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专题13 几何初步
课标要求 考点 考向
通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念，能辨认立体图形的展开图以及从不同方向看立体图形得到的平面图形。 会比较线段的长短，理解线段的和、差及中点意义；掌握“两点确定一条直线”“两点之间线段最短”的基本事实，能度量和表达两点间距离。 理解角的概念，能比较角的大小，认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单单位换算与角度运算；能用尺规作图作一个角等于已知角和作一个角的平分线。 了解点、线、面、角的概念，掌握三角形、平行四边形、多边形、圆的概念，能从具体物体中抽象出几何图形，形成和发展抽象能力。 5、经历尺规作图的过程，能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形，理解尺规作图的基本原理与方法，发展空间观念和空间想象力。 常见的几何体 考向一 几何体的展开图
考向二 点、线、面、体
直线、射线、线段 考向一 直线、射线、线段
角 考向一 角的运算
考向二 角平分线
考向三 余角和补角
考点一 常见的几何体
考向一 几何体的展开图
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．自 B．立 C．科 D．技
2．（2024·江苏常州·中考真题）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·四川德阳·中考真题）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（ ）
A．吉 如 意 B．意 吉 如 C．吉 意 如 D．意 如 吉
4．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
图1 图2 图3
(1)直接写出的值；
(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．
(3)
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
考向二 点、线、面、体
1．（2024·陕西·中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
考点二 直线、射线、线段
考向一 直线、射线、线段
1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
2．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．

3．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示．
【分析问题】
（1）如图5，用图中的线段填空：_________；
（2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________；
【解决问题】
（3）求的长．
考点三 角
考向一 角的运算
1．（2024·山东日照·中考真题）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·海南·中考真题）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·江苏盐城·中考真题）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川泸州·中考真题）把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则（ ）

A． B． C． D．
考向二 角平分线
1．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，平分．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川·中考真题）如图，，平分，，则（ ）

A． B． C． D．
考向三 余角和补角
解题技巧/易错易混 1.识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角． 2.互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024·甘肃·中考真题）若，则的补角为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·甘肃兰州·中考真题）已知∠A＝80°，则∠A的补角是（　　）
A．100° B．80° C．40° D．10°
1．（2024·安徽阜阳·二模）将等腰直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽六安·模拟预测）将一副三角板和（其中）按如图所示的方式摆放，一直角顶点D落在上．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖北十堰·一模）如图，将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（ ）度．
A．45 B．60 C．75 D．105
4．（2024·安徽蚌埠·二模）将一个三棱柱展开，其展开图是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·安徽合肥·一模）如图，将一个正方体沿上底的对角线（虚线）切开分成①，②两部分，再把①移到②的右边拼成一个新几何体，若主视方向不变，这个新几何体的三视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·安徽阜阳·二模）如图，矩形CDEF内接于⊙，A为⊙上一点，连接，，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·安徽合肥·二模）将一块直角三角板和一把直尺如图放置，如果，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024·安徽·三模）如图，将一副直角三角板重叠摆放，其中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，一副三角尺按如图方式摆放． 若直线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·安徽·三模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1），小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示 “企鹅”的图形，已知正方形的边长为4，则图2中的长为 ．
11．（2024·安徽合肥·一模）如图，矩形中，是边上的动点，连接点与边的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交边于点．

（1）若，则 °；
（2）若，且三点共线，则 ．
12．（2024·安徽合肥·一模）七巧板是我们祖先的一项伟大创造，被誉为“东方魔板”．在一次“美术制作”活动课上，小明用边长为4的正方形纸片制作了如图1所示的七巧板，并设计了一幅作品放入矩形中（如图2），则的长为 ．
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课标要求 考点 考向
通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念，能辨认立体图形的展开图以及从不同方向看立体图形得到的平面图形。 会比较线段的长短，理解线段的和、差及中点意义；掌握“两点确定一条直线”“两点之间线段最短”的基本事实，能度量和表达两点间距离。 理解角的概念，能比较角的大小，认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单单位换算与角度运算；能用尺规作图作一个角等于已知角和作一个角的平分线。 了解点、线、面、角的概念，掌握三角形、平行四边形、多边形、圆的概念，能从具体物体中抽象出几何图形，形成和发展抽象能力。 5、经历尺规作图的过程，能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形，理解尺规作图的基本原理与方法，发展空间观念和空间想象力。 常见的几何体 考向一 几何体的展开图
考向二 点、线、面、体
直线、射线、线段 考向一 直线、射线、线段
角 考向一 角的运算
考向二 角平分线
考向三 余角和补角
考点一 常见的几何体
考向一 几何体的展开图
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．自 B．立 C．科 D．技
【答案】C
【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，还原正方体是正确解答的关键．
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：将“自”作为底面，则折起来“强”在前面，“立”在右面，“科”在后面，
∴与“强”字所在面相对面上的汉字是“科”，
故选：C．
2．（2024·江苏常州·中考真题）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．根据棱锥的侧面展开图的特征即可得到答案．
【详解】
解：棱锥的侧面是三角形，故四棱锥的侧面展开图的是
故选：B．
3．（2024·四川德阳·中考真题）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（ ）
A．吉 如 意 B．意 吉 如 C．吉 意 如 D．意 如 吉
【答案】A
【分析】本题考查的是简单几何体的展开图，利用四棱锥的展开图的特点可得答案．
【详解】解：由题意可得：展开图是四棱锥，
∴A、B、C处依次写上的字可以是吉，如，意；或如，吉，意；
故选A
4．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
图1 图2 图3
(1)直接写出的值；
(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．
(3)
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
【答案】(1)2；
(2)C；
(3)见解析．
【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由折叠和题意可知，，，四边形是正方形，得到，即，即可求解；
（2）根据几何体的展开图即可求解；
（3）由题意可得，每张型号卡纸可制作10个正方体，每张型号卡纸可制作2个正方体，每张型号卡纸可制作1个正方体，即可求解．
【详解】（1）解：如图：
上述图形折叠后变成：
由折叠和题意可知，，，
∵四边形是正方形，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，
∴的值为：．
（2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，
∴C选项符合题意，
故选：C．
（3）解：
卡纸型号 型号 型号 型号
需卡纸的数量（单位：张） 1 3 2
所用卡纸总费用（单位：元） 58
根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为，则要制作一个边长为的正方体的展开图形为：
∴型号卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：
型号卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：
型号卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：
∴可选择型号卡纸2张，型号卡纸3张，型号卡纸1张，则
（个），
∴所用卡纸总费用为：
（元）．
考向二 点、线、面、体
1．（2024·陕西·中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题．根据旋转体的特征判断即可．
【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球，
故选：C．
考点二 直线、射线、线段
考向一 直线、射线、线段
1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题．
【详解】解：过点有，
，
即得到的力臂大于的力臂，
其体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
2．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．

【答案】两点之间，线段最短
【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．
【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，
其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短
故答案为：两点之间，线段最短．
3．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示．
【分析问题】
（1）如图5，用图中的线段填空：_________；
（2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________；
【解决问题】
（3）求的长．
【答案】（1）；（2），；（3）
【分析】（1）；
（2）可推出四边形是平行四边形，从而，从而，进而得出，根据，得出，进一步得出结果；
（3）作于，解直角三角形求得和，进而表示出，在直角三角形中根据勾股定理列出方程，进而得出结果．
【详解】解：（1），
，
故答案为：；
（2）、、、均与所在直线平行，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；
（3）如图，
作于，
，
，，
，
设，则，，
，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的判定和性质，勾股定理，线段之间的数量关系，解决问题的关键是理解题意，熟练应用有关基础知识．
考点三 角
考向一 角的运算
1．（2024·山东日照·中考真题）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查对顶角的定义，几何中角度的计算，由对顶角相等得到，即可解答．
【详解】解：，
．
故选：B．
2．（2024·海南·中考真题）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数．
【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线m，
∵直线，
∴，
∴，，
由题意可得，
∴，
∴，
故选：D．
3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，有关三角板中角度的计算．
由平行线的性质可求出，又由三角板中，根据角的和差即可求出．
【详解】解：如图，∵

∴，
∵在三角板中，，
∴．
故选：B
4．（2024·江苏盐城·中考真题）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可求出的度数.
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
故选：B
5．（2024·四川泸州·中考真题）把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中角的运算，熟练掌握相关性质是解题的关键．利用平行线性质得到，再根据平角的定义求解，即可解题．
【详解】解：如图，
直角三角板位于两条平行线间且，
，
又直角三角板含角，
，
，
故选：B．
考向二 角平分线
1．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，平分．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是平行线的性质及角平分线的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用平行线的性质是关键．依据题意，根据平行线及角平分线的性质求解即可．
【详解】解：，
，；
平分，
．
．
故选：C
2．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据圆周角定理得到，再根据圆周角定理得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵是的直径，，
∴，，则，
∴，
故选：A．
3．（2024·四川·中考真题）如图，，平分，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，根据平行线的性质求角，根据、即可求解.
【详解】解：∵，，
∴
∵平分，
∴
故选：B
考向三 余角和补角
解题技巧/易错易混 1.识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角． 2.互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，补角的定义等知识，利用平行线的性质得出，得出结合对顶角的性质，根据邻补角的定义得出，即可求出中与互补的角，即可求解．
【详解】解∶∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴图中与互补的角有，，，共3个．
故选∶C．
2．（2024·甘肃·中考真题）若，则的补角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据和为的两个角互为补角，计算即可．
本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】。
则的补角为．
故选：D．
3．（2024·甘肃兰州·中考真题）已知∠A＝80°，则∠A的补角是（　　）
A．100° B．80° C．40° D．10°
【答案】A
【分析】直接利用互补两角的关系进而得出答案．
【详解】解：∵∠A＝80°，
∴∠A补角为：180°﹣80°＝100°．
故选A．
【点睛】主要考查了互补两角的关系，正确把握定义是解题关键．
1．（2024·安徽阜阳·二模）将等腰直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的性质，利用直尺的对边平行可得，根据，求得，再根据三角形的外角性质即可求出答案．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
2．（2024·安徽六安·模拟预测）将一副三角板和（其中）按如图所示的方式摆放，一直角顶点D落在上．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，角的和与差，熟练掌握平行线的性质，角的和与差是解题的关键．由，可得，从而，根据求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
3．（2022·湖北十堰·一模）如图，将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（ ）度．
A．45 B．60 C．75 D．105
【答案】C
【分析】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
首先计算的度数，再根据平行线的性质可得，进而可得答案．
【详解】解：如图所示，∵，，
，
，
，
故选：C．
4．（2024·安徽蚌埠·二模）将一个三棱柱展开，其展开图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是三棱柱的展开图，利用三棱柱的展开图的特点可得答案．
【详解】解：因为个三棱柱展开图有5个面，两个底面为三角形，且展开后不能在同一侧，
所以B，C，D不符合题意，
故选：A．
5．（2024·安徽合肥·一模）如图，将一个正方体沿上底的对角线（虚线）切开分成①，②两部分，再把①移到②的右边拼成一个新几何体，若主视方向不变，这个新几何体的三视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三视图，从三个不同方向观察几何体得出平面图形即可．
【详解】主视图是两个正方形，左视图是一个正方形，俯视图是一个平行四边形，如图所示．
故选：A．
6．（2024·安徽阜阳·二模）如图，矩形CDEF内接于⊙，A为⊙上一点，连接，，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是关于圆心角与圆周角之间的关系，找到辅助线是解决本题的关键.
找到与已知圆周角有关的圆心角,再通过平角的性质得出结论.
【详解】解：连接，
∵⊙是矩形CDEF的外接圆，
∴在同一条直线上，
∴.
∵，
∴，
故选A．
7．（2024·安徽合肥·二模）将一块直角三角板和一把直尺如图放置，如果，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的性质．此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
首先过点作交于，即可得，然后利用两直线平行，同位角相等，即可求得的度数．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，
过点作交于，
∴，
，
，
，
故选：C．
8．（2024·安徽·三模）如图，将一副直角三角板重叠摆放，其中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，根据可得，再根据即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
则，
∴．
故选：B．
9．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，一副三角尺按如图方式摆放． 若直线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
先根据平行线的性质可得°，从而可得，再根据余角关系求出，然后根据平行线的性质即可得．
【详解】解：如图，
∵直线，
∴
∵，
∴，
∵
∴，
故选：C．
10．（2024·安徽·三模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1），小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示 “企鹅”的图形，已知正方形的边长为4，则图2中的长为 ．
【答案】
【分析】该题主要考查了七巧板，勾股定理，等腰三角形的判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是理解图形．
根据题意对应上图1和图2中七巧板，过点E作交的延长线于点H，算出，，再根据勾股定理即可求解；
【详解】解：如图，图1和图2中七巧板对应如下，
∵正方形的边长为4，
∴，
过点E作交的延长线于点H，
则，
，
，
，
故答案为：．
11．（2024·安徽合肥·一模）如图，矩形中，是边上的动点，连接点与边的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交边于点．

（1）若，则 °；
（2）若，且三点共线，则 ．
【答案】
【分析】（1）由直角三角形的性质及折叠性质得的度数，再由矩形的性质及角平分线的条件即可求解；
（2）由面积相等可求得，从而得，由勾股定理得，则可表示，在中由勾股定理建立方程即可求得．
【详解】解：（1）矩形中，，
∴，；
由折叠知：，
∴，；
∵平分，
∴；
故答案为：55；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴；
由折叠知，，；
∵E为中点，
∴，
∴；
由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得：,
即，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质与折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定，角平分线的定义等知识，灵活运用这些知识是关键．
12．（2024·安徽合肥·一模）七巧板是我们祖先的一项伟大创造，被誉为“东方魔板”．在一次“美术制作”活动课上，小明用边长为4的正方形纸片制作了如图1所示的七巧板，并设计了一幅作品放入矩形中（如图2），则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了七巧板的应用，掌握七巧板的相关结论是解题关键．
【详解】解：如图，
∵正方形纸片边长为4
∴其对角线长为：；
由七巧板的切割方法可知，，
，，，，
．
故答案为：
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