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专题19 统计与概率
课标要求 考点 考向
1.经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解处理数据的过程;能用计算器处理较为复杂的数据;体会抽样的必要性，通过实例了解简单的随机抽样;通过实例了解频数和频数分布的意义，能画频数分布直方图，能利用频数分布直方图解释数据蕴涵的信息; 2.会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据.理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述;体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差; 3.体会样本与总体的关系，掌握统计量的概念和特点，会通过统计量进行计算，会分析数据. 4.能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能的结果，了解事件的概率;知道通过大量的重复试验，可以利用频率来估计概率. 数据的收集与整理 考向一 统计调查
考向二 统计图
数据分析 考向一 数据的集中趋势
考向二 数据的波动趋势
数据概率 考向一 随机事件与概率
考向二 用列表或树状图求概率
考向三 用频率估计概率
考点一 数据的收集与整理
考向一 统计调查
1．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）下列问题最适合全面调查的是（　　）
A．了解一批冷饮的质量是否合格
B．神舟十七号飞船发射前对飞船仪器设备的检查
C．了解某省初中生每周上网时长情况
D．了解全国七年级学生的视力情况
2．（23-24九年级下·上海·阶段练习）为了解本校初三年级名学生数学学习情况，从一次数学月考测试中抽取位学生的成绩进行调查分析．下列说法正确的是（ ）
A．名学生是总体 B．每名学生是个体
C．名学生是一个样本 D．是样本容量
3．（24-25七年级上·四川成都·期末）下列调查：①对某品牌电脑使用寿命的调查；②对运载火箭的零部件质量的调查；③对某市中小学生喜爱球类运动的情况的调查；④对某批次汽车的抗撞击能力的调查．
其中适合全面调查的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（24-25六年级上·山东泰安·期末）下列调查中，适合抽样调查的是（ ）
A．调查全市初一学生当天作业完成的时长
B．了解“嫦娥五号”探测器的零部件状况
C．企业招聘人员，对应聘人员进行面试
D．了解某校一个班级学生的身高情况
5．（24-25六年级上·山东泰安·期末）人口老龄化是全球热点问题，下图是某机构对2020年年中国老龄化人口预测图，阅读图中数据，下列说法不正确的是（ ）
A．预计年中国60岁以上老年人数量将达到4.83亿人
B．年中国60岁以上老年人数量增长最快
C．预计年中国80岁以上老年人数量增长最快
D．预计年中国80岁以上老年人口数量将超过总人口的
6．（24-25六年级上·山东泰安·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．实验中学调查六年级学生上学的交通方式得到的数据是定性数据
B．为了检测泰安市初中学生的视力情况，可采用抽样调查
C．调查年到年我国新能源汽车增长率变化情况，可用折线统计图
D．为了调查我国黄河以北年全年平均降雨量，可以从河北省和黑龙江省随机抽取个地市进行抽样调查
考向二 统计图
1．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图显示某地连续3天的日最低气温，则能表示这3天日最低气温变化情况的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级上·山东济南·期末）人口老龄化已成为世界性的重要议题．按照国际通行的标准，当一个国家或地区60岁及以上人口达到总人口数的，则意味着这个国家或地区进入老龄化社会，达到为中度老龄化社会，达到为重度老龄化社会．下图展示了2013年至2023年我国60岁及以上人口数量及其占全国总人口比重．下列说法不正确的是（ ）
A．我国2023年尚未进入重度老龄化社会
B．2013年至2023年我国60岁及以上人口数量在逐年递增
C．2022年60岁及以上人口比重比2017年高
D．面对人口老龄化的现状，我国需要不断完善养老服务体系，促进“银发”经济发展
3．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图、这是根据某市年至年的各年工业生产总值绘制而成的折线统计图，则该市工业生产总值比上年增长额最大的年份是 ．
4．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）有若干个数据，最大值是，最小值是，用频数分布表描述这组数据时，若取组距为，则应分为 组．
5．（24-25六年级上·山东烟台·期末）2024年4月23日是第29个世界读书日，今年世界读书日的主题是“阅读改变未来”．为了解栖霞市2000名学生每周课外阅读时间的情况，随机抽查了100名学生的每周课外阅读时间进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），请根据直方图提出一个有用的数据统计信息 ．
6．（24-25九年级上·重庆·开学考试）阅读可以增进人们的知识也能陶冶人们的情操．我们要多阅读，多阅读有营养的书．因此我校对学生的课外阅读时间进行了抽样调查，将收集的数据分成、、、、五组进行整理，整理后的数据如下表（表中信息不完整）．图1和图2是根据整理后的数据绘制的两幅不完整的统计图．
阅读时间分组统计表
组别 阅读时间 人数
A
B 100
C
D 140
E
请结合以上信息解答下列问题：
(1)求的值；
(2)补全图1所对应的统计图；
(3)估计全校课外阅读时间在以下（不含）的学生所占百分比．
7．（24-25九年级上·山西晋中·期末）某校在数学学科月期间，为了促进学生对数学文化知识的了解，全体学生进行了数学文化知识竞赛，测试成绩分为四个等级．现随机抽取部分九年级学生的测试成绩整理并绘制成如下统计图（均不完整）．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图；
(2)估计该校名九年级学生中测试成绩为等级的人数；
(3)学科月还有一项活动——讲数学家的故事，选手通过抽取卡片的形式选取故事的主人公．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成编号为的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，一人从中随机抽取一张，放回洗匀，另一人再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求王明和李梅抽到相同数学家的概率．
8．（22-23九年级上·广东惠州·期中）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有______名，补全条形统计图；
(2)扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______；
(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，用列表或树状图法求甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
9．（24-25八年级上·山东威海·期末）为了解八年级女生体质变化的情况，体育老师本学期从八年级全体女生中随机抽取20名女生进行体质测试，并调取这20名女生上学期的体质测试成绩，对两次成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
①两次测试成绩（百分制）的频数分布直方图如下（数据分组：，，，）：
上学期：80 82 85 85 85 86 88
本学期：80 82 83 86 86 86 88 89
③两个学期样本测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
学期 平均数 中位数 众数
上学期 84 85
本学期
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中的值是____________；
(2)下列关于本学期样本测试成绩的结论：①；②；③成绩的极差可为41；④有可能等于80．其中正确结论的序号是______________；
(3)从两个不同角度分析这20名女生从上学期到本学期体质变化情况．
10．（24-25七年级上·江西吉安·期末）“双减”政策实施后，某校为了解学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在12月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
组别 锻炼时间（分钟） 频数（人） 百分比
A 50
B m
C 40 p
D n

(1)这次调查共抽取了___名学生，表中_____，_____，_____；
(2)求扇形统计图中C组所对应的圆心角的度数；
(3)若该校共有1600名学生，请估计该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有多少人？
11．（24-25七年级上·陕西西安·期末）每年的月日是国家公祭日，某校为了加强学生爱国主义教育，在月上旬开展了以“以国家之名·祭民族之魂”为主题的作文竞赛，以此来激励学生牢记国耻，勿忘国殇，努力学习，振兴中华．现随机选取了部分学生的作文竞赛成绩（单位：分，成绩均不低于分），整理并制作成了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图：
作文竞赛成绩频数分布表
分数段 频数 百分比
作文竞赛成绩频数分布直方图

请根据上述统计图表，解答下列问题：
(1)上表中的_____，______；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若将调查结果按成绩分为优秀（）、良好（）和及格（）三个等级，并以此绘制成扇形统计图，求等级为优秀的部分所在扇形的圆心角度数．
12．（24-25七年级上·陕西西安·期末）某校进行信息技术模拟测试，七（1）班的最高分为99分，最低分为40分，课代表将全班同学的成绩（得分取整数）进行整理后分为6个小组，制成不完整的频数分布直方图，其中在分的学生数占全班学生总数的8%，结合频数分布直方图提供的信息，解答下列问题：
(1)七（1）班共有多少名学生？
(2)补全频数分布直方图；
(3)将全班同学的成绩绘制成扇形统计图，若80分及80分以上为优秀，则优秀人数所在扇形圆心角的度数为多少？
考点二 数据分析
考向一 数据的集中趋势
1．（2024·宁夏·中考真题）某班19名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如下表：
成绩 171及以下 172 173 174 175及以上
人数 3 6 5 3 2
则本次测试成绩的中位数和众数分别是（　　）
A．172和172 B．172和173 C．173和172 D．173和173
2．（2024·江苏徐州·中考真题）铜桐收藏有枚南宋铁钱“庆元通宝”（如图所示），测得它们的质量（单位：）分别为、、、、、、．这组数据的中位数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西·中考真题）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组 7.625 a 7 4.48
乙组 7.625 7 b 0.73 c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．
4．（2024·西藏·中考真题）为了纪念西藏民主改革65周年，弘扬爱国主义精神，学校举办了“感悟历史奇迹，担当时代使命”的历史知识竞赛活动．从七、八年级中各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（单位：分）如下：
七年级：80 96 82 92 89 84 73 90 89 97
八年级：94 82 95 94 85 89 92 79 98 93
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)七年级这10名学生成绩的中位数是________；八年级这10名学生成绩的众数是________；
(2)若成绩90分以上（含90分）定为优秀等次，请估计八年级400名学生中有多少名学生能达到优秀等次；
(3)根据本次竞赛成绩，七、八年级各推荐了两名学生，学校准备再从这四名学生中随机抽取两人参加市级竞赛，请用列表或画树状图的方法求抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率．
5．（2024·山东德州·中考真题）某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图．
册数 四册 五册 六册 七册
人数 6 a 9 7
(1)本次调查的学生人数为________；
(2) ________；
(3)已知该校共有1800名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数________；
(4)学校随后又补查了另外几人读课外书的册数情况，发现这几人读课外书的册数恰好相同．将其与之前的数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为________．
6．（2024·山东日照·中考真题）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表：
单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分
团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低排序
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下：
．甲、乙两班五个单项得分折线图：
．丙班五个单项得分表：
项目 一 二 三 四 五
得分
根据以上信息，回答下列问题：
(1)已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为，，，，，求丙班第二个单项的得分；
(2)若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是_______班；（填“甲”“乙”或“丙”）
(3)获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有，，三种图书可供选择，请用列表或画树状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率
考向二 数据的波动趋势
1．（2024·山东德州·中考真题）甲、乙、丙三名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位:环）如下表所示：
甲
乙
丙
则三名运动员中成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
2．（2024·山东淄博·中考真题）数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（ ）
A．95分， B．96分， C．95分，10 D．96分，10
3．（2024·四川雅安·中考真题）某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（ ）
A．众数是92 B．中位数是
C．平均数是84 D．方差是13
4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从，，，，，这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（ ）
A．小庆选出四个数字的方差等于 B．小铁选出四个数字的方差等于
C．小娜选出四个数字的平均数等于 D．小萌选出四个数字的极差等于
5．（2024·西藏·中考真题）甲、乙、丙三名学生参加仰卧起坐体育项目测试，他们一周测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是 ．
6．（2024·甘肃兰州·中考真题）甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断：
①甲的成绩更稳定；
②乙的平均成绩更高；
③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是 ．（填序号）
7．（2024·山东潍坊·中考真题）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为分、分、分、分和分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
【数据描述】
下图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（）（）．
（）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
（）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数．
【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答问题（）（）．
商家 统计量
中位数 众数 平均数 方差
甲商家
乙商家
（）直接写出表中和的值，并求的值；
（）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
8．（2024·山东泰安·中考真题）某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)
统计量供应商 平均数 中位数 众数
甲 80 80
乙 76
则__________，__________，__________．
(2)苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，__________供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”）
(3)超市规定直径（含）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？
考点三 数据概率
考向一 随机事件与概率
1．（2024·甘肃兰州·中考真题）七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具，现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·宁夏·中考真题）中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力．某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件．
(1)某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件？
(2)中国的天问一号探测器，奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐．该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘（转盘被分为5个大小相同的扇形）．凡顾客在本店购买一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个（指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形）．一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念品的概率是多少？
3．（2024·江苏徐州·中考真题）不透明的袋子中装有2个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别．
(1)甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为______；
(2)甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率．
4．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
5．（2024·江苏南通·中考真题）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．
(1)甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______；
(2)求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．
6．（2024·江苏镇江·中考真题）有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各袋中所装球的总个数相同，这些球除颜色外都相同．实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将记录的数据绘制成如下两种条形统计图：

(1)__________图能更好地反映各组试验的总次数，__________图能更好地反映各组试验摸到红球的频数（填“A”或“B”）；
(2)求实践组摸到黄球的频率；
(3)根据以上两种条形统计图，你还能获得哪些信息（写出一条即可）？
7．（2024·江苏无锡·中考真题）一只不透明的袋子中装有1个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．
(1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是______；
(2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求2次摸到的球颜色不同的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
考向二 用列表或树状图求概率
1．（2024·山东淄博·中考真题）希望中学做了如下表的调查报告（不完整）：
调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程
调查方式 随机问卷调查
调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内）
调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：）是①②③④⑤ （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） A家政 B.烹饪 C.剪纸 D.园艺 E．陶艺
调查结果
结合调查信息，回答下列问题：
(1)参与本次问卷调查的学生人数________名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为________度；
(2)补全周家务劳动时间的频数直方图：
(3)若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数；
(4)小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率．
2．（2024·海南·中考真题）根据以下调查报告解决问题．
调查主题 学校八年级学生视力健康情况
背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据．
调查结果
八年级学生右眼视力领数分布表
右眼视力 频数
3
24
18
12
9
9
15
合计 90
建议：……
（说明：以上仅展示部分报告内容）．
(1)本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）：
(2)视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：，这组数据的中位数是________；
(3)视力低于属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为_______人；
(4)视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率是________；
(5)请为做好近视防控提一条合理的建议．
3．（2024·江苏镇江·中考真题）3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，将卡片的背面朝上．
(1)洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率等于__________；
(2)洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率．
4．（2024·山东东营·中考真题）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：）．调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图；
(2)调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的中位数为_______小时．
(3)学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率．
5．（2024·江苏常州·中考真题）在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
(1)从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________；
(2)甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
6．（2024·四川巴中·中考真题）为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题．
(1)求______，并补全条形统计图．
(2)若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动的学生有多少名？
(3)学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率．
考向三 用频率估计概率
1．（2024·宁夏·中考真题）为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500
成活数 35 134 271 451 631 899 1350
成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900
估计这种幼苗移植成活的概率是 （结果精确到0.1）
2．（2024·江苏扬州·中考真题）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 （精确到0.01）
3．（2024·江苏无锡·中考真题）“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．
【确定调查方式】
（1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是______；（只填序号）
①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本
②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本
③随机抽取100个麦穗的长度作为样本
【整理分析数据】
（2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下：
试验田100个麦穗长度频率分布表
长度 频率
0.04
0.45
0.30
0.09
合计 1
根据以上图表信息，解答下列问题：
①频率分布表中的______；
②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
【作出合理估计】
（3）请你估计长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为多少．
4．（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．
(1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．
(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
一、单选题
1．（2024·安徽宿州·模拟预测）若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到A的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽·模拟预测）下列说法中正确的是（ ）
A．了解一批日光灯的使用寿命适宜采用抽样调查
B．“打开电视，正在播放沈视早报”是必然事件
C．数据，，，，的众数是
D．一组数据的波动越大，方差越小
3．（2024·安徽合肥·三模）新趋势 跨学科问题 生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因控制的．如人的眼皮性状由常染色体的一对基因控制，双眼皮由显性基因A控制，单眼皮由隐性基因a控制．当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮；当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．父母分别将他们一对基因中的一个等可能地遗传给子女．若父母都是双眼皮，且他们的基因都是，则他们的子女是双眼皮的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安徽六安·模拟预测）小明向不透明的袋子中装入1个红色弹珠和1个黄色弹珠，这两个弹珠除颜色外都相同，小明从口袋中任意摸出1个弹珠，记录颜色后放回、搅匀，这样连续共计摸3次．则3次摸到的弹珠颜色都是红色的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·安徽·模拟预测）从，，这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和，则一次函数图象经过第二象限的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·安徽合肥·三模）在物理课上，同学们学习了“电学”知识之后，便可以设计一些简单的电路图．如图，小明设计了一个包含甲乙两个开关组的电路图，如果在甲乙这两个开关组中各闭合一个开关，那么小灯泡发亮的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·安徽六安·模拟预测）如图是甲、乙两人手中的扑克牌，两人同时随机各出一张牌，则他们所出的牌中的数字相差1的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2024·安徽合肥·三模）青年创意田园里的小火车共有3节车厢，且从任意一节车厢上车的机会均等，研学游期间团小瑶、团小海两位同学同时乘坐同一列小火车，则这两位同学从同一节车厢上车的概率是 ．
9．（2024·安徽蚌埠·二模）在一个不透明的袋子里有1个红球、2个白球和2个黑球，从袋子中随机摸出2个球，则这2个球一红一白的概率为 ．
10．（2024·安徽淮北·模拟预测）若2，3，6，这五个数据的方差是3，则4，5，8，这五个数据的方差是 ．
11．（2017·上海·一模）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ．
三、解答题
12．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）“学科素养”展示活动中，某区教体局决定在甲、乙两校举行“学科素养”测试，为此甲、乙两学校都选派相同人数的选手参加，比赛结束后，发现每名参赛选手的成绩都是70分，80分，90分，100分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两校的选手获得100分的人数也相等，现根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整统计图∶
(1)甲校选手所得分数的中位数是 ，乙校选手所得分数的众数是 ；
(2)请直接在上图中补全条形统计图；
(3)比赛后，教体局决定集中甲、乙两校获得100分的选手进行培训，培训后，从中随机选取两位选手参加市里的决赛，求所选两位选手来自同一学校的概率．
13．（2024·安徽·模拟预测）教育部正式印发《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，劳动课成为中小学的一门独立课程，某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：
收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）
1 5 4 1 a 3 2 b 3 4
整理数据：
时间
人数 3 6
分析数据：
统计量 平均数 中位数 众数
数据 3.2 3 3
请结合以上信息回答下列问题：
(1)________，并补全频数直方图；
(2)数据统计完成后，小明发现有两个数据，不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若，则________，________．
(3)根据调查结果，请估计该校1000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数．
14．（2024·安徽·模拟预测）为落实中共中央办公厅、国务院《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某校体育工作小组随机调查了该校20名八年级男生引体向上个数，并对数据进行统计分析，过程如下：
收集数据：引体向上（单位：个）
2 5 3 5 4 6 1 5 4
3 6 7 5 3 4 7 3 4
分析数据：
统计量 平均数 众数
数据 4.4 3
请结合以上信息回答下列问题：
(1)数据统计完成后，工作小组发现有两个数据不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若，分别求出和；
(2)某同学说：“我的成绩在班级排中等，所以我的成绩一定达到平均数”以本次统计结果为样本分析，他的说法正确吗？请说明理由；
(3)该校共有2000名学生，其中八年级男生占比为，根据国家中小学体育测评评分标准，八年级男生引体向上达到5个为及格分．根据调查结果，请估计该校八年级男生引体向上及格的人数，并给该校体育工作小组提一条合理的建议．
15．（2024·安徽·模拟预测）某校为了解初三年级的近视情况，在初三年级随机抽取五个班级的学生进行调查，统计结果如表所示：
所抽取的班级 班级 班级 班级 班级 班级
总学生数
近视学生数
(1)在这五个班级随机抽取一名学生，求抽中近视学生的概率；
(2)该校初三年级共有学生人，估计该校初三年级近视的学生数．
16．（2024·安徽·模拟预测）我校进行垃圾分类已经实施两年有余，某课外活动小组对全校师生开展垃圾分类实施成果问卷调查活动，将调查结果分析整理后，制成了下面的两个统计图．
其中：：能将垃圾放到规定的地方，而且还会考虑垃圾的分类．：能将垃圾放到规定的地方，但不会考虑到垃圾的分类．：偶尔会将垃圾放到规定的地方．：随手乱扔垃圾．
根据以上信息回答下列问题：
(1)该校课外活动小组共调查了多少人？
(2)我校共有师生人，那么随手乱扔垃圾的约有多少人？你是这类人吗？
17．（2024·安徽六安·模拟预测）某校为弘扬中华优秀传统文化，在八、九年级各抽取5名同学开展传统文化知识竞赛．两班参赛选手成绩（满分为分）如图所示：
(1)根据统计图所给的信息填空：
班级 平均数 中位数 众数
八年级 85 85 c
九年级 a b 100
________，________，________；
(2)若八年级又有一名学生参赛，考试成绩是80分，则八年级这6名选手成绩的平均数与原5名选手成绩的平均数相比会怎样变化？请说明理由；
(3)计算两个年级参赛选手成绩的方差，并判断哪个年级代表队选手的成绩较为稳定？
18．（2024·安徽·模拟预测）为了解学生“校园安全”知识的掌握情况，学校随机抽样调查了部分学生的“校园安全”知识测试成绩作为样本，根据收集到的信息绘制了两幅不完整的统计图（如图）．
请根据统计图中所提供的信息，解答下列问题：
(1)样本容量是_________，扇形统计图中“A组”所对应扇形的圆心角的度数为______；
(2)请补全“校园安全”知识测试成绩条形统计图，并判断“校园安全”知识测试成绩的中位数在哪一组；
(3)学校准备从“D组”中获得满分的3名女生和2名男生中随机抽取2人参加市级“校园安全”知识竞赛，请用画树状图法或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题19 统计与概率
课标要求 考点 考向
1.经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解处理数据的过程;能用计算器处理较为复杂的数据;体会抽样的必要性，通过实例了解简单的随机抽样;通过实例了解频数和频数分布的意义，能画频数分布直方图，能利用频数分布直方图解释数据蕴涵的信息; 2.会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据.理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述;体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差; 3.体会样本与总体的关系，掌握统计量的概念和特点，会通过统计量进行计算，会分析数据. 4.能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能的结果，了解事件的概率;知道通过大量的重复试验，可以利用频率来估计概率. 数据的收集与整理 考向一 统计调查
考向二 统计图
数据分析 考向一 数据的集中趋势
考向二 数据的波动趋势
数据概率 考向一 随机事件与概率
考向二 用列表或树状图求概率
考向三 用频率估计概率
考点一 数据的收集与整理
考向一 统计调查
1．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）下列问题最适合全面调查的是（　　）
A．了解一批冷饮的质量是否合格
B．神舟十七号飞船发射前对飞船仪器设备的检查
C．了解某省初中生每周上网时长情况
D．了解全国七年级学生的视力情况
【答案】B
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．适合普查的方式一般有以下几种：①范围较小；②容易掌控；③不具有破坏性；④可操作性较强，据此逐一进行判断即可得到答案．
【详解】解：A、了解一批冷饮的质量是否合格，适合抽样调查，不符合题意；
B、神舟十七号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，适合全面调查，符合题意；
C、了解某省初中生每周上网时长情况，适合抽样调查，不符合题意；
D、了解全国七年级学生的视力情况，适合抽样调查，不符合题意；
故选：B．
2．（23-24九年级下·上海·阶段练习）为了解本校初三年级名学生数学学习情况，从一次数学月考测试中抽取位学生的成绩进行调查分析．下列说法正确的是（ ）
A．名学生是总体 B．每名学生是个体
C．名学生是一个样本 D．是样本容量
【答案】D
【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题的关键是要明确考查的对象；
要分清具体问题中的总体、个体与样本，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
【详解】解：A、名学生的数学成绩是总体，不符合题意；
B、每名学生的数学成绩是个体，不符合题意；
C、名学生的数学成绩是一个样本，不符合题意；
D、是样本容量，符合题意；
故选：D
3．（24-25七年级上·四川成都·期末）下列调查：①对某品牌电脑使用寿命的调查；②对运载火箭的零部件质量的调查；③对某市中小学生喜爱球类运动的情况的调查；④对某批次汽车的抗撞击能力的调查．
其中适合全面调查的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的意义是解题的关键．根据全面调查与抽样调查的意义，对题目的调查逐个分析判断即可解答．
【详解】解：①对某品牌电脑使用寿命的调查，适合抽样调查；
②对运载火箭的零部件质量的调查，适合全面调查；
③对某市中小学生喜爱球类运动的情况的调查，适合抽样调查；
④对某批次汽车的抗撞击能力的调查，适合抽样调查；
综上所述，适合全面调查的是②．
故选：B．
4．（24-25六年级上·山东泰安·期末）下列调查中，适合抽样调查的是（ ）
A．调查全市初一学生当天作业完成的时长
B．了解“嫦娥五号”探测器的零部件状况
C．企业招聘人员，对应聘人员进行面试
D．了解某校一个班级学生的身高情况
【答案】A
【分析】本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别，根据实际需要灵活选择普查还是抽样调查是解题的关键．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断即可．
【详解】解：A、调查全市初一学生当天作业完成的时长，人数众多，范围广，应采用抽样调查，符合题意；
B. 了解“嫦娥五号”探测器的零部件状况，涉及安全性，事关重大，应采用全面调查，不符合题意；
C、企业招聘人员，对应聘人员进行面试,人数较少且有筛选作用，应采用全面调查，不符合题意；
D、了解某校一个班级学生的身高情况，人数较少且关注每一个个体，应采用全面调查，不符合题意．
故选A．
5．（24-25六年级上·山东泰安·期末）人口老龄化是全球热点问题，下图是某机构对2020年年中国老龄化人口预测图，阅读图中数据，下列说法不正确的是（ ）
A．预计年中国60岁以上老年人数量将达到4.83亿人
B．年中国60岁以上老年人数量增长最快
C．预计年中国80岁以上老年人数量增长最快
D．预计年中国80岁以上老年人口数量将超过总人口的
【答案】D
【分析】此题考查了条形统计图，根据从条形统计图获取的信息进行判断即可．
【详解】解：A. 预计年中国60岁以上老年人数量将达到4.83亿人，故选项正确，不符合题意；
B. 年中国60岁以上老年人数量增长最快，故选项正确，不符合题意；
C. 预计年中国80岁以上老年人数量增长最快，故选项正确，不符合题意；
D. 无法预计年中国80岁以上老年人口数量将超过总人口的，故选项错误，符合题意；
故选：D．
6．（24-25六年级上·山东泰安·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．实验中学调查六年级学生上学的交通方式得到的数据是定性数据
B．为了检测泰安市初中学生的视力情况，可采用抽样调查
C．调查年到年我国新能源汽车增长率变化情况，可用折线统计图
D．为了调查我国黄河以北年全年平均降雨量，可以从河北省和黑龙江省随机抽取个地市进行抽样调查
【答案】D
【分析】根据定性数据的定义、抽样调查和全面调查的选择、统计图的选择对选项进行逐一判断即可．
【详解】解：．实验中学调查六年级学生上学的交通方式得到的数据是定性数据，说法正确，不符合题意，选项错误；
．为了检测泰安市初中学生的视力情况，可采用抽样调查，说法正确，不符合题意，选项错误；
．调查年到年我国新能源汽车增长率变化情况，可用折线统计图，说法正确，不符合题意，选项错误；
．为了调查我国黄河以北年全年平均降雨量，可以从河北省和黑龙江省随机抽取个地市进行抽样调查，说法错误，应采用全面调查，符合题意，选项正确．
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是定性数据的定义、抽样调查和全面调查的选择、统计图的选择，解题关键是熟练掌握相关定义．
考向二 统计图
1．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图显示某地连续3天的日最低气温，则能表示这3天日最低气温变化情况的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法是解题的关键．将连续三天气温进行比较大小，观察变化情况即可求解．
【详解】解：由连续三天气温可知，
∴气温从上升到，再上升到，
故选：A．
2．（24-25七年级上·山东济南·期末）人口老龄化已成为世界性的重要议题．按照国际通行的标准，当一个国家或地区60岁及以上人口达到总人口数的，则意味着这个国家或地区进入老龄化社会，达到为中度老龄化社会，达到为重度老龄化社会．下图展示了2013年至2023年我国60岁及以上人口数量及其占全国总人口比重．下列说法不正确的是（ ）
A．我国2023年尚未进入重度老龄化社会
B．2013年至2023年我国60岁及以上人口数量在逐年递增
C．2022年60岁及以上人口比重比2017年高
D．面对人口老龄化的现状，我国需要不断完善养老服务体系，促进“银发”经济发展
【答案】C
【分析】本题考查了折线统计图与条形统计图，根据统计图逐项分析判断，即可求解．
【详解】A. 我国2023年60岁及以上人口比例为，未达到，尚未进入重度老龄化社会，故该选项正确，不符合题意；
B. 2013年至2023年我国60岁及以上人口数量在逐年递增，故该选项正确，不符合题意；
C. 2022年60岁及以上人口比重比2017年高，故该选项不正确，符合题意；
D. 面对人口老龄化的现状，我国需要不断完善养老服务体系，促进“银发”经济发展，故该选项正确，不符合题意；
故选：C．
3．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图、这是根据某市年至年的各年工业生产总值绘制而成的折线统计图，则该市工业生产总值比上年增长额最大的年份是 ．
【答案】2024年
【分析】本题考查了折线统计图，读懂折线统计图的信息是解题的关键．折线统计图中折线越陡说明增长的幅度越大，从图中看出2024年的折线最陡，所以增长额最大，即可得出答案．
【详解】解：由折线统计图可得，该市工业生产总值比上年增长额最大的年份是2024年．
故答案为：2024年．
4．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）有若干个数据，最大值是，最小值是，用频数分布表描述这组数据时，若取组距为，则应分为 组．
【答案】9
【分析】本题考查频数分布表中组数的确定，解题的关键是掌握组数的计算方法，即组数=（最大值最小值）÷组距，结果需用进一法取整．
先计算最大值与最小值的差，再除以组距得到商，最后用进一法取整得出组数．
【详解】解：∵，
∴取组距为4，则应分为组，
故答案为9．
5．（24-25六年级上·山东烟台·期末）2024年4月23日是第29个世界读书日，今年世界读书日的主题是“阅读改变未来”．为了解栖霞市2000名学生每周课外阅读时间的情况，随机抽查了100名学生的每周课外阅读时间进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），请根据直方图提出一个有用的数据统计信息 ．
【答案】抽取的学生中，每周的课外阅读时间在6 8小时之间的学生人数最多（答案不唯一）
【分析】本题考查总体、样本、以及频数分布直方图的相关信息．根据总体、样本的定义以及频数分布直方图的信息解题即可．
【详解】解：根据直方图可得：抽取的学生中，每周的课外阅读时间在6 8小时之间的学生人数最多；
故答案为：抽取的学生中，每周的课外阅读时间在6 8小时之间的学生人数最多（答案不唯一）．
6．（24-25九年级上·重庆·开学考试）阅读可以增进人们的知识也能陶冶人们的情操．我们要多阅读，多阅读有营养的书．因此我校对学生的课外阅读时间进行了抽样调查，将收集的数据分成、、、、五组进行整理，整理后的数据如下表（表中信息不完整）．图1和图2是根据整理后的数据绘制的两幅不完整的统计图．
阅读时间分组统计表
组别 阅读时间 人数
A
B 100
C
D 140
E
请结合以上信息解答下列问题：
(1)求的值；
(2)补全图1所对应的统计图；
(3)估计全校课外阅读时间在以下（不含）的学生所占百分比．
【答案】(1)，，
(2)见解析
(3)
【分析】此题主要考查统计调查的应用．
（1）根据D组的人数及占比可求出调查的总人数，再根据C，E组的占比求出对应的人数，再用总人数减去各组人数即可求出a；
（2）根据所求的数值即可补全统计图；
（3）根据题意可知在以下（不含）的学生所占百分比为，故可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，调查的总人数为，
∴，，
则；
（2）解：补全图形如下：
（3）解：由（1）可知，
答：估计全校课外阅读时间在以下的学生所占百分比为．
7．（24-25九年级上·山西晋中·期末）某校在数学学科月期间，为了促进学生对数学文化知识的了解，全体学生进行了数学文化知识竞赛，测试成绩分为四个等级．现随机抽取部分九年级学生的测试成绩整理并绘制成如下统计图（均不完整）．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图；
(2)估计该校名九年级学生中测试成绩为等级的人数；
(3)学科月还有一项活动——讲数学家的故事，选手通过抽取卡片的形式选取故事的主人公．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成编号为的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，一人从中随机抽取一张，放回洗匀，另一人再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求王明和李梅抽到相同数学家的概率．
【答案】(1)补图见解析
(2)名
(3)
【分析】（）用等级人数除以其百分比求出总人数，进而求出等级的学生人数，即可补全条形统计图；
（）用乘以等级的人数的人数占比即可；
（）列出表格，根据表格解答即可求解；
本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴抽取了名九年级学生，
∴测试成绩分为等级的学生人数为名，
∴补全条形统计图如下：
（2）解：，
答：估计该校名九年级学生中测试成绩为等级的人数为名；
（3）解：列表如下：
王明李梅
由表格可知，共有种等结果，其中王明和李梅抽到相同数学家的结果有种，
∴王明和李梅抽到相同数学家的概率为．
8．（22-23九年级上·广东惠州·期中）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有______名，补全条形统计图；
(2)扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______；
(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，用列表或树状图法求甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
【答案】(1)100，见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数：求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可；
（2）用选择羽毛球的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360度即可；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得本次被调查的学生人数（人），
喜爱足球的人数为：（人），
条形图如图所示，
；
（2）解：“羽毛球”人数所占比例为：，
所以，扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数，
（3）解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下：
∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，
∴P（甲、乙两人被选中）．
9．（24-25八年级上·山东威海·期末）为了解八年级女生体质变化的情况，体育老师本学期从八年级全体女生中随机抽取20名女生进行体质测试，并调取这20名女生上学期的体质测试成绩，对两次成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
①两次测试成绩（百分制）的频数分布直方图如下（数据分组：，，，）：
上学期：80 82 85 85 85 86 88
本学期：80 82 83 86 86 86 88 89
③两个学期样本测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
学期 平均数 中位数 众数
上学期 84 85
本学期
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中的值是____________；
(2)下列关于本学期样本测试成绩的结论：①；②；③成绩的极差可为41；④有可能等于80．其中正确结论的序号是______________；
(3)从两个不同角度分析这20名女生从上学期到本学期体质变化情况．
【答案】(1)
(2)①
(3)见解析
【分析】（1）根据所给数据和直方图、中位数的定义即可得；
（2）分别根据平均数、中位数、众数、极差的定义逐个判断即可得；
（3）从中位数、频数分布直方图的角度分析即可得．
【详解】（1）解：由中位数的定义得：上学期样本测试成绩按从小到大的顺序排序后，第10个数和第11个数的平均数为其中位数，
则；
（2）解：由中位数的定义得：本学期样本测试成绩按从小到大的顺序排序后，第10个数和第11个数的平均数为其中位数，
则，结论①正确，
由本学期测试成绩频数分布直方图可知，的人数为2人，的人数为4人，的人数为8人，的人数为6人，
成绩在的这部分数据中，86出现的次数最多，为3次，但在区间的成绩，有可能某个成绩的次数不少于3次，在区间的成绩，有可能某个成绩的次数不少于3次，则不一定等于86，即结论②错误，
由极差的定义得：本学期样本测试成绩的极差的最大值为，
则测试成绩的极差不可能为41，即结论③错误，
设的成绩和为，的成绩和为，的成绩和为，的成绩和为，
则，，，
即，，，
，
则，
由平均数的公式得：，
则，
即，
因此，没有可能等于80，即结论④错误，
综上，正确结论的序号是①，
故答案为：①；
（3）解：从中位数上看，由上学期的分到本学期的86分，表明一半以上的女生体质情况有较大提升，
从成绩达到80分的女生数上看，本学期的人数为，上学期的人数为，即本学期比上学期增加3人，且90分以上的多2人，表明体质训练有效果．
【点睛】本题考查了频数分布直方图，众数、中位数、平均数、极差等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
10．（24-25七年级上·江西吉安·期末）“双减”政策实施后，某校为了解学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在12月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
组别 锻炼时间（分钟） 频数（人） 百分比
A 50
B m
C 40 p
D n

(1)这次调查共抽取了___名学生，表中_____，_____，_____；
(2)求扇形统计图中C组所对应的圆心角的度数；
(3)若该校共有1600名学生，请估计该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有多少人？
【答案】(1)，，，；
(2)
(3)人
【分析】本题考查了统计表，扇形统计图圆心角的计算，样本估计总体等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）、根据统计表用A组人数除以其所占的百分比计算出参与调查的总人数，进而求出m，n，p的值即可，；
（2）先求出C组所占的百分比，再用C组所占的百分比乘以即可求解；
（3）先算出样本中每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生所占百分比，再乘以全校人数即可求得．
【详解】（1）解：这次调查共抽取了（人），
∴，
，
故答案为：200，80
（2）解：C组所占的百分比为： ；
∴C组所对应的圆心角为： ，
故答案为：
（3）解：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有：（人）．
11．（24-25七年级上·陕西西安·期末）每年的月日是国家公祭日，某校为了加强学生爱国主义教育，在月上旬开展了以“以国家之名·祭民族之魂”为主题的作文竞赛，以此来激励学生牢记国耻，勿忘国殇，努力学习，振兴中华．现随机选取了部分学生的作文竞赛成绩（单位：分，成绩均不低于分），整理并制作成了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图：
作文竞赛成绩频数分布表
分数段 频数 百分比
作文竞赛成绩频数分布直方图

请根据上述统计图表，解答下列问题：
(1)上表中的_____，______；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若将调查结果按成绩分为优秀（）、良好（）和及格（）三个等级，并以此绘制成扇形统计图，求等级为优秀的部分所在扇形的圆心角度数．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了频数分布直方图表，求扇形统计图的圆心角，解题的关键是数形结合．
（1）用“”减去其它三个分数段的百分比即可求出，再求出总人数，最后用总人数乘以可求出；
（2）根据（1）中的值和频数分布直方表中的数据，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）利用乘以优秀（）的百分比即可．
【详解】（1）解：，
抽取的总数为：（人），
，
故 答 案为：，；
（2）补全频数分布直方图如下：

（3），
等级为优秀的部分所在扇形的圆心角度数为．
12．（24-25七年级上·陕西西安·期末）某校进行信息技术模拟测试，七（1）班的最高分为99分，最低分为40分，课代表将全班同学的成绩（得分取整数）进行整理后分为6个小组，制成不完整的频数分布直方图，其中在分的学生数占全班学生总数的8%，结合频数分布直方图提供的信息，解答下列问题：
(1)七（1）班共有多少名学生？
(2)补全频数分布直方图；
(3)将全班同学的成绩绘制成扇形统计图，若80分及80分以上为优秀，则优秀人数所在扇形圆心角的度数为多少？
【答案】(1)50名学生
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用表格中的数据，求出所求问题的答案．
（1）由分的学生数及其所占百分比可得答案；
（2）求出的人数即可补全图形；
（3）用乘以优秀人数所占比例即可．
【详解】（1）（人），
答：七（1）班共有50名学生；
（2）的人数为（人），
补全图形如下：
（3）
答：优秀人数所在扇形圆心角的度数为．
考点二 数据分析
考向一 数据的集中趋势
1．（2024·宁夏·中考真题）某班19名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如下表：
成绩 171及以下 172 173 174 175及以上
人数 3 6 5 3 2
则本次测试成绩的中位数和众数分别是（　　）
A．172和172 B．172和173 C．173和172 D．173和173
【答案】C
【分析】本题考查中位数和众数的概念．找中位数要把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数或中间两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，众数可以不止一个．
【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是173，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是；
在这组数据中172是出现次数最多的，
故众数是172；
故选：C．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）铜桐收藏有枚南宋铁钱“庆元通宝”（如图所示），测得它们的质量（单位：）分别为、、、、、、．这组数据的中位数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中位数，解题的关键是根据数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．将数据从小到大重新排列，再根据中位数的概念求解即可．
【详解】解：将这组数据重新排列得：，，，，，，，
∵数据有奇数个，最中间的数据为：，
∴这组数据的中位数为．
故选：B．
3．（2024·山西·中考真题）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组 7.625 a 7 4.48
乙组 7.625 7 b 0.73 c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．
【答案】(1)7.5，7，
(2)见解析
【分析】本题考查的是方差，加权平均数，中位数和众数．
（1）根据中位数，众数和优秀率的定义和计算公式计算即可；
（2）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
（分），
（分），
，
故答案为：7.5，7，；
（2）解：小祺的观点比较片面．
理由不唯一，例如：
①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率，
∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；
②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面．
4．（2024·西藏·中考真题）为了纪念西藏民主改革65周年，弘扬爱国主义精神，学校举办了“感悟历史奇迹，担当时代使命”的历史知识竞赛活动．从七、八年级中各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（单位：分）如下：
七年级：80 96 82 92 89 84 73 90 89 97
八年级：94 82 95 94 85 89 92 79 98 93
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)七年级这10名学生成绩的中位数是________；八年级这10名学生成绩的众数是________；
(2)若成绩90分以上（含90分）定为优秀等次，请估计八年级400名学生中有多少名学生能达到优秀等次；
(3)根据本次竞赛成绩，七、八年级各推荐了两名学生，学校准备再从这四名学生中随机抽取两人参加市级竞赛，请用列表或画树状图的方法求抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率．
【答案】(1)；94
(2)估计八年级400名学生中有名学生能达到优秀等次
(3)
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）用总人数乘以样本中优秀等次人数所占比例即可得解；
（3）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：将七年级这10名学生成绩按从小到大排列为：73，80，82，84，89，89，90，92，96，97，处在中间的两个数为89，89，故中位数为；
八年级这10名学生成绩出现次数最多的是94，故中位数为94；
（2）解：（名），
故估计八年级400名学生中有名学生能达到优秀等次；
（3）解：令七年级的两名学生为、，八年级的两名学生为、，
列表得：
由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中抽到一名七年级学生和一名八年级学生的情况有种，
故抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率为．
【点睛】本题考查了中位数、众数、由样本估计总体、列表法或画树状图求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
5．（2024·山东德州·中考真题）某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图．
册数 四册 五册 六册 七册
人数 6 a 9 7
(1)本次调查的学生人数为________；
(2) ________；
(3)已知该校共有1800名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数________；
(4)学校随后又补查了另外几人读课外书的册数情况，发现这几人读课外书的册数恰好相同．将其与之前的数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为________．
【答案】(1)36
(2)14
(3)300
(4)6
【分析】本题考查了扇形统计图、用样本估计总体、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）用总人数分别减去读书为4册、6册和7册的人数得到读书5册的人数；
（3）用样本估计总体即可；
（4）根据原来的众数是读书册数为5册，且读课外书为5册的人数为14人，根据读课外书册数为6册的人数为9人，与读书册数为5册的人数最接近，再根据补查后众数发生改变，从而得到最少补查的人数．
【详解】（1）解：本次调查的学生人数为：
（人）；
（2）解：；
（3）解：该校本学期读四册课外书的学生人数约为：
（人）；
（4）解：∵补查前读课外书册数最多的是五册，
∴补查前读课外书册数的众数为5，
∵补查的几人读课外书的册数恰好相同，且补查后读课外书册数的众数变成了另外一个数，
∴补查的人数最少为（人）．
6．（2024·山东日照·中考真题）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表：
单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分
团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低排序
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下：
．甲、乙两班五个单项得分折线图：
．丙班五个单项得分表：
项目 一 二 三 四 五
得分
根据以上信息，回答下列问题：
(1)已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为，，，，，求丙班第二个单项的得分；
(2)若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是_______班；（填“甲”“乙”或“丙”）
(3)获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有，，三种图书可供选择，请用列表或画树状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率
【答案】(1)；
(2)乙；
(3)．
【分析】本题主要考查数据统计与整理的相关知识，掌握平均数，方差的计算方法、概率的计算方法等知识的运用是解题的关键．
（）根据平均数的计算方法即可求解；
（）根据方差的计算即可求解；
（）列表或或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：由题意得去掉一个最高分分，去掉一个最低分分，
则；
（2）解：甲班平均分：，
则，
乙班平均分：，
则，
丙班平均分：，
由
所以，整体发挥较好的是甲班和乙班，
∵
∴乙整体发挥稳定性最好，
故答案为：乙；
（3）列表如下．
第二名 第一名
由列表可以看出，所有等可能出现的结果共有种，
∴（选择同一套图书）．
考向二 数据的波动趋势
1．（2024·山东德州·中考真题）甲、乙、丙三名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位:环）如下表所示：
甲
乙
丙
则三名运动员中成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查通过方差判断数据的稳定性，计算3名运动员测试成绩的方差，根据“方差越小，数据的波动越小，方差越大，数据的波动越大”即可解答．
【详解】解：甲的平均数为
方差；
乙的平均数为
方差；
丙的平均数为
方差；
∴
∴甲的成绩最稳定．
故选：A．
2．（2024·山东淄博·中考真题）数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（ ）
A．95分， B．96分， C．95分，10 D．96分，10
【答案】D
【分析】本题考查折线图，求平均数和方差，根据平均数和方差的计算方法，进行计算即可．
【详解】解：平均数为：（分）；
方差为：；
故选D．
3．（2024·四川雅安·中考真题）某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（ ）
A．众数是92 B．中位数是
C．平均数是84 D．方差是13
【答案】D
【分析】此题考查了方差，算术平均数，中位数，以及众数，熟练掌握各自的计算方法是解本题的关键．
找出这组数据中出现次数最多的即为众数，这组数据排列后找出最中间的两个数求出平均数即为中位数，求出这组数据的平均数，利用方差公式求出方差，判断即可．
【详解】解：排列得：，
出现次数最多是82，即众数为82；
最中间的两个数为83和85，即中位数为84；
，即平均数为85；
，即方差为13．
故选：D．
4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从，，，，，这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（ ）
A．小庆选出四个数字的方差等于 B．小铁选出四个数字的方差等于
C．小娜选出四个数字的平均数等于 D．小萌选出四个数字的极差等于
【答案】A
【分析】本题考查了方差，平均数，极差的定义，掌握相关的知识是解题的关键．根据方差，平均数，极差的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、假设选出的数据没有，则选出的数据为，，，时，方差最大，此时，方差为；当数据为，，，时，，，故该选项符合题意；
B、当该同学选出的四个数字为，，，时，，，故该选项不符合题意；
C、当该同学选出的四个数字为，，，时，，故该选项不符合题意；
D、当选出的数据为，，，或，，，时，极差也是，故该选项不符合题意；
故选：A．
5．（2024·西藏·中考真题）甲、乙、丙三名学生参加仰卧起坐体育项目测试，他们一周测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是 ．
【答案】丙
【分析】本题考查方差，掌握方差越小越稳定是解题的关键．
先比较甲、乙、丙的方差的大小，再找出方差最小的学生即可．
【详解】解：∵，，．
∴，
∴成绩最稳定的学生是丙，
故答案为：丙．
6．（2024·甘肃兰州·中考真题）甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断：
①甲的成绩更稳定；
②乙的平均成绩更高；
③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①②/②①
【分析】本题考查了平均数、方差的意义．解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差、平均数的意义进行判断即可求出答案．
【详解】解：根据图象可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定，故①正确；根据图象可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高，故②正确；如果每人再射击一次，但乙的成绩不一定比甲高，只能是可能性较大，因为乙的平均成绩更高，但是波动较大，故③错误．
故答案为：①②．
7．（2024·山东潍坊·中考真题）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为分、分、分、分和分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
【数据描述】
下图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（）（）．
（）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
（）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数．
【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答问题（）（）．
商家 统计量
中位数 众数 平均数 方差
甲商家
乙商家
（）直接写出表中和的值，并求的值；
（）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
【答案】（）平台从甲商家抽取了个评价分值，从乙商家抽取了个评价分值，补图见解析；（）；（），，；（）小亮应该选择乙商家，理由见解析．
【分析】（）分别用分的评价分值个数除以其百分比即可求出从甲、乙两个商家各抽取的评价分值个数，进而求出甲、乙商家分的评价分值个数，即可补全条形统计图；
（）用乘以甲商家分的占比即可求解；
（）根据中位数、众数和加权平均数的定义计算即可求解；
（）根据中位数、众数、平均数和方差即可判断求解；
本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数和方差，看懂统计图是解题的关键．
【详解】解：（）由题意可得，平台从甲商家抽取了个评价分值，
从乙商家抽取了个评价分值，
∴甲商家分的评价分值个数为个，
乙商家分的评价分值个数为个，
补全条形统计图如下：
（）；
（）∵甲商家共有个数据，
∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第位和第位数的平均数，
∴，
由条形统计图可知，乙商家分的个数最多，
∴众数，
乙商家平均数；
（）小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近，
∴小亮应该选择乙商家．
8．（2024·山东泰安·中考真题）某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)
统计量供应商 平均数 中位数 众数
甲 80 80
乙 76
则__________，__________，__________．
(2)苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，__________供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”）
(3)超市规定直径（含）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？
【答案】(1)80，，
(2)甲
(3)600
【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体等知识点，掌握相关统计量的计算方法是解答本题的关键．
（1）分别根据算术平均数，中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据方差的意义解答即可；
（3）利用样本估计总体，即用2000乘样本中直径（含）以上所占比例即可．
【详解】（1）解：由题意得：；
把乙的10个苹果的直径从小到大排列，排在中间的两个数分别是79，80，故中位数；
甲10个苹果的直径中，83出现的次数最多，故众数．
故答案为：80，，．
（2）解：甲的方差为：
；
乙的方差为：
，
因为，
所以甲供应商供应的苹果大小更为整齐．
故答案为：甲．
（3）解：（个）．
答：大果约有600个．
考点三 数据概率
考向一 随机事件与概率
1．（2024·甘肃兰州·中考真题）七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具，现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，分析可知6个益智玩具中有1个七巧板，根据概率公式计算即可．
【详解】解：∵一共6个盒子里面有6个益智玩具，6个益智玩具中有1个七巧板，
∴从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是：，
故选：D．
2．（2024·宁夏·中考真题）中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力．某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件．
(1)某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件？
(2)中国的天问一号探测器，奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐．该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘（转盘被分为5个大小相同的扇形）．凡顾客在本店购买一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个（指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形）．一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念品的概率是多少？
【答案】(1)该店销售扎染3件，刺绣2件
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及概率公式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）设扎染工艺品销售扎染x件，刺绣工艺品销售y件，根据某天这两种工艺品的销售额为1175元，列出二元一次方程，求出正整数解即可；
（2）直接由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：设销售扎染件，刺绣件．
根据题意得，．
∴．
∵均为非负整数．
∴当时，（舍去）；
当时，（舍去）；
当时，；
当时，（舍去）．
答：该店销售扎染3件，刺绣2件．
（2）解：转动一次转盘所有等可能结果共5种，指针指向有纪念品的扇形（记为事件）的结果有3种，
所以，．
答：该顾客获得纪念品的概率是．
3．（2024·江苏徐州·中考真题）不透明的袋子中装有2个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别．
(1)甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为______；
(2)甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了列表法与树状图法，熟练掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出两人都摸到相同颜色的小球的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）解：摸到红球的概率为：；
（2）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两人都摸到相同颜色的小球的有4种情况，
∴两人都摸到相同颜色的小球的概率为：．
答：两人摸到相同颜色球的概率为．
4．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】(1)
(2)树状图见解析，该游戏对双方公平
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论．
【详解】（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同，
∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，
∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为，
∴小明和小红获胜的概率相同，
∴该游戏对双方公平．
5．（2024·江苏南通·中考真题）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．
(1)甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______；
(2)求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率．
（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案．
【详解】（1）解：∵有标识为1、2、3、4的四个出入口，
∴甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
共有16种等可能结果，其中甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种结果，
∴甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为．
6．（2024·江苏镇江·中考真题）有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各袋中所装球的总个数相同，这些球除颜色外都相同．实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将记录的数据绘制成如下两种条形统计图：

(1)__________图能更好地反映各组试验的总次数，__________图能更好地反映各组试验摸到红球的频数（填“A”或“B”）；
(2)求实践组摸到黄球的频率；
(3)根据以上两种条形统计图，你还能获得哪些信息（写出一条即可）？
【答案】(1)，；
(2)；
(3)实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）．
【分析】本题主要考查了频率分布直方图，概率的计算公式，解题关键是正确判断．
（1）直接判断得图能更好地反映各组试验的总次数，图能更好地反映各组试验摸到红球的频数；
（2）用频率公式可得；
（3）实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）．
【详解】（1）解：图能更好地反映各组试验的总次数，图能更好地反映各组试验摸到红球的频数；
故答案为：，．
（2）解：实践组摸到黄球的频率；
（3）解：实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）．
7．（2024·江苏无锡·中考真题）一只不透明的袋子中装有1个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．
(1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是______；
(2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求2次摸到的球颜色不同的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接利用概率公式，即可解答；
（2）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式，即可解答．
【详解】（1）解：∵袋子中一共有3个球，其中只有一个白球，
∴摸到白球的概率，
故答案为：；
（2）解：根据题意列出表格如下：
白 红 绿
白 （白，白） （白，红） （白，绿）
红 （红，白） （红，红） （红，绿）
绿 （绿，白） （绿，红） （绿，绿）
由表可知，一共有9种等可能的情况，2次摸到的球颜色不同的情况有6种，
∴2次摸到的球颜色不同的概率．
考向二 用列表或树状图求概率
1．（2024·山东淄博·中考真题）希望中学做了如下表的调查报告（不完整）：
调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程
调查方式 随机问卷调查
调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内）
调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：）是①②③④⑤ （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） A家政 B.烹饪 C.剪纸 D.园艺 E．陶艺
调查结果
结合调查信息，回答下列问题：
(1)参与本次问卷调查的学生人数________名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为________度；
(2)补全周家务劳动时间的频数直方图：
(3)若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数；
(4)小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率．
【答案】(1)100，
(2)见解析
(3)估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数有176人
(4)
【分析】（1）用家务劳动时间为②组的人数除以所占百分比，即可得到调查总人数，再用乘以第④组人数所占比例即可求解；
（2）用调查总人数减去第①②④⑤组的人数，得到第③组的人数，即可补全周家务劳动时间的频数直方图；
（3）先求出调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数，再用800乘以喜欢“烹饪”课程的学生人数所占比例即可；
（4）画出树状图，得到所有可能出现的结果数，再找出两人恰好选到同一门课程的结果数，根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：调查总人数为：（名），
第④组所对应扇形的圆心角的度数为：
（2）解：第③组的人数为：（人），
可补全周家务劳动时间的频数直方图如图；

（3）解：被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数为：（人）
（人），
答：估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数有176人；
（4）解：树状图如图所示：

则共有25中情况，两人恰好选到同一门课程的结果数有5种，
两人恰好选到同一门课程的概率为：．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图、用样本估计总数、画树状图或列表求概率，根据题意熟练的画出树状图或列出表格，是解题的关键．
2．（2024·海南·中考真题）根据以下调查报告解决问题．
调查主题 学校八年级学生视力健康情况
背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据．
调查结果
八年级学生右眼视力领数分布表
右眼视力 频数
3
24
18
12
9
9
15
合计 90
建议：……
（说明：以上仅展示部分报告内容）．
(1)本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）：
(2)视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：，这组数据的中位数是________；
(3)视力低于属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为_______人；
(4)视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率是________；
(5)请为做好近视防控提一条合理的建议．
【答案】(1)抽样调查；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)建议学校加强电子产品进校园及使用的管控．
【分析】（1）根据普查和抽样调查的区别即可判断；
（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）根据600乘以视力低于的人数所占的百分比即可求解；
（4）根据题意画出树状图，再根据概率公式求解即可；
（5）根据学生近视程度较为严重，提出合理化建议即可．
本题考查了条形统计图和频数分布表，样本估计总体，中位数的定义，简单概率公式计算等知识，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可知，本次调查采用的调查方式为抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）解：把9个数据按从小到大的顺序排列为：，排在第5位的数是，
∴这组数据的中位数是，
故答案为：；
（3）解：调查数据中，视力低于的人数有：（人），
∴估计该校八年级右眼视力不良的学生约为：
（人）
故答案为：；
（4）解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下：
共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种，
∴恰好抽到两位男生的概率是：，
故答案为：；
（5）解：由表中数据说明该校学生近视程度较严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控．
3．（2024·江苏镇江·中考真题）3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，将卡片的背面朝上．
(1)洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率等于__________；
(2)洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，
洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率，
故答案为：；
（2）解：把写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”3张卡片分别记为、、，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的结果有2种，
抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率为．
4．（2024·山东东营·中考真题）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：）．调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图；
(2)调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的中位数为_______小时．
(3)学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率．
【答案】(1)50，见详解
(2)2.5
(3)
【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，中位数的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）运用D档人数除以D的百分比，得出调查的学生总数，再运用总数乘上档的百分比，即可作答．
（2）根据中位数的定义，排序后位于中间位置的数为中位数，据此即可作答．
（3）依题意，得出档有名男学生，有名女学生，运用列表法得共有12种等可能的结果，再运用概率公式列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，（名）
∴本次调查中，共调查了50名学生；
则（名）
∴（名）
则档有名男学生，有名女学生,
补全条形统计图如图所示：
（2）解：依题意，
（名）
本次调查的男学生的总人数是23名
∴则调查的全部男生劳动时间的中位数位于第名，
∵
∴第名位于C档
∵调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．
则调查的全部男生劳动时间的中位数为2.5小时，
故答案为2.5；
（3）解：用，表示2名男生，用，表示两名女生，列表如下：
共有12种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都是女生的结果有2种，
．
5．（2024·江苏常州·中考真题）在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
(1)从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________；
(2)甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）直接根据概率计算公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲获胜的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有3支签，写有“石头”的签有1支，且每支签被抽到的概率相同，
∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是，
故答案为：；
（2）解：设分别用A、B、C表示“石头”、“剪子”、“布”，列表如下：
甲乙
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲获胜的结果数有，，，共3种，
∴甲获胜的概率为．
6．（2024·四川巴中·中考真题）为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题．
(1)求______，并补全条形统计图．
(2)若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动的学生有多少名？
(3)学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率．
【答案】(1)200，图见详解
(2)312名
(3)
【分析】（1）根据喜爱篮球的人数和所占的百分比即可求出，然后求出喜欢乒乓球的人数即可；
（2）用该校的总人数乘以最喜爱乒乓球的学生的人数所占的百分比即可；
（3）画出树状图即可解决问题．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式．
【详解】（1）解： （名，
喜欢乒乓球的人数；（名，
补全统计图：
故答案为：200；
（2）解：（名，
答：估计喜欢乒乓球运动的学生有312名；
（3）解：画树状图得：
一共有12种等可能出现的结果，符合条件的结果有2种，
恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
考向三 用频率估计概率
1．（2024·宁夏·中考真题）为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500
成活数 35 134 271 451 631 899 1350
成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900
估计这种幼苗移植成活的概率是 （结果精确到0.1）
【答案】0.9
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．
【详解】解∶根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右．
这种幼苗在此条件下移植成活的概率是0.9；
故答案为 ∶0.9．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 （精确到0.01）
【答案】0.53
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可．
【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，
故答案为：0.53．
3．（2024·江苏无锡·中考真题）“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．
【确定调查方式】
（1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是______；（只填序号）
①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本
②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本
③随机抽取100个麦穗的长度作为样本
【整理分析数据】
（2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下：
试验田100个麦穗长度频率分布表
长度 频率
0.04
0.45
0.30
0.09
合计 1
根据以上图表信息，解答下列问题：
①频率分布表中的______；
②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
【作出合理估计】
（3）请你估计长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为多少．
【答案】（1）③（2）①0.12，频数分布直方图见详解 （3）
【分析】本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图的相关知识，掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键．
（1）根据抽样调查的特点回答即可．
（2）①用1减去其他频率即可求出m的值．②先求出麦穗长度频率分布在之间的频数，然后即可补全频数分布直方图
（3）把长度不小于的麦穗的频率相加即可求解．
【详解】解：（1）∵抽样调查方式样本的选取需要的是广泛性和可靠性，
∴抽样调查方式合理的是随机抽取100个麦穗的长度作为样本，
故答案为：③
（2）①频率分布表中的，
故答案为：0.12，
②麦穗长度频率分布在之间的频数有：，
频数分布直方图补全如下：
（3），
故长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为．
4．（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．
(1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．
(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
【答案】(1)0.3
(2)
【分析】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键．
（1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可；
（2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，再利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，摸出黄球的频率是，
故答案为：0.3；
（2）解：画树状图得，
共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，
∴两次摸出的小球都是红球的概率为．
一、单选题
1．（2024·安徽宿州·模拟预测）若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到A的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．熟练掌握运用列表法或画树状图法求概率是解题的关键．
先根据题意画树状图，确定所有等可能情况数和最后摘A的情况数，再运用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
∴共有3种等可能的结果，其中最后一只摘到A的情况有1种，
∴最后一只摘到A的概率是．
故选：B．
2．（2024·安徽·模拟预测）下列说法中正确的是（ ）
A．了解一批日光灯的使用寿命适宜采用抽样调查
B．“打开电视，正在播放沈视早报”是必然事件
C．数据，，，，的众数是
D．一组数据的波动越大，方差越小
【答案】A
【分析】本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，属于基础题．依据必然事件的定义以及方差、众数的定义即可判断．
【详解】解：A、了解一批日光灯的使用寿命适宜采用抽样调查，正确，选项符合题意；
B、打开电视，正在播放沈视早报”是随机事件，选项不符合题意；
C、数据，，，，的众数是和，选项不符合题意；
D、一组数据的波动越大，方差越大，选项不符合题意．
故选：A．
3．（2024·安徽合肥·三模）新趋势 跨学科问题 生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因控制的．如人的眼皮性状由常染色体的一对基因控制，双眼皮由显性基因A控制，单眼皮由隐性基因a控制．当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮；当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．父母分别将他们一对基因中的一个等可能地遗传给子女．若父母都是双眼皮，且他们的基因都是，则他们的子女是双眼皮的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到他们子女可以是双眼皮的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
A a
A
a
由表格中，一共有4种等可能性的结果数，其中他们子女可以是双眼皮的结果数有3种，
∴他们子女可以是双眼皮的概率为．
故选：D．
4．（2024·安徽六安·模拟预测）小明向不透明的袋子中装入1个红色弹珠和1个黄色弹珠，这两个弹珠除颜色外都相同，小明从口袋中任意摸出1个弹珠，记录颜色后放回、搅匀，这样连续共计摸3次．则3次摸到的弹珠颜色都是红色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了用树状图求等可能事件的概率，方法是用树状图列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可．
【详解】解：根据题意画树状图为：
根据树状图可知，共有8种等可能的结果，其中3次摸到的弹珠颜色都是红色的有1种可能．
∴3次摸到的弹珠颜色都是红色的概率为．
故选：D．
5．（2024·安徽·模拟预测）从，，这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和，则一次函数图象经过第二象限的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：画树状图如下，

一共有种可能，其中经过第二象限的共有种可能，分别为，；，；，；，；
∴经过第二象限的概率是，
故选：．
6．（2024·安徽合肥·三模）在物理课上，同学们学习了“电学”知识之后，便可以设计一些简单的电路图．如图，小明设计了一个包含甲乙两个开关组的电路图，如果在甲乙这两个开关组中各闭合一个开关，那么小灯泡发亮的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到能使小灯泡发亮的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解，如图，设甲中三个开关为A、B、C，乙中两个开关为D、E，
画树状图如下，
一个有6种等可能性的结果数，其中能使小灯泡发亮的结果有，，共有2种，
∴小灯泡发亮的概率为.
故选：B
7．（2024·安徽六安·模拟预测）如图是甲、乙两人手中的扑克牌，两人同时随机各出一张牌，则他们所出的牌中的数字相差1的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用画树状图法解答即可．
本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键．
【详解】解：根据题意，画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中所出的牌中的数字相差1的有3种，
∴所出的牌中的数字相差1的概率为，
故选C．
二、填空题
8．（2024·安徽合肥·三模）青年创意田园里的小火车共有3节车厢，且从任意一节车厢上车的机会均等，研学游期间团小瑶、团小海两位同学同时乘坐同一列小火车，则这两位同学从同一节车厢上车的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查树状图法求概率：画出树状图，列出所有等可能的情况，从中找出满足条件的情况，然后利用概率公式计算即可．
【详解】解：3节车厢用A、B、C表示，根据题意画树状图如图，
所有等可能的情况有9种，其中两位同学从同一节车厢上车的情况有3种，
∴；
故答案为：．
9．（2024·安徽蚌埠·二模）在一个不透明的袋子里有1个红球、2个白球和2个黑球，从袋子中随机摸出2个球，则这2个球一红一白的概率为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到这2个球一红一白的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设红球用A表示，白球用B、C表示，黑球用D、E表示，列表如下：
由表格可知，一共有20种等可能性的结果数，其中这2个球一红一白的结果数有4种，
∴这2个球一红一白的概率为，
故答案为：．
10．（2024·安徽淮北·模拟预测）若2，3，6，这五个数据的方差是3，则4，5，8，这五个数据的方差是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立；
根据每个数据都加上一个数(或减去一个数)时，平均数也加或减这个数，方差不变，即可得出答案．
【详解】解：由题意知，数据4，5，8，这五个数据是将原数据分别加所得，
新数据的波动幅度与原数据一致，
这五个数据的方差是，
故答案为：．
11．（2017·上海·一模）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ．
【答案】
【分析】在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中，中心对称图案的卡片是圆、矩形、菱形，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】∵在：等腰三角形、圆、矩形、菱形和直角梯形中属于中心对称图形的有：圆、矩形和菱形3种，
∴从这5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率为：.
故答案为.
三、解答题
12．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）“学科素养”展示活动中，某区教体局决定在甲、乙两校举行“学科素养”测试，为此甲、乙两学校都选派相同人数的选手参加，比赛结束后，发现每名参赛选手的成绩都是70分，80分，90分，100分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两校的选手获得100分的人数也相等，现根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整统计图∶
(1)甲校选手所得分数的中位数是 ，乙校选手所得分数的众数是 ；
(2)请直接在上图中补全条形统计图；
(3)比赛后，教体局决定集中甲、乙两校获得100分的选手进行培训，培训后，从中随机选取两位选手参加市里的决赛，求所选两位选手来自同一学校的概率．
【答案】(1)90，80
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，条形统计图和扇形统计图，中位数和众数相关知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）先设甲学校学生获得100分的人数为x，根据甲、乙两学校参加数学竞赛的学生人数相等，可得出方程，解出x的值，继而可得出甲校选手所得分数的中位数，及乙校选手所得分数的众数；
（2）根据（1）中求出的数据即可补全统计图；
（3）画树状图（甲乙各有2名学生得100分）展示12种等可能的结果数，再找出所选两位选手来自同一学校的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】（1）解：设甲校100分有x人，
则，
解得：，
经检验，是该方程的解，且符合题意，
即甲校100分有2人，
∴甲校派人，
那么甲校选手所得分数的中位数为第6和第7人分数的平均数，从甲校统计图可得第6和第7人得分90分，故甲校选手所得分数的中位数为90；
从乙校选手扇形统计图可得成绩为80分的占比最高，则众数为80，
故答案为：90，80；
（2）解：补全统计图如图：
（3）解：画树状图为：（甲乙各有2名学生得100分）
共有12种等可能的结果数，其中所选两位选手来自同一学校的结果数为4，
所以所选两位选手来自同一学校的概率=．
13．（2024·安徽·模拟预测）教育部正式印发《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，劳动课成为中小学的一门独立课程，某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：
收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）
1 5 4 1 a 3 2 b 3 4
整理数据：
时间
人数 3 6
分析数据：
统计量 平均数 中位数 众数
数据 3.2 3 3
请结合以上信息回答下列问题：
(1)________，并补全频数直方图；
(2)数据统计完成后，小明发现有两个数据，不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若，则________，________．
(3)根据调查结果，请估计该校1000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数．
【答案】(1)1，图见解析
(2)3，6
(3)该校1000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数约为700人
【分析】本题考查频数分布直方图，中位数、众数、平均数；
（1）根据各组频数之和等于样本容量可求出的值，进而补全频数分布直方图；
（2）根据众数的定义确定的值，再由平均数确定的值即可；
（3）求出样本中“学生在这一周劳动时间不少于3小时学生”所占的百分比，进而估计总体中“学生在这一周劳动时间不少于3小时学生”所占的百分比，由频率等于频数除以总数进行计算即可．
【详解】（1），补全频数分布直方图如下：
故答案为：1；
（2）样本中1、3、4都出现2次，若这组数据的众数是3，因此漏掉的两个数中必有一个是3，而，因此，
平均数是3.2，因此漏掉的另一个数，
故答案为：3，6；
（3），
答：估计该校1000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数为700人．
14．（2024·安徽·模拟预测）为落实中共中央办公厅、国务院《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某校体育工作小组随机调查了该校20名八年级男生引体向上个数，并对数据进行统计分析，过程如下：
收集数据：引体向上（单位：个）
2 5 3 5 4 6 1 5 4
3 6 7 5 3 4 7 3 4
分析数据：
统计量 平均数 众数
数据 4.4 3
请结合以上信息回答下列问题：
(1)数据统计完成后，工作小组发现有两个数据不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若，分别求出和；
(2)某同学说：“我的成绩在班级排中等，所以我的成绩一定达到平均数”以本次统计结果为样本分析，他的说法正确吗？请说明理由；
(3)该校共有2000名学生，其中八年级男生占比为，根据国家中小学体育测评评分标准，八年级男生引体向上达到5个为及格分．根据调查结果，请估计该校八年级男生引体向上及格的人数，并给该校体育工作小组提一条合理的建议．
【答案】(1)，
(2)他的说法不正确，理由见解析
(3)人，建议：增加每周体育锻炼时间，提高学生身体素养
【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及用样本估计总体，
（1）根据众数的定义确定a的值，再由平均数、中位数确定b的值即可；
（2）求出样本的中位数，与样本的平均数进行比较即可；
（3）计算出八年级男生数，再用样本估计总体可得八年级男生引体向上及格的人数，再根据及格人数给出建议即可．
【详解】（1）解：由给出的数据可知，3，4，5各出现4次，但只有3为众数，
和中至少有一个为3，
另一个数为，
，
，；
（2）解：他的说法不正确，理由如下：
该样本的中位数为4，平均数为4.4，在样本中，4排中等，但小于平均数，
故该同学的说法不正确；
（3）解：（人）
建议：增加每周体育锻炼时间，提高学生身体素养．
15．（2024·安徽·模拟预测）某校为了解初三年级的近视情况，在初三年级随机抽取五个班级的学生进行调查，统计结果如表所示：
所抽取的班级 班级 班级 班级 班级 班级
总学生数
近视学生数
(1)在这五个班级随机抽取一名学生，求抽中近视学生的概率；
(2)该校初三年级共有学生人，估计该校初三年级近视的学生数．
【答案】(1)
(2)378人
【分析】本题考查了概率公式、统计表、样本估计总体等知识；熟练掌握概率公式是解题的关键．
（1）由概率公式求解即可；
（2）由该校初三年级总人数乘以该校初三年级近视的概率即可．
【详解】（1）解：这五个班级的学生中随机抽取一名学生，抽中近视的学生为事件A，
则；
（2）解：（人），
即估计该校初三年级近视的学生为人．
16．（2024·安徽·模拟预测）我校进行垃圾分类已经实施两年有余，某课外活动小组对全校师生开展垃圾分类实施成果问卷调查活动，将调查结果分析整理后，制成了下面的两个统计图．
其中：：能将垃圾放到规定的地方，而且还会考虑垃圾的分类．：能将垃圾放到规定的地方，但不会考虑到垃圾的分类．：偶尔会将垃圾放到规定的地方．：随手乱扔垃圾．
根据以上信息回答下列问题：
(1)该校课外活动小组共调查了多少人？
(2)我校共有师生人，那么随手乱扔垃圾的约有多少人？你是这类人吗？
【答案】(1)该校课外活动小组共调查了人
(2)随手乱扔垃圾的约有人，我不是这类人
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（1）根据统计图中的数据可以求得该校课外活动小组共调查了多少人；
（2）根据统计图中的数据可以求得该校随手乱扔垃圾的约有多少人．
【详解】（1）解：由题意可得，
该校课外活动小组共调查了：（人），
答：该校课外活动小组共调查了人；
（2）解：由题意可得，随手乱扔垃圾的约有：（人），
答：随手乱扔垃圾的约有人，我不是这类人．
17．（2024·安徽六安·模拟预测）某校为弘扬中华优秀传统文化，在八、九年级各抽取5名同学开展传统文化知识竞赛．两班参赛选手成绩（满分为分）如图所示：
(1)根据统计图所给的信息填空：
班级 平均数 中位数 众数
八年级 85 85 c
九年级 a b 100
________，________，________；
(2)若八年级又有一名学生参赛，考试成绩是80分，则八年级这6名选手成绩的平均数与原5名选手成绩的平均数相比会怎样变化？请说明理由；
(3)计算两个年级参赛选手成绩的方差，并判断哪个年级代表队选手的成绩较为稳定？
【答案】(1)85；80；85
(2)会减少．理由见解析
(3)，，八年级参赛选手的成绩较稳定
【分析】此题考查了平均数、方差、中位数、众数等知识，熟练掌握各种统计量的求解方法是关键．
（1）根据平均数、中位数、众数的定义分别进行解答即可；
（2）计算出6位同学的平均数，比较后即可得到结论；
（3）根据方差的定义进行计算，再比较方差大小即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意可得，
（分），
九年级5位同学的成绩从小到大排列为，
∴中位数，
八年级5位同学的成绩为，出现次数最多的是，共出现2次，
∴众数，
故答案为：85；80；85
（2）平均数会减少．
理由是：八年级这6名选手成绩的平均数为分，
，
即平均数会减少．
（3）
，
∴，
∴八年级参赛选手的成绩较稳定．
18．（2024·安徽·模拟预测）为了解学生“校园安全”知识的掌握情况，学校随机抽样调查了部分学生的“校园安全”知识测试成绩作为样本，根据收集到的信息绘制了两幅不完整的统计图（如图）．
请根据统计图中所提供的信息，解答下列问题：
(1)样本容量是_________，扇形统计图中“A组”所对应扇形的圆心角的度数为______；
(2)请补全“校园安全”知识测试成绩条形统计图，并判断“校园安全”知识测试成绩的中位数在哪一组；
(3)学校准备从“D组”中获得满分的3名女生和2名男生中随机抽取2人参加市级“校园安全”知识竞赛，请用画树状图法或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)60，；
(2)见解析，C组
(3)
【分析】（1）根据“C组”的人数和所占的百分比求出抽查的总人数，再用“A组”所占的百分比乘以，即可求出“A组”所对应扇形的圆心角的度数；
（2）用调查的总人数减去“A组”“C组”和“D组”的人数，求出“B组”的人数，从而补全统计图；
（3）根据题意先画出树状图，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）样本容量为：（人）．
∴扇形统计图中“A组”所对应扇形的圆心角为：．
故答案为：60，；
（2）“B组”的人数有：（人），
补图如下：
∵样本中共有60个数据，第30位和第31位都在C组
∴“校园安全”知识测试成绩的中位数在C组；
（3）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，
∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为：．
【点睛】此题考查了条形统计图、扇形统计图以及用列表法或树状图法求概率，读懂题意，根据题意求出总人数是解题的关键；概率所求情况数与总情况数之比．
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