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期末核心考点 平面向量及其应用
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 惠东县期中）在△ABC中，若a＝4，b＝7，c＝9，则最大角的余弦值是（　　）
A． B． C．0 D．
2．（2025 河北模拟）已知向量，向量，若与的夹角为45°，则自然数λ＝（　　）
A．1 B．3 C．5 D．9
3．（2025春 漳州期中）已知，，，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025春 惠东县期中）已知向量，，且，那么x的值是（　　）
A．﹣13 B．12 C．13 D．﹣12
5．（2025春 斗门区校级期中）向量在向量方向上的投影向量的模为（　　）
A．2 B． C． D．
6．（2025春 南京校级期中）已知向量（0，1），（1，2），若，则λ＝（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
7．（2025春 中山区校级期中）已知向量（﹣5，m），（2m﹣1，﹣3），且，的夹角为钝角，则m的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 东西湖区校级期中）如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的一个定点，点A到l1，l2的距离分别为1，2．点B是直线l2上一个动点，过点A作AC⊥AB，交直线l1于点C，点G满足，则（　　）
A．
B．当|AB|＝4时，
C．△ABC面积的最小值是1
D．|AG|≥1
（多选）9．（2025春 惠东县期中）下列条件能使的是（　　）
A． B．
C． D．，
（多选）10．（2025春 惠东县期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝45°，c＝8，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（　　）
A．6 B． C． D．8
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 贵州期中）某数学兴趣小组为测量某地山的高度，得到如下数学模型：选择与山底在同一水平面的两个测量基点C，D且两基点的距离CD为100m．点B为山顶A在山底面内的投影，测得，，在基点C处测得山顶A的仰角为，则此山的高度为
　 　 m．
12．（2025春 湖北期中）在△ABC中，点E是BC的中点，点D满足，且，若记向量在向量上的投影向量为，则||的最小值为 　 　 ．
13．（2025春 漳州期中）已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，，则 　 　 ．设△ABD与△BCD面积分别为S1，S2．的最大值为 　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 惠东县期中）已知向量（1，1），（2，﹣3）．
（Ⅰ）求|2|；
（Ⅱ）求向量，的夹角θ的余弦值；
（Ⅲ）若k2与平行，求实数k的值．
15．（2025春 漳州期中）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若．
（1）求A；
（2）若Q为_____，线段AQ的延长线交BC于点D，求S△ABC的最大值或最小值．
（从条件①内心，AD＝3，②垂心，AD＝3③重心，AQ＝2，任选一个作答）
期末核心考点 平面向量及其应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 惠东县期中）在△ABC中，若a＝4，b＝7，c＝9，则最大角的余弦值是（　　）
A． B． C．0 D．
【考点】余弦定理．
【专题】对应思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】B
【分析】由余弦定理计算即可．
【解答】解：因为a＝4，b＝7，c＝9，
所以由大边对大角知，C最大，
由余弦定理得：．
故选：B．
【点评】本题考查余弦定理的应用，属于基础题．
2．（2025 河北模拟）已知向量，向量，若与的夹角为45°，则自然数λ＝（　　）
A．1 B．3 C．5 D．9
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据数量积的坐标公式以及夹角列出λ的方程，求解即可．
【解答】解：由，与的夹角为45°，
所以 λ+6，||，||，
所以cos，cos45°，
整理可得：λ2﹣8λ﹣9＝0，解得λ＝9或﹣1，
故自然数λ＝9．
故选：D．
【点评】本题考查向量的数量积的求法及向量的夹角的余弦值的求法，属于基础题．
3．（2025春 漳州期中）已知，，，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据模长结合数量积的运算律可得，即可得向量夹角．
【解答】解：因为，，，
所以19，得，
则，
又，所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查求平面向量的夹角，属于基础题．
4．（2025春 惠东县期中）已知向量，，且，那么x的值是（　　）
A．﹣13 B．12 C．13 D．﹣12
【考点】平面向量数量积的坐标运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】利用向量数量积的坐标运算可求x的值．
【解答】解：，
因为，
所以，解得x＝13．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
5．（2025春 斗门区校级期中）向量在向量方向上的投影向量的模为（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】平面向量的投影向量．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】先求解向量在向量方向上的投影向量为，再根据向量模的坐标运算求解即可．
【解答】解：向量，，
则，，
向量在向量方向上的投影向量为：，
所以向量在向量方向上的投影向量的模为．
故选：B．
【点评】本题主要考查平面向量的投影向量，属于基础题．
6．（2025春 南京校级期中）已知向量（0，1），（1，2），若，则λ＝（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意，根据向量垂直列方程，化简求得λ，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若，则，即，
向量，则 2，2＝1，
则有0+2＝λ，解得λ＝2．
故选：A．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断方法，属于基础题．
7．（2025春 中山区校级期中）已知向量（﹣5，m），（2m﹣1，﹣3），且，的夹角为钝角，则m的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据条件可得出，然后解出m的范围即可．
【解答】解：∵的夹角为钝角，
∴且不共线，
∴，解得且m≠3，
∴m的取值范围为：．
故选：D．
【点评】本题考查了向量数量积的计算公式，向量坐标的数量积运算，平行向量的坐标关系，是基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 东西湖区校级期中）如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的一个定点，点A到l1，l2的距离分别为1，2．点B是直线l2上一个动点，过点A作AC⊥AB，交直线l1于点C，点G满足，则（　　）
A．
B．当|AB|＝4时，
C．△ABC面积的最小值是1
D．|AG|≥1
【考点】平面向量的综合题；解三角形．
【专题】计算题；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】对于A：根据向量减法运算可判断；对于B：设，用角θ表示相应长度，结合题意运算求解即可；对于C：用角θ表示△ABC面积，结合二倍角正弦公式判断；对于D：利用向量数量积的运算律以及基本不等式判断．
【解答】解：对于选项A：因为，则，
所以，故A正确；
对于选项B：过点A作DE⊥l1交直线l1于点E，交直线l2于点D，
因为点A到l1l2的距离分别为1、2，则|DA|＝2，|AE|＝1，设，
因为AC⊥AB，则，可得，，
若，则，可得，所以，故B正确；
对于选项C：因为AC⊥AB，则，
当且仅当时，等号成立，所以△ABC面积的最小值是2，故C错误；
对于选项D：因为AC⊥AB，则且，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，即，所以|AG|≥1，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查平面向量的综合题，属于中档题．
（多选）9．（2025春 惠东县期中）下列条件能使的是（　　）
A． B．
C． D．，
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】由向量的模相等、向量相等、向量的模为0以及向量共线定理即可逐一判断各个选项．
【解答】解：对于A，向量模相等不一定能保证向量共线，故A错误；
对于B，能保证向量共线，且它们的模也相等，故B正确；
对于C，等价于是零向量，而零向量可以和任何向量共线，故C正确；
对于D，不存在任何实数λ使得，即方程组不可能成立，这意味着不能共线，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查向量的相关知识，属于基础题．
（多选）10．（2025春 惠东县期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝45°，c＝8，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（　　）
A．6 B． C． D．8
【考点】解三角形；正弦定理．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】BD
【分析】求出h＝csinB，结合解该三角形有且只有一解，即可得出结论．
【解答】解：∵h＝csinB＝8×sin45°＝4，
又解该三角形有且只有一解，
则b的可能值为4或8．
故选：BD．
【点评】本题考查了利用正弦定理判定三角形解的个数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 贵州期中）某数学兴趣小组为测量某地山的高度，得到如下数学模型：选择与山底在同一水平面的两个测量基点C，D且两基点的距离CD为100m．点B为山顶A在山底面内的投影，测得，，在基点C处测得山顶A的仰角为，则此山的高度为 　　 m．
【考点】解三角形．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】．
【分析】先在△BCD中，利用正弦定理求得BC，再在Rt△ABC中，由正切函数的定义即可求得AB，由此解答即可．
【解答】解：在△BCD中，CD＝100m，，，
所以，
由正弦定理得，即，解得，
在Rt△ABC中，，所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，正切函数定义的应用，属于中档题．
12．（2025春 湖北期中）在△ABC中，点E是BC的中点，点D满足，且，若记向量在向量上的投影向量为，则||的最小值为 　　 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量．
【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】利用中点向量可得，再根据投影向量公式和基本不等式即可求解．
【解答】解：∵
，
∴
，
当且仅当即时取等号，
则||的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算和基本不等式的应用，属于中档题．
13．（2025春 漳州期中）已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，，则 　1　 ．设△ABD与△BCD面积分别为S1，S2．的最大值为 　　 ．
【考点】解三角形．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】1；．
【分析】在两个三角形△ABD和△BCD中，利用公共边BD列出余弦定理方程即可求得；利用三角形的面积公式表示出，进而可求解．
【解答】解：设△ABD与△BCD面积分别为S1，S2，
则．
在△ABD中，BD2＝AD2+AB2﹣2 AD AB cosA，
即，
在△BCD中，BD2＝CD2+CB2﹣2 CD CB cosC，
即BD2＝1+1﹣2cosC＝2﹣2cosC，
所以，所以，
则
，
∴当，即时，最大值，最大值为，
故答案为：1；．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 惠东县期中）已知向量（1，1），（2，﹣3）．
（Ⅰ）求|2|；
（Ⅱ）求向量，的夹角θ的余弦值；
（Ⅲ）若k2与平行，求实数k的值．
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）k＝﹣2．
【分析】（Ⅰ）根据向量的坐标可求出向量的坐标，然后即可得出答案；
（Ⅱ）根据向量夹角的余弦公式即可得解；
（Ⅲ）根据平行向量的坐标关系即可得解．
【解答】解：（ I）因为（1，1），（2，﹣3），
所以（1，1）﹣2（2，﹣3）＝（﹣3，7），
所以；
（Ⅱ）因为（1，1），（2，﹣3），所以2×1+1×（﹣3）＝﹣1，，，
所以；
（Ⅲ），且与平行，
∴3（k+6）﹣（﹣2）（k﹣4）＝0，解得k＝﹣2．
【点评】本题考查了向量坐标的加法、减法和数乘、数量积的运算，向量夹角的余弦公式，平行向量的坐标关系，是基础题．
15．（2025春 漳州期中）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若．
（1）求A；
（2）若Q为_____，线段AQ的延长线交BC于点D，求S△ABC的最大值或最小值．
（从条件①内心，AD＝3，②垂心，AD＝3③重心，AQ＝2，任选一个作答）
【考点】解三角形；利用正弦定理解三角形．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）；
（2）答案见解析．
【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，由此即可求出A的值；
（2）选择条件①②③时分别计算，根据内心得到，根据垂心得到，根据重心得到，结合基本不等式计算面积最值即可．
【解答】解：（1）根据正弦定理及，则，
又sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
所以，
又sinC≠0，
所以，即，又A∈（0，π），所以；
（2）若选条件①：
根据题意可知，Q为△ABC的内心，所以，
由S△ABC＝S△ABD+S△ACD，得
因为AD＝3，所以，
所以，即bc≥12，
所以．
当且仅当b＝c时取面积最小值．
若选条件②：
根据题意可知，Q为△ABC的垂心，且AD＝3，
所以，
故，即（bc）2＝12a2，
又，
即（bc）2＝12（b2+c2﹣bc）≥12（2bc﹣bc），所以bc≥12
所以．
当且仅当b＝c时取面积最小值．
若选条件③：
根据题意可知，Q为△ABC的重心，且AQ＝2，所以，
又，故，
即，
即36＝c2+b2+bc≥3bc，所以bc≤12
所以．
当且仅当b＝c时取最大值．
【点评】本题考查了解三角形，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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