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专题09 平面直角坐标系
课标要求 考点 考向
1、理解平面直角坐标系的有关概念，能准确画出平面直角坐标系，明确坐标轴、原点、象限等概念。 2、在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，也能由点的位置准确写出点的坐标。 3、能建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置，解决实际问题，体会平面直角坐标系在实际生活中的应用。 4、对给定的简单图形，如正方形等，会选择合适的直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单的图形；在平面直角坐标系中，能用坐标表示图形的平移、轴对称、伸长、压缩之间关系。 5、结合实例了解常量、变量的意义和函数的概念，能识别函数关系，明确自变量和因变量。 6、了解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法，能根据具体情境选择合适的表示方法描述函数关系，会通过函数表达式求出特定自变量对应的函数值。 7、能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围。 8、理解函数图象的概念，会用描点法画函数的图象，能结合图象对简单问题中函数关系进行分析，如判断函数的增减性、最值等。 平面直角坐标系 考向一 有序数对
考向二 点的坐标
考向三 点所在象限
考向四 点坐标规律探索
函数基础 考向一 函数解析式
考向二 自变量与函数值
考向三 函数图像
考点一 平面直角坐标系
考向一 有序数对
1．（2024·甘肃·中考真题）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为，那么有序数对记为对应的田地面积为（　　）
A．一亩八十步 B．一亩二十步 C．半亩七十八步 D．半亩八十四步
【答案】D
【分析】根据可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，解答即可．
本题考查了坐标与位置的应用，熟练掌握坐标与位置的应用是解题的关键．
【详解】根据可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，
故对应的是半亩八十四步，
故选D．
考向二 点的坐标
2．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
【答案】C
【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
∴，故选项A错误；
∵点为“整点”， ，
∴整数a为，，0，1，
∴点P的个数为4个，故选项B错误；
∴“整点”P为，，，，
∵，，，
∴“超整点”P为，故选项C正确；
∵点为“超整点”，
∴点P坐标为，
∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误，
故选：C．
考向三 点所在象限
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断．
【详解】解∶ 联立方程组，
解得，
∴P的坐标为，
∴点P在第四象限，
故选∶D．
4．（2024·贵州·中考真题）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】本题考查坐标与图形，先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的位置．
【详解】解：如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限，

故选A．
5．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限．
【答案】四/
【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴
∴
∴点在第四象限，
故答案为：四．
6．（2024·江苏宿迁·中考真题）点在第 象限．
【答案】四
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点的横坐标，纵坐标，
点在第四象限．
故答案为：四．
考向四 点坐标规律探索
7．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A的对应点，，，的坐标，发现规律即可解决问题．
【详解】解：正方形顶点M的坐标为，
,
是等边三角形，点B坐标是，
等边三角形高为，
由题知，
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
继续滚动有，的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；不断循环，循环规律为以，，，，12个为一组，
，
的坐标与的坐标一样为，
故答案为：．
8．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，据此可求得的坐标．
【详解】解：∵，，，，，，，…，，
∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，
∵，
∴的坐标为．
∴的坐标为
故答案为：．
9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角的性质，点的坐标规律探索．连接，求得，，，分别得到，， ，，推导得到，滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到，由此得到滚动2024次后停止滚动，则，据此求解即可．
【详解】解：连接，
由题意得，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
，
同理，
，
，
滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到，
∴滚动2024次后停止滚动，则时，，
故答案为：．
10．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ．
【答案】
【分析】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键．
【详解】解：∵直线l：与x轴负半轴交于点，
∴点坐标为，
∴，
过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N，

∵为等边三角形，
∴
∴，
∴
∴，
当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，解得：，
∴；
而，
同理可得：的横坐标为，
∴点的横坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键.
考点二 函数基础
考向一 函数解析式
1．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数关系式．利用直角三角形的两锐角互余可得到y与x的关系式．
【详解】解：∵直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度，
∴．
故选：D．
2．（2024·广西·中考真题）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查列函数关系式，熟练掌握路程＝速度×时间是解题的关键．根据路程＝速度×时间列式即可．
【详解】解：，
故选：A．
3．（2024·甘肃·中考真题）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可．
【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，
∴，
故选：B．
考向二 自变量与函数值
4．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解．
【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加，
∴，
∴，
∴，而即，
∵，
当时，，即，
∵关于点中心对称的点为，
即当时，，
∴，
故选：D．
5．（2024·江苏无锡·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A．x ≠ 3 B．x＞3 C．x＜3 D．
【答案】D
【分析】利用二次根式有意义的条件求解即可.
【详解】根据二次根式有意义的条件，得：
，
解得，，
故选：D.
【点睛】本题考查了求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.
考向三 函数图像
6．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（ ）
A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
根据函数图象分析即可．
【详解】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速运动，
则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意．
故选：C．
7．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．( )
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为；
②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后；
④，两地之间的距离是．
其中正确的结论有：
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发及当时第一次为，可得出乙出发时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，可得出当时，取得最大值，最大值为，进而可得出结论②正确；③设甲的速度为 ，乙的速度为，利用路程速度时间，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的之，将其代入中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，进而可得出结论③错误；④利用路程速度时间，即可求出，两地之间的距离是．
【详解】解：①乙比甲晚出发，且当时，，
乙出发时，两人第一次相遇，
既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为，结论①正确；
②观察函数图象，可知：当时，取得最大值，最大值为，
甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确；
③设甲的速度为，乙的速度为，
根据题意得：，
解得：，
∴，
甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误；
④，
，两地之间的距离是，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①②④．
故选：B．
8．（2024·江苏镇江·中考真题）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量（单位：L）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查函数的图象，关键是由图象获取信息来解决问题．
由图象知甲、乙两车行驶百公里时，甲车耗油，乙车耗油，由题意即可得到答案．
【详解】解：由图象知：甲、乙两车行驶百公里时，甲车耗油，乙车耗油，
由题意得：．
故选：B．
9．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：

（1）体育场离该同学家2.5千米；
（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；
（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75；
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查利用函数图像解决实际问题，正确的读懂图像给出的信息是解题的关键．利用图象信息解决问题即可．
【详解】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确；
该同学在体育场锻炼了（分钟），故（2）正确；
该同学的跑步速度为（千米/分钟），步行速度为（千米/分钟），则跑步速度是步行速度的倍，故（3）错误；
若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为（千米/分钟），所以，故（4）正确，
故选：C．
10．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ）
A．5 B．7 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，
由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解．
【详解】解：由图象可知，面积最大值为6
由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大，
∴，即，
由图象可知，当时，，此时点P运动到点B，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A
11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案．
【详解】解：当与重合时，设，由题可得：
∴，，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，
∴图象为开口向上的抛物线的一部分，
当在下方时，设，由题可得：
∴，，
∵，,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，
∴图象为开口向下的抛物线的一部分，
综上所述：A正确，
故选：A．
二、解答题
12．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)甲货车到达配货站之前的速度是　　　　，乙货车的速度是　　　　；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式；
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
【答案】(1)30，40
(2)的函数解析式是
(3)经过1.5h或或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等
【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键．
（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，乙货车到达配货站路程为，到达后返回，所用时间为，根据速度=距离÷时间即可得；
（2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象结合已知条件可知和点，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案；
（3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地后、甲货车卸货，半小时后继续驶往B地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x的值即可得答案．
【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，所以甲货车到达配货站之前的速度是（）
∴乙货车到达配货站路程为，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，总路程为240km，总时间是6h，
∴乙货车速度，
故答案为：30；40
（2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象可知和点
设
∴
解得：，
∴甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式
（3）设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，
①两车到达配货站之前：，
解得：,
②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：，
解得：，
③甲货车在配货站卸货后驶往B地时：，
解得：，
答：经过或或甲、乙两货车与配货站的距离相等．
13．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
张华离开家的时间 1 4 13 30
张华离家的距离
②填空：张华从文化广场返回家的速度为______；
③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式；
(2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】(1)①；②0.075；③当时，；当时，；当时，
(2)
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）①根据图象作答即可；
②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可；
③分段求解，，可得出，当时，；当时，设一次函数解析式为：，把，代入，用待定系数法求解即可.
（2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家，则，当两人相遇时有，列一元一次方程求解即可进一步得出答案．
【详解】（1）解：①画社离家，张华从家出发，先匀速骑行了到画社，
∴张华的骑行速度为，
∴张华离家时，张华离家，
张华离家时，还在画社，故此时张华离家还是，
张华离家时，在文化广场，故此时张华离家还是．
故答案为：.
②,
故答案为：．
③当时，张华的匀速骑行速度为，
∴；
当时，；
当时，设一次函数解析式为：，
把，代入，可得出：
，
解得：，
∴，
综上：当时，，当时，，当时，．
（2）张华爸爸的速度为：，
设张华爸爸距家，则，
当两人从画社到文化广场的途中两人相遇时，有，
解得：，
∴，
故从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是．
一、单选题
1．（2024·江苏宿迁·一模）如果点在第二象限，那么点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．根据点在第二象限，可得、的符号，进而可得的符号，据此可判断其所在的象限．
【详解】解：∵在第二象限，
∴，，
∴，
∴点在第一象限，
故选：A．
2．（2024·安徽·模拟预测）已知一次函数与正比例函数的图象的交点在第二象限，且横坐标是，则下列结论正确的是（ ）
A．，都为负，且 B．，都为负，且
C．，至少有一项为负，且 D．，至少有一项为负，且
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象的交点，完全平方式，由交点坐标得，可判断，至少有一项为负，将代入进行运算，即可求解；能将化成完全平方式是解题的关键．
【详解】解：交点在第二象限，
且横坐标是，
，
，
，至少有一项为负，
又，
，
；
故选：C．
3．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图1，在正方形中，点以每秒3cm的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度（）与点的运动时间的函数图象如图2所示．当点运动时，的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、勾股定理、平行线的性质等知识，从图象中获取正确的信息是解题的关键．
由题意知，当运动到时，最长，此时，由图象可知，当时，，得出正方形边长为，当时，，由，得出，推出，根据勾股定理计算，得出答案即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
由题意知，当运动到时，最长，此时，
由图象可知，当时，，
∴，
整理得：
∵，
∴，即正方形边长为，
∴当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4．（2024·安徽合肥·三模）如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】当时，点在上，点在上，求得，故图象是正比例函数，当时，点在上，点在上，求得，图象是开口向下的抛物线，当时，点在上，点在上，求得，据此可求出答案．本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
【详解】解：两点运动速度相等，
两点的运动路程相等，
当时，点在上，点在上，如图，
，，
，故图象是正比例函数，
当时，点在上，点在上，如图，

此时，
为中点，
，
，
点到的距离为，
，
图象是开口向下的抛物线，
当时，点在上，点在上，如图，

此时，
，
，
，，
，图象与前一段函数一样，
据此判断B正确，
故选：B．
5．（2024·安徽宣城·三模）如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了动点函数图象，分别求出和时的函数解析式，进行判断即可.
【详解】解：当时，如图，
∵三个动点同速，
∴三个动点路程相同，
∴，
∵
∴，
∴
当时，如图，
此时
∴，
∴，
∴
∴结合两个函数判断B符合题意，
故选：B
6．（2024·安徽·模拟预测）如图①，在中，，，动点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，过点作于点，图②是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查动点函数的图象问题，根据题意可得的最大面积是，此时点D与点C重合，由的面积可求出，再根据特殊角可求出的长．
【详解】解：根据题意可知：的最大面积是，此时点与点重合，如图．
在中，，设，则，，
，
解得（负值舍去）．
，
．
在中，，
，
，
．
故选：C．
7．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，．与矩形的一边都在直线上，其中、、，且点位于点处．将沿直线，向右平移，直到点与点重合为止．记点平移的距离为，与矩形重叠区域面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据经过点和经过点时计算出和，再分，和三种情况讨论，画出图形，利用面积公式解答即可．
【详解】解：当经过点时，如图所示：
为等腰直角三角形，
，
，，
；
当经过点时，如图所示：
，，
，
；
①当时，如图所示：
此时，，
，
；
②当时，如图所示：
过作于，
此时，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
；
③当时，如图所示：
此时，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解三角形等知识，关键是画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行运算．
8．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，按的方向在，边上移动，记，点D到直线的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题函数图象，关键是利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点的位置分两种情况讨论．分两种情况：（1）当点在上移动时，点到直线的距离不变，恒为5；（2）当点在上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出，即可判断出，据此判断出关于的函数大致图象是哪个即可．
【详解】解：根据题意，分两种情况：
（1）当点在上移动时，
点到直线的距离为：
，即点到的距离为的长度，是定值5；
（2）当点在上移动时，
连接，过作于，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上，观察各选项，只有B选项图形符合．
故选：B．
二、填空题
9．（2024·安徽蚌埠·三模）已知一组数，，3，，，，，，…，排列方式如下：，，3，；，，，；…．若3的位置记为，的位置记为，则的位置记为 ．
【答案】
【分析】根据题意，4个一组，求得是第15个数，为第4组第3个数，即可求解．
【详解】解：∵，，3，；，，，；…．若3的位置记为，的位置记为，
∵，
是第15个数，为第4组第3个数，则的位置记为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，数字类规律，有序数对表示位置，找到规律是解题的关键．
10．（2024·安徽六安·三模）函数 自变量的取值范围为 ；
【答案】
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不能为0是解题的关键．根据分母不能为0可得，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
三、解答题
11．（2024·安徽亳州·一模）中国象棋棋盘在方形的平面上，由九条平行的竖线和十条平行的横线相交组成，共有九十个交叉点，棋子就摆在交叉点上．如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A，B处．图中蕴含着平面直角坐标系．
(1)如果“帅”位于点，“车”位于点，则“马”所在的点的坐标为______，点C的坐标为______，点D的坐标为______．
(2)若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，写出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示．
【答案】(1)，，
(2)路线见解析，走路线为
【分析】本题考查了用有序数对解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．
（1）结合图示，确定原点，再根据题意求出点的位置；
（2）结合图示，确定原点，再根据题意求出马走的路线．
【详解】（1）解：∵“帅”位于点，“相”位于点，
∴“马”所在的点的坐标为，
点C的坐标为，
点D的坐标为．
故答案为，，．
（2）解：以 “帅”为，
则“马”走的路线为，
如图：
12．（2024·安徽阜阳·三模）【观察·发现】如图，观察下列各点的排列规律：
，，，，，…．
【归纳·应用】
(1)直接写出点的坐标为______；点的坐标为______；
(2)若点的坐标为，求n的值．
【答案】(1)；
(2)1012
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，以及坐标找规律，一元一次方程的应用，解题的关键在于通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
（1）根据图形写出坐标即可；
（2）根据题意得到，，，，依此类推得到，再根据点的坐标为建立等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：由图知，点的坐标为，
点的坐标为；
故答案为：；．
（2）解：，，，，，
且，，，，依此类推，
，即，
点的坐标为，
，解得．
13．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上．
(1)作出关于y轴对称的，并直接写出点的坐标；
(2)连接，，求四边形的面积．
【答案】(1)图见解析，
(2)12
【分析】此题考查轴对称的作图、点的坐标、利用网格面积等知识．
（1）找到关于y轴的对称点，顺次连接得到，再写出点的坐标即可；
（2）利用梯形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．则点的坐标为．
（2）解：四边形的面积
14．（2024·安徽·模拟预测）将一个图形先沿一条射线方向平移一定的距离得到图形，再作图形关于射线对称的图形，把由图形到图形的变换叫做滑动反射变换，简称滑动反射．如图，在菱形中，，点，点在轴正半轴上，且与点的横坐标相同，将菱形沿轴正方向作一次滑动反射得到菱形，作两次滑动反射得到菱形每次变换中平移的距离等于的长．
(1)点的坐标为_______；
(2)点的横坐标为_______；
(3)菱形（为正整数）的对称中心的纵坐标为_______．（用含的代数式表示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查坐标与图形，菱形的性质等知识：
（1）连接，证出轴，得是等边三角形，求出，得出点A，C的坐标，从而可求出点的坐标；
（2）根据求解即可；
（3）分别求出菱形和菱形对称中心的纵坐标，即可得到规律．
【详解】（1）解：连接，
∵点在轴正半轴上，且与点的横坐标相同，
∴轴，
在菱形中，
∴
∴
∴是等边三角形，
∵
∴
∴
，
∴，
将菱形沿轴正方向作一次滑动反射得到菱形，
∴；
故答案为：；
（2）解：由（1）知，
∴
∴，
∴点的横坐标为，
故答案为：；
（3）解：∵菱形对称中心的纵坐标，
菱形对称中心的纵坐标为1，
∴菱形（为正整数）的对称中心的纵坐标为，
故答案为：．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题09 平面直角坐标系
课标要求 考点 考向
1、理解平面直角坐标系的有关概念，能准确画出平面直角坐标系，明确坐标轴、原点、象限等概念。 2、在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，也能由点的位置准确写出点的坐标。 3、能建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置，解决实际问题，体会平面直角坐标系在实际生活中的应用。 4、对给定的简单图形，如正方形等，会选择合适的直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单的图形；在平面直角坐标系中，能用坐标表示图形的平移、轴对称、伸长、压缩之间关系。 5、结合实例了解常量、变量的意义和函数的概念，能识别函数关系，明确自变量和因变量。 6、了解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法，能根据具体情境选择合适的表示方法描述函数关系，会通过函数表达式求出特定自变量对应的函数值。 7、能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围。 8、理解函数图象的概念，会用描点法画函数的图象，能结合图象对简单问题中函数关系进行分析，如判断函数的增减性、最值等。 平面直角坐标系 考向一 有序数对
考向二 点的坐标
考向三 点所在象限
考向四 点坐标规律探索
函数基础 考向一 函数解析式
考向二 自变量与函数值
考向三 函数图像
考点一 平面直角坐标系
考向一 有序数对
1．（2024·甘肃·中考真题）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为，那么有序数对记为对应的田地面积为（　　）
A．一亩八十步 B．一亩二十步 C．半亩七十八步 D．半亩八十四步
考向二 点的坐标
2．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
考向三 点所在象限
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2024·贵州·中考真题）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限．
6．（2024·江苏宿迁·中考真题）点在第 象限．
考向四 点坐标规律探索
7．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是 ．
8．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ．
9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ．
10．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ．
考点二 函数基础
考向一 函数解析式
1．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广西·中考真题）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·甘肃·中考真题）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　）
A． B． C． D．
考向二 自变量与函数值
4．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
5．（2024·江苏无锡·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A．x ≠ 3 B．x＞3 C．x＜3 D．
考向三 函数图像
6．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（ ）
A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
7．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．( )
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为；
②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后；
④，两地之间的距离是．
其中正确的结论有：
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．（2024·江苏镇江·中考真题）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量（单位：L）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：

（1）体育场离该同学家2.5千米；
（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；
（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75；
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ）
A．5 B．7 C． D．
11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
12．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)甲货车到达配货站之前的速度是　　　　，乙货车的速度是　　　　；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式；
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
13．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
张华离开家的时间 1 4 13 30
张华离家的距离
②填空：张华从文化广场返回家的速度为______；
③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式；
(2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
一、单选题
1．（2024·江苏宿迁·一模）如果点在第二象限，那么点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·安徽·模拟预测）已知一次函数与正比例函数的图象的交点在第二象限，且横坐标是，则下列结论正确的是（ ）
A．，都为负，且 B．，都为负，且
C．，至少有一项为负，且 D．，至少有一项为负，且
3．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图1，在正方形中，点以每秒3cm的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度（）与点的运动时间的函数图象如图2所示．当点运动时，的长是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安徽合肥·三模）如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
5．（2024·安徽宣城·三模）如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（ ）
A．B． C． D．
6．（2024·安徽·模拟预测）如图①，在中，，，动点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，过点作于点，图②是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，．与矩形的一边都在直线上，其中、、，且点位于点处．将沿直线，向右平移，直到点与点重合为止．记点平移的距离为，与矩形重叠区域面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，按的方向在，边上移动，记，点D到直线的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2024·安徽蚌埠·三模）已知一组数，，3，，，，，，…，排列方式如下：，，3，；，，，；…．若3的位置记为，的位置记为，则的位置记为 ．
10．（2024·安徽六安·三模）函数 自变量的取值范围为 ；
三、解答题
11．（2024·安徽亳州·一模）中国象棋棋盘在方形的平面上，由九条平行的竖线和十条平行的横线相交组成，共有九十个交叉点，棋子就摆在交叉点上．如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A，B处．图中蕴含着平面直角坐标系．
(1)如果“帅”位于点，“车”位于点，则“马”所在的点的坐标为______，点C的坐标为______，点D的坐标为______．
(2)若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，写出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示．
12．（2024·安徽阜阳·三模）【观察·发现】如图，观察下列各点的排列规律：
，，，，，…．
【归纳·应用】
(1)直接写出点的坐标为______；点的坐标为______；
(2)若点的坐标为，求n的值．
13．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上．
(1)作出关于y轴对称的，并直接写出点的坐标；
(2)连接，，求四边形的面积．
14．（2024·安徽·模拟预测）将一个图形先沿一条射线方向平移一定的距离得到图形，再作图形关于射线对称的图形，把由图形到图形的变换叫做滑动反射变换，简称滑动反射．如图，在菱形中，，点，点在轴正半轴上，且与点的横坐标相同，将菱形沿轴正方向作一次滑动反射得到菱形，作两次滑动反射得到菱形每次变换中平移的距离等于的长．
(1)点的坐标为_______；
(2)点的横坐标为_______；
(3)菱形（为正整数）的对称中心的纵坐标为_______．（用含的代数式表示）
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