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期末核心考点 三角函数
一．选择题（共7小题）
1．（2025 宁德三模）若函数在区间[a，a+1]上的最小值为m，最大值为M，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025春 上饶期中）把函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2025春 酒泉期中）已知函数f（x）＝sinx+acosx的图象关于点对称，则f（x）的最大值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
4．（2025 点军区校级模拟）将函数和直线g（x）＝x﹣1的所有交点从左到右依次记为A1，A2，…，An，若P点坐标为（0，），则||＝（　　）
A．0 B．2 C．6 D．10
5．（2025 白银校级三模）函数g（x）的图象与函数的图象关于直线对称，则（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
6．（2025 昆明校级模拟）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 甘肃模拟）将函数y＝sinx图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y＝f（x）的图象．再将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度，得到y＝g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 中山区校级期中）若扇形周长为12，当这个扇形的面积最大时，下列结论正确的是（　　）
A．扇形的圆心角为2
B．扇形的弧长为6
C．扇形的半径为6
D．扇形圆心角所对弦长为6sinl
（多选）9．（2025 重庆模拟）已知函数，则（　　）
A．π为f（x）的一个周期
B．f（x）的图象关于点对称
C．f（x）在上单调递增
D．f（x）的值域为
（多选）10．（2025春 斗门区校级期中）已知函数f（x）＝4tan（ωx﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则（　　）
A．ω＝2
B．
C．f（x）的图象与y轴的交点坐标为
D．函数y＝|f（x）|的图象关于直线对称
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 上饶期中）已知角θ的终边经过点（1，﹣2），则tanθ＝ 　 　 ， 　 　 ．
12．（2025春 湖北期中）在直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆O交于点，将α的终边沿逆时针方向旋转90°与单位圆交于点B，则B的坐标为 　 　 ．
13．（2025春 斗门区校级期中）将函数图象上每一点纵坐标不变，向右平移个单位长度得到的图象，则　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 上饶期中）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．
（1）求A，ω，φ．
（2）已知函数g（x）＝f（x）+|f（x）|．
①求g（x）的分段解析式；
②若g（x）在[2π，m]上的图象与直线恰有3个公共点，求m的取值范围．
15．（2025春 鲤城区校级期中）若函数f（x）满足，且f（a﹣x）＝f（x+a），a∈R，则称f（x）为“M型a函数”．
（1）判断函数是否为“M型函数”，并说明理由；
（2）已知g（x）为定义域为R的奇函数，当x＞0时，g（x）＝lnx，函数h（x）为“M型函数”，当时，h（x）＝2cos2x，若函数F（x）＝g（h（x）﹣m）（m∈R）在上的零点个数为9，求m的取值范围．
期末核心考点 三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 宁德三模）若函数在区间[a，a+1]上的最小值为m，最大值为M，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】三角函数的最值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】AB选项，，其中，数形结合得到m的最小值为﹣2，最大值为，得到B正确，CD选项，同理可得．
【解答】解：函数在区间[a，a+1]上的最小值为m，最大值为M，
AB选项，x∈[a，a+1]时，，
显然m的最小值为﹣2，只需内有即可，
当时，m取得最大值，最大值为，
故，A错误，B正确；
CD选项，同理M的最大值为2，只需内有即可，
当时，M取得最小值，最小值为，
故，CD错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
2．（2025春 上饶期中）把函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】正弦函数的单调性；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】根据图象平移可得函数g（x），利用正弦函数的单增区间即可求得g（x）的单增区间．
【解答】解：由题意得g（x）＝f（x），所以，
令，得，
所以g（x）的单调递增区间为．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
3．（2025春 酒泉期中）已知函数f（x）＝sinx+acosx的图象关于点对称，则f（x）的最大值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【考点】三角函数的最值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】利用已知条件，取特殊值，代入得到关于a的方程，解出a．然后将a代入函数化简，同样根据正弦函数性质求最大值．
【解答】解：由题意，得，解得，
所以，
故当，即时，f（x）取得最大值．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
4．（2025 点军区校级模拟）将函数和直线g（x）＝x﹣1的所有交点从左到右依次记为A1，A2，…，An，若P点坐标为（0，），则||＝（　　）
A．0 B．2 C．6 D．10
【考点】正弦函数的图象．
【专题】数形结合；数形结合法；三角函数的图象与性质；数据分析．
【答案】D
【分析】首先根据题意作出图象，再结合余弦函数的中心对称性化简各个向量的和，即可得解．
【解答】解：将函数4cosx 和直线g（x）＝x﹣1的所有交点，
从左到右依次记为A1，A2，…，An，若P点坐标为（0，），
由题意作出图象如图，共得5个交点，其中A3（1，0），
根据余弦函数的中心对称性可知，
A1和A5，A2和A4关于A3对称，
∴2，
∴则||＝5||＝10，
故选：D．
【点评】此题考查了数形结合，余弦函数的对称性，向量加法法则等，属于中档题．
5．（2025 白银校级三模）函数g（x）的图象与函数的图象关于直线对称，则（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】由对称性得到即可求解．
【解答】解：g（x）的图象与函数的图象关于直线对称，
依题意，．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数图象的对称性的应用，属于基础题．
6．（2025 昆明校级模拟）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】A
【分析】利用任意角的三角函数的定义以及诱导公式即可求解．
【解答】解：因为角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，
所以sinα，
则sinα．
故选：A．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义以及诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
7．（2025 甘肃模拟）将函数y＝sinx图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y＝f（x）的图象．再将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度，得到y＝g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】利用伸缩变换和平移变换即可求得．
【解答】解：将函数y＝sinx图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位长度，
得到g（x）＝sin（2x）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正弦函数图象的变换，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 中山区校级期中）若扇形周长为12，当这个扇形的面积最大时，下列结论正确的是（　　）
A．扇形的圆心角为2
B．扇形的弧长为6
C．扇形的半径为6
D．扇形圆心角所对弦长为6sinl
【考点】扇形面积公式．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据扇形的面积公式，弧长公式，及二次函数最值可得解．
【解答】解：设扇形半径为r，弧长为l，圆心角为α，
所以扇形弧长为l＝12﹣2r，
所以面积S（r﹣3）2+9，
当r＝3时，l＝12﹣2×3＝6，面积S有最大值，，
所对弦长为2r sin6sin1．
故选：ABD．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，弧长公式以及二次函数最值，属于中档题．
（多选）9．（2025 重庆模拟）已知函数，则（　　）
A．π为f（x）的一个周期
B．f（x）的图象关于点对称
C．f（x）在上单调递增
D．f（x）的值域为
【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性和对称性；余弦函数的单调性；三角函数的周期性．
【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据周期的定义，结合三角函数的诱导公式判断出A项的正误；根据函数图象的对称性加以验证，可判断出B项的正误；运用导数研究函数的单调性，发现f′（x）≥0在[，]上成立，由此判断出C项的正误；通过举例说明，发现函数的值域不是[，]，从而判断出D项的正误．
【解答】解：对于A，f（x+π）f（x），
可知π是f（x）的一个周期，A项正确；
对于B，f（π﹣x）f（x），
可知f（x）的图象关于点对称，B项正确；
对于C，由cos2x，化简得f（x），
求导数得f′（x），
当x∈[，]时，2x∈[，]，可得cos2x，2cos2x+1≥0，
所以f′（x）≥0在[，]上成立，可知f（x）在上单调递增，C项正确；
对于D，由f（），
可知f（x）的值域不可能是[，]，故D项不正确．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查三角函数的周期性与奇偶性、函数图象的对称性、运用导数研究函数的单调性等知识，属于中档题．
（多选）10．（2025春 斗门区校级期中）已知函数f（x）＝4tan（ωx﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则（　　）
A．ω＝2
B．
C．f（x）的图象与y轴的交点坐标为
D．函数y＝|f（x）|的图象关于直线对称
【考点】正切函数的图象；正切函数的奇偶性与对称性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据图象求周期，然后可判断A；
根据正切函数定义域可判断B；
代入验证可判断C；
判断f（x）关于点对称，然后由图象的对称变换可判断D．
【解答】解：A项，由图可知，f（x）的最小正周期，则ω＝2，A项正确；
B项，由图象可知时，函数无意义，故，
由0＜φ＜π，得，即，B项错误；
C项，，C项正确；
D项，由，则f（x）的图象关于点对称，
由图象对称变换可得函数y＝|f（x）|的图象关于直线对称，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了正切函数性质，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 上饶期中）已知角θ的终边经过点（1，﹣2），则tanθ＝ 　﹣2　 ， 　　 ．
【考点】任意角的三角函数的定义；求两角和与差的三角函数值．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】﹣2；，
【分析】第一空根据任意角的三角函数的定义可得；第二空由两角和的余弦公式可得．
【解答】解：角θ的终边经过点（1，﹣2），
则tanθ＝﹣2，，，
则．
故答案为：﹣2；，
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
12．（2025春 湖北期中）在直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆O交于点，将α的终边沿逆时针方向旋转90°与单位圆交于点B，则B的坐标为 　　 ．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】根据三角函数的定义以及诱导公式，即可求出结果．
【解答】解：角α的终边与单位圆O交于点，
即，，
所以将α的终边沿逆时针方向旋转90°与单位圆交于点．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的定义以及诱导公式，属于基础题．
13．（2025春 斗门区校级期中）将函数图象上每一点纵坐标不变，向右平移个单位长度得到的图象，则　　 ．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】根据函数图象平移的变换规律得到函数f（x）的解析式，代入计算即可得结果．
【解答】解：将函数图象上每一点纵坐标不变，向右平移个单位长度得到的图象，
根据题意，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
所以，，
故．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，三角函数的值的求法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 上饶期中）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．
（1）求A，ω，φ．
（2）已知函数g（x）＝f（x）+|f（x）|．
①求g（x）的分段解析式；
②若g（x）在[2π，m]上的图象与直线恰有3个公共点，求m的取值范围．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数与方程的综合运用．
【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）A＝4，，；
（2）①；
②[6π，7π）．
【分析】（1）由f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象，求出A，T和ω，φ的值即可．
（2）①写出f（x）的解析式，讨论f（x）≥0和f（x）＜0，用分段函数表示出g（x）的解析式．
②由题意，根据正弦函数的图象与性质列出不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：（1）由f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，A＝4，T＝2×（）＝4π，所以ω．
由f（x）的图象过点（，4），所以φ2kπ（k∈Z），解得φ2kπ（k∈Z），
因为|φ|＜π，所以φ．
（2）①当f（x）＝4sin（x）≥0时，g（x）＝2f（x）＝8sin（x），
此时2kπxπ+2kπ（k∈Z），解得4kπ≤x4kπ（k∈Z）．
当f（x）＝4sin（x）＜0时，g（x）＝f（x）﹣f（x）＝0，
此时﹣π+2kπx2kπ（k∈Z），解得4kπ＜x4kπ（k∈Z）．
所以．
②由x∈[2π，m]，得．
由，得，
即或，
因为g（x）在[2π，m]上的图象与直线恰有3个公共点，
所以，
解得6π≤m＜7π，即m的取值范围是[6π，7π）．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
15．（2025春 鲤城区校级期中）若函数f（x）满足，且f（a﹣x）＝f（x+a），a∈R，则称f（x）为“M型a函数”．
（1）判断函数是否为“M型函数”，并说明理由；
（2）已知g（x）为定义域为R的奇函数，当x＞0时，g（x）＝lnx，函数h（x）为“M型函数”，当时，h（x）＝2cos2x，若函数F（x）＝g（h（x）﹣m）（m∈R）在上的零点个数为9，求m的取值范围．
【考点】正弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系．
【专题】新定义；数形结合；方程思想；数形结合法；三角函数的图象与性质；逻辑思维．
【答案】（1）函数为“M型函数”；（2）m∈（1，2）．
【分析】（1）由，得f（x）＝f（x+π），函数f（x）的周期为π．由f（a﹣x）＝f（x+a），a∈R，得f（x）的图象关于x＝a对称．进而化简并判断函数是否具有同等条件即可；（2）当x＞0时，令g（x）＝lnx＝0，解得x＝1．因为g（x）是定义域为R的奇函数，所以g（x）的零点为﹣1，0，1．
令F（x）＝g（h（x）﹣m）＝0，则h（x）﹣m＝﹣1或0或1，由函数h（x）为“M型函数”，并结合h（x）的图象确定m的取值范围．
【解答】解：（1）由，得f（x）＝f（x+π），
所以函数f（x）的周期为π．
由f（a﹣x）＝f（x+a），a∈R，得f（x）的图象关于x＝a对称．
函数cos2x＝
．
则函数的最小正周期为π，当时，．
所以关于直线对称．
故函数为“M型函数”．
（2）当x＞0时，令g（x）＝lnx＝0，解得x＝1．
因为g（x）是定义域为R的奇函数，所以g（x）的零点为﹣1，0，1．
令F（x）＝g（h（x）﹣m）＝0，则h（x）﹣m＝﹣1或0或1，
所以h（x）＝m+1或m或m﹣1．
由函数h（x）为“M型函数”，可知函数h（x）关于直线对称，且周期为π．
则函数h（x）在上的图象如下，
所以函数F（x）在上的零点个数等于h（x）在上的图象与直线y＝m﹣1，y＝m，y＝m+1的交点个数之和．
结合图象可知，当0＜m﹣1＜1，即1＜m＜2时，h（x）在上的图象与直线y＝m﹣1，y＝m，y＝m+1的交点个数之和为9．
故m的取值范围为（1，2）．
【点评】本题考查余弦函数的图象及性质，并考查函数零点与方程之间的联系，综合性强，属于难题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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