资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
期末核心考点 空间点、直线、平面之间的位置关系
一．选择题（共7小题）
1．（2025 朝阳区校级四模）已知直线m∥平面α，直线n∥平面β，则“m⊥n”是“α⊥β”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2025春 泉州期中）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的12条棱所在的直线及直线BD，A1C1，B1D1中，与直线AC是异面直线的直线共有（　　）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
3．（2025春 东西湖区校级期中）下列命题中正确的是（　　）
A．若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α
B．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行
C．若直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α
D．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点
4．（2025春 贵州期中）以下四个命题中，其中正确的是（　　）
（1）平行于同一条直线的两条直线平行；（2）垂直于同一条直线的两个平面平行；
（3）平行于同一条直线的两个平面平行；（4）垂直于同一条直线的两条直线平行．
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（4） D．（2）（3）
5．（2024秋 北京期末）如图，下列各正方体中，O为下底面中心，P为其所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025春 如皋市月考）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AD，A1D1的中点，下列各组直线中属于异面直线的是（　　）
A．AB和C1D1 B．EF和CC1 C．AC和A1C1 D．AC和FC1
7．（2025 奉贤区二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点N在对角线A1C上，点M在对角线A1B上，，，以下命题正确的是（　　）
A．∥ B．D1、N、M三点共线
C．D1M与A1C是异面直线 D．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 田家庵区校级期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论中，正确的有（　　）
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线BN与MB1是异面直线
C．AM与BN平行
D．直线A1M与BN共面
（多选）9．（2025春 鄞州区校级期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是棱AB、BC、A1B1、BB1、C1D1、CC1的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．直线GH和MN平行，GH和EF异面
B．直线GH和MN平行，MN和EF相交
C．直线GH和MN相交，MN和EF异面
D．直线GH和EF异面，MN和EF异面
（多选）10．（2025春 黄埔区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
B．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与B1C是异面直线
C．用斜二测画法画水平放置的边长为1的正三角形，它的直观图的面积是
D．△ABC在平面α外，其三边所在直线分别和α交于P，Q，R，则P，Q，R一定共线
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 常州期中）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面是边长为1的正方形，且PD＝AD，点E是线段PB上异于P，B的点，当∠AEC为钝角时，的取值范围为 　 　 ．
12．（2025春 河北月考）在棱长均相等的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，甲、乙两人各从六个顶点中任意选取两个连成直线，这两条直线的夹角为45°的概率为 　 　 ．
13．（2024秋 裕安区校级期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是侧棱AA1的中点，则平面B1CE截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面图形的周长是 　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2024春 深圳期中）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E、F、G分别为棱AB、BC、B1C1的中点．
（1）证明：B1E∥平面ACG；
（2）在线段CC1是否存在一点N，使得平面NEF∥平面A1BC1？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．
15．（2024春 香坊区校级期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1上不同于B、B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G．
求证：（1）AC∥平面A1EC1；（2）AC∥FG．
期末核心考点 空间点、直线、平面之间的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 朝阳区校级四模）已知直线m∥平面α，直线n∥平面β，则“m⊥n”是“α⊥β”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；充分条件必要条件的判断．
【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离；简易逻辑；逻辑思维．
【答案】D
【分析】利用长方体棱与面的关系，结合充分条件、必要条件的定义说明判断．
【解答】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1∥平面ABCD，BC∥平面A1B1C1D1，
显然A1B1⊥BC，而平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
取直线A1B1为直线m，直线BC为直线n，
平面ABCD为平面α，平面A1B1C1D1为平面β，
因此有直线m∥平面α，直线n∥平面β，由m⊥n不能推出α⊥β；
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1∥平面ABCD，AB∥平面CDD1C1，
显然平面ABCD⊥平面CDD1C1，而直线AB∥A1B1，
取直线A1B1为直线m，直线BC为直线n，
平面ABCD为平面α，平面A1B1C1D1为平面β，
因此有直线m∥平面α，直线n∥平面β，由α⊥β不能推出m⊥n．
所以“m⊥n”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
2．（2025春 泉州期中）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的12条棱所在的直线及直线BD，A1C1，B1D1中，与直线AC是异面直线的直线共有（　　）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】B
【分析】根据异面直线的概念判断即可．
【解答】解：根据题意，如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的12条棱所在的直线及直线BD，A1C1，B1D1中，与直线AC是异面直线的直线有BB1，DD1，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，B1D1，共7条．
故选：B．
【点评】本题考查异面直线的判断，涉及四棱台的结构特征，属于基础题．
3．（2025春 东西湖区校级期中）下列命题中正确的是（　　）
A．若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α
B．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行
C．若直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α
D．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间想象．
【答案】D
【分析】根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可．
【解答】解：对A选项，当线面相交时，不成立，所以A选项错误；
对B选项，若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行或异面，所以B选项错误；
对C选项，若直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α或a α，所以C选项错误；
对D选项，若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
4．（2025春 贵州期中）以下四个命题中，其中正确的是（　　）
（1）平行于同一条直线的两条直线平行；（2）垂直于同一条直线的两个平面平行；
（3）平行于同一条直线的两个平面平行；（4）垂直于同一条直线的两条直线平行．
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（4） D．（2）（3）
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间想象．
【答案】A
【分析】根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可．
【解答】解：因为平行于同一条直线的两条直线平行，所以（1）正确；
因为垂直于同一条直线的两个平面平行，所以（2）正确；
因为平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交，所以（3）错误；
因为垂直于同一条直线的两条直线可能平行，异面或相交，所以（4）错误．
故选：A．
【点评】本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
5．（2024秋 北京期末）如图，下列各正方体中，O为下底面中心，P为其所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】通过建立空间直角坐标系，对于每个选项，先确定相关点的坐标，进而得到向量与的坐标，再计算它们的数量积进行判断．
【解答】解：因为正方体中，O为下底面中心，P为其所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，
所以对于选项A，建系如图，设正方体棱长为2．
则N（2，2，2），M（0，0，2），P（0，2，1），O（1，1，0）．
所以，，
所以．
所以，所以A选项正确；
对于选项B，建系如图：
同理由A选项分析可知N（0，2，2），M（2，2，0），P（2，1，2），O（1，1，0），
所以，，
所以．
所以MN与OP不垂直，所以B选项错误；
对于选项C，建系如图：
同理由A选项分析可知N（0，0，2），M（2，0，0），P（0，0，1），O（1，1，0）．
，．
则.则MN与OP不垂直．故C错误．
对于选项D，建系如图：
同理由A选项分析可知N（0，0，2），M（2，2，0），P（2，2，1），O（1，1，0）．
，，
则.则MN与OP不垂直．故D错误．
故选：A．
【点评】本题考查空间中各要素的位置关系，属中档题．
6．（2025春 如皋市月考）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AD，A1D1的中点，下列各组直线中属于异面直线的是（　　）
A．AB和C1D1 B．EF和CC1 C．AC和A1C1 D．AC和FC1
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线的判定．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；数学抽象．
【答案】D
【分析】根据题意，由直线与直线的位置关系依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，AB和C1D1是平行直线，不符合题意；
对于B，EF和CC1是相交直线，不符合题意；
对于C，AC与A1C1是平行直线，不符合题意；
对于D，AC和FC1既不相交也不平行，是异面直线，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查直线与直线的位置关系，涉及正四棱台的结构特征，属于基础题．
7．（2025 奉贤区二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点N在对角线A1C上，点M在对角线A1B上，，，以下命题正确的是（　　）
A．∥ B．D1、N、M三点共线
C．D1M与A1C是异面直线 D．
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间向量的共线与共面．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；空间想象．
【答案】B
【分析】根据平行六面体的性质，相似三角形的性质，针对各个选项分别求解即可．
【解答】解：如图，连接D1C，连接DN延长交AB1于点M，理由如下：
根据题意可知A1D1∥BC，且A1D1＝BC，
所以四边形A1D1CB为平行四边形，
所以D1C∥A1B，又，
所以，
所以，，满足，所以D选项错误；
所以D1、N、M三点共线，所以B选项正确，
所以D1M∩A1C＝N，所以C选项错误；
因为MN与BC相交，所以A选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 田家庵区校级期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论中，正确的有（　　）
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线BN与MB1是异面直线
C．AM与BN平行
D．直线A1M与BN共面
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行；平面的基本性质及推论；异面直线的判定．
【专题】对应思想；定义法；立体几何；逻辑思维．
【答案】BD
【分析】根据异面直线的定义，判定空间中直线是异面还是共面即可．
【解答】解：A选项，∵A、M、C、C1四点不共面，
∴直线AM与CC1是异面直线，故选项A错误；
B选项，∵直线BN与MB1不同在任何一个平面，
∴直线BN与MB1是异面直线，故选项B正确；
C选项，取DD1的中点E，连接AE、EN，则有AE∥BN，
∵AM与AE交于点A，∴AM与AE 不平行，则AM与BN不平行，故选项C错误；
D选项，∵MN∥A1B，MNA1B，
∴A1、B、M、N四点共面，
∴直线A1M与BN共面，故选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查的是空间中直线与直线的位置关系，根据定义判定直线与直线平行、相交、异面是解决本题的关键，属中档题．
（多选）9．（2025春 鄞州区校级期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是棱AB、BC、A1B1、BB1、C1D1、CC1的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．直线GH和MN平行，GH和EF异面
B．直线GH和MN平行，MN和EF相交
C．直线GH和MN相交，MN和EF异面
D．直线GH和EF异面，MN和EF异面
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】整体思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；直观想象．
【答案】AB
【分析】由正方体的结构特征及空间中直线与直线的位置关系分析求解．
【解答】解：如图，
连接GM，HN，由G、H、M、N分别是棱A1B1、BB1、C1D1、CC1的中点，
可得GM∥B1C1∥HN，GM＝B1C1＝HN，可得四边形MGHN为平行四边形，则GH∥MN；
∵F、N分别为BC、CC1的中点，∴FN∥BC1，
又E、M分别为AB、D1C1的中点，则FN∥BC1∥EM可得四边形EFNM为平面图形，
而FN，可得MN与EF相交，则GH与EF异面．
故选：AB．
【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
（多选）10．（2025春 黄埔区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
B．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与B1C是异面直线
C．用斜二测画法画水平放置的边长为1的正三角形，它的直观图的面积是
D．△ABC在平面α外，其三边所在直线分别和α交于P，Q，R，则P，Q，R一定共线
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；斜二测法画直观图；异面直线的判定．
【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何；数学抽象．
【答案】BD
【分析】根据题意，举出反例可得A错误，由异面直线的定义分析B，由平面图形直观图的性质分析C，由平面的基本性质分析D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，如图：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
AB、AC、AD1三条直线相交于同一点，但不在同一平面内，A错误；
对于B，如图：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
直线BD1与B1C是异面直线，B正确；
对于C，边长为1的正三角形，其面积S1×1，则其直观图的面积是S′S，C错误；
对于D，△ABC在平面α外，其三边所在直线分别和α交于P，Q，R，
P，Q，R三点在平面△ABC内，同时也在平面α内，在P，Q，R在两个平面的交线上，即P，Q，R三点共线，D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查空间直线之间的位置关系，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 常州期中）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面是边长为1的正方形，且PD＝AD，点E是线段PB上异于P，B的点，当∠AEC为钝角时，的取值范围为 　（，1）　 ．
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】（，1）．
【分析】找到临界条件，再根据运动变化思想，即可求解．
【解答】解：根据题意易知AE＝CE，AC，
因为PD⊥平面ABCD，所以可得PD⊥BD，
所以PB，
当∠AEC为直角时，可得AE＝CE＝1，
又AB＝BC＝1，又AB⊥AD，
因为PD⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，所以PD⊥AB，
又AD∩PD＝D，所以AB⊥平面PAD，又PA 平面PAD，
所以AB⊥PA，所以cos∠ABP，
所以此时BE＝2ABcos∠ABP＝2×1，
所以当时，∠AEC为钝角，
所以1∈（，1）．
故答案为：（，1）．
【点评】本题考查立体几何中变化问题的求解，属中档题．
12．（2025春 河北月考）在棱长均相等的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，甲、乙两人各从六个顶点中任意选取两个连成直线，这两条直线的夹角为45°的概率为 　　 ．
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】先确定所得两条直线夹角为45°的选法数，再确定甲、乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线的所有结果的个数，利用古典概型概率公式求概率．
【解答】解：根据题意，如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
夹角为45°的两条直线只能是侧面的一条对角线和这个侧面的四条边或是另一条侧棱，
例如直线A1B与直线AB，BB1，A1B1，AA1，CC1的夹角均为45°，
其中面对角线有6条，共6×5＝30对，
甲，乙两人的所有取法为，故其概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型的计算，涉及直线与直线的位置关系，属于中档题．
13．（2024秋 裕安区校级期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是侧棱AA1的中点，则平面B1CE截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面图形的周长是 　32　 ．
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；平面的基本性质及推论．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】32．
【分析】根据题意，利用作延长线找交点法，得出截面图形为梯形B1CGE，求出梯形B1CGE周长即为所求．
【解答】解：根据题意，连接B1E，与BA的延长线交于点F，连接CF与AD交于点G，
如图：AEBB1，且AE∥BB1，
∴A为BF的中点，则G为AD的中点，
故截面为梯形B1CGE，
其中B1C2，EG，CG＝B1E，
则梯形B1CGE的周长为32，即所得的截面图形的周长是32．
故答案为：32．
【点评】本题考查截面面积的计算，涉及正方体的几何结构，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．（2024春 深圳期中）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E、F、G分别为棱AB、BC、B1C1的中点．
（1）证明：B1E∥平面ACG；
（2）在线段CC1是否存在一点N，使得平面NEF∥平面A1BC1？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行；平面与平面平行．
【专题】计算题；方程思想；空间位置关系与距离；数学抽象．
【答案】（1）证明见解析；
（2）当N为CC1的中点时，平面NEF∥平面A1BC1，证明见解析．
【分析】（1）根据题意，取AC的中点M，连接EM、GM，由中位线的性质分析可得B1G∥EM且B1G＝EM，由此可得四边形EMGB1为平行四边形，必有B1E∥GM，由此可得证明；
（2）根据题意，当N为CC1的中点时，连接NE、NF，分析可得NF∥平面A1BC1且EF∥平面A1BC1，由面面平行的性质分析可得答案．
【解答】解：（1）证明：取AC的中点M，连接EM、GM，
在△ABC中，由于E、M分别为AB、AC的中点，
则EM∥BC且EMBC，
又由G为B1C1的中点，B1C1∥BC，则有B1G∥BC且B1GBC，
故有B1G∥EM且B1G＝EM，
四边形EMGB1为平行四边形，必有B1E∥GM，
又由MG∥EM，B1E 平面ACG，所以有B1E∥平面ACG；
（2）根据题意，当N为CC1的中点时，平面NEF∥平面A1BC1，
证明：连接NE、NF，
由于N、F分别是CC1和BC的中点，所以NF∥BC1，
因为NF 平面A1BC1，BC1 平面A1BC1，故NF∥平面A1BC1，
由于EF∥AC，AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，
又由EF 平面A1BC1，A1C1 平面A1BC1，故EF∥平面A1BC1，
又由EF 平面NEF，NF 平面NEF，EF∩NF＝F，
则平面NEF∥平面A1BC1．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，涉及直线与平面平行、平面与平面平行的证明，属于基础题．
15．（2024春 香坊区校级期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1上不同于B、B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G．
求证：（1）AC∥平面A1EC1；（2）AC∥FG．
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行．
【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由AC∥A1C1，能证明AC∥平面A1EC1．
（2）由AC∥平面A1EC1，平面AB1C∩平面A1EC1＝GF，利用直线与平面平行的性质定理能证明AC∥FG．
【解答】证明：（1）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵AC∥A1C1，AC 平面A1EC1，A1C1 平面A1EC1，
∴AC∥平面A1EC1．
（2）∵AC∥平面A1EC1，AC 平面AB1C，
平面AB1C∩平面A1EC1＝GF，
∴由直线与平面平行的性质定理得AC∥FG．
【点评】本题考查线面平行、线线平行的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑