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专题12 反比例函数
课标要求 考点 考向
能画反比例函数的图像，根据图像和表达式，探索并理解图像的变化情况，包括所在象限、单调性等。 掌握反比例函数的一些基本性质，如反比例函数中k的几何意义 能用反比例函数解决简单实际问题 能够解决一次函数与反比例函数的几何综合问题 反比例函数 考向一 反比例函数图像
考向二 反比例函数性质
考向三 反比例函数k的几何意义
考向四 求反比例函数解析式
反比例函数应用 考向一 反比例函数与一次函数综合
考向二 反比例函数实际应用
考点一 反比例函数
考向一 反比例函数图像
解题技巧/易错易混 图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究．
(1)【动手操作】
列表：
1 2 3 4 5
2 1
0 1 2 3
4 2 1
描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象．
(2)【探究发现】
①将反比例函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象．
②上述探究方法运用的数学思想是（　　）
整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想
(3)【应用延伸】
①将反比例函数的图象先___________，再___________得到函数的图象．
②函数图象的对称中心的坐标为___________．
3．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，点为上一点，，过点作交于点．点，的距离为，的周长与的周长之比为．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）
考向二 反比例函数性质
解题技巧/易错易混 性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
1．（2024·江苏南京·中考真题）已知点，，在下列某一函数图像上．且那么这个函数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·江苏无锡·中考真题）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论：
①是函数的“1级关联范围”；
②不是函数的“2级关联范围”；
③函数总存在“3级关联范围”；
④函数不存在“4级关联范围”．
其中正确的为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
4．（2024·山东济宁·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广西·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么；．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·江苏无锡·中考真题）某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式： ．
考向三 反比例函数k的几何意义
解题技巧/易错易混 性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）
B． C． D．
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ．
4．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论：
①；
②的面积等于四边形的面积；
③的最小值是；
④．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ．
考向四 求反比例函数解析式
解题技巧/易错易混 .待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为（k≠0）； （2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
1．（2024·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，点分别为边上的点，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点在边的中点处，点C的对应点在反比例函数的图象上，则
2．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点．
(1)求和的值；
3．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标；
(3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标．
4．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点．
(1)求这个反比例函数的表达式；
5．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
6．（2024·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知两点在反比例函数的图象上．
(1)求k与m的值；
(2)连接，并延长交反比例函数的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函数的解析式．
7．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，．

(1)求与的解析式；
考点二 反比例函数应用
考向一 反比例函数与一次函数综合
解题技巧/易错易混 反比例函数与一次函数综合的主要题型： （1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置； （2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标； （3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式； （4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等． 解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．
1．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且．
(1)分别求这两个函数的表达式；
(2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积；
(3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集．
3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)连接，求的面积．
4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积；
(3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值．
5．（2024·甘肃·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)连接，求的面积．
6．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点．
(1)已知点，在，，中，是点等和点的有_____；
(2)若点的等和点在直线上，求的值；
(3)已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标．
7．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
(3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值．
考向二 反比例函数实际应用
1．（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．
2．（2024·海南·中考真题）某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为 （V）．
3．（2024·江苏连云港·中考真题）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 ．
二、解答题
4．（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
(2)当电阻R为时，求此时的电流I．
一、单选题
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，若，的面积为4，则k的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
2．（2024·安徽滁州·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C 在y轴上，矩形的顶点D在上，顶点F在 y轴上．已知C是的中点，反比例函数 （）的图象经过点B，图中阴影部分的面积为4，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
3．（2024·安徽·三模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，点M为线段的中点，轴交反比例函数图像于点N，P为x轴上任一点，若，则k的值为 ．
4．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，在矩形中，点在对角线上，且满足，反比例函数的图像经过点、与相交于点，的面积为4，则的值为 ．
5．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点B，交双曲线于点C，且，点A在双曲线上．
（1）若点A的横坐标为2，，则m的值是 ；
（2）在（1）的条件下，若，则点C的坐标是 ．
6．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，是反比例函数上的一点，其中，过点作轴于点，连接．
（1）若的面积是3，则的值为 ．
（2）将绕点按顺时针方向旋转得到，且点的对应点恰好落在该反比例函数的图象上，则 ．
7．（2024·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，反比例函数的图象经过对角线的中点，分别交边，于，，则的面积为 ．
8．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，直线是常数且与双曲线是常数且交于点和点，分别过点作轴，轴，与交于点，双曲线是常数且经过点，则 ．
9．（2024·安徽·三模）如图 ，为坐标原点，过第一象限上的点 作 轴于点，交反比例函数的图象于点 ，作轴交反比例函数的图象于点，已知的面积为．
（1） ；
（2）连接 交反比例函数的图象于点， 若，则四边形的面积为 ．
10．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为12，则的值为 ．
11．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点A，轴于点B，平移直线，使其经过点B，得到直线l，直线l与反比例函数相交于点C，作轴于点D，则的值为 ．
12．（2024·安徽合肥·二模）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线、的交点与坐标原点重合，与y轴的交点为E．已知点，且．
（1）双曲线恰好经过点D，则k的值为 ；
（2）若经过点E的直线与（1）中的双曲线仅有一个交点，则这条直线的关系式为 ．
13．（2024·安徽合肥·二模）如图，为坐标原点，面积为8的的斜边经过点O，轴，A，B两点均在反比例函数的图象上．
（1） ；
（2）等腰的顶点D在反比例函数的图象上，底边经过点C，若的面积为16，，则的长为 ．
三、解答题
14．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求点的坐标；
(2)若点为轴负半轴上一点，且满足，求点的坐标．
15．（2024·安徽·模拟预测）人工智能饮水机在接通电源后开始自动加热，加热过程中，水温与通电的时间成一次函数关系，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热．在水温开始下降时，水温与通电的时间成反比例函数关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间x（min）之间的关系如图所示．
(1)求a的值；
(2)求加热一次，水温不低于的时间有多长？
16．（2024·安徽淮北·三模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴的正半轴上，点在其对角线上，反比例函数的图像经过C、D两点．已知平行四边形的面积是8．
(1)求k的值；
(2)求线段所在直线的解析式．
17．（2024·安徽蚌埠·三模）小贤是滑雪运动员，在如图所示的一段滑板赛道上训练．在一个以水平地面为轴的平面直角坐标系中，这段赛道由两段不完整的曲线构成．其中，段赛道近似满足双曲线，段赛道近似满足抛物线，点处距离地面的高度为，到轴的距离为，点处到轴的距离为，段赛道与轴的交点与水平地面的距离为，落地点与原点的距离也是．
(1)求段赛道的解析式及其自变量的取值范围．
(2)求这段赛道的最高点距离地面的高度．
(3)某运动员在段赛道上滑行至距离轴时，在赛道的同样高度上有一个旗门，问此时该运动员与旗门的水平距离为多少？
18．（2024·安徽合肥·二模）如图，A、B是反比例函数图象上的两点，A、B两点的横坐标分别为1，2，线段的延长线交x轴于点C．若的面积为6．
(1)求k的值及直线的函数表达式；
(2)写出的函数值大于的函数值时x的取值范围．
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课标要求 考点 考向
能画反比例函数的图像，根据图像和表达式，探索并理解图像的变化情况，包括所在象限、单调性等。 掌握反比例函数的一些基本性质，如反比例函数中k的几何意义 能用反比例函数解决简单实际问题 能够解决一次函数与反比例函数的几何综合问题 反比例函数 考向一 反比例函数图像
考向二 反比例函数性质
考向三 反比例函数k的几何意义
考向四 求反比例函数解析式
反比例函数应用 考向一 反比例函数与一次函数综合
考向二 反比例函数实际应用
考点一 反比例函数
考向一 反比例函数图像
解题技巧/易错易混 图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵
当时，一次函数经过第一、二、三象限，
当时，一次函数经过第一、三、四象限
A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意，
B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意，
一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误，
故选：C．
2．（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究．
(1)【动手操作】
列表：
1 2 3 4 5
2 1
0 1 2 3
4 2 1
描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象．
(2)【探究发现】
①将反比例函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象．
②上述探究方法运用的数学思想是（　　）
整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想
(3)【应用延伸】
①将反比例函数的图象先___________，再___________得到函数的图象．
②函数图象的对称中心的坐标为___________．
【答案】(1)图见解析
(2)①左，1；②B
(3)①右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）；
②
【分析】（1）列表，描点、连线画出函数的图象即可；
（2）结合图象填空即可；
（3）根据发现的规律填空即可．
【详解】（1）描点、连线画出函数图象如图所示：
（2）①函数的图象可以看作是由函数的图象向左平移1个单位长度，
②上述探究方法运用的数学思想是类比思想．
故答案为：左，1；B
（3）①函数的图象可以看作是由函数的图象向右平移2个单位长度；
向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）而得到；
②根据平移的性质，函数图象的对称中心的坐标为．
故答案为：右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）；
【点睛】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象，正比例函数图象，一次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
3．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，点为上一点，，过点作交于点．点，的距离为，的周长与的周长之比为．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）
【答案】(1)
(2)函数图象见解析，随x增大而增大，随x增大而减小
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定：
（1）证明，根据相似三角形的性质得到，据此可得答案；
（2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可；
（3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，即为所求；
由函数图象可知，随x增大而增大，随x增大而减小；
（3）解：由函数图象可知，当时的取值范围．
考向二 反比例函数性质
解题技巧/易错易混 性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
1．（2024·江苏南京·中考真题）已知点，，在下列某一函数图像上．且那么这个函数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，利用函数的增减性逐一判断，即可求解；掌握一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质是解题的关键.
【详解】解：A.在上时，，故不符合题意；
B.在上时，，故不符合题意；
C.在上时，，故不符合题意；
D.在上时，，故符合题意；
故选：D．
2．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性．
由题意可得当时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答．
【详解】解：∵当时，，即，
∴当时，y随x的增大而增大．
A、对于函数，y随x的增大而减小，故该函数不合题意；
B、对于，当时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意；
C、函数的图象开口向上，对称轴为，
则当，y随x的增大而增大，故该函数符合题意；
D、函数的图象开口向下，对称轴为，
则当，y随x的增大而减小，故该函数不合题意．
故选：C
3．（2024·江苏无锡·中考真题）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论：
①是函数的“1级关联范围”；
②不是函数的“2级关联范围”；
③函数总存在“3级关联范围”；
④函数不存在“4级关联范围”．
其中正确的为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质．
推出在时，，即，即可判断①；推出在时，，即，即可判断②；③设当，则，
当函数存在“3级关联范围”时，整理得，即可判断③；设，则，当函数存在“4级关联范围”时，，求出m和n的值，即可判断④．
【详解】解：①当时，，当时，，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴在时，，即，
∴是函数的“1级关联范围”；故①正确，符合题意；
②当时，，当时，，
∵对称轴为y轴，，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴在时，，即，
∴是函数的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意；
③∵，
∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小．
设当，则，
当函数存在“3级关联范围”时，
整理得：，
∵，，
∴总存在，
∴函数总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意；
④函数的对称轴为，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
设，则，
当函数存在“4级关联范围”时，，
解得：，
∴是函数的“4级关联范围”，
∴函数存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①③，
故选：A．
4．（2024·山东济宁·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，
∵，
∴
∴，
故选：C．
5．（2024·广西·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点，在反比例函数图象上，则满足关系式，横纵坐标的积等于2，结合即可得出答案．
【详解】解： 点，在反比例函数的图象上，
，，
，
，，
．
故选：A．
6．（2024·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么；．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐项判断即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵直线与双曲线交于两点，
∴点与点关于原点对称，故正确；
∵点与点关于原点对称，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点，故正确；
∵，
∴在每一象限内，随的增大而减小，
当在同一象限内时，如果，那么；当不在同一象限内时，如果，那么，故错误；
∵轴，
∴，
∵点与点关于原点对称，
∴，
∵点是的中点，
∴，故正确；
∴正确结论有个，
故选：．
7．（2024·江苏无锡·中考真题）某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质结合已知条件解题即可．
【详解】解：根据题意有：，
故答案为：（答案不唯一）
考向三 反比例函数k的几何意义
解题技巧/易错易混 性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可．
【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示：
∴，
∴，
∵点A在双曲线上，点B在，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴，
故选：C．
2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
故选：A．
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，作轴于，作轴于，则，由点，的坐标分别为，得，，，然后证明得，求出，则，故有点坐标为，求出反比例函数解析式，再求出，最后根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，作轴于，作轴于，则，
∵点，的坐标分别为，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点坐标为，代入得，，
∴反比例函数解析式为，
∵轴，
∴点与点纵坐标相等，且在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论：
①；
②的面积等于四边形的面积；
③的最小值是；
④．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】由，可得，故①符合题意；如图，连接，，，与的交点为，利用的几何意义可得的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接，证明四边形为矩形，可得当最小，则最小，设，可得的最小值为，故③不符合题意；如图，设平移距离为，可得，证明，可得，再进一步可得答案．
【详解】解：∵，，四边形是矩形；
∴，
∴，故①符合题意；
如图，连接，，，与的交点为，
∵，
∴，
∴，
∴的面积等于四边形的面积；故②符合题意；
如图，连接，
∵轴，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴当最小，则最小，
设，
∴，
∴，
∴的最小值为，故③不符合题意；
如图，设平移距离为，
∴，
∵反比例函数为，四边形为矩形，
∴，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④符合题意；
故答案为：①②④
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可．
【详解】是平行四边形
纵坐标相同
的纵坐标是
在反比例函数图象上
将代入函数中，得到
的纵坐标为
即：
解得：
故答案为：．
考向四 求反比例函数解析式
解题技巧/易错易混 .待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为（k≠0）； （2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
1．（2024·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，点分别为边上的点，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点在边的中点处，点C的对应点在反比例函数的图象上，则
【答案】
【分析】设交与点E，过点作轴于点H．利用矩形的性质、折叠的性质和勾股定理等可求出，，，，，，证明，利用相似三角形的性质可求出，，证明，利用相似三角形的性质可求出，，则可出求的坐标，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：如图，设交与点E，过点作轴于点H．
四边形是矩形，，，
，，，
点是的中点，
．
在中，
，，
，
矩形沿直线折叠，
，，，
，，
，即，
解得，
，
，
，
，
．
，
．
又，
，
，即，
解得，，
，
点的坐标为，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，反比例函数等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形求解是解题的关键．
二、解答题
2．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点．
(1)求和的值；
【答案】(1)，
（1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出；
【详解】（1）解：一次函数的图象过，
，
，
在函数的图象上，
，
在函数图象上，
；
3．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标；
(3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)点．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可；
（3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标．
【详解】（1）解：将代入得，
，
将代入得，解得，
反比例函数表达式为，
（2）解：如图，设点，那么点，

由可得，
所以，
解得（舍），
;
（3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，
，
点绕点顺时针旋转，
，
，
，
，
设点，
点，
，
解得，
点或（舍），此时点．
4．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点．
(1)求这个反比例函数的表达式；
【答案】(1)；
（）利用正比例函数求出点的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解；
【详解】（1）解：把代入得，，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
5．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数表达式为
（1）依据题意，由在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
【详解】（1）解：由题意，∵在反比例函数上，
∴．
∴反比例函数表达式为．
又在反比例函数上，
∴．
∴．
设一次函数表达式为，
∴，
∴，．
∴一次函数的表达式为．
6．（2024·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知两点在反比例函数的图象上．
(1)求k与m的值；
(2)连接，并延长交反比例函数的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函数的解析式．
【答案】(1)，
(2)
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，确定反比例函数及一次函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握两个函数的基本性质是解题关键．
（1）根据题意将点代入反比例函数即可求解；
（2）根据题意及反比例函数的性质得出，设直线所在直线的解析式为，利用待定系数法即可求解．
【详解】（1）解：两点在反比例函数的图象上．
∴，
∴，
将点代入得：，解得：；
（2）∵连接，并延长交反比例函数的图象于点C，
∴，
∵，
设直线所在直线的解析式为，代入得：，
解得：，
∴．
7．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，．

(1)求与的解析式；
【答案】(1)；
（1）根据题意可得，即有，问题随之得解；
【详解】（1）由题知，
∴，
∴，，
∴，
把，代入得，
∴，
∴；
考点二 反比例函数应用
考向一 反比例函数与一次函数综合
解题技巧/易错易混 反比例函数与一次函数综合的主要题型： （1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置； （2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标； （3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式； （4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等． 解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．
1．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定,，再运用勾股定理求得，进而求得即可解答．
【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴，
∵，
∴，，
∴．
∵在反比例函数的图象上，
∴．
∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，即点C的横坐标为2，
将代入，得，
∴C点的坐标为，
∴,，
∴，
∴,
∴
故选：B．
2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且．
(1)分别求这两个函数的表达式；
(2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积；
(3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形：
（1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可；
（2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立
解得或，
∴；
设，
由题意得，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)连接，求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设直线与轴交于点，分割法求出的面积即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：设直线与轴交于点，
∵，
∴当时，，
∴，
∴的面积．
4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积；
(3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值．
【答案】(1)
(2)9
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点D代入反比例函数解析式求得，即可求解；
（3）由一次函数平移规律可得直线：，联立方程组得，设、，即，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与x、y轴的交点、，利用勾股定理求得，可得，过点O作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点B的纵坐标为3．
∴，
把代入得，，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，即，
∵点D在反比例函数图象上，
把代入得，，
解得，
∴，
∴；
（3）解：∵将直线向上平移6个单位得到直线：，
∵直线与函数图象交于，两点，
∴联立方程组得，，
即，
设、，
∴，
∵点P为的中点，
∴点P的横坐标为，
把代入得，，
∴，
∴，
把代入得，，
把代入得，，
解得，
∴直线与x、y轴交于点、，
∴，，
∴，
∴，
过点O作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．（2024·甘肃·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)连接，求的面积．
【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为；
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先根据一次函数图象的平移规律，再把点A的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可；
（2）先分别求出C、D的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数的解析式为；
把代入中得：，解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵轴，，
∴点C和点D的纵坐标都为2，
在中，当时，，即；
在中，当时，，即；
∴，
∵，
∴．
6．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点．
(1)已知点，在，，中，是点等和点的有_____；
(2)若点的等和点在直线上，求的值；
(3)已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标．
【答案】(1)和；
(2)；
(3)或．
【分析】（）根据等和点的定义判断即可求解；
（）设点的横坐标为，根据等和点的定义得点的纵坐标为，即可得点的坐标为，把点的坐标代入即可求解；
（）由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为，即得，得到反比例函数解析式为，设，点的横坐标为，根据等和点的定义得，代入得，解方程得，，据此即可求解；
本题考查了点的坐标新定义运算，一次函数点的坐标特征，一次函数与反比例函数的交点问题，理解等和点的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：由，得，，
∴点是点的等和点；
由，得，，，
∵，
∴不是点的等和点；
由，得，，
∴是点的等和点；
故答案为：和；
（2）解：设点的横坐标为，
∵点是点的等和点，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
∵点在直线上，
∴，
∴；
（3）解：由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为，
把代入得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
设，点的横坐标为，
∵点是点的等和点，
∴点的纵坐标为，
∴，
∵点在直线上，
∴，
整理得，，
去分母得，，
解得，，
经检验，是原方程的解，
∴点的坐标为或．

7．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
(3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值．
【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为
(2)点的坐标为
(3)或
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
（1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论；
（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为；
（3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，，
，
，
反比例函数的表达式为，
把代入得，
，
，
，
把，代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
此时，的周长最小，
点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
（3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，
直线的解析式为，
，，
，
，
解得或．
考向二 反比例函数实际应用
1．（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．
【答案】4
【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
【详解】设反比例函数解析式为，
机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，
，
反比例函数解析式为，
当时，，
当其载重后总质量时，它的最快移动速度．
故答案为：4．
2．（2024·海南·中考真题）某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为 （V）．
【答案】64
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用．根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为，其中U为电压，再把代入可得U的值．
【详解】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为，
∵过，
∴（V），
故答案为：64．
3．（2024·江苏连云港·中考真题）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
∴，即，
故答案为：．
二、解答题
4．（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
(2)当电阻R为时，求此时的电流I．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出当时I的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴这个反比例函数的解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴此时的电流I为．
一、单选题
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，若，的面积为4，则k的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，图象点的坐标特征．延长交于点E，得到，，再根据题意得到，计算即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点E，
∵点A，B在反比例函数的图象上，，，
∴，
∴，
∴，，
∵的面积为4，
∴，
解得，（舍去）．
故选：B．
2．（2024·安徽滁州·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C 在y轴上，矩形的顶点D在上，顶点F在 y轴上．已知C是的中点，反比例函数 （）的图象经过点B，图中阴影部分的面积为4，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】设，，根据矩形，得到，结合C是的中点，得到，得到，解得的值即可．
本题考查待定系数法求反比例函数，矩形的性质，不规则图形面积，掌握待定系数法求反比例函数方法，矩形的性质，把不规则图形面积转化为规则图形面积是解题关键．
【详解】解：设，，
根据矩形，
得到，
∵C是的中点，
∴，
∴，
根据题意，得，
∴，
解得，
∵反比例函数 （）的图象经过点B，
∴，
故选D．
二、填空题
3．（2024·安徽·三模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，点M为线段的中点，轴交反比例函数图像于点N，P为x轴上任一点，若，则k的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，先求解，，，可得，再利用面积公式建立方程求解即可．
【详解】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴，，
∵点M为线段的中点，
∴，
∵轴交反比例函数图像于点N，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：
4．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，在矩形中，点在对角线上，且满足，反比例函数的图像经过点、与相交于点，的面积为4，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，相似三角形的判定和性质，作轴于点E，证明，得出，根据，得出，设点，则，点，，根据，求出结果即可．
【详解】解：作轴于点E，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点，则，点，，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
5．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点B，交双曲线于点C，且，点A在双曲线上．
（1）若点A的横坐标为2，，则m的值是 ；
（2）在（1）的条件下，若，则点C的坐标是 ．
【答案】 4
【分析】（1）过点A作轴，垂足为D，则，利用勾股定理可求得，即可得点，将点A代入反比例函数即可求得；
（2）过点C作轴，过点B作，垂足分别为H，G，则，即可判定为等腰直角三角形，结合平行线的性质可知，则．求得，则有点C的横坐标，代入反比例函数的解析式即可．
【详解】解：（1）如图，过点A作轴，垂足为D，则．
点A的横坐标为2，
．
在，由勾股定理得，
点在双曲线上，
，
．
（2）如图，过点C作轴，过点B作，垂足分别为H，G，则．
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
，
，即．
，
，
．
，
，
点C的横坐标为．
由（1）知双曲线的解析式为．
点C在双曲线上，
，
，
．
【点睛】本题主要考查反比例函数和几何的结合，涉及勾股定理、待定系数法求解析式、等腰三角形的判定和性质和平行线的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的性质和等腰三角形的性质．
6．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，是反比例函数上的一点，其中，过点作轴于点，连接．
（1）若的面积是3，则的值为 ．
（2）将绕点按顺时针方向旋转得到，且点的对应点恰好落在该反比例函数的图象上，则 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形，解一元二次方程等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
（1）先根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，利用坐标与图形和三角形的面积公式求得即可求解；
（2）延长交x轴于H，根据旋转性质和正方形的判定与性质得到四边形是正方形，则，，即轴，进而求得，再反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解一元二次方程即可求解．
【详解】解：（1）∵是反比例函数上的一点，
∴，
∵轴于点，
∴，，
∴，
∴，则，
故答案为：；
（2）延长交x轴于H，
由旋转性质得，，，
∴四边形是正方形，
∴，，即轴，
∴，，
∴，
∵点Q、M都是反比例函数上的一点，
∴，即，
∴，解得，
∵，
∴，
故答案为：．
7．（2024·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，反比例函数的图象经过对角线的中点，分别交边，于，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，根据题意先求出反比例函数解析式，利用解析式得到，，再根据即可求解，熟练掌握反比例函数值几何意义是解题的关键．
【详解】∵对角线的中点，且点，
∴，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为，
当时，，当时，，
∴，，
∴ ，
故答案为：．
8．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，直线是常数且与双曲线是常数且交于点和点，分别过点作轴，轴，与交于点，双曲线是常数且经过点，则 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，把和点代入，计算即可得到，再把代入计算即可．
【详解】把和点代入，得
∴
∴，
∵分别过点作轴，轴，与交于点，
∴，
∵双曲线是常数且经过点，
∴，解得，
故答案为：．
9．（2024·安徽·三模）如图 ，为坐标原点，过第一象限上的点 作 轴于点，交反比例函数的图象于点 ，作轴交反比例函数的图象于点，已知的面积为．
（1） ；
（2）连接 交反比例函数的图象于点， 若，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】（）利用比例系数的几何意义即可求解；
（）延长交轴于，易得，设点的坐标为，则，根据，得，，，然后利用面积和差即可求解；
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数的图象及性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（）∵，
∴，
∴，
故答案为：；
延长交轴于，易得，
设点的坐标为，则，
∵，
∴，，，
∴四边形的面积．
10．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为12，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，连接, 作轴于, 轴于,则，根据题意求得,由，即可得出 ，解方程求得m的值，从而求得 ．
【详解】连接, 作轴于, 轴于,则，
∴，
∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点,
∴关于原点对称，
，
，
设,
，
，
∴，
，即 ，
解得，（舍去）
，
故答案为:．
11．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点A，轴于点B，平移直线，使其经过点B，得到直线l，直线l与反比例函数相交于点C，作轴于点D，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，一次函数的平移，相似三角形的判定以及性质．设，则，由平移的性质可设直线l为，且过点，则可得出直线l为，再求出反比例函数解析式，求出反比例函数与直线l的交点C的坐标，进而即可求出点D的坐标，再证明，根据相似三角形的性质可得出即可得出答案．
【详解】解：设，则，
∵平移直线，使其经过点B，得到直线l，
∴设直线l为，且过点，
∴，则，
∴直线l为，
∵点在直线上，
∴，
∴直线
联立，
解得：，
∴点C的横坐标为：，
则，
∵，，且，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
12．（2024·安徽合肥·二模）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线、的交点与坐标原点重合，与y轴的交点为E．已知点，且．
（1）双曲线恰好经过点D，则k的值为 ；
（2）若经过点E的直线与（1）中的双曲线仅有一个交点，则这条直线的关系式为 ．
【答案】 8 或
【分析】（1）根据题意得到，利用相似求出点坐标即可得到反比例函数值；
（2）分两种情况：经过点E的直线平行于x轴和经过点E的直线不平行于x轴，利用中点坐标公式求出点坐标，设经过点的直线解析式为，与反比例解析式联立方程后根据判别式求出值即可得到直线解析式．
【详解】（1）如图交轴于点，交轴于点，
∵四边形是菱形
∴，，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴轴
（菱形的两条对角线垂直），
∴
∵
∴
∴
又∵
，
．
，
，
，即，，
，，
，
点在反比例函数图象上，
．
故答案为：8．
（2）∵
∴
∴
∴点E是的中点
，，
，
当经过点E的直线平行于x轴时，
此时与（1）中的双曲线仅有一个交点，
∴经过点E的直线表达式为；
当经过点E的直线不平行于x轴时，
设经过点的直线解析式为，
经过点的直线与（1）中的双曲线仅有一个交点，
，整理得：，
，
解得，
直线解析式为：．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
13．（2024·安徽合肥·二模）如图，为坐标原点，面积为8的的斜边经过点O，轴，A，B两点均在反比例函数的图象上．
（1） ；
（2）等腰的顶点D在反比例函数的图象上，底边经过点C，若的面积为16，，则的长为 ．
【答案】 4
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义：
（1）根据反比例函数图象是关于原点成中心对称图形，即可；
（2）先求出点B坐标，利用的面积为16，列出方程，解得t值即可得到线段长．
【详解】解：（1）如图，∵的面积为8，轴，反比例函数图象是关于原点成中心对称图形，
∴
又
∴
∴
∴
又，
∴；
故答案为：4．
（2）∵，的面积为8，设，则，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
如图，过点D作于F，设点D的坐标为，则，
∵的面积为16，
∴，解得 ，
∴，
故答案为：4；．
三、解答题
14．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求点的坐标；
(2)若点为轴负半轴上一点，且满足，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（）把代入解析式，求出一次函数与反比例函数解析式，然后联立方程，解出方程即可；
（）过点做轴，并分别作，，交点分别为点，，得，然后根据同角的余角相等得，证明，则，设，则，，，，再代入求，（舍去）即可；
本题考查了相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的性质，同角的余角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）将代入，可得，
∴反比例函数解析式为，
将代入，可得，
∴，
令，解得，，
经检验均为方程的解，
当时，，
故点的坐标为；
（2）如图，过点做轴，并分别作，，交点分别为点，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，，
∴，
解得，（舍去），
又∵在轴负半轴上，
∴点坐标为．
15．（2024·安徽·模拟预测）人工智能饮水机在接通电源后开始自动加热，加热过程中，水温与通电的时间成一次函数关系，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热．在水温开始下降时，水温与通电的时间成反比例函数关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间x（min）之间的关系如图所示．
(1)求a的值；
(2)求加热一次，水温不低于的时间有多长？
【答案】(1)
(2)9分钟
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤．
（1）先用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入，即可求出a的值；
（2）先求出一次函数解析式，再分别求出时的x的值，即可解答．
【详解】（1）解：设反比函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴反比例函数解析式为，
把代入得：，
解得：；
（2）解：设一次函数解析式为，
把代入得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴水温不低于的时间有．
16．（2024·安徽淮北·三模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴的正半轴上，点在其对角线上，反比例函数的图像经过C、D两点．已知平行四边形的面积是8．
(1)求k的值；
(2)求线段所在直线的解析式．
【答案】(1)；
(2)线段所在直线的解析式为：．
【分析】题目主要考查反比例函数及特殊四边形的性质，全等三角形的判定和性质，结合图形，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）直接将点D代入解析式即可；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，根据矩形的判定和性质及全等三角形的判定得出，设，则，利用相似三角形的判定和性质得出，然后结合题意得出方程求解确定，再由待定系数法即可确定函数解析式．
【详解】（1）点在双曲线上，
；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
∴，四边形为矩形，
∴，，
∵平行四边形，
∴，
∴，
设，则，
∵
，
，
∵，
∴，代入得：
解得，
平行四边形的面积是8，
∴，即，
解得，
点，
设直线的解析式为：，代入得：，
解得：，
线段所在直线的解析式为：．
17．（2024·安徽蚌埠·三模）小贤是滑雪运动员，在如图所示的一段滑板赛道上训练．在一个以水平地面为轴的平面直角坐标系中，这段赛道由两段不完整的曲线构成．其中，段赛道近似满足双曲线，段赛道近似满足抛物线，点处距离地面的高度为，到轴的距离为，点处到轴的距离为，段赛道与轴的交点与水平地面的距离为，落地点与原点的距离也是．
(1)求段赛道的解析式及其自变量的取值范围．
(2)求这段赛道的最高点距离地面的高度．
(3)某运动员在段赛道上滑行至距离轴时，在赛道的同样高度上有一个旗门，问此时该运动员与旗门的水平距离为多少？
【答案】(1)赛道的解析式为，自变量取值范围为；
(2)这段赛道的最高点距离地面的高度为．
(3)此时该运动员与旗门的水平距离为．
【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式，再利用解析式求出自变量取值范围即可；
（2）先利用待定系数法求出抛物线解析式，根据解析式求出顶点纵坐标即可；
（3）分别求出运动员在两个赛道中的横坐标，再计算水平距离即可．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴赛道的解析式为，
当时，，
∴，
∴赛道的解析式为，自变量取值范围为；
（2）解：由题意可知，，，
∵，，都在抛物线图象上，
∴，
解得
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴这段赛道的最高点距离地面的高度为．
（3）解：当时，，
∴运动员在段赛道上的坐标为，
在抛物线中，令得
，
整理得∶，
解得，舍去，
∵，
∴此时该运动员与旗门的水平距离为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、反比例函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是关键．
18．（2024·安徽合肥·二模）如图，A、B是反比例函数图象上的两点，A、B两点的横坐标分别为1，2，线段的延长线交x轴于点C．若的面积为6．
(1)求k的值及直线的函数表达式；
(2)写出的函数值大于的函数值时x的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）作轴于D，轴于E，如图，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，则，，，由轴于D，轴于E，得到，则，得到，然后根据三角形面积公式计算k的值，进而得到，，利用待定系数法即可求出直线的函数表达式；
（2）根据图象及反比例函数与一次函数的交点即可得出结果．
【详解】（1）解：作轴于D，轴于E，如图，
∵A、B两点的横坐标分别为1、2，
∴，，
∴，，，，
∴，，
∵轴于D，轴于E，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为6，
∴，
∴．
，
令直线的函数表达式为
，
直线的函数表达式为；
（2）解：由（1）知：反比例函数与一次函数的交点，，
或时，的函数值大于的函数值．
【点睛】此题考查了反比例函数的图象与性质、相似三角形的判定和性质，一次函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
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