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山东省实验中学2025届高三第二次模拟考试
数学试题
2025.06
说明：本试卷满分150分．试题答案请用2B铅笔和0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效．考试时间120分钟．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若复数为纯虚数，其中，为虚数单位，则（ ）
A． B． C．1 D．-1
3．已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知，，若点满足，则点到直线：的距离的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在4个人中选若干人在3天假期中值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班两天，其中甲恰有一天值班的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示．已知三棱柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，，交于点，，，则点到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，，为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．某景点工作人员记录了国庆假期七天该景点接待的旅游团数量．已知这组数据均为整数，中位数为18，唯一众数为20，极差为5，则（ ）
A．该组数据的第80百分位数是20 B．该组数据的平均数大于18
C．该组数据中最大数字为20 D．将该组数据从小到大排列，第二个数字是17
10．如图，中，，点在线段上，与交于点，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．设是定义域为的奇函数，且的图象关于直线对称，若时，，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．在上单调递减
C． D．在区间上有3543个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知是第四象限角，且，则______．
13．数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列，数列满足，则数列的最大项等于______．
14．某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量表示某同学玩该游戏的得分．若，则该同学得5分的概率至少为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图，在中，，，，点在边的延长线上．
（1）求的面积；
（2）若，为线段上靠近的三等分点，求的长．
16．（15分）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，．是的中点，是的中点．
（1）求证平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
17．（15分）已知函数（，，）．
（1）当，时，求曲线在点处的切线方程；
（2）设，是的两个极值点，是的一个零点，且．
是否存在实数，使得，，，按某种顺序排列后构成等差数列？若存在，求；若不存在，说明理由．
18．（17分）如图，已知是抛物线（）的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点的直线交抛物线于、两点，斜率为2的直线与直线，，，轴依次交于点，，，，且，求直线在轴上截距的范围．
19．（17分）设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记．
（1）当时，若，，求和的值；
（2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，相，当，相同时，
是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值；
（3）给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，相，．写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．
山东省实验中学2025届高三第二次模拟考试
数学答案
2025.06
一、单项选择题
1～4BADC 5～8CCBB
二、多项选择题
9．AC 10．ACD 11．BC
三、填空题
12． 13． 14．0.2或
四、解答题．
15．（13分）（1）在中，
因为，，
所以．
因为
所以
（2）方法1：因为为线段上靠近的三等分点，所以，
所以
，
所以
，
则
方法2：在中，由余弦定理得
，
因为为线段上靠近的三等分点，所以，
因为，所以，
因为为锐角，
所以，
在中，由余弦定理得，
，
所以
16．（15分）（1）取中点，连接，，
由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，
则有、，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，
故平面；
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、、、，
则有、、，
设平面与平面的法向量分别为、，
则有，，
分别取，则有、、，，
即，，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
17．（15分）（1）当，时，，
故，
又，所以曲线在点处的切线方程为．
（2），
由于，故，
所以的两个极值点为，，
不妨设，，
因为，，且是的零点，故．
又因为，，
此时，，，（或，，，）依次成等差数列，
所以存在实数满足题意，且．
18．（17分）（1）因为，故，故抛物线的方程为：．
（2）[方法一]：通式通法
设：，，，，
所以直线：，由题设可得且．
由可得，故，，
因为，故，
故．
又：，由可得，
同理，
由可得，
所以，
整理得到
故，
令，则且，
故，
故即，
解得或或．
故直线在轴上的截距的范围为或或
[方法二]：利用焦点弦性质
设直线的方程为，直线的方程为，
直线的方程为，
直线的方程为，，，，
由题设可得且．
由得，所以，．
因为，所以．
，，
，
．
由得．
同理．
由得．
即．
故．
令，则．
所以，解得或或．
故直线在轴上的截距的范围为．
[方法三]【最优解】：
设（），（），
由，，三点共线得，即．
所以直线的方程为，直线的方程为
，直线的方程为．
设直线的方程为（），
则，，
，
所以．
故
（其中）．
所以．
又因为，
因此直线在轴上的截距为．
19．（17分）（1），
（2）考虑数对只有四种情况：、、、，
相应的分别为0、0、0、1，
所以中的每个元素应有奇数个1，
所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：
、、、
、、、．
对于任意两个只有1个1的元素，都满足是偶数，
所以集合满足题意，
假设中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，
除了这对互补元素之外还有至少1个含有1个1的元素，
则互补元素中含有3个1的元素与之满足不合题意，
同理，也满足题意．
故中元素个数的最大值为4．
（3），
此时中有个元素，
下证其为最大．
对于任意两个不同的元素满足，
则中相同位置上的数字不能同时为1，
假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有，
所以除外至少有个元素含有1，
根据元素的互异性，至少存在一对，满足，
此时不满足题意，
故中最多有个元素．

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