资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年第二学期七年级数学期末模拟试卷（4）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图中，∠1的同位角是（　　）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
2．下列计算正确的是（　　）
A．3a2÷6a2＝2a2 B．（a3）2＝a5 C．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6 D．a3 a4＝a7
3．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了12nm的光刻机难题，其中12nm＝0.000000012m，则12nm用科学记数法表示为（　　）
A．1.2×10﹣8m B．1.2×10﹣9m C．0.12×10﹣10m D．1.2×10﹣10m
4．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　）
A．3ab2﹣12a＝3a（b2﹣4） B．a2+ab﹣2＝a（a+b）﹣2
C． D．a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4）
5．若分式有意义，则x满足的条件是（　　）
A．x≠0 B．x≠3 C．x＞3 D．x＜3
6．某地区经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入是振兴前的2倍．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例，绘制了下面的扇形统计图，则下列说法错误的是（　　）
A．乡村振兴建设后，养殖收入是振兴前的2倍
B．乡村振兴建设后，种植收入减少
C．乡村振兴建设后，其它收入是振兴前的2.5倍
D．乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝32°，E，F分别在边BC，AB上，将△BEF沿着EF折叠，得到△B'EF，B′E与AB交于G．当B′E∥AC时，∠AFB'的度数是（　　）
A．25° B．26° C．30° D．32°
8．计算的结果是（　　）
A．4 B．4m﹣12 C．m﹣3 D．
9．甲、乙两人前后两次同时在同一家超市购买大米，前后两次购买大米的价格每千克分别为m元和n元（m，n为不相等的正数）．若甲每次购买p千克大米，乙每次花p元钱购买大米（p为正数）．则甲、乙两种购买方式平均价格低的是（　　）
A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．不确定
10．如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形ABCD中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为S1和S2．若知道下列条件，可以求S1﹣S2值的是（　　）
A．长方形纸片的面积 B．长方形纸片的周长
C．长方形纸片和①的面积差 D．图1与图2阴影部分的面积差
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．分解因式：m2﹣9m＝　 　 ．
12．如图，AB∥CD，CE平分∠ACD．若∠A＝120°，则∠AEC＝　 　 ．
13．将40个数据分成6组，第一组到第四组的频数分别为9，5，8，6，第六组的频率是0.1，则第五组的频率是 　 　 ．
14．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝16，则m的值为　 　 ．
15．若分式方程有增根，则a＝　 　 ．
16．若n满足（n﹣2023）2+（2024﹣n）2＝1，则（2024﹣n）（n﹣2023）等于 　 　 ．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，三角形ABC的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）．
（1）平移三角形ABC，使点A平移到点D（点B平移到点E，点C平移到点F），画出平移后的三角形DEF；
（2）连接CE，AE，请直接写出三角形AEC的面积是 　 　 ．
18．计算：
（1）；
（2）3m2 2m4﹣（2m3）2+m8÷m2．
19．解下列方程方程组．
（1）；
（2）．
20．2021年7月，教育部印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，某数学兴趣小组为了解本校九年级学生每周课外阅读的时间，随机调查了九年级部分学生，将收集的数据划分成4组，并将结果绘制成两幅不完整的统计图．
组别 A B C D
时间t（小时） 0≤t≤3 3＜t≤4 4＜t≤5 t＞5
请你根据以下图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 　 　 ，扇形统计图中的m的值为 　 　 ，A组所在扇形的圆心角的大小为 　 　 ；
（2）若该校九年级共有600名学生，请估计该校九年级每周课外阅读时间超过4小时的学生人数．
21．先化简，再求值：
（1），其中．
（2），然后从﹣1，1，2中选择一个合适的数代入求值．
22．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）AD与EC平行吗？请说明理由；
（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝75°，求∠FAB的度数．
23．对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：a*b＝a2+ab+2，例如：（﹣2）*3＝（﹣2）2+（﹣2）×3+2＝0．
（1）若a+b＝4，求a*b+b*a的值．
（2）若a*b＝4，求（a+b）*（a﹣b）的值．
（3）若a+b＝3，ab＝2，求a*b﹣b*a的值．
24．某商店决定购进A，B两种计算器，若购进A种计算器7件，B种计算器3件，需要640元；若购进A种计算器3件，B种计算器5件，需要590元．
（1）求购进A，B两种计算器每台需多少元？
（2）若该商店决定拿出1700元全部用来购进这两种计算器，钱正好用完，那么该商店共有几种进货方案？（允许只买A种或只买B种）．
（3）若销售每件A种计算器可获利润15元，每件B种计算器可获利润10元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图中，∠1的同位角是（　　）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【点拨】根据同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
【解析】解：由同位角的定义可知，∠1的同位角是∠4．
故选：C．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
2．下列计算正确的是（　　）
A．3a2÷6a2＝2a2 B．（a3）2＝a5 C．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6 D．a3 a4＝a7
【点拨】根据单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则逐项计算判断即可．
【解析】解：A、，故此选项不符合题意；
B、（a3）2＝a6，故此选项不符合题意；
C、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，故此选项不符合题意；
D、a3 a4＝a7，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
3．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了12nm的光刻机难题，其中12nm＝0.000000012m，则12nm用科学记数法表示为（　　）
A．1.2×10﹣8m B．1.2×10﹣9m C．0.12×10﹣10m D．1.2×10﹣10m
【点拨】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解析】解：12nm＝0.000000012m＝1.2×10﹣8m．
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为a×10﹣n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键．
4．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　）
A．3ab2﹣12a＝3a（b2﹣4） B．a2+ab﹣2＝a（a+b）﹣2
C． D．a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4）
【点拨】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解析】解：A．3ab2﹣12a＝3a（b2﹣4）＝3a（b+2）（b﹣2），故本选项不符合题意；
B．等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．等式的右边是整式与分式的积，即等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解）是解此题的关键．
5．若分式有意义，则x满足的条件是（　　）
A．x≠0 B．x≠3 C．x＞3 D．x＜3
【点拨】根据分式的分母不为零求解即可．
【解析】解：要使分式有意义，只须x﹣3≠0，即x≠3，
故选：B．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为零的条件是解题的关键．
6．某地区经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入是振兴前的2倍．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例，绘制了下面的扇形统计图，则下列说法错误的是（　　）
A．乡村振兴建设后，养殖收入是振兴前的2倍 B．乡村振兴建设后，种植收入减少
C．乡村振兴建设后，其它收入是振兴前的2.5倍
D．乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【点拨】根据某地区经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入是振兴前的2倍和扇形统计图，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而得到正确答案．
【解析】解：由题意得：
A．乡村振兴建设后，养殖收入是振兴前的2倍，故A选项正确，不符合题意；
B．乡村振兴建设后，种植收入相当于振兴前的37%×2＝74%，相对于振兴前收入增加了，故B选项错误，符合题意；
C．乡村振兴建设后，其他收入是振兴前的2倍以上，故C选项正确，不符合题意；
D．乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占总收入的30%+28%＝58%，故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝32°，E，F分别在边BC，AB上，将△BEF沿着EF折叠，得到△B'EF，B′E与AB交于G．当B′E∥AC时，∠AFB'的度数是（　　）
A．25° B．26° C．30° D．32°
【点拨】由∠C＝90°，∠B＝32°，求得∠A＝58°，由B′E∥AC，得∠AGB′＝∠A＝58°，由折叠得∠B′＝∠B＝32°，则58°＝∠AFB′+32°，求得∠AFB′＝26°，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵∠C＝90°，∠B＝32°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝58°，
∵B′E∥AC，
∴∠AGB′＝∠A＝58°，
∵将△BEF沿着EF折叠，得到△B'EF，
∴∠B′＝∠B＝32°，
∵∠AGB′＝∠AFB′+∠B′，
∴58°＝∠AFB′+32°，
∴∠AFB′＝26°，
故选：B．
【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、平行线的性质、翻折变换的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，求得∠AGB′＝∠A＝58°是解题的关键．
8．计算的结果是（　　）
A．4 B．4m﹣12 C．m﹣3 D．
【点拨】根据分式的加减运算法则计算即可，在进行分式运算后，若分子分母有公因式，要进行约分，化为最简形式．
【解析】解：原式＝
＝
＝4，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同分母分式相减，分母不变，分子相减，然后对分子进行化简，掌握分式的性质，分式加减运算法则是解题的关键．
9．甲、乙两人前后两次同时在同一家超市购买大米，前后两次购买大米的价格每千克分别为m元和n元（m，n为不相等的正数）．若甲每次购买p千克大米，乙每次花p元钱购买大米（p为正数）．则甲、乙两种购买方式平均价格低的是（　　）
A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．不确定
【点拨】分别求出甲、乙两种购买方式平均价格，再进行比较哪个更低．
【解析】解：甲两次购买的费用＝[p（m+n）]（元），
甲购买方式平均价格＝（）（元），
乙共购买的克数＝（+）（千克）
乙购买方式平均价格＝＝（）（元），
∵＝≥0，
∴乙购买方式平均价格更低，
故选：B．
【点睛】本题考查的是列代数式，根据题意正确列出代数式是解题的关键．
10．如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形ABCD中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为S1和S2．若知道下列条件，可以求S1﹣S2值的是（　　）
A．长方形纸片的面积 B．长方形纸片的周长
C．长方形纸片和①的面积差 D．图1与图2阴影部分的面积差
【点拨】用字母表示长度，列代数式，运用整式的运算进行验证．
【解析】解：如图，设矩形的两边长分别是a、b；阴影部分的长分别为下x、y；
则a+x＝b+y，即a﹣b＝y﹣x，
∴图1阴影部分面积为x2+y2，图2阴影部分面积为2xy；
∴x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2＝（a﹣b）2；
又因为①的面积是（b﹣x）（a﹣y）②的面积是（a﹣x）（b﹣y）；
（b﹣x）（a﹣y）﹣（a﹣x）（b﹣y）＝（a﹣b）（y﹣x）＝（a﹣b）2；
故选：D．
【点睛】本题整式的混合运算的运用，熟记运算法则是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．分解因式：m2﹣9m＝　m（m﹣9）　 ．
【点拨】直接提取公因式m即可．
【解析】解：原式＝m（m﹣9）．
故答案为：m（m﹣9）．
【点睛】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．
12．如图，AB∥CD，CE平分∠ACD．若∠A＝120°，则∠AEC＝　30°　 ．
【点拨】由平行线的性质求出∠ACD的度数，由角平分线定义求出∠DCE的度数，由平行线的性质得到∠AEC＝∠DCE，即可求解．
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°，∠AEC＝∠DCE，
∵∠A＝120°，
∴∠ACD＝60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACD＝30°，
∴∠AEC＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线定义，关键是掌握平行线的性质．
13．将40个数据分成6组，第一组到第四组的频数分别为9，5，8，6，第六组的频率是0.1，则第五组的频率是 　0.2　 ．
【点拨】根据频数与频率的关系即可求出答案．
【解析】解：第六组的频数为：0.1×40＝4，
∴第五组的频数为：40﹣9﹣5﹣8﹣6﹣4＝8，
∴第五组的频率是＝0.2．
故答案为：0.2．
【点睛】本题考查频数与频率，解题的关键是正确理解频数与频率的关系，本题属于基础题型．
14．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝16，则m的值为　4　 ．
【点拨】先把两方程相减，再利用整体代入法得到关于m的方程求解即可．
【解析】解：关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝16，则：
，
①﹣②得：2x+2y＝8m，
则x+y＝4m
∵x+y＝16，
∴4m＝16，
解得：m＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解法，掌握整体代入法是解题的关键．
15．若分式方程有增根，则a＝　2　 ．
【点拨】首先将分式方程去掉分母转化为整式方程，根据分式方程有增根进一步得出整式方程的解，由此代入整式方程求出a的值即可．
【解析】解：去分母得：2a＝4+5（x+2），
解得：，
∵分式方程有增根，
∴x＝﹣2，
∴，
解得：a＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了分式方程中增根的运用，熟练掌握相关方法是解题关键．
16．若n满足（n﹣2023）2+（2024﹣n）2＝1，则（2024﹣n）（n﹣2023）等于 　0　 ．
【点拨】利用完全平方公式即可求得答案．
【解析】解：∵n满足（n﹣2023）2+（2024﹣n）2＝1，
∴（2024﹣n）（n﹣2023）
＝
＝
＝0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查完全平方公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，三角形ABC的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）．
（1）平移三角形ABC，使点A平移到点D（点B平移到点E，点C平移到点F），画出平移后的三角形DEF；
（2）连接CE，AE，请直接写出三角形AEC的面积是 　　 ．
【点拨】（1）由题意得，三角形ABC向左平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到三角形DEF，结合平移的性质作图即可．
（2）利用三角形的面积公式计算即可．
【解析】解：（1）由题意得，三角形ABC向左平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到三角形DEF．
如图，三角形DEF即为所求．
（2）三角形AEC的面积是＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
18．计算：
（1）；
（2）3m2 2m4﹣（2m3）2+m8÷m2．
【点拨】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．
【解析】解：（1）
＝4+1﹣3
＝5﹣3
＝2；
（2）3m2 2m4﹣（2m3）2+m8÷m2
＝6m6﹣4m6+m6
＝3m6．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．解下列方程方程组．
（1）； （2）．
【点拨】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】解：（1），
①+②得：4x＝12，
解得：x＝3，
把x＝3代入②得：3+2y＝3，
解得：y＝0，
则方程组的解为；
（2）去分母得：x（x+1）﹣2x+1＝x2﹣1，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝2．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及解二元一次方程组，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．
20．2021年7月，教育部印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，某数学兴趣小组为了解本校九年级学生每周课外阅读的时间，随机调查了九年级部分学生，将收集的数据划分成4组，并将结果绘制成两幅不完整的统计图．
组别 A B C D
时间t（小时） 0≤t≤3 3＜t≤4 4＜t≤5 t＞5
请你根据以下图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 　150　 ，扇形统计图中的m的值为 　28　 ，A组所在扇形的圆心角的大小为 　72°　 ；
（2）若该校九年级共有600名学生，请估计该校九年级每周课外阅读时间超过4小时的学生人数．
【点拨】（1）用D组的人数除以D组人数所占的百分比得到样本容量，再用B组人数乘以样本容量可得到m的值，然后用360°乘以A组人数所占的百分比得到A组所在扇形的圆心角的大小；
（2）用600乘以样本中每周课外阅读时间超过4小时的学生人数所占的百分比即可．
【解析】解：（1）12÷8%＝150，
即本次调查的样本容量为150；
m%＝×100%＝28%，
即m＝28；
A组所在扇形的圆心角的度数为360°×＝72°．
故答案为：150，28，72°．
（2）C组的人数为：150﹣30﹣42﹣12＝66（人），
超过4小时的人数为：66+12＝78（人），
600×＝312（人）．
答：该校九年级每周课外阅读时间超过4小时的学生人数为312人．
【点睛】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．先化简，再求值：
（1），其中．
（2），然后从﹣1，1，2中选择一个合适的数代入求值．
【点拨】（1）根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可；
（2）根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定m的值，代入计算得到答案．
【解析】解：（1）原式＝[（x2﹣4xy+4y2）﹣（4x2﹣y2）﹣5y2]÷（﹣x）
＝（x2﹣4xy+4y2﹣4x2+y2﹣5y2）÷（﹣x）
＝（﹣3x2﹣4xy）÷（﹣x）
＝6x+8y，
当x＝1，y＝﹣时，原式＝6×1+8×（﹣）＝6﹣4＝2；
（2）原式＝（+）
＝
＝，
由题意得：m≠﹣1和2，
当m＝1时，原式＝＝﹣．
【点睛】本题考查的是整式的化简求值、分式的化简求值，掌握整式、分式的混合运算法则是解题的关键．
22．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）AD与EC平行吗？请说明理由；
（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝75°，求∠FAB的度数．
【点拨】（1）由∠1＝∠BDC可得AB∥CD，进一步可推得∠ADC+∠3＝180°，即可证明AD∥CE；
（2）由角平分线的定义可得∠ADC＝37.5°，结合（1）的结论可推得∠2＝∠ADC＝37.5°，根据两直线垂直的定义可得∠DAF＝90°，由此即得答案．
【解析】解：（1）AD∥CE，理由如下：
∵∠1＝∠BDC，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠ADC，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠ADC+∠3＝180°，
∴AD∥CE；
（2）∵DA平分∠BDC，∠1＝∠BDC＝75°，
∴，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠ADC＝37.5°，
∵DA⊥FA，
∴∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAF﹣∠2＝52.5°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，两直线垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
23．对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：a*b＝a2+ab+2，例如：（﹣2）*3＝（﹣2）2+（﹣2）×3+2＝0．
（1）若a+b＝4，求a*b+b*a的值．
（2）若a*b＝4，求（a+b）*（a﹣b）的值．
（3）若a+b＝3，ab＝2，求a*b﹣b*a的值．
【点拨】（1）（2）先按给出的新定义运算，再整体代入求值；
（3）先按给出的新定义运算，再根据已知，利用完全平方公式及变形求出a﹣b的值，最后代入计算．
【解析】解：（1）∵a*b+b*a
＝a2+ab+2+b2+ab+2
＝a2+2ab+b2+4
＝（a+b）2+4．
当a+b＝4时，
源氏＝42+4＝16+4＝20；
（2）（a+b）*（a﹣b）
＝（a+b）2+（a+b）（a﹣b）+2
＝a2+2ab+b2+a2﹣b2+2
＝2a2+2ab+2．
∵a*b＝4，
∴a2+ab+2＝4即a2+ab＝2．
∴原式＝2（a2+ab）+2
＝2×2+2
＝4+2
＝6．
（3）a*b﹣b*a
＝a2+ab+2﹣b2﹣ab﹣2
＝a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）．
∵a+b＝3，ab＝2，
∴（a+b）2＝9，即a2+2ab+b2＝9．
∴a2+b2＝5．
∴a2﹣2ab+b2＝5﹣2×2＝1．
∴（a﹣b）2＝1．
∴a﹣b＝1或a﹣b＝﹣1．
当a+b＝3，a﹣b＝1时，
原式＝3×1＝3；
当a+b＝3，a﹣b＝﹣1时，
原式＝3×（﹣1）＝﹣3．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，读懂题意，理解新定义运算的运算规定，掌握完全平方公式、平方差公式及变形是解决本题的关键．
24．某商店决定购进A，B两种计算器，若购进A种计算器7件，B种计算器3件，需要640元；若购进A种计算器3件，B种计算器5件，需要590元．
（1）求购进A，B两种计算器每台需多少元？
（2）若该商店决定拿出1700元全部用来购进这两种计算器，钱正好用完，那么该商店共有几种进货方案？（允许只买A种或只买B种）．
（3）若销售每件A种计算器可获利润15元，每件B种计算器可获利润10元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【点拨】（1）设购进每台A种计算器需要x元，每台B种计算器需要y元，根据“购进A种计算器7件，B种计算器3件，需要640元；购进A种计算器3件，B种计算器5件，需要590元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进a台A种计算器，b台B种计算器，利用总价＝单价×数量，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为非负整数，即可得出各进货方案；
（3）利用总利润＝每台A种计算器的销售利润×购进A种计算器的数量+每台B种计算器的销售利润×购进B种计算器的数量，可求出选择各方案可获得的总利润，比较后，即可得出结论．
【解析】解：（1）设购进每台A种计算器需要x元，每台B种计算器需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进每台A种计算器需要55元，每台B种计算器需要85元；
（2）设购进a台A种计算器，b台B种计算器，
根据题意得：55a+85b＝1700，
∴b＝20﹣a，
又∵a，b均为非负整数，
∴或，
∴该商店共有2种进货方案，
方案1：购进20台B种计算器；
方案2：购进17台A种计算器，9台B种计算器；
（3）选择方案1获得的总利润为10×20＝200（元）；
选择方案2获得的总利润为15×17+10×9＝345（元）．
∵200＜345，
∴购进17台A种计算器，9台B种计算器获利最大，最大利润是345元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案可获得的总利润．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑