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2025年长沙市初中学业水平考试仿真密卷
数学（A卷）
注意事项：
1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清瞇、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 弹簧与单摆都是物理学中一个极具启发性的基础模型．在实际生活中，弹簧振子广泛应用于各种减震和避震系统，在车船、机床、建筑、民生乃至航天工业中都有重要的应用．如图是弹簧振子在工作时的状态，若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作（ ）
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列如图所示的立体图形的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
4. 估计的值在（ ）
A 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 5和6之间
5. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 平行四边形是轴对称图形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形是矩形
C. 相似三角形的面积比等于相似比 D. 在中，若，则是直角三角形
6. 数学活动课上，小章将一张两边平行的长纸条折叠成如图所示的图形．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 将直线向上平移个单位长度得到的直线经过点，则的值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
8. 在一个不透明的纸箱中装30个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则口袋中白球最可能为（ ）
A. 15个 B. 20个 C. 28个 D. 32个
9. 如图，为的直径，点，是直径两侧圆弧上的两点，连接交于点，连接，，．若，，则的度数为（ ）
A B. C. D.
10. 日历上按照以下四个选项的图框圈出了三个数，，，其中一个图框圈出的三个数的和为24，则这个图框是四个选项中的（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 方程的解为______．
12. 若点在第三象限，则的取值范围是______．
13. 某中学将晨练及体育课外活动、期中成绩、期末成绩按照比例确定学期体育综合成绩．若小云这三项的成绩（百分制）依次是95，90，80，则小云这学期的体育综合成绩是______．
14. 一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是________．
15. 如图，在菱形中，点为边的中点，以点为圆心、长为半径画圆弧交边于点．若，，则劣弧的长为______．
16. 如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为弧的中点，点在弧上，以，为邻边作矩形，边交于点．若，，则的长为______．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中，．
19. 如图，是某景观大道的路灯，，是水平地面上的两个位置，，，在同一直线上，，在处测得路灯顶端的仰角为，在处测得路灯顶端的仰角为，且米，求，两点之间的距离．（精确到0.1米，参考数据：，，）
20. 为普及前沿科技知识，充分激发青少年对科技创新的浓厚兴趣，某中学于课后服务时段开设了人工智能实践课程，并在学校科技节活动期间举行了“人工智能知识竞赛”活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．
收集数据：现随机抽取了初一年级20名同学的"人工智能知识竞赛"成绩，分数（单位：分）如下：
73，93，83，62，81，67，96，88，92，87
76，86，82，86，85，84，82，95，86，89
整理分析数据：
等级 成绩（单位：分） 频数/人数
A 4
B
C
D 2
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）统计表中______，______，并补全频数分布直方图；
（2）这20名学生成绩的中位数在______（填“A”“B”“C”或“D”）等级；
（3）据上面统计结果估计该校初一年级800人中，有多少人的成绩在80分及以下．
（4）这20名同学中，得分在90分及以上的是两名男生和两名女生，现要在这4人中随机抽出两人代表学校参加区级竞赛，利用画树状图法或列表法求抽出的恰好是一名男生和一名女生的概率．
21. 如图，在中，，为的中点，过点作，交的延长线于点，连接，过点作，交的延长线于点．
（1）判断四边形形状，并说明理由；
（2）若，，求的面积．
22. 在国家大力推动低空经济高质量发展的战略背景下，某航摄公司为扩大业务，计划购买，两款无人机．已知款无人机的单价比款无人机的单价贵3500元，用250000元购买款无人机的架数是用240000元购买款无人机架数的．
（1）求款无人机和款无人机的单价；
（2）航摄公司采购时恰逢该厂家进行促销：A款无人机八折优惠．若购买A，B两款无人机共120架，且款无人机架数不少于款无人机架数的一半，请问分别购买，款无人机多少架时，航摄公司花费最少？
23. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，使得，，三点共线，延长交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
24. 定义：在平面直角坐标系中，若点，满足（是常数，且），则称点，是“一共倾点对”．
（1）下列各组点中，是“2一共倾点对”的有 ．（填序号）
①点与点；②点与点；③点与点．
（2）若直线与反比例函数在第一象限内的两个交点和是“一共倾点对”．
①求的取值范围；
②若的面积为，求的值．
③已知抛物线过点，点是抛物线对称轴上一点，且，点为平面内一点，点为抛物线上的动点．若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是“1一共倾点对”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
25. 如图，为的边上一点，经过，，三点的交边于点．
（1）证明：．
（2）写出，，之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）若，，．
①求的半径；
②连接，试探究是否存在点，使得的面积最大，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
2025年长沙市初中学业水平考试仿真密卷
数学（A卷）
注意事项：
1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清瞇、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】A
【10题答案】
【答案】C
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
【11题答案】
【答案】，
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】87分
【14题答案】
【答案】6
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
【17题答案】
【答案】3
【18题答案】
【答案】，
【19题答案】
【答案】、两点之间的距离为米
【20题答案】
【答案】（1）12，2；见解析
（2）B （3）160人
（4）
【21题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【22题答案】
【答案】（1）款无人机的单价为12500元，B款无人机的单价为9000元．
（2）当购买款无人机40架，B款无人机80架时，航摄公司花费最少．
【23题答案】
【答案】（1）见解析 （2）
【24题答案】
【答案】（1）②③ （2）① ② ③或1
【25题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2），证明见解析；
（3）①的半径为；②存在，点为的中点．

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