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专题14 三角形
课标要求 考点 考向
1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。 2.探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 3.理解全等三角形的概念，掌握三角形全等的证明方法。 4.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理。 5.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理。 6.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰（等边）三角形的性质定理，探索并掌握等腰（等边）三角形的判定定理。 7.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理。 8.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 与三角形有关的线段 考向一 三角形的分类
考向二 三角形三边关系
考向三 三角形的高
考向四 三角形的中线
考向五 线段的垂直平分线
考向六 角平分线的性质和判定
与三角形有关的角 考向一 三角形的内角和定理
考向二 三角形的外角的定义及性质
全等三角形 考向一 全等三角形的概念及性质
考向二 全等三角形的判定
等腰三角形 考向一 等腰三角形的定义及性质
考向二 等腰三角形是判定
考向三 等边三角形
直角三角形 考向一 直角三角形
考向二 勾股定理及逆定理
考点一 与三角形有关的线段
考向一 三角形的分类
1．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考向二 三角形三边关系
1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．8
2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　）
A．或 B．或 C． D．
二、填空题
3．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ．
考向三 三角形的高
1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．6
2．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
考向四 三角形的中线
1．（2024·河北·中考真题）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点．
（1）的面积为 ；
（2）的面积为 ．
2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：．
(1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______．
考向五 线段的垂直平分线
1．（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（ ）

A．的垂直平分线一定与相交于点
B．
C．当为中点时，是等边三角形
D．当为中点时，
3．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ．
7．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ．
8．（2024·山西·中考真题）阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：…
任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ．
(2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
9．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题：
(1)当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？
(2)设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)如图③，过点O作，交于点Q，与关于直线对称，连接．是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
考向六 角平分线的性质和判定
1．（2024·四川乐山·中考真题）知：如图，平分，．求证：．
2．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)由以上作图可知，与的数量关系是_______
(2)求证：
(3)若，，，求的面积．
考点二 与三角形有关的角
考向一 三角形的内角和定理
1．（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ．
6．（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．

7．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，是的内接三角形，若，则 ．
8．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ．
9．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．

(1)求证：；
(2)若，则__________°．
考向二 三角形的外角的定义及性质
1．（2024·山西·中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °．
5．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，，，．则 ．
6．（2024·新疆·中考真题）如图，在中，．若点D在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为 ．

7．（2024·宁夏·中考真题）综合与实践
如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点．
【发现结论】
结论1：___________；
结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________．
【应用结论】
（1）求证：；
（2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：．
考点三 全等三角形
易错易混提醒 1.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 3.三边分别相等的两个三角形全等。 4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
考向一 全等三角形的概念及性质
1．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东广州·中考真题）下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（ ）
A．5 B． C． D．4
4．（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形(，，)与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G，若，则：
（1）的度数是 ；
（2）的长是 ．
5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可）
6．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 ．
7．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ．
考向二 全等三角形的判定
1．（2024·宁夏·中考真题）综合与实践
如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点．
【发现结论】
结论1：___________；
结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________．
【应用结论】
（1）求证：；
（2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：．
2．（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，点是边的中点，以为直径的经过点，点是边上一点（不与点重合）．请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)过点作一条直线，将分成面积相等的两部分；
(2)在边上找一点，使得．
3．（2024·山西·中考真题）综合与探究
问题情境：如图，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点．
猜想证明：
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，．
①如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由；
②当直线与直线垂直时，直线分别与直线，交于点，，直线与线段交于点．若，，直接写出四边形的面积．
4．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在 中，，，，为边上的动点．连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作，交直线于点．连接、，分别取、的中点、，连接，交于点．
(1)若点与点重合，则线段的长度为______．
(2)随着点的运动，与的长度是否发生变化？若不变，求出与的长度；若改变，请说明理由．
5．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
6．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
7．（2024·内蒙古·中考真题）如图，，平分，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状．
8．（2024·山东济南·中考真题）如图，在菱形中，，垂足为，垂足为．
求证：．
考点四 等腰三角形
考向一 等腰三角形的定义及性质
1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ．
2．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ．
3．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ．
4．（2024·湖南·中考真题）若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角度数为 °．
5．（2024·山东德州·中考真题）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由；
(3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围．
6．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的直径．
7．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且．
(1)求证：；
(2)求的度数．
8．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，D是的中点，，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)当时，求点P的坐标；
(4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______．
考向二 等腰三角形的性质及判定
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
2．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ．
4．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ．
5．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为

6．（2024·山东德州·中考真题）如图，中，对角线平分．

(1)求证：是菱形；
(2)若，，求菱形的边长．（参考数据：，，）
考向三 等边三角形
1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
4．（2024·青海·中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C． D．
5．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ．
6．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则 ．
7．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ．
8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的面积．
9．（2024·甘肃兰州·中考真题）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且．
【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明：
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值．
10．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段上，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
11．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接
(1)求证：四边形是菱形：
(2)若平行四边形的周长为，求的长．
考点五 直角三角形
考向一 直角三角形
1．（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．1 B． C．0 D．
2．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川广元·中考真题）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形的面积是90，对角线交于点O，点E是边的三等分点，连接，点P是的中点，，连接，则的值为 ．
5．（2024·四川南充·中考真题）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为 ．

6．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．

考向二 勾股定理及逆定理
1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ．
3．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ．
4．（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ．
5．（2024·吉林·中考真题）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：

【探究论证】
（1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______．
（2）如图②，在菱形中，，，则______．
（3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想．
【理解运用】
（4）如图④，在中，，，，点P为边上一点．
小明利用直尺和圆规分四步作图：
（ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I；
（ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点；
（ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧；
（ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，．
请你直接写出的值．
6．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．

(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长．
1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，的面积为10，点D，E，F分别在边，，上，，，的面积与四边形的面积相等，则的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2024·安徽安庆·一模）如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽合肥·一模）如图，为的直径，弦，垂足为点E，连接，若的半径为4，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安徽池州·一模）如图，在等边三角形中，为边上的高，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则在点的运动过程中，线段的长的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．
5．（2024·安徽·模拟预测）如图，矩形中，点在边上，平分，，分别是，的中点，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
6．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在菱形中，，点M和N分别是和上一点，沿将折叠，点A恰好落在边的中点E上．若，则的长为（ ）

A． B． C．3 D．
7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）正方形中，E，F分别是的中点，则
8．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知角α，β为锐角，，,则
9．（2024·安徽合肥·三模）如图，在和中，，，，分别连接，，延长交于．
（1）若，则 ；
（2）连接，若，，则的长为 ．
10．（2024·安徽·三模）如图，在矩形中，P，Q为对角线上两点，以为对角线的正方形的顶点E，F分别在边上．
（1）若，，则 ；
（2）若，则的值为 ．（用含n的代数式表示）
11．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知正方形 中，为 垂直平分线上一点，， 关于直线 对称，和 相交于点，求证：
(1)；
(2)．
12．（2024·安徽·三模）如图，中，，于点D，于点E，M为的中点，连接交于点F，连接交于点N．
(1)求证：；
(2)求证：
(3)若，求的值（用含k的代数式表示）．
13．（2024·安徽合肥·三模）如图，是边长为3的等边三角形，D是的中点，E，F分别在，上，连接，，两线交于点G，连接，，，．
(1)求的长；
(2)求证：；
(3)求的长．
14．（2024·安徽合肥·模拟预测）在正方形中，点E为中点，连接并延长交延长线于点G，点F在上，，连接并延长交延长线于H，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，求四边形的面积．
15．（2024·安徽六安·模拟预测）在中，是的中位线，是的平分线，与交于点，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)若．
（ⅰ）如图2，求证：；
（ⅱ）如图3，若，其他条件不变，求的值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题14 三角形
课标要求 考点 考向
1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。 2.探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 3.理解全等三角形的概念，掌握三角形全等的证明方法。 4.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理。 5.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理。 6.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰（等边）三角形的性质定理，探索并掌握等腰（等边）三角形的判定定理。 7.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理。 8.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 与三角形有关的线段 考向一 三角形的分类
考向二 三角形三边关系
考向三 三角形的高
考向四 三角形的中线
考向五 线段的垂直平分线
考向六 角平分线的性质和判定
与三角形有关的角 考向一 三角形的内角和定理
考向二 三角形的外角的定义及性质
全等三角形 考向一 全等三角形的概念及性质
考向二 全等三角形的判定
等腰三角形 考向一 等腰三角形的定义及性质
考向二 等腰三角形是判定
考向三 等边三角形
直角三角形 考向一 直角三角形
考向二 勾股定理及逆定理
考点一 与三角形有关的线段
考向一 三角形的分类
1．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断．
【详解】解：由图得，，，为直角三角形，
共有4个直角三角形．
故选：C．
考向二 三角形三边关系
1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．8
【答案】D
【分析】如图，把绕顺时针旋转得到，求解，结合，（三点共线时取等号），从而可得答案．
【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∵，（三点共线时取等号），
∴的最大值为，
故选D
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做出合适的辅助线是解本题的关键．
2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　）
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：由方程得，，，
∵，
∴等腰三角形的底边长为，腰长为，
∴这个三角形的周长为，
故选：．
二、填空题
3．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案．
【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2，
，
能构成三角形，
第三边长为6；
当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6，
，
不能构成三角形，舍去；
综上，第三边长为6，
故答案为：6．
考向三 三角形的高
1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解．吧
【详解】解：∵，，
∴
∵是中线，
∴
故选：B
2．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案．
【详解】解：由作图可得：，
∴线段一定是的高线；
故选B
考向四 三角形的中线
1．（2024·河北·中考真题）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点．
（1）的面积为 ；
（2）的面积为 ．
【答案】
【分析】（1）根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）证明，得，推出、、三点共线，得，继而得出，，证明，得，推出，最后代入即可．
【详解】解：（1）连接、、、、，
∵的面积为，为边上的中线，
∴，
∵点，，，是线段的五等分点，
∴，
∵点，，是线段的四等分点，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴的面积为，
故答案为：；
（2）在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴、、三点共线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键．
2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：．
(1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线；
（1）分别作的中线，交点即为所求；
（2）根据三角形重心的性质可得，根据三角形中线的性质可得
【详解】（1）解：如图所示
作法：①作的垂直平分线交 于点
②作的垂直平分线交于点
③连接、相交于点
④标出点 ，点 即为所求
（2）解：∵是的重心，
∴
∴
∵的面积等于，
∴
又∵是的中点，
∴
故答案为：．
考向五 线段的垂直平分线
1．（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，设交于点H，正方形边长为，由作图知，，垂直平分，得到，，由勾股定理得到，证明，推出，推出，得到，即得．
【详解】连接，设交于点H，正方形边长为，
由作图知，，垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合．熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键．
2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（ ）

A．的垂直平分线一定与相交于点
B．
C．当为中点时，是等边三角形
D．当为中点时，
【答案】D
【分析】连接，根据，点是的中点得，则，进而得点在线段的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设，根据得，的，再根据得，则，由此可对选项Ｂ进行判断；当为中点时，则，是线段的垂直平分线，由此得，然后根据，，得，由此可对选项Ｃ进行判断；连接并延长交于，根据是等边三角形得，则，进而得，，由此得，，由为中点，则，由此可对选项Ｄ进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：连接，如图1所示：
，点是的中点，
为斜边上的中线，
，
，
，
点在线段的垂直平分线上，
即线段的垂直平分线一定与相交于点，故选项A正确，不符合题意；
设，
，
，
，
，
，
，
即，故选B正确，不符合题意；
当为中点时，则，
，
是线段的垂直平分线，
，
，，，
，
，
是等边三角形，故选C正确，不符合题意；
连接，并延长交于，如图2所示：

当为中点时，
点为的中点，
根据三角形三条中线交于一点得：点为的中点，
当为中点时，是等边三角形，
，，平分，平分，
，
，
在中，，
，
，
，，
∵为中点，
∴
，故选项D不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．
3．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接，根据，，易证是等腰三角形，再根据，推出是等边三角形，得到，即可求出，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：连接，
，，
，
是等腰三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
故选：B．
4．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】该题主要考查了菱形的性质，垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上点M的运动路径．
过点C作交于点H，根据，四边形是菱形，得出 垂直平分，再证明垂直平分，点M在上运动，根据解直角三角形 ．即可求解．
【详解】解：过点C作交于点H，连接，
∵，四边形是菱形，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∵点P和点Q关于点C对称，
∴，即垂直平分，
∵交于点M．
∴
∴点M在上运动，
当点P与点B重合时，点M位于点，
此时，∵，四边形是菱形，，
∴，
∴．
故点M的运动路径长为．
故选：B．
5．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴的周长，
故选：．
6．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出．
求出，由线段垂直平分线的性质推出．
【详解】解：，，
，
在的垂直平分线上，
．
故答案为：3．
7．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可；
【详解】解：的垂直平分线分别交边于点E、F．
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
令，
，
解得或（舍去），
．
故答案为：．
8．（2024·山西·中考真题）阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：…
任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ．
(2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)240
(2)，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握圆和多边形的相关性质是解题关键．
（1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为；
（2）连接，，通过已知条件可证，得到，，进一步证明证出；
（3）作、、的垂直平分线，在圆内线上取一点或者圆外取一点都行，切记不能取圆上，否则就是正六边形了．
【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，，
∴等边半正六边形相邻两个内角的和为，
故答案为：240；
（2）解：．
理由如下：连接，．
六边形是等边半正六边形．
，．
．
．
在与中，
，
．
；
（3）解：如图，六边形即为所求（答案不唯一）．
作法一：
作法二：．
9．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题：
(1)当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？
(2)设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)如图③，过点O作，交于点Q，与关于直线对称，连接．是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当时，点A在线段的垂直平分线上
(2)
(3)存在使
【分析】（1）先表示出，，再根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，据此建立方程求解即可；
（2）如图所示，过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G，先由勾股定理得到，再解直角三角形得到，再证明，然后解直角三角形求出的长，最后根据进行求解即可；
（3）过点P作于G，解，得到，，则，进而得到；再解得到，由对称性可得，解得到，由平行线的性质得到，则，即可得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：如图①所示，∵ ，
∴，
如图②所示，由题意得，，
∴，
∵点A在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
解得，
∴当时，点A在线段的垂直平分线上；
（2）解：如图所示，过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴；
由（1）可知，，
∴，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，过点P作于G，
由（2）可知，
在中，，，
∴，
∴，
∴；
在中，，
∴，
∵与关于直线对称，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
经检验是原方程的解，
∵，
∴符合题意；
综上所述，存在使．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
考向六 角平分线的性质和判定
1．（2024·四川乐山·中考真题）知：如图，平分，．求证：．
【答案】见解析
【分析】利用证明，即可证明．
【详解】解：平分，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握、、、等全等三角形的判定方法是解题的关键．
2．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)由以上作图可知，与的数量关系是_______
(2)求证：
(3)若，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．
（1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案；
（2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明；
（3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可．
【详解】（1）解：由作图可知，为的角平分线
故答案为：
（2）证明：四边形为平行四边形
（3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点
四边形为平行四边形，
，
，
又
．
考点二 与三角形有关的角
考向一 三角形的内角和定理
1．（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，垂线定义理解．先利用平行线的性质求出的度数，然后利用三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
2．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键．
先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴．
故选C．
3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，
由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：由旋转的性质可得出，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键．
由三角形内角和定理可得，再根据平行线的性质即可解答．
【详解】解：∵在中，，，
∴,
∵，
∴．
故选：C．
5．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ．
【答案】/10度
【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：因为，
所以，
根据题意得：平分，
所以，
因为为高，
所以，
所以,
所以，
故答案为：．
6．（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．

【答案】/18度
【分析】连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答．
【详解】解：连接，，

∵五边形是正五边形，
∴，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵在正五边形中，，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．
7．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，是的内接三角形，若，则 ．
【答案】/62度
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出的度数，然后利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
8．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ．
【答案】/100度
【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
故答案为：．
9．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．

(1)求证：；
(2)若，则__________°．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）利用即可证得；
（2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质即可得出的度数．
【详解】（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：，，
，
由（1）知，
，
故答案为：20．
考向二 三角形的外角的定义及性质
1．（2024·山西·中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数．
【详解】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故选：C．
2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用对顶角相等求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，最后利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
3．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B
4．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °．
【答案】35
【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接，构造直角三角形，利用，从而得出的度数．
【详解】解：连接，
与相切于点，
，
，
；
，
，
故答案为：35
5．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，，，．则 ．
【答案】66
【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
6．（2024·新疆·中考真题）如图，在中，．若点D在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为 ．

【答案】6或12
【分析】本题考查了含的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边等知识，分①点D在线段时，②点D在线段延长线上时， ③点D在线段延长线上时，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
①点D在线段时，

∵，，
∴，
∴，
∴；
②点D在线段延长线上时，

∵，，
∴，
∴，
∴；
③点D在线段延长线上时，

此时，即，故不符合题意，舍去，
综上，的长为6或12．
7．（2024·宁夏·中考真题）综合与实践
如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点．
【发现结论】
结论1：___________；
结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________．
【应用结论】
（1）求证：；
（2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：．
【答案】【发现结论】结论1：；结论2：相等（或）；【应用结论】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、等边对等角、等角对等边、勾股定理等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键．
[发现结论]结论1：根据角平分线的定义、三角形外角的性质，推出， ，即可得出；
结论2：根据已知，和结论1 ，得出，根据角平分线的定义得出，进一步推出，利用证明，即可得出；
[应用结论]（1）根据过点作的垂线交于点，得出，推出，结合结论2： ，利用证明，即可证明；
（2）连接，，延长交于点，根据垂线的定义得出，由结论2得：，由（1）过程得：，根据等边对等角、勾股定理、全等三角形的性质，推出，，，根据对顶角相等得出 ，推出，进一步得出，，根据等角对等边得出，，即可证明．
【详解】解：[发现结论]结论1：
∵是的平分线，的延长线交外角的平分线于点，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：；
结论2：
∵，由结论1得，
∴，
∵是的平分线，过点作的垂线交于点，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：相等（或）；
[应用结论]（1）证明：∵过点作的垂线交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵由结论2得：，
∴在和中，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，，延长交于点，
∵过点作的垂线交于点，
∴，
∵由结论2得：，由（1）过程得：，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
考点三 全等三角形
易错易混提醒 1.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 3.三边分别相等的两个三角形全等。 4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
考向一 全等三角形的概念及性质
1．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值．
【详解】解：根据题意，设，则，
∵，四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2024·广东广州·中考真题）下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可．
【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C，
故选：C．
3．（2024·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（ ）
A．5 B． C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的信纸，求得的长度，利用勾股定理即可解答，利用全等三角形的性质得到是解题的关键．
【详解】解：是四个全等的直角三角形，
，，
，
四边形为正方形，
，
，
故选：C．
4．（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形(，，)与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G，若，则：
（1）的度数是 ；
（2）的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）利用三角形相似及可得，再利用三角形的外角性质结合可求得；
（2）作交的延长线于点，利用直角三角形的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：(已知)，
，，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，，
如图，过点作的延长线于点，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：，．
5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可）
【答案】或（答案不唯一）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一．
【详解】解：∵
∴，，
∴添加条件，可以使得，
添加条件，也可以使得，
∴；
故答案为：或（答案不唯一）．
6．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点在第一象限（不与点重合），且与全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出．
【详解】解：∵点在第一象限（不与点重合），且与全等，
∴，，
∴可画图形如下，
由图可知点C、D关于线段的垂直平分线对称，则．
故答案为：．
7．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ．
【答案】/100度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可．
【详解】解：由，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
考向二 全等三角形的判定
1．（2024·宁夏·中考真题）综合与实践
如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点．
【发现结论】
结论1：___________；
结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________．
【应用结论】
（1）求证：；
（2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：．
【答案】【发现结论】结论1：；结论2：相等（或）；【应用结论】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、等边对等角、等角对等边、勾股定理等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键．
[发现结论]结论1：根据角平分线的定义、三角形外角的性质，推出， ，即可得出；
结论2：根据已知，和结论1 ，得出，根据角平分线的定义得出，进一步推出，利用证明，即可得出；
[应用结论]（1）根据过点作的垂线交于点，得出，推出，结合结论2： ，利用证明，即可证明；
（2）连接，，延长交于点，根据垂线的定义得出，由结论2得：，由（1）过程得：，根据等边对等角、勾股定理、全等三角形的性质，推出，，，根据对顶角相等得出 ，推出，进一步得出，，根据等角对等边得出，，即可证明．
【详解】解：[发现结论]结论1：
∵是的平分线，的延长线交外角的平分线于点，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：；
结论2：
∵，由结论1得，
∴，
∵是的平分线，过点作的垂线交于点，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：相等（或）；
[应用结论]（1）证明：∵过点作的垂线交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵由结论2得：，
∴在和中，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，，延长交于点，
∵过点作的垂线交于点，
∴，
∵由结论2得：，由（1）过程得：，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
2．（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，点是边的中点，以为直径的经过点，点是边上一点（不与点重合）．请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)过点作一条直线，将分成面积相等的两部分；
(2)在边上找一点，使得．
【答案】(1)作图见详解
(2)见解析
【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握中线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据三角形中线平分三角形面积作图即可；
（2）根据直径或半圆所对圆心角为直角，可得，结合可得是线段的垂直平分线，如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，可证，可得，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵点是边的中点，
∴，
∴根据三角形中线平分三角形面积，作图如下，
∴
（2）解：∵以为直径的经过点，
∴，即，
又∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，平分，即，
如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（2024·山西·中考真题）综合与探究
问题情境：如图，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点．
猜想证明：
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，．
①如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由；
②当直线与直线垂直时，直线分别与直线，交于点，，直线与线段交于点．若，，直接写出四边形的面积．
【答案】（1）矩形，理由见解析；（2）①，理由见解析；②或
【分析】（1）由和菱形性质得，．可证四边形为矩形；
（2）①由菱形和旋转得性质证，可证；
②分情况讨论：当点在线段上时，当点在线段延长线上时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：（1）四边形为矩形．理由如下：
，
，
四边形为菱形，
∴，
∴，
，
∴，
四边形为矩形．
（2）①．理由如下：
∵四边形为菱形，
，
旋转得到，
，
，
，
，
，
，
．
②解：如图所示，当点N在线段上时，过点A作于P，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
由旋转知：，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∴
；
当点N在线段延长线上时，在上，过点A作于K，连接，如图所示：

由旋转知：，，，，
∵，
∴，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，，
∵，
∴ 四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
综上，四边形的面积是或．
【点睛】本题是正方形，菱形综合题，主要考查正方形的判定与性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解直角三角形的应用，四边形的面积等知识，熟练掌握特殊图形的性质与判定，添加正确的辅助线是解题关键．
4．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在 中，，，，为边上的动点．连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作，交直线于点．连接、，分别取、的中点、，连接，交于点．
(1)若点与点重合，则线段的长度为______．
(2)随着点的运动，与的长度是否发生变化？若不变，求出与的长度；若改变，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不变，，
【分析】（1）当点与点重合时，、、、、共线，，为的中位线，即可求出的长度．
（2）构造，使为的中位线，再构造，进而证得是等边三角形，得出．然后由和为等边三角形，推导出，然后再由，最后得出和的长度不变．
【详解】（1）解：当点与点重合时，如图①，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，．
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．，
∴、、三点共线，
∵，，
∴、、、共线，
∵点、分别是，的中点，
∴．
∴．
故答案为：．
（2）解：结论：不变．
如解图②，连接并延长到点，使得，连接，，延长，交于点，连接．延长至点，使得，连接，，设与交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，．
∵点为中点，
∴．
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，．
∵，，
∴，．
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵
∴．
在平行四边形中，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．，
由旋转得，，
∵，，
∴，，
∴，
又，，
∴（）．
∴，
∴为等边三角形．
∵点、为、的中点，
∴为的中位线，．
∵．
∴．即的长度不变；
∵和都为等边三角形．
∴，，，，
∴，
∴（）．
∴．
∵，
∴，
∴为等边三角形．
同理：为等边三角形．
∴．，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，，
∴．
∵为的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴为中点，
∴，
∴．
故和的长度都不变．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形和等边三角形的性质，三角形中位线的性质以及平行线分线段成比例．本题的难点是构造得出．
5．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出和的全等条件．
（1）根据正方形的性质证明，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可；
（2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出和，然后进行证明即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
，
在和中，
，
；
（2）∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
．
6．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
【答案】①（或②）
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可．
【详解】解：可选取①或②（只选一个即可），
证明：当选取①时，
在与中，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
；
证明：当选取②时，
在与中，
，
，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
；
故答案为：①（或②）
7．（2024·内蒙古·中考真题）如图，，平分，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状．
【答案】(1)证明见详解
(2)四边形为正方形
【分析】（1）由角平分线的定义可得出，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，利用证明 ，由全等三角形的性质得出，结合已知条件可得出四边形是平行四边形．
（2）由已知条件可得出，由平行四边形的性质可得出，，根据平行线的性质可得出，，由全等三角形的性质可得出，等量代换可得出， 即可得出四边形为正方形．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）四边形是正方形．
过点B作于点G，
∴，
∵四边形是平行四边形．
∴，，
∴，，
∴，，
由（1），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质和判定，正方形的判定，以及平行线的性质，掌握全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质和判定，正方形的判定定理是解题的关键．
8．（2024·山东济南·中考真题）如图，在菱形中，，垂足为，垂足为．
求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】本题主要考查了菱形的性质， 全等三角形的判定以及性质，由菱形的性质得出，用证明，由全等三角形的性质可得出， 由线段的和差关系即可得出．
【详解】证明：四边形是菱形
考点四 等腰三角形
考向一 等腰三角形的定义及性质
1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ．
【答案】81
【分析】本题考查正多边形的内角问题，正方形的性质，等腰三角形的性质等．先根据正多边形内角公式求出，进而求出，最后根据求解．
【详解】解：正五边形中，，，
正方形中，，，
，，
，
，
故答案为：81．
2．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ．
【答案】/65度
【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到，等边对等角，得到，再根据角的和差关系求出的度数即可．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
3．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ．
【答案】或
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的性质与角的和差运算可得答案；
【详解】解：如图，当时，延长交于，
∵，，
∴,
∴；
如图，当时，延长交于，
∵，，
∴,
∴，
故答案为：或
4．（2024·湖南·中考真题）若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角度数为 °．
【答案】100
【分析】本题主要考查了等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和定理，结合等腰三角形两底角相等，求出它的顶角度数即可．
【详解】解：∵等腰三角形的一个底角的度数为，
∴它的顶角度数为：，
故答案为：100．
5．（2024·山东德州·中考真题）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由；
(3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围．
【答案】(1)
(2)的大小不发生变化，，理由见解析
(3)
【分析】（1）由旋转的性质得，由等边对等角和三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质得，进而可求出的度数；
（2）连接交于点O，证明得，再证明即可求出的度数；
（3）过点C作于H，求出，则；由旋转的性质得，，，设，则；如图所示，过点D作于G，则可得到，，由勾股定理得；证明，在中，由勾股定理得 ；再求出，即可得到．
【详解】（1）解：由旋转的性质得．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：的大小不发生变化，，理由如下：
连接交于点O，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点C作于H，
∵，，
∴，
∵，
∴；
由旋转的性质得，，，
设，
∵，
∴，
如图所示，过点D作于G，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴,
∵，
∴，
在中，由勾股定理得
，
∴或（舍去）；
∵点D是上一个动点（点D不与A，B重合），
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键．
6．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的直径．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，由角平分线可得，又由可得，即得，由得，进而可得，即得，即可求证；
（）是的直径可得，又由（）知，由，，进而可得，再根据，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解；
本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，三角函数，掌握圆的有关定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵，，，
∴
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即的直径为．
7．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键．
（1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出．
（2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵
∴，
（2）连接，如下图：
∵为直径，
∴，
设，
∴，
由（1）知：
∴，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
即，
解得：
8．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，D是的中点，，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，三腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键．
（1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形．
（2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件可得出，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出．
【详解】（1）证明：∵， D是BC的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）由（1）可知四边形是矩形．
∴，，，
∵D是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴
即，
∴．
9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)当时，求点P的坐标；
(4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）先根据题意确定点A、C的坐标，然后运用待定系数法求解即可；
（2）分三种情况分别画出图形，然后根据等腰三角形的定义以及坐标与图形即可解答；
（3）先证明可得，设，则,可得，即，求得可得m的值，进而求得点P的坐标；
（4）如图：将线段向右平移单位得到,即四边形是平行四边形，可得,即，作关于对称轴的点,则，由两点间的距离公式可得，再根据三角形的三边关系可得即可解答．
【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴当时，，即；当时，，即；
∵，
∴设抛物线的解析式为，
把代入可得：，解得：，
∴，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：∵，，
∴,
∴，
如图：当，
∴,即；
如图：当，
∴,即；
如图：当，
∴,即；
综上，点D的坐标为．
（3）解：如图：∵轴，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴,
∴,
∵设，则,
∴，
∴，解得：（负值舍去），
当时，，
∴．
（4）解： ∵抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为：直线，
如图：将线段向右平移单位得到,
∴四边形是平行四边形，
∴,即,
作关于对称轴的点,则
∴,
∵，
∴的最小值为．
故答案为．
考向二 等腰三角形的性质及判定
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解．
【详解】解： ∵，
∴，
由作图知：平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又的面积为8，
∴的面积是，
故选B．
2．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定．
【详解】解：由作图可知，为的角平分，
∴，故A正确；
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，故D错误；
∵，
∴，故C正确，
故选：D．
3．（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ．
【答案】 6
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等边对等角，过点E作于H，则四边形是矩形，则，根据，可得的最小值为6，则由折叠的性质可得的最小值为6；如图所示，连接，证明，得到，则，利用勾股定理得到当最大时，最大，即最大时，最大，则当与点B重合时，最大，设此时，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴的最小值为6，
由折叠的性质可得，
∴的最小值为6；
如图所示，连接，
由折叠的性质可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴当最大时，最大，即最大时，最大，
∴当与点B重合时，最大，
设此时，则，
∴，
解得，
∴的最大值为
故答案为：，．
4．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，证，再利用求出边长，从而求解即可．
【详解】解：∵折叠，
，
∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得，
，
故答案为：．
5．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为

【答案】4
【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出
【详解】解：∵D，E分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：4
6．（2024·山东德州·中考真题）如图，中，对角线平分．

(1)求证：是菱形；
(2)若，，求菱形的边长．（参考数据：，，）
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】此题考查平行四边形性质和菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，解直角三角形．
（1）根据平行四边形性质得出，再结合角平分线的定义及等腰三角形的判定即可得出，，根据邻边相等的平行四边形是菱形进而得出结论；
（2）连接，由菱形性质可知，，，在利用余弦求出长即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
（2）连接，交于点O，

∵四边形是菱形．，，
∴，，，
∴，
即菱形的边长为5．
考向三 等边三角形
1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
由矩形得到，继而得到，而是等边三角形，因此得到．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
故选：C．
2．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：B．
3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，过点E作轴于H，连接，可证明是等边三角形，则，，进而得到，设，则，则，，即可得到点在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点E作轴于H，连接，
∵原点为正六边形的中心，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，
∴点在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故选：A．
4．（2024·青海·中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到等边三角形，据此求解即可．
【详解】解：∵在中，，D是的中点，
∴，
∵，
∴等边三角形，
∴．
故选：A．
5．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，求出，的值即可得到答案．
【详解】解：作，交y轴于点F，
由题可得：，
是等边三角形，，
∴是的角平分线，
，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，
故答案为：．
6．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到为含30度角的直角三角形，，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形为正方形，为等边三角形，，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
7．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作于H，先判断，都是等边三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性质可得出，进而求出，，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解∶过D作于H，
∵菱形中，，，
∴，，
∴，都是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，结合角平分线的条件得到，由得到，，根据平行线的判定得到，根据平行四边形的判定即可得到是平行四边形；
（2）求得是等边三角形，得到，，证明，求得，作于点，在中，求得，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵分别是、的平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
作于点，
在中，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
9．（2024·甘肃兰州·中考真题）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且．
【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明：
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值．
【答案】（1）见详解，（2）四边形为平行四边形，（3）
【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证；
（3）过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，根据等腰三角形的性质可证，证明，可得，从而可得当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，根据平行线的性质和平角的定义可得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明∵为等边三角形，
∴，
∵绕点M逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：四边形为平行四边形，理由如下，
∵，，
∴，
∵绕点M逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
则，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则四边形为平行四边形；
（3）解：如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值是解题的关键．
10．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段上，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解答的关键．
（1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：在与中，
，
所以；
（2）解：因为，，
所以，，
所以是等边三角形．
所以．
11．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接
(1)求证：四边形是菱形：
(2)若平行四边形的周长为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识 ：
（1）由平行四边形的性质得再证明，得出，证明出四边形是平行四边形，由得出四边形是菱形：
（2）求出菱形的周长为20，得出，再证明是等边三角形，得出．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴即
∴
∵为的中点，
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形；
（2）解：∵
∴
∵平行四边形的周长为22，
∴菱形的周长为：
∴
∵四边形是菱形，
∴
又
∴是等边三角形，
∵．
考点五 直角三角形
考向一 直角三角形
1．（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．作于点，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可．
【详解】解：作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵点E表示的数是3，
∴点A表示的数是，
故选：D．
2．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键．过D作，交延长线于H，则，根据菱形的性质和平行线的性质得到，，，进而利用含30度角的直角三角形的性质，证明得到，然后代值整理即可求解．
【详解】解：如图，过D作，交延长线于H，则，
∵在菱形中，，，
∴，，，
∴，，
在中，，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
（法二：同理，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．）
3．（2024·四川广元·中考真题）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点A作于点H，得到，利用勾股定理求出的长．
【详解】解：由旋转得，，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，，
过点A作于点H，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形的面积是90，对角线交于点O，点E是边的三等分点，连接，点P是的中点，，连接，则的值为 ．
【答案】13或
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理．当时，利用三角形中位线定理求得，再求得矩形的边长，利用勾股定理求得的长，再根据斜边中线的性质即可求解；当时，同理求解即可．
【详解】解：当时，如图，
∵矩形，
∴点O是的中点，
∵点P是的中点，
∴，，
∵点E是边的三等分点，
∴，，
∵矩形的面积是90，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，
∵矩形，
∴点O是的中点，
∵点P是的中点，
∴，，
∵点E是边的三等分点，
∴，，
∵矩形的面积是90，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：13或．
5．（2024·四川南充·中考真题）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为 ．

【答案】
【分析】过作于点，于点，，由四边形是矩形，得，，证明四边形是矩形，通过角平分线的性质证得四边形是正方形，最后根据折叠的性质和勾股定理即可求解．
【详解】如图，过作于点，于点，

∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∵平分，
∴，，
∴四边形是正方形，
由折叠性质可知：，，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，所对直角边是斜边的一半，角平分线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
6．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．

【答案】
【分析】连接，过E作于F，设，，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得，，，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质和勾股定理得到；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可．
【详解】解：连接，过E作于F，设，，

∵，为中点，
∴，又，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，则，又，
∴，
∴，，
∴，
则；
∵是的一条角平分线，
∴，又，
∴，
∴
∴，则，
∴，即，
解得（负值已舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键．
考向二 勾股定理及逆定理
1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定．根据菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，无法得到是菱形，故本选项符合题意；
故选：D
2．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于的方程．由矩形的性质推出，由线段中点定义得到，由折叠的性质得到：，设，由勾股定理得到，求出，得到的值．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵是中点，
∴，
由折叠的性质得到：，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
3．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ．
【答案】96
【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作交于点H，则，求得，再证明，求得，再证明，则，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式求解即可得到问题的答案．
【详解】解：作交于点H，则，
∵四边形是边长为10的菱形，对角线相交于点O，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：96．
4．（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求 出的长度．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、的长度，在中利用勾股定理即可求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴（负值已舍去），
∴，
∴，
∴，
∴，CO＝3（舍去）．
∵AE⊥BC，，
∴．
故答案为：．
5．（2024·吉林·中考真题）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：

【探究论证】
（1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______．
（2）如图②，在菱形中，，，则______．
（3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想．
【理解运用】
（4）如图④，在中，，，，点P为边上一点．
小明利用直尺和圆规分四步作图：
（ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I；
（ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点；
（ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧；
（ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，．
请你直接写出的值．
【答案】（1）2，（2）4，（3），，证明见详解，（4）10
【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可；
（2）根据菱形的面积公式计算即可；
（3）结合图形有，，即可得，问题随之得解；
（4）先证明是直角三角形，由作图可知：，即可证明，再结合（3）的结论直接计算即可．
【详解】（1）∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；
（2）∵在菱形中，，，
∴，
故答案为：4；
（3）∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：，
猜想：，
证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（4）根据尺规作图可知：，
∵在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴根据（3）的结论有：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键．
6．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．

(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是：
（1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可；
（2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解∶连接，

∵，，，
∴，
∴，
∵与相切于D，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解∶延长交于P，连接，此时最大，

由（1）知：，，
∴．
1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，的面积为10，点D，E，F分别在边，，上，，，的面积与四边形的面积相等，则的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题考查三角形面积性质的应用，可通过作辅助线的方法，做此题时注意理清各个三角形面积之间的关系．
由题意可知的面积和四边形的面积相等，可通过连接的方法，证明出，进而求出的面积，然后即可求出答案．
【详解】解：连接．
∵，
∴，
∵两个三角形有公共底，且面积相等，
∴高相等，
∴，
从而可得：，
∴，
又，
，
即，
故选：C．
2．（2024·安徽安庆·一模）如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的判定与性质．根据题意得到是的角平分线，由角平分线定义求解即可得到的度数．
【详解】解：过点作、，如图所示：
两把一样的直尺，
，
由角平分线的判定定理可得是的角平分线，
，
，
故选：D．
3．（2024·安徽合肥·一模）如图，为的直径，弦，垂足为点E，连接，若的半径为4，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
根据题意得出 ，进而根据含0度角的直角三角形的性质得出，在中，勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：∵为的直径， 弦
∴，
，
，
在中，
则，
，
，
故选： D．
4．（2024·安徽池州·一模）如图，在等边三角形中，为边上的高，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则在点的运动过程中，线段的长的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，因为是直线上的一个动点，所以将线段绕点逆时针旋转得到线段，在点M运动过程中，点N在线段上运动，再根据垂线段最短可得当时，最短，再证明，即可由等边三角形与直角三角形的性质求解．
【详解】解：如图，当点M在点D处时，线段绕点逆时针旋转得到线段，当点M在点C处时，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，
∵是直线上的一个动点，
∴将线段绕点逆时针旋转得到线段，在点M运动过程中，点N在线段上运动，
根据垂线段最短可得，当时，最短，
由旋转可知：，，
连接，
∴是等边三角形，
∴，，
∵等边三角形中，为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，垂线段最短的性质，点N在线段上运动是解题的关键，也是本题的难点．
5．（2024·安徽·模拟预测）如图，矩形中，点在边上，平分，，分别是，的中点，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】根据矩形的性质先证明是等腰直角三角形，求出，，再利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半求出，利用勾股定理求出，进而得到，根据是的中位线，即可求解．
【详解】解：四边形矩形，
∴，，
，
平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是的中点，，
，
，
为的中点，，，
，
在中，，
，
，
，分别为，的中点，
是的中位线，
，
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
6．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在菱形中，，点M和N分别是和上一点，沿将折叠，点A恰好落在边的中点E上．若，则的长为（ ）

A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、角的直角三角形的性质、折叠性质等知识．过点M作于点F．求出．则，．设，则，，，．根据勾股定理，得，即，解得，即可求出的长．
【详解】如图，过点M作于点F．

∵四边形是菱形，
∴
∵，
∴．
∴．
∴，．
设，则，，，．
根据勾股定理，得，即，解得，
∴．
故选：B．
7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）正方形中，E，F分别是的中点，则
【答案】/0.6
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，正确构造直角三角形是解题的关键．
连接，过点于点G，设正方形的边长为，由勾股定理得，，设，则，则由勾股定理得，那么，解得：，再由勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：连接，过点于点G，
设正方形的边长为，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
8．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知角α，β为锐角，，,则
【答案】/45度
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的外角性质，熟练掌握知识点，正确构造直角三角形是解题的关键．
构造如图，使得，过点作交延长线于点D，过点B作于，，，则设，则，再由同角三角函数值相等得到，再解直角三角形即可．
【详解】解：构造如图，使得，过点作交延长线于点D，过点B作于，
∵，
∴，，
则设，
∴由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
9．（2024·安徽合肥·三模）如图，在和中，，，，分别连接，，延长交于．
（1）若，则 ；
（2）连接，若，，则的长为 ．
【答案】 111
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形并熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用证明，根据全等三角形的性质求出，根据等腰直角三角形的性质求出，再根据角的和差求解即可；
（2）过点作，交于，利用证明，根据全等三角形的性质求出，，根据等腰直角三角形的性质求出，再根据线段的和差求解即可．
【详解】解：（1），
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：111；
（2）如图，过点作，交于，
，
．
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
10．（2024·安徽·三模）如图，在矩形中，P，Q为对角线上两点，以为对角线的正方形的顶点E，F分别在边上．
（1）若，，则 ；
（2）若，则的值为 ．（用含n的代数式表示）
【答案】
【分析】（1）连接交于点O，由勾股定理求出，由矩形的性质可得出，，，由正方性质的性质可得出，证明，由相似三角形的性质可得出，进一步即可求出．
（2）由矩形的性质和正方形的性质证得，由全等三角形的性质进一步得出，由相似三角形的性质可得出，设，则，，则．
【详解】解：（1）连接交于点O，
∵，，
∴，
∵是矩形，
∴，，，
∵是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
得，
∴．
（2）∵是矩形，
∴，，
∴，
∵是正方形，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即，
由（1）．
得，
设，则，
∴
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质， 掌握这些判定定理以及性质是解题的关键．
11．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知正方形 中，为 垂直平分线上一点，， 关于直线 对称，和 相交于点，求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）设垂直平分线交于点，交于点，连接，先证明垂直平分，则，，由正方形的性质得，，，证明，再由垂直平分线的性质可得，，证明，则，然后通过角度和差和三角形的内角和定理即可求证；
（）连接，交于点，则有，又，可以得出点以点为圆心，长度为半径的圆上，延长交于点，连接，则，所以，证明点三点共线，然后证明四边形是正方形，最后根据正方形的性质即可求证．
【详解】（1）证明：设垂直平分线交于点，交于点，连接，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，关于直线对称，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
由（）得：，
∴点以点为圆心，长度为半径的圆上，
延长交圆于点，连接，
∴，
∴，
∴为直径，
∴点三点共线，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，正方形的判定与性质，四点共圆，矩形的判定与性质，三角形的内角和定理，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
12．（2024·安徽·三模）如图，中，，于点D，于点E，M为的中点，连接交于点F，连接交于点N．
(1)求证：；
(2)求证：
(3)若，求的值（用含k的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先证明，可得，证明，可得；
（2）证明，，，可得，证明，可得，即可得到结论；
（3）连接交于点G．证明为的垂直平分线，，，可得，求解，可得，再证明，可得结论．
【详解】（1）证明：∵，M为的中点，
∴，
∴
又，，
∴，，
∴，
∴．
（2）证明：∵，，
∴，，
在和中，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即；
（3）解：连接交于点G．
∵，
∴，
∴
又，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∵，，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识并灵活应用是解本题的关键．
13．（2024·安徽合肥·三模）如图，是边长为3的等边三角形，D是的中点，E，F分别在，上，连接，，两线交于点G，连接，，，．
(1)求的长；
(2)求证：；
(3)求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图，连接，根据等边三角形的性质，结合勾股定理可得，则，，再利用勾股定理即可求解；
（2）如图，延长至点，使得，连接，易证，得，则，可知，进而可知，即可证明；
（3）如图，过作的垂线交于N，由可得，由角平分线定理知，进而可得，则，在中，，则．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵是边长为3的等边三角形，则，
∵是的中点，
∴，则，
∵，则，
∴．
（2）证明：如图，延长至点，使得，连接，
∵，
∴，
∴，则，
∴，
又，
∴，
∴．
（3）解：如图，过作的垂线交于N，
则，
∵，
∴，即平分，
令点到，的距离分别为，，点到的距离为，
由角平分线的性质可知，，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴是的中点，
在中，，
则．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
14．（2024·安徽合肥·模拟预测）在正方形中，点E为中点，连接并延长交延长线于点G，点F在上，，连接并延长交延长线于H，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)20．
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
（1）先证明，然后证明≌可得，同理证明≌可得，进而可得四边形AFGH为菱形；
（2）设正方形边长为x，结合（1）可得，，然后根据勾股定理列出方程即可求出x的值，进而可得四边形AFGH的面积．
【详解】（1）证明：四边形ABCD是正方形，
，
，
，
点E为CD中点，
，
，
在和中，
，
≌，
，
同理：≌，
，，
，
四边形AFGH为平行四边形．
，
四边形AFGH为菱形．
（2）解：设，
由知，
，，
在中，根据勾股定理，得，
，
解得，舍去，
，
菱形AFGH的面积为：
15．（2024·安徽六安·模拟预测）在中，是的中位线，是的平分线，与交于点，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)若．
（ⅰ）如图2，求证：；
（ⅱ）如图3，若，其他条件不变，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）由三角形中位线定理得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，，进而根据等边对等角得到，再根据三角形内角和定理证明即可；
（2）（ⅰ）只需要证明，得到，即可证明
（ⅱ）先证明是等腰直角三角形，再证明，推出，则可证明，进而可证明是等腰直角三角形，则．证明，得到，由正切的定义，得．
【详解】（1）证明：是的中位线，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，即．
（2）（ⅰ）证明：由（1）知．
，
，
，
，
又，
，
，
（ⅱ）解：如图，取的中点，连接，过点作交于点，则．
，
是等腰直角三角形，
平分，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
在中，由正切的定义，得．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
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