)画出线段关于轴的对称线段；
(2)将线段绕点顺时针旋转一个角，得到对应的线段，使得轴，请画出线段；
(3)若直线平分四边形的面积，请求出的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换、平行四边形的判定、依据待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证出四边形为平行四边形，再根据点的坐标利用待定系数法求出值．
（1）作点关于轴的对称点，连接即可得；
（2）过点作射线轴，过点以长度为半径作弧，交射线与点，连接即可；
（3）由直线平分四边形的面积，知直线过点，将点的坐标代入直线解析式中即可求出值．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求；
（2）如图，线段即为所求；
（3），，
四边形是平行四边形，
直线平分，
直线过点，
．
14．（2024·安徽合肥·一模）为支持美丽乡村建设，某大学主动承担绿水县的高标准农田改造工程．第一批任务要求在第50天完成，待改造的高标准农田y（亩）与工作时间x（天）满足一次函数关系，已知30天后还有4000亩高标准农田待改造．
(1)求第一批任务中需改造的高标准农田的亩数；
(2)为进一步加大支持力度，第二批任务比第一批增加，且每亩改造价格比第一批少100元，这两批任务的改造总价相同．求第二批任务的改造总价．
【答案】(1)第一批任务中需改造的高标准农田为10000亩；
(2)第二批任务的改造总价为6000000元．
【分析】本题考查一次函数的应用和一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元一次方程；
（1）设待改造的高标准农田（亩）与工作时间（天）的一次函数关系式为，用待定系数法可得，令即得第一批任务中需改造的高标准农田为10000亩；
（2）设第二批任务中每亩改造价格为元，由这两批任务的改造总价相同得：，解得：，即可求出答案．
【详解】（1）解：设待改造的高标准农田（亩）与工作时间（天）的一次函数关系式为，
由题意得：，
解得，
，
令得，
第一批任务中需改造的高标准农田为10000亩；
（2）解：设第二批任务中每亩改造价格为元，
由题意得：，
解得：，
（元），
答：第二批任务的改造总价为6000000元．
15．（2024·安徽滁州·二模）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度与所挂物体质量满足一次函数 下表是测量物体时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
x 0 2 5
y 15 19 25
(1)求与x的函数关系式；
(2)当弹簧长度为时，求所挂物体的质量．
【答案】(1)；
(2)当弹簧长度为时，所挂物体的质量为．
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握求函数关系式以及求函数值的方法进行求解是解决本题的关键．
（1）把，；，代入中，即可得出答案；
（2）把代入中，计算即可得出答案．
【详解】（1）解：把，；，代入中，
得，
解得：，
与的函数关系式为：；
（2）解：当弹簧长度为时，
即，
解得：，
当弹簧长度为时，所挂物体的质量为．
16．（2024·安徽·二模）一次函数（k，b为常数，）经过点A，点B，其中点A的坐标为，点B的坐标为．当y随x的增大而增大时，求t的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，将点，点代入一次函数解析式得，进而可得，根据y随x的增大而增大可得，进而可求解，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：依题意得：，
，即：，
y随x的增大而增大，
，
解得：．
17．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）周末，李叔叔开车从盐城出发去千米远的南京游玩，当汽车行驶小时到达郭村时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程y（千米）与时间x（时）之间的关系如图所示．
(1)求汽车修好后y与x之间的函数关系式；
(2)在距离南京千米的地方有一个服务区，求李叔叔从盐城出发后多长时间到达服务区？
【答案】(1)
(2)小时
【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式．熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．
（1）设汽车修好后y与x之间的函数关系式为，将，代入，计算求解，然后作答即可；
（2）由距离南京千米的地方有一个服务区，可得服务区距离盐城千米，将代入计算求解即可．
【详解】（1）解：设汽车修好后y与x之间的函数关系式为，
将，代入得，，
解得，，
∴函数关系式为；
（2）解：∵距离南京千米的地方有一个服务区，
∴服务区距离盐城千米，
将代入得，，
解得，，
∴李叔叔从盐城出发后小时到达服务区．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题10 一次函数
课标要求 考点 考向
1、理解一次函数是形如y = kx + b（k ≠ 0）的函数，其中x是自变量，y是因变量，k和b是常数，k是斜率，b是截距，明白一次函数表示的是一条直线，理解斜率和截距对直线的影响。 2、掌握一次函数图像的绘制方法，能根据表达式y = kx + b（k ≠ 0），探索并理解k>0和k<0时图像的变化情况，理解正比例函数，掌握一次函数的增减性、与坐标轴交点等基本性质。 3、会用待定系数法确定一次函数的表达式，能根据已知条件求出k和b的值。 4、能用一次函数解决简单的实际问题，能根据实际问题建立一次函数模型，并利用其性质解决问题。 5、体会一次函数与二元一次方程、不等式的关系，能综合运用一次函数、方程、不等式的知识解决相关问题。 一次函数概念 考向一 一次函数定义
考向二 一次函数图像与性质
考向三 一次函数解析式
一次函数与方程不等式 考向一 一次函数与不等式
考向二 一次函数与一次方程
一次函数应用 考向一 一次函数实际应用
考向二 一次函数与几何综合
考点一 一次函数概念
考向一 一次函数定义
一、单选题
1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，为点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2024·湖北·中考真题）铁的密度为，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：）之间的函数关系式为．当时， g．
4．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ．
考向二 一次函数图像与性质
一、单选题
1．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小
C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限
2．（2024·山西·中考真题）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·新疆·中考真题）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
二、填空题
4．（2024·山东潍坊·中考真题）请写出同时满足以下两个条件的一个函数： ．
①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交．
5．（2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）．
6．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ．
考向三 一次函数解析式
一、单选题
1．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　）
尾长 6 8 10
体长 45.5 60.5 75.5
A． B．
C． D．
二、填空题
2．（2024·宁夏·中考真题）在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线的解析式可能为 （写出一个即可）．
3．（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ．
4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）请写出一个过点且y的值随x值增大而减小的函数的解析式 ．
三、解答题
5．（2024·西藏·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请直接写出满足的x取值范围．
6．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为．
(1)求，的值；
(2)将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．
7．（2024·山东泰安·中考真题）直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点．
(1)求直线的表达式；
(2)若，请直接写出满足条件的的取值范围；
(3)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积．
考点二 一次函数与方程不等式
考向一 一次函数与不等式
一、单选题
1．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为
三、解答题
3．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点.
(1)求，的值；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围.
考向二 一次函数与一次方程
一、单选题
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ．
三、解答题
3．（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积．
考点三 一次函数应用
考向一 一次函数实际应用
一、填空题
1．（2024·山东济南·中考真题）某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多 ．
二、解答题
2．（2024·山东德州·中考真题）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
(1)两种棋的单价分别是多少？
(2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
3．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的．
【问题解决】
(1)问题一：求出两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
4．（2024·山东青岛·中考真题）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．
(1)求航空和航海模型的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
5．（2024·山东济南·中考真题）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．
(1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
(2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
6．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．
相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多
7．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表：
A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元）
第一次 20 25 1150
第二次 10 20 800
(1)求两种型号劳动用品的单价；
(2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变）
8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)．
(1) ，_____；
(2)写出第天的销售额与之间的函数关系式；
(3)求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？
考向二 一次函数与几何综合
一、填空题
1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ．
二、解答题
2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根．请解答下列问题：
(1)求点D的坐标；
(2)若线段的垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值；
(3)在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在的延长线上，使得，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，是线段外一点，在的延长线上，且，因为点Q在线段上，所以点P是线段的“延长2分点”．
(1)如图1，已知图形：线段，，，在中，______是图形的“延长2分点”；
(2)如图2，已知图形：线段，，，若直线上存在点P是图形的“延长2分点”，求b的最小值：
(3)如图3，已知图形：以为圆心，半径为1的，若以，，为顶点的等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
一、单选题
1．（2024·安徽·模拟预测）从，，这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和，则一次函数图象经过第二象限的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·安徽·模拟预测）下列函数中，随的增大而减小的函数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安徽宣城·模拟预测）下列函数中，随增大而减小的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·安徽六安·模拟预测）直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限，则反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
6．（2024·安徽合肥·三模）在平面直角坐标系中，已知函数的图象过点，则b不可能是（ ）
A．0 B． C．2 D．
7．（2024·安徽合肥·三模）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，直线与坐标轴交于点A、，过点作的垂线交轴于点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·安徽合肥·模拟预测）若将直线向下平移3个单位，则关于平移后的直线，下列描述正确的是（ ）
A．与轴交于点 B．不经过第一象限
C．随的增大而增大 D．与轴交于点
二、填空题
10．（2024·安徽·模拟预测）甲、乙两人在一条直线道路上分别从A，两地同时骑摩托车出发，相向而行．当两人相遇后，甲继续向地前进甲到达地时停止运动，乙也立即调头返回地．在整个运动过程中，甲、乙均保持各自的速度匀速行驶．若甲、乙两人之间的距离米与乙运动的时间秒之间的关系如图所示，则A，两地之间的距离为 米．
11．（2024·安徽阜阳·模拟预测）规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数（，为整数），例如：，，．则下列说法正确的是 ．（写出所有正确说法的序号）
①当时，；
②当时，；
③方程的解为；
④当时，函数的图象与正比例函数的图象有两个交点．
三、解答题
12．（2024·安徽·模拟预测）公司有台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共辆．已知每辆甲种货车一次最多运送机器台、租车费用为元，每辆乙种货车一次最多运送机器台、租车费用为元．
(1)设租用甲种货车辆（为非负整数），试填写下表．
表一：
租用甲种货车的数量 / 辆
租用的甲种货车最多运送机器的数量 / 台
租用的乙种货车最多运送机器的数量 / 台
表二：
租用甲种货车的数量 / 辆
租用甲种货车的费用/ 元
租用乙种货车的费用 / 元
(2)给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由．
13．（2024·安徽·模拟预测）在直角坐标系中，，．
(1)画出线段关于轴的对称线段；
(2)将线段绕点顺时针旋转一个角，得到对应的线段，使得轴，请画出线段；
(3)若直线平分四边形的面积，请求出的值．
14．（2024·安徽合肥·一模）为支持美丽乡村建设，某大学主动承担绿水县的高标准农田改造工程．第一批任务要求在第50天完成，待改造的高标准农田y（亩）与工作时间x（天）满足一次函数关系，已知30天后还有4000亩高标准农田待改造．
(1)求第一批任务中需改造的高标准农田的亩数；
(2)为进一步加大支持力度，第二批任务比第一批增加，且每亩改造价格比第一批少100元，这两批任务的改造总价相同．求第二批任务的改造总价．
15．（2024·安徽滁州·二模）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度与所挂物体质量满足一次函数 下表是测量物体时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
x 0 2 5
y 15 19 25
(1)求与x的函数关系式；
(2)当弹簧长度为时，求所挂物体的质量．
16．（2024·安徽·二模）一次函数（k，b为常数，）经过点A，点B，其中点A的坐标为，点B的坐标为．当y随x的增大而增大时，求t的取值范围．
17．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）周末，李叔叔开车从盐城出发去千米远的南京游玩，当汽车行驶小时到达郭村时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程y（千米）与时间x（时）之间的关系如图所示．
(1)求汽车修好后y与x之间的函数关系式；
(2)在距离南京千米的地方有一个服务区，求李叔叔从盐城出发后多长时间到达服务区？
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