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2024-2025学年第二学期七年级数学期末模拟试卷（3）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列是二元一次方程的是（　　）
A．2xy＝3 B．2x+y﹣1 C． D．x﹣6y＝0
2．下列四个图形中，∠1和∠2是内错角的是（　　）
A． B． C． D．
3．在下列的计算中，正确的是（　　）
A．m3+m2＝m5 B．m3 m2＝m6 C．（2m）3＝6m3 D．m6÷m2＝m4
4．在下列调查中，适宜采用全面调查的是（　　）
A．了解某省中学生的视力情况 B．了解某班学生的身高情况
C．检测一批电灯泡的使用寿命 D．调查一批汽车的抗撞击能力
5．计算：（﹣2m4）3＝（　　）
A．﹣6m7 B．﹣8m7 C．﹣2m12 D．﹣8m12
6．下列因式分解不正确的是（　　）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．ab2﹣a＝a（b+1）（b﹣1）
C．a2﹣2a+4＝（a﹣2）2 D．（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2
7．若把分式中x和y的都扩大2倍，那么分式的值（　　）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．不变 D．缩小4倍
8．如果x＝2m+1，y＝2+4m，那么用含x的代数式表示y为（　　）
A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝x2+1
9．已知关于x、y的方程组与有相同的解，则a和b的值为（　　）
A． B． C． D．
10．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：F（n）＝．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F（24）＝＝．给出下列关于F（n）的说法：①F（6）＝；②F（16）＝1；③F（n2﹣n）＝1﹣；④若n是一个完全平方数，F（n）＝1．其中说法正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．因式分解：m2﹣4＝　 　 ．
12．分式和分式的最简公分母是 　 　 ．
13．“无糖饮料”真的不含糖吗？某探究小组对市面上35款无糖饮料进行含糖量测评统计，得到频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，根据国家标准规定，当每100毫升饮料含糖量低于500毫克，即可标注“无糖”，则符合标准无糖饮料有 　 　 款．
14．如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠，已知∠1＝50°，则∠2＝ 　 　 ．
15．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则可列方程组　 　 ．
16．如图，将边长分别为x，y的小正方形（图1）和大正方形（图2）按如图3（小正方形叠放至大正方形左下角）摆放，若x2+y2＝29，BE＝3，则图中阴影部分面积S1+S2＝　 　 ．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．请在下面正方形网格中画出一个面积等于3的三角形，然后再画出这个三角形向右平移3个单位再向下平移2个单位后的图形．
18．计算：
（1）x（3x+4y）+（2x﹣y）2； （2）．
19．解下列方程（组）：
（1）； （2）．
20．如图，在△ABC中，CE∥AB，F、G是AB、BC上的两点，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：FG∥AC；
（2）若∠1＝110°，CE平分∠ACD，求∠B的度数．#ZZ01
21．近年来，研学旅行作为一种寓教于乐的教学方式多次被写入国家级政策文件．某校学生会负责该校学生的一次研学活动，为设计出同学们最感兴趣的研学路线，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
调查问卷1．你最感兴趣的研学类型是_____（单选）A．研学+历史B．研学+科学C．研学+艺术D．研学+农业E．研学+外文F．研学+工业
（1）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中C，D的百分比；
（2）“B”与“C”所在的扇形圆心角的度数和为　 　 ；
（3）若该校共有4500名学生，请你估计该校对“研学+历史”最感兴趣的学生人数．
22．在学了乘法公式“（a±b）2＝a2±2ab+b2”的应用后，王老师提出问题：求代数式x2+6x+4的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+6x+4＝x2+6x+32﹣32+4＝（x+3）2﹣5，
∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣5≥﹣5．
当（x+3）2＝0时，（x+3）2﹣5的值最小，最小值是﹣5．
∴x2+6x+4的最小值是﹣5．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出（x﹣2）2+2的最小值为 　 　 ；
（2）求代数式x2+10x+29的最小值．
（3）若7x﹣x2+y﹣16＝0，求x+y的最小值．
23．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨及以下 a 0.50
超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.50
超过30吨的部分 3.00 0.50
（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用+污水处理费）
已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元．
（1）求a，b的值．
（2）如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？
（3）小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”）
24．阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题．
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组，设m＝，n＝，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为．
运用以上知识解决下列问题：
（1）求方程组的解．
（2）关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为　 　 ．
（3）举一反三：方程组的解为　 　 ．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列是二元一次方程的是（　　）
A．2xy＝3 B．2x+y﹣1 C． D．x﹣6y＝0
【点拨】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
【解析】解：A．2xy＝3，是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．2x+y﹣1，是代数式，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C．，是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．x﹣6y＝0，是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
2．下列四个图形中，∠1和∠2是内错角的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据内错角的概念：处于两条被截直线之间，截线的两侧，再逐一判断即可．
【解析】解：A．∠1与∠2不是内错角，选项不符合题意；
B．∠1与∠2是内错角，选项符合题意；
C．∠1与∠2不是内错角，选项不符合题意；
D．∠1和∠2不是内错角，选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了内错角，关键是根据内错角的概念解答．注意：内错角的边构成“Z”形．
3．在下列的计算中，正确的是（　　）
A．m3+m2＝m5 B．m3 m2＝m6 C．（2m）3＝6m3 D．m6÷m2＝m4
【点拨】A．根据同类项的定义判断即可；
B．根据同底数幂的乘法运算法则计算即可；
C．根据积的乘方与幂的乘方运算法则计算即可；
D．根据同底数幂的除法运算法则计算即可．
【解析】解：m3与m2不是同类项，无法合并，
∴A不正确，不符合题意；
m3 m2＝m5，
∴B不正确，不符合题意；
（2m）3＝8m3，
∴C不正确，不符合题意；
m6÷m2＝m4，
∴D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方等，掌握同类项的定义和同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方运算法则是本题的关键．
4．在下列调查中，适宜采用全面调查的是（　　）
A．了解某省中学生的视力情况 B．了解某班学生的身高情况
C．检测一批电灯泡的使用寿命 D．调查一批汽车的抗撞击能力
【点拨】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解析】解：A．了解某省中学生的视力情况，适合抽样调查，不符合题意；
B．了解某班学生的身高情况，适合采用全面调查，符合题意；
C．检测一批节能灯的使用寿命，具有破坏性，适合抽样调查，不符合题意；
D．调查一批汽车的抗撞击能力，具有破坏性，适合抽样调查，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．计算：（﹣2m4）3＝（　　）
A．﹣6m7 B．﹣8m7 C．﹣2m12 D．﹣8m12
【点拨】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【解析】解：（﹣2m4）3＝（﹣2）3×（m4）3＝﹣8m12，
故选：D．
【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方，正确运用运算法则运算是关键．
6．下列因式分解不正确的是（　　）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．ab2﹣a＝a（b+1）（b﹣1）
C．a2﹣2a+4＝（a﹣2）2 D．（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2
【点拨】用提公因式法，综合提公因式以及公式法，公式法等方法一一分析判断即可．
【解析】解：A．a2﹣ab＝a（a﹣b），因式分解正确，故该选项不符合题意；
B．ab2﹣a＝a（b+1）（b﹣1），因式分解正确，故该选项不符合题意；
C．a2﹣2a+4≠（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，原因式分解错误，故该选项符合题意；
D．（a﹣b）2+4ab＝a2+b2﹣2ab+4ab＝（a+b）2，因式分解正确，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了因式分解，先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
7．若把分式中x和y的都扩大2倍，那么分式的值（　　）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．不变 D．缩小4倍
【点拨】依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【解析】解：原式＝＝＝，
所以分式的值不变
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
8．如果x＝2m+1，y＝2+4m，那么用含x的代数式表示y为（　　）
A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝x2+1
【点拨】将x＝2m+1变形得到2m＝x﹣1，利用4m＝（22）m＝（2m）2，将2m＝x﹣1代入y＝2+4m中，化简整理即可得出结论．
【解析】解：∵x＝2m+1，
∴2m＝x﹣1，
∵4m＝（22）m＝（2m）2，
∴y＝2+（x﹣1）2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方，整体代入的方法，代数式的化简整理，将式子适当变形利用整体代入的方法解答是解题的关键．
9．已知关于x、y的方程组与有相同的解，则a和b的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】利用方程组的解的定义，x、y满足4个方程，则先解2x+y＝5和x﹣y＝1组成的方程组，再把x、y代入另外两个方程得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b的值．
【解析】解：解方程组得，
把代入得，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
10．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：F（n）＝．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F（24）＝＝．给出下列关于F（n）的说法：①F（6）＝；②F（16）＝1；③F（n2﹣n）＝1﹣；④若n是一个完全平方数，F（n）＝1．其中说法正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】根据最优分解的定义，分别求出6、16、n2﹣n以及完全平方数n，然后对各小题求解即可作出判断．
【解析】解：①∵6＝1×6＝2×3，
∴F（6）＝，故本小题正确；
②∵16＝1×16＝2×8＝4×4，
∴F（16）＝＝1，故本小题正确；
③∵n2﹣n＝n（n﹣1），
∴F（n2﹣n）＝＝1﹣，故本小题正确；
④∵n是一个完全平方数，
∴n分解成两个完全相同的数时，差的绝对值最小，
∴F（n）＝1，故本小题正确．
综上所述，说法正确的个数是4．
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方数，读懂题目信息，理解“最优分解”的定义是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．因式分解：m2﹣4＝　（m+2）（m﹣2）　 ．
【点拨】根据平方差公式，进行因式分解．
【解析】解：m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）．
故答案为：（m+2）（m﹣2）．
【点睛】本题考查公式法的因式分解，解题的关键是掌握平方差公式的因式分解法．
12．分式和分式的最简公分母是 　（x+3）（x﹣3）　 ．
【点拨】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
【解析】解：∵x﹣3，x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），
∴他们的最简公分母为：（x+3）（x﹣3）．
【点睛】此题的关键是考查通分．即要通分为最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
13．“无糖饮料”真的不含糖吗？某探究小组对市面上35款无糖饮料进行含糖量测评统计，得到频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，根据国家标准规定，当每100毫升饮料含糖量低于500毫克，即可标注“无糖”，则符合标准无糖饮料有 　34　 款．
【点拨】用总款数减去含糖量不低于500毫克的数量即可得出答案．
【解析】解：符合标准无糖饮料有35﹣1＝34（款），
故答案为：34．
【点睛】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是根据频数分布直方图得出解题所需数据．
14．如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠，已知∠1＝50°，则∠2＝ 　100°　 ．
【点拨】先根据图形折叠的性质求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．
【解析】解：如图，
∵将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠，
∴∠3＝∠1＝50°，
∴∠2＝∠3+∠1＝100°．
故答案为：100°．
【点睛】本题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等；翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
15．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则可列方程组　　 ．
【点拨】根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【解析】解：由题意可得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
16．如图，将边长分别为x，y的小正方形（图1）和大正方形（图2）按如图3（小正方形叠放至大正方形左下角）摆放，若x2+y2＝29，BE＝3，则图中阴影部分面积S1+S2＝　10.5　 ．
【点拨】利用图形和x+y、2xy还有x﹣y之间的关系，求出x，y，用面积公式计算即可．
【解析】解：∵正方形ABCD和AEFG的边长分别为x，y，
∴BE＝y﹣x＝3，
∴（y﹣x）2＝9，即x2+y2﹣2xy＝9．即x2+y2＝29，
∴2xy＝20，
∴x2+y2+2xy＝29+20＝49，
∴x+y＝7，
∴，
解方程组得，
四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴DQ＝BE＝3，
∴S1+S2＝＝3+7.5＝10.5．
故答案为：10.5．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的几何背景，解题的关键是x+y和2xy还有x﹣y之间的关系．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．请在下面正方形网格中画出一个面积等于3的三角形，然后再画出这个三角形向右平移3个单位再向下平移2个单位后的图形．
【点拨】根据三角形的面积公式和平移的规律画出图形解答即可．
【解析】解：如图所示：
【点睛】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
18．计算：
（1）x（3x+4y）+（2x﹣y）2； （2）．
【点拨】（1）先利用单项式乘以多项式和完全平方公式计算，然后合并同类项即可；
（2）先把括号内合并和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【解析】解：（1）原式＝3x2+4xy+4x2﹣4xy+y2
＝7x2+y2；
（2）原式＝
＝
＝
＝．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．也考查了整式的运算．
19．解下列方程（组）：
（1）； （2）．
【点拨】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）将原方程去分母化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解析】解：（1），
①﹣②得：7y＝﹣21，
解得：y＝﹣3，
把y＝﹣3代入②得5x+9＝6，
解得：，
故方程组的解是；
（2）原方程去分母得：2x+4﹣4x＝0，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的增根，舍去，
故原分式方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，解二元一次方程组，熟练掌握解方程及方程组的方法是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，CE∥AB，F、G是AB、BC上的两点，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：FG∥AC；
（2）若∠1＝110°，CE平分∠ACD，求∠B的度数．#ZZ01
【点拨】（1）首先由CE∥AB得∠2＝∠A，再根据∠1+∠2＝180°，由此得∠1+∠A＝180°，据此可得出结论；
（2）先由∠1+∠2＝180°，∠1＝110°得∠2＝70°，再由CE平分∠ACD，得∠2＝∠ECD＝70°，最后再根据CE∥AB可得∠B的度数．
【解析】（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠2＝∠A，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1+∠A＝180°，
∴FG∥AC．
（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠1＝110°，
∴∠2＝70°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠2＝∠ECD＝70°，
∵CE∥AB，
∴∠B＝∠ECD＝70°．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质．
21．近年来，研学旅行作为一种寓教于乐的教学方式多次被写入国家级政策文件．某校学生会负责该校学生的一次研学活动，为设计出同学们最感兴趣的研学路线，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
调查问卷1．你最感兴趣的研学类型是_____（单选）A．研学+历史B．研学+科学C．研学+艺术D．研学+农业E．研学+外文F．研学+工业
（1）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中C，D的百分比；
（2）“B”与“C”所在的扇形圆心角的度数和为　136.8　 ；
（3）若该校共有4500名学生，请你估计该校对“研学+历史”最感兴趣的学生人数．
【点拨】（1）根据A的人数及其所占百分比可得样本容量，用C的人数除以样本容量可得C所占百分比，再用“1”分别减去其它分别所占百分比可得D所占百分比；用样本容量乘D所占百分比可得D的人数，即可补全条形统计图；
（2）用360°乘“B”与“C”所占百分比之和即可；
（3）利用样本估计总体列式解答即可．
【解析】解：（1）样本容量为：100÷25%＝400，
故C所占百分比为：＝20%，
所以D所占百分比为：1﹣25%﹣18%﹣20%﹣15%﹣12%＝10%，
D的人数为：400×10%＝40，
补全条形统计图如下：
（2）“B”与“C”所在的扇形圆心角的度数和为：360°×（18%+20%）＝136.8°，
故答案为：136.8；
（3）4500×25%＝1125（名），
答：估计该校对“研学+历史”最感兴趣的学生人数约1125名．
【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有效数据是解题的关键．
22．在学了乘法公式“（a±b）2＝a2±2ab+b2”的应用后，王老师提出问题：求代数式x2+6x+4的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+6x+4＝x2+6x+32﹣32+4＝（x+3）2﹣5，
∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣5≥﹣5．
当（x+3）2＝0时，（x+3）2﹣5的值最小，最小值是﹣5．
∴x2+6x+4的最小值是﹣5．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出（x﹣2）2+2的最小值为 　2　 ；
（2）求代数式x2+10x+29的最小值．
（3）若7x﹣x2+y﹣16＝0，求x+y的最小值．
【点拨】（1）根据偶次方的非负性可求得；
（2）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；
（3）根据7x﹣x2+y﹣16＝0，用x表示出y，写出x+y，先根据题意用配方法和偶次方的非负性可求．
【解析】解：（1）（x﹣2）2+2的最小值为2，
故答案为：2；
（2）x2+10x+29＝x2+10x+52+4＝（x+5）2+4，
∵（x+5）2≥0，
∴（x+5）2+4≥4，
∴当（x+5）2＝0时，（x+5）2+4的值最小，最小值为4，
∴x2+10x+29的最小值为4；
（3）∵7x﹣x2+y﹣16＝0，
∴y＝x2﹣7x+16，
∴x+y＝x2﹣7x+16+x＝x2﹣6x+16＝x2﹣6x+32﹣32+16＝（x﹣3）2+7，
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2+7≥7，
当（x﹣3）2＝0时，（x﹣3）2+7的值最小，最小值为7，
∴x+y的最小值为7．
【点睛】本题考查了配方法的应用和偶次方为非负数，解题的关键是能够将代数式配成完全平方式的形式．
23．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨及以下 a 0.50
超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.50
超过30吨的部分 3.00 0.50
（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用+污水处理费）
已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元．
（1）求a，b的值．
（2）如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？
（3）小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”）
【点拨】（1）根据“小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设小王家这个月用水x吨，根据小王家9月份上交水费108元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）设小王家11月份用水y吨，则小王家10月份用水（52﹣y）吨，分y≤17及17＜y＜22两种情况考虑，根据小王家一共交水费132.59元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解析】解：（1）根据题意得：，
解得：．
答：a的值为1.5，b的值为2.5；
（2）设小王家这个月用水x吨，
∵（1.5+0.5）×17＝34（元），（1.5+0.5）×17+（2.5+0.5）×（30﹣17）＝73（元），73＜108，
∴x＞30．
根据题意得：（1.5+0.5）×17+（2.5+0.5）×（30﹣17）+（3+0.5）（x﹣30）＝108，
解得：x＝40．
答：小王家这个月用水40吨；
（3）设小王家11月份用水y吨，则小王家10月份用水（52﹣y）吨，
当y≤17时，[（1.5+0.5）×17+（2.5+0.5）×（30﹣17）+（3+0.5）（52﹣y﹣30）]（1+2%）+（1.5+0.5）y＝132.59，
解得：y＝13；
当17＜y＜22时，[（1.5+0.5）×17+（2.5+0.5）×（30﹣17）+（3+0.5）（52﹣y﹣30）]（1+2%）+（1.5+0.5）×17+（2.5+0.5）（y﹣17）＝132.59，
解得：y＝（不符合题意，舍去）．
答：小王家11月份用水13吨．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或一元一次方程）是解题的关键．
24．阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题．
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组，设m＝，n＝，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为．
运用以上知识解决下列问题：
（1）求方程组的解．
（2）关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为　；　 ．
（3）举一反三：方程组的解为　　 ．
【点拨】（1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解；
（2）由已知得，求解即可得答案；
（3）利用换元思想设2x＝A，3y＝B，然后解方程组即可得到未知数的值．
【解析】解：（1）（1）设m＝，n＝，则原方程组可化为，
解得，
∴，
解得；
（2）根据题意得，
解得；
故答案为：；
（3）设2x＝A，3y＝B，则原方程组可化为，
解得，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查给新信息的阅读材料题目，关键在于运用题目所给定义解决问题，本题所给信息是换元法，适当换元可使得运算简便．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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