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2024-2025学年度高中数学5月月考卷
考试范围：8-10章；考试时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 为了推动国家乡村振兴战略，某地积极响应，不断自主创新，培育了某种树苗，其成活率为0.8，现采用随机模拟的方法估计该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率.先由计算机产生1到5之间取整数值的随机数，指定1至4的数字代表成活，5代表不成活，再以每3个随机数为一组代表3次种植的结果.经计算机随机模拟产生如下20组随机数：.据此估计，该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率为（ ）
A. 0.45 B. 0.5 C. 0.512 D. 0.55
2. 已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C 若，，则 D. 若，，则
3. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（ ）
A. ；
B. 异面直线所成的角为定值；
C. 直线与平面所成的角为定值；
D. 以为顶点的四面体的体积为定值．
5. 甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，则甲通过前两局获得胜利的概率（ ）
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.357 D. 0.275
6. 如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（ ）
A. B. C. 2 D.
7. 连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（ ）
A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是相互对立事件
C D.
8. 如图所示，圆锥中，为高，为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面积等于2的等腰直角三角形，为母线的中点．点为底面上的动点，且，点在直线上的射影为．当点运动时，下列结论不正确的是（ ）
A. 三棱锥体积的最大值为
B. 直线与直线垂直不可能成立
C. 点的轨迹长度为
D. 的值小于2
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：；第二组：，则（ ）
A. 两组数据的平均数相等
B. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差
C. 第一组数据的上四分位数（第75百分位数）是8
D. 第一组数据中位数小于第二组数据的中位数
10. 洛阳是我国著名的牡丹之乡，以“洛阳地脉花最宜，牡丹尤为天下奇”流传于世.某种植基地通过植株高度研究牡丹的生长情况，从同一批次牡丹中随机抽取100株的植株高度（单位：）作为样本，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
A. 基地牡丹植株高度的极差的估计值大于50
B. 基地牡丹植株高度不高于70的频率估计值为30%
C. 基地牡丹植株高度的众数与中位数的估计值相等
D. 基地牡丹植株高度的第75百分位数的估计值小于80
11. 如图，在矩形中，，是的中点，沿直线将翻折成（不在平面内），是的中点，设二面角的大小为.（ ）
A. 若，则
B. 直线与所成的角为定值
C. 若，则三棱锥的外接球的表面积为
D. 设直线与平面所成的角为，则
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在全国中学生智能汽车总决赛中，某校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿轴正方向移动的概率是，沿轴正方向移动的概率是，则该智能汽车移动3次恰好移动到点的概率为______.
13. 若一组样本数据的平均数为10，另一组样本数据的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数是__________，方差是__________.
14. 已知面积为的菱形，如图①所示，其中，是线段的中点．现沿折起，使得点到达点的位置，此时二面角的大小为，连接，得到三棱锥，如图②所示，则三棱锥的体积为______；若点在三棱锥的表面运动，且始终保持，则点的轨迹长度为______．
四、解答题（本题共5题，共77分）
15. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，、分别是、的中点.
（1）求证： ；
（2）求证：平面；
（3）设与交于点，求证：平面平面
16. 某校为促进学生对消防知识及火场自救知识的学习，组织了《消防知识及火场自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）．
（1）根据频率分布直方图，估计本次竞赛平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表）
（2）按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人成绩都在内的概率；
（3）从竞赛成绩在内的学生中选取甲、乙人，组队参加全市中学生消防知识答题比赛，每轮由两人各答一题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲、乙两人在两轮答题比赛中共答对题的概率．
17. 如图，三棱台中，平面，分别是棱的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）已知三棱台的体积大于2，且直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.
18. 在川大附中2024秋季教职工运动会拔河比赛中，高一、高二、高三三个年级组和行政组共四个队伍角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”：
第一轮，四个队伍通过抽签分成两组，每组两个队伍对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；
第二轮，“胜区”中两个队伍对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两个队伍对阵，败者直接淘汰出局获第四名；
第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名；
第四轮，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.
已知高二和高三年级组水平相当，高一和行政组水平相当，高二对高三、高一对行政组的胜率均为，高二、高三对高一和行政组的胜率均为，没有平局，且不同对阵的结果相互独立.经抽签，第一轮由高二对阵高三，高一对阵行政组.
（1）求比赛结束时，高二比赛的场次是2场的概率；
（2）若已知高二输了第一轮的比赛，求高二获得冠军的概率；
（3）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：即四个队伍分成两组后，每组中的两个队伍对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军.分别求在以上两种赛制下高二获得冠军的概率，并比较哪种赛制对高二夺冠有利？请说明理由.
19. 如图，正方形ABCD中，边长为4，E为AB中点，F是边BC上的动点.将沿DE翻折到，沿EF翻折到，
（1）求证：平面平面SFD；
（2）当F是边BC的中点时，二面角的大小；
（3）若，将沿DE翻折到，沿EF翻折到，连接DF，设直线SE与平面DEF所成角为，求最大值.
2024-2025学年度高中数学5月月考卷
考试范围：8-10章；考试时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】B
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
【9题答案】
【答案】AD
【10题答案】
【答案】BC
【11题答案】
【答案】BCD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】 ①. ②.
【14题答案】
【答案】 ①. ②.
四、解答题（本题共5题，共77分）
【15题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）．
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）得冠军的概率分别为与 ，“双败淘汰制”对高二夺冠有利
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）90° （3）

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