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期末核心考点 三角恒等变换
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 山阳县校级期中）计算：sin30°cos15°+sin60°sin15°＝（　　）
A． B． C． D．
2．（2025春 中山区校级期中）已知设tan130°＝a，求：tan10°的值（用a表示）．针对这一问题，有两位同学给出了不同的解答．小张同学的答案：；小姚同学的答案：，则（　　）
A．小张对，小姚错 B．小张错，小姚对
C．两人都错 D．两人都对
3．（2025 山东模拟）已知，，则cos（α﹣β）＝（　　）
A． B． C． D．
4．（2025春 斗门区校级期中）已知函数，则下列选项错误的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．曲线y＝f（x）关于点中心对称
C．f（x）的最大值为
D．曲线y＝f（x）关于直线对称
5．（2025 秦淮区校级二模）若，则cos2（θ﹣α）＝（　　）
A． B． C． D．
6．（2025 凉山州模拟）已知，θ∈（0，π），则（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
7．（2025 乐山模拟）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则sin2β的值为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 广陵区校级期中）若，则（　　）
A．tanx＝2 B． C． D．
（多选）9．（2025春 句容市校级期中）下列式子化简正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）10．（2025春 如皋市月考）已知，若，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
三．填空题（共3小题）
11．（2025 郑州模拟）已知，，则cosα＝ 　 　 ．
12．（2025 武昌区模拟）已知，且，则cos（2α+2β）＝ 　 　 ．
13．（2025 渭南三模）已知，则sin（α﹣β）＝ 　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 泉州期中）已知锐角α的终边与单位圆相交于点．
（1）求的值；
（2）若，且，求sinβ的值．
15．（2025春 闵行区校级月考）（1）已知，α在第二象限，求sinα，tanα的值；
（2）已知tanα＝﹣2，求的值；
（3）已知，，求tanα的值．
期末核心考点 三角恒等变换
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 山阳县校级期中）计算：sin30°cos15°+sin60°sin15°＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的三角函数的逆用．
【专题】转化思想；定义法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】根据同角的三角函数关系与两角和正弦公式，求解即可．
【解答】解：sin30°cos15°+sin60°sin15°＝sin30°cos15°+cos30°sin15°＝sin45°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数的求值运算问题，是基础题．
2．（2025春 中山区校级期中）已知设tan130°＝a，求：tan10°的值（用a表示）．针对这一问题，有两位同学给出了不同的解答．小张同学的答案：；小姚同学的答案：，则（　　）
A．小张对，小姚错 B．小张错，小姚对
C．两人都错 D．两人都对
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】例题正切的和角公式化简即可判断求解．
【解答】解：由题意可得tan130°＝tan（10°+120°）a，
解得tan10，所以小张正确，
tan130°＝tan（180°﹣50°）＝﹣tan50°＝a，则tan50°＝﹣a，所以tan40，
则tan80，所以tan10，故小姚正确．
故选：D．
【点评】本题考查了正切的和角公式的应用，属于基础题．
3．（2025 山东模拟）已知，，则cos（α﹣β）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】B
【分析】根据两角和与差的余弦公式结合同角三角函数的基本关系，可求值．
【解答】解：因为tanαtanβ，即﹣5sinαsinβ＝cosαcosβ；
又cos（α+β）．
所以，sinαsinβ，
所以cos（α﹣β）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题．
4．（2025春 斗门区校级期中）已知函数，则下列选项错误的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．曲线y＝f（x）关于点中心对称
C．f（x）的最大值为
D．曲线y＝f（x）关于直线对称
【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】对于选项A：将函数化为y＝Asin（ωx+φ）形式，求出周期T，判断A．
对于选项B：代入验证得到f（a）＝0判断B．对于选项C：求出，最大值是，判断C．
对于选项D：根据对称轴性质，代入求出值，看是否是最值即可判断D．
【解答】解：sin（2x），T＝π，所以选项A正确．
若曲线y＝f（x）关于点（a，0）中心对称，则f（a）＝0．
计算，所以曲线y＝f（x）不关于点中心对称，选项B错误．
因为正弦函数sinθ的最大值为1，在中，f（x）max，选项C正确．
若曲线y＝f（x）关于直线x＝b对称，则f（b）为函数的最值．
计算f（），是函数f（x）的最大值，所以曲线y＝f（x）关于直线对称，选项D正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角函数性质的综合应用，属于中档题．
5．（2025 秦淮区校级二模）若，则cos2（θ﹣α）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】二倍角的三角函数；同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；方程思想；三角函数的求值；运算求解．
【答案】C
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角差的正弦公式、二倍角的余弦公式进行求解即可．
【解答】解：由，
由，
所以，
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查了同角的三角函数关系式，两角差的正弦公式以及二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
6．（2025 凉山州模拟）已知，θ∈（0，π），则（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
【考点】求二倍角的三角函数值；同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为，
解得tan24，
又θ∈（0，π），可得∈（0，），tan0，
所以2．
故选：D．
【点评】本题考查了二倍角公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
7．（2025 乐山模拟）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则sin2β的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的三角函数；终边相同的角；同角三角函数间的基本关系．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】结合三角函数定义，二倍角公式即可求解．
【解答】解：因为角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
所以sinα＝sinβ，cosα＝﹣cosβ，
若，则sin2α＝cos（）＝1﹣2sin2（）＝1﹣2，
sin2β＝2sinβcosβ＝﹣2sinαcosα．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，诱导公式的应用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 广陵区校级期中）若，则（　　）
A．tanx＝2 B． C． D．
【考点】求二倍角的三角函数值；同角正弦、余弦的商为正切；两角和与差的三角函数．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】ACD
【分析】结合同角基本关系进行化解即可求解tanx，判断选项A，然后结合同角基本关系，二倍角公式检验各选项即可．
【解答】解：若，
则tanx＝2，A正确；
所以sinx＝2cosx，即x为第一或第三象限角，
当x为第三象限角时，B错误；
tan2x，C正确；
sin2x，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．
（多选）9．（2025春 句容市校级期中）下列式子化简正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的恒等变换及化简求值．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据两角和与差的三角函数，二倍角公式逐项判断即可．
【解答】解：对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式，属于基础题．
（多选）10．（2025春 如皋市月考）已知，若，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】求二倍角的三角函数值；求两角和与差的三角函数值．
【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式可求cos（）的值，利用两角和的余弦公式可求cosα的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinα的值，进而利用二倍角公式即可求解．
【解答】解：因为，，
可得∈（，），cos（），
所以cosα＝cos[（）]＝cos（）cossin（）sin，故A正确；
可得sinα，
sin2α＝2sinαcosα＝2，故B正确；
cos2α＝2cos2α﹣1，故C错误；
sinα+cosα，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了两角和的余弦公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025 郑州模拟）已知，，则cosα＝ 　　 ．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】．
【分析】利用凑角法和同角三角函数关系得到方程组，求出，，从而利用cosα＝cos[（α+β）﹣β]进行求解．
【解答】解：根据题意可知，，
，
故cos（α+β）cosβ＝3sin（α+β）sinβ，
所以，
解得，故，
所以cosα＝cos[（α+β）﹣β]＝cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ．
故答案为：．
【点评】本题考查了同角三角函数关系，属于基础题．
12．（2025 武昌区模拟）已知，且，则cos（2α+2β）＝ 　　 ．
【考点】两角和与差的三角函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】利用正弦的差角公式以及切化弦求出sinαcosβ，cosαsinβ的值，由此得出sin（α+β）的值，再利用余弦的倍角公式化简即可求解．
【解答】解：由sin（α﹣β）可得：sinαcosβ﹣cosαsinβ①，
由可得：sinαcosβ＝3cosαsinβ②，
①②联立可得：sinαcosβ，cos，
则sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，
所以cos（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2．
故答案为：．
【点评】本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，涉及到余弦的倍角公式，属于基础题．
13．（2025 渭南三模）已知，则sin（α﹣β）＝ 　　 ．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】由两角和正弦公式及切化弦得到，进而可求解．
【解答】解：因为，
所以，
由tanα＝3tanβ，可得，
即sinαcosβ＝3cosαsinβ，
所以sinαcosβ，sinβcosα，
所以，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 泉州期中）已知锐角α的终边与单位圆相交于点．
（1）求的值；
（2）若，且，求sinβ的值．
【考点】两角和与差的三角函数；任意角的三角函数的定义．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由已知结合三角函数定义，二倍角公式及和差角公式即可求解；
（2）结合同角基本关系及和差角公式即可求解．
【解答】解：（1）由于点P在单位圆上，且α是锐角，可得m＞0，
则，
因为锐角α的终边与单位圆相交于点，
所以，，
可得，，
所以．
（2）因为，又，所以0＜α+β＜π，
因为，所以sin（α+β），
所以．
【点评】本题主要考查了三角函数定义，同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题．
15．（2025春 闵行区校级月考）（1）已知，α在第二象限，求sinα，tanα的值；
（2）已知tanα＝﹣2，求的值；
（3）已知，，求tanα的值．
【考点】同角正弦、余弦的商为正切．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）由同角三角函数的平方关系代入计算即可得到sinα，从而得到tanα；
（2）将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果；
（3）结合同角三角函数关系解出方程即可．
【解答】解：（1）由于，
又α在第二象限，sinα＞0，tanα＜0，
所以，；
（2）因为tanα＝﹣2，
所以；
（3）因为，且，
所以或（舍去），
所以．
【点评】本题考查了同角三角函数的平方关系在三角函数求值中的应用，属于基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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