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临沧地区中学2025届高三5月月考数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.设集合，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.中，点，满足，，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知实数，满足，则下列不等式可能成立的是( )
A. B. C. D.
7.已知，其最小正周期大于，若为的图象的对称中心，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若正实数满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据的极差为，平均数为，方差为，另外一组数据的极差为，平均数为，方差为，则( )
A. B. C. D.
10.函数、，下列命题中正确的是( )
A. 不等式的解集为
B. 函数在上单调递增，在上单调递减
C. 若函数有两个极值点，则
D. 若时，总有恒成立，则
11.如图，半径为的动圆沿着圆外侧无滑动地滚动一周，圆上的点形成的外旋轮线，因其形状像心形又称心脏线已知运动开始时点与点重合以下说法正确的有( )
A. 曲线上存在到原点的距离超过的点
B. 点在曲线上
C. 曲线与直线有两个交点
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角满足，若，则的值为 ．
13.某学校选派甲，乙，丙，丁共位教师分别前往，，三所中学支教，其中每所中学至少去一位教师，乙，丙不去中学但能去其他两所中学，甲，丁三个学校都能去，则不同的安排方案的种数是 用数字作答
14.已知三棱锥中，，，两两垂直，且，则三棱锥内切球的半径为 ，以为球心，为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，角，，的对边分别为，，，是边上的中点．
若B.
(ⅰ)求
(ⅱ)若，，求的面积
若，，，试探究存在时，，满足的条件．
16.本小题分
如图，四棱锥的底面为筝形，面，点为与的交点，且，
求证：面面
已知为棱上的一点，若，求二面角的余弦值．
注：筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形
17.本小题分
某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处若前一次投进，则下一次投篮位置不变在处每次投进得分，否则得分在处每次投进得分，否则得分已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为．
求的分布列及数学期望
求的通项公式
证明：．
参考公式：若，是离散型随机变量，则．
18.本小题分
已知抛物线过抛物线焦点作直线分别在第一、四象限交于两点，过原点作直线与抛物线的准线交于点，设两直线交点为若当点的纵坐标为时，．
求抛物线的方程．
若平行于轴，证明：在抛物线上
在的条件下，记的重心为，延长交于，直线交抛物线于在右侧，设中点为，求与面积之比的取值范围．
19.本小题分
意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作抱银貂的女子时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，悬链线在工程上有广泛的应用在恰当的坐标系中，这类曲线的函数表达式可以为，其中、为非零实数．
利用单调性定义证明：当时，在上单调递增；
当时，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
若为奇函数，函数，，探究是否存在实数，使的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案
1.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以的虚部为．
2.【答案】
解：由集合，
又，
所以
所以是的必要不充分条件．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：设
则，，，，，
由，得
，
变形得，所以，即．
4.【答案】
【解析】解：设球的半径为，可得，即，
圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，
圆台的下底面半径为，圆台的母线长为，圆台的高，圆台的上底面半径为，
圆台的侧面积为．
5.【答案】
解：令点，，
双曲线的渐近线方程为，
由对称性不妨取直线，
取中点，连接，则，
，而，
由，得，
在中，，
又因为，故，解得，
所以双曲线的离心率．
故选：
6.【答案】
【解析】解：设，
则，，
当时，，，，
则，
；
当时，
当时，，，，
则，
综上所述，有可能成立的是．
7.【答案】
解：由题意知，，，解得，，
又其最小正周期大于，则，即，则，也即．
由对称中心的纵坐标为，得．
因此，
计算得
．
故选B．
8.【答案】
解：在定义域上是增函数，
且，
所以为奇函数，
，
，
则，且，
，
当且仅当时等号成立，
的最小值为．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：假设最小，最大，则，
若，则另外一组数据最小，最大，
此时极差为，A错误，
由数学期望和方差公式易得，所以，，D正确，显然，故C错误．
故选：．
10.【答案】
解：对，因为、，
，
令，得，故在该区间上单调递增；
令，得，故在该区间上单调递减．
又当时，，，，
故的图象如下所示：
数形结合可知，的解集为，故A正确；
对，，当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，错误；
对，若函数有两个极值点，
即有两个极值点，又，
要满足题意，则需在有两不同的根，
也即在有两不同的根，也即直线与的图象有两个交点．
数形结合可知：，解得．
故要满足题意，则，故错误；
对，若时，总有恒成立，
即恒成立，
构造函数，则对任意的恒成立，
故在单调递增，则在 上恒成立，
也即在区间恒成立，则，故正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：首先建立动圆滚动过程中的参数方程，已知定圆，半径，
设动圆滚动的圆心角为弧度制，动圆的圆心为，动圆半径，
因为，所以动圆的圆心的坐标为，
设点，根据圆的滚动性质，因为开始时，动圆滚动角度后，
点相对动圆圆心的角度变化，点相对于动圆圆心的坐标为，
根据三角函数诱导公式，则点坐标满足
分析选项A计算点到原点的距离，将代入可得：
，
所以，选项错误；
分析选项B若点在曲线上，则
所以点在曲线上，选项正确；
分析选项C由知点在曲线上，且，
故位于直线上方，且直线交坐标轴于两点，
由图象可知曲线与直线有两个交点，选项正确；
分析选项D已知，令，
则，
令，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且
所以，选项正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：设，因为，
联立可得：，
又，求得．
故答案为：．
13.【答案】
解：若学校去一个人，只能从甲，丁中选个，剩余人选人去个学校，将这两人看成人，
则人分到个学校的方法是，所以不同的分配方案有：；
若学校去个人：只能是甲，丁，所以不同的分配方案有：．
所以共有种
故答案为：．
14.【答案】；
解：如图，，，两两相互垂直，，
则，．
设三棱锥内切球的半径为
由等积法得：，
解得．
以为球心，为半径的球面与三棱锥三个侧面，，交线都是四分之一段圆弧，
长度为，
与底面交线为圆，到底面的距离为，由体积法可得，
，设圆的半径为，则，，
圆的周长为，
所以球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为，
故答案为：；．
15.【答案】解：在中，因为，
由正弦定理可得，
，
所以，
因为得，
所以，故B
在中，由余弦定理得：
，
即，
因为是边上的中点，
所以，
故，
，
得，
所以的面积为．
如图所示：
在中，由余弦定理得
，
即
因为是边上的中线，
所以，
两边平方有，
将式代入得，与同号．
当时，，存在
当时，，
由得
，
因为
，
所以，因为，
故．
当为锐角时，，，，式为，
令，，
知在上单调递减，所以
当为钝角时，，，，式为，
令，，
知在上单调递增，所以．
综上，当时，，存在
当为锐角时，，存在
当为钝角时，，存在．
16.【答案】解：筝形的性质可知筝形的对角线互相垂直．
又因为平面，平面，所以，
由于，，平面，可得平面，
又因为平面，所以平面平面．
过作面，，
设，则，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
因为，设，则，，
由，可得，
得到
解得：
故，
那么，，，
设平面的法向量为，则
取，，，则，
设平面的法向量为，则
取，，，
，
设二面角平面角为，
由图可知为钝角，
故二面角的余弦值．
17.【答案】解：设“甲第次在处投进”为事件，“甲第次在处投进”为事件，
，，依题意，的可能取值为，，，．
，
，
，
，
所以的概率分布为
分．
当时，甲第次在处投篮分两种情形：
第次在处投篮且投进，这种情形概率为
第次在处投篮且未投进，这种情形概率为所以，
故，因为，所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以，即，，，，．
因为第次在处投篮的概率为，在处投篮的概率为，
记第次得分，则的可能取值为，，，
，
，
，
所以，
因为，
所以
，
因为，
所以．
18.【答案】解：
因为若当点的纵坐标为时，，
不妨设，则，即，
代入抛物线方程有，所以；
证明：
由知，的准线，
不妨设，，
若平行于轴，则，
所以，整理得，
联立方程有
又在抛物线和直线上，即
则有，此时，即，
则在抛物线上，证毕；
在的条件下可知两点重合，由重心的性质不难知为线段的中点，
同，仍设，，
则，
联立
所以，
且，
则，
可知，整理得，
设，
与联立有
所以，即，
由于为线段的中点，所以到直线的距离相等，
则，
设，
若，则，显然，所以；
若，则；
若，则，所以；
综上．
19.【答案】解：证明：当时，，，
则
，由，得，
则，，于是，即，
所以在上单调递增；
函数的定义域为，，则为偶函数，
不等式，
函数在上单调递增，则
依题意，不等式对恒成立，
当时，，，
因此对恒成立，
令，而，
则，当时，，
，当时，，于是，
所以的取值范围为；
由函数为奇函数，得恒成立，
即恒成立，则，
于是，，
令，，由函数在上单调递增，得，
则函数化为，，
假设存在实数，使即的最小值为，
当，即时，在上单调递增，，不符合要求；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，此时；
当，即时，在上单调递减，，
解得，不满足，
所以当时，的最小值为．

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