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期末核心考点 复数的概念及其几何意义
一．选择题（共7小题）
1．（2025 丹东模拟）复数z＝﹣3﹣4i，则在复平面内对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025春 惠东县期中）设z＝（1+2i）（1﹣i），则|z|＝（　　）
A．1 B． C． D．
3．（2025 渭南三模）已知a∈R，若（a﹣2）+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则a＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
4．（2025 平凉校级模拟）下列关于复数的说法，正确的是（　　）
A．复数i的任何偶数次幂都不小于零
B．若实数a＝b，则z＝a﹣b+（a+b）i是纯虚数
C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数
D．若复数z1，z2满足z1＞z2，则z1，z2均为实数
5．（2025 罗湖区校级模拟）若复数z满足|z+i|+|z﹣i|＝2，那么|z﹣1|的最大值是（　　）
A．1 B． C．2 D．
6．（2025 喀什地区模拟）复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝﹣1+i（其中i为虚数单位），则复数（　　）
A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i
7．（2025 滨州二模）在复平面内，点Z（1，﹣2）对应的复数为z，则（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 沙坪坝区校级期中）下列命题正确的（　　）
A．若α∩β＝b，P∈α，P∈β，则P∈b
B．若a//b，a α，P∈b，P∈α，则b α
C．非零复数z1，z2对应的向量分别为和，若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则
D．若|z﹣1|＝2，则|z﹣1﹣3i|的最小值为5
（多选）9．（2025 重庆模拟）关于非零复数Z1＝a+bi，Z2＝b+ai，a，b∈R及其共轭复数，，下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）10．（2025春 东西湖区校级期中）已知z1，z2都是复数，下列选项中正确的是（　　）
A．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0
B．若，则z1＝z2
C．若，则z1+z2是实数
D．若，则|z1|＝|z2|
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 宝山区校级期中）已知i为虚数单位，复数z满足，则　 　 ．
12．（2025春 上海校级期中）设z1，z2∈C且z1＝iz2，满足|z1﹣2i|＝2，则|z1﹣z2|的取值范围是 　 　 ．
13．（2025 湘潭模拟）复数z＝（1+i）（2+i）的实部与虚部之和为 　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 酒泉期中）当实数m取什么值时，复数分别满足下列条件？
（1）z为实数；
（2）z为纯虚数；
（3）z在复平面内对应的点位于第四象限．
15．（2025春 清远期中）已知复数z1＝m+（4﹣m2）i（m∈R），z2＝2cosθ﹣（λ+4sinθ）i（λ，θ∈R）．
（1）若复平面内表示复数z1的点位于第一象限，求m的取值范围；
（2）若z1，求λ的最小值．
期末核心考点 复数的概念及其几何意义
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 丹东模拟）复数z＝﹣3﹣4i，则在复平面内对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数对应复平面中的点；共轭复数．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】由复数z得，再求出在复平面内对应的点的坐标即可．
【解答】解：由复数z＝﹣3﹣4i，得，
则在复平面内对应的点的坐标为（﹣3，4），在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查复数的几何意，考查复数的基本概念，是基础题．
2．（2025春 惠东县期中）设z＝（1+2i）（1﹣i），则|z|＝（　　）
A．1 B． C． D．
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】D
【分析】由复数的乘法运算及模长公式即可求解．
【解答】解：z＝（1+2i）（1﹣i）＝3+i，
所以|z|．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数模的公式，属于基础题．
3．（2025 渭南三模）已知a∈R，若（a﹣2）+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则a＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【考点】纯虚数．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】D
【分析】根据纯虚数的概念列方程求解可得．
【解答】解：由（a﹣2）+（a﹣1）i是纯虚数，
得a﹣2＝0且a﹣1≠0，解得a＝2．
故选：D．
【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．
4．（2025 平凉校级模拟）下列关于复数的说法，正确的是（　　）
A．复数i的任何偶数次幂都不小于零
B．若实数a＝b，则z＝a﹣b+（a+b）i是纯虚数
C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数
D．若复数z1，z2满足z1＞z2，则z1，z2均为实数
【考点】纯虚数；复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】D
【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解．
【解答】解：由虚数单位i2＝﹣1，可得A错误；
若a＝b＝0，那么a﹣b+（a+b）i＝0∈R，所以B错误；
虚轴上的点（0，0）对应复数z＝0∈R，所以C错误；
虚数不能比较大小，若复数z1，z2满足z1＞z2，则z1，z2均为实数，D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的概念，属于基础题．
5．（2025 罗湖区校级模拟）若复数z满足|z+i|+|z﹣i|＝2，那么|z﹣1|的最大值是（　　）
A．1 B． C．2 D．
【考点】复数的模．
【专题】对应思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】由已知直接利用复数模的几何意义求解．
【解答】解：由复数z满足|z+i|+|z﹣i|＝2，
可知复数z在复平面内对应点的轨迹为以A（0，﹣1）、B（0，1）为两端点的线段，
而|z﹣1|的几何意义为线段上的点到点（1，0）的距离，
则|z﹣1|的最大值是．
故选：B．
【点评】本题考查复数模的几何意义，是基础题．
6．（2025 喀什地区模拟）复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝﹣1+i（其中i为虚数单位），则复数（　　）
A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i
【考点】由复平面中的点确定复数．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】A
【分析】由已知求得z2＝1﹣i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝﹣1+i，
∴z2＝1﹣i，
则．
故选：A．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
7．（2025 滨州二模）在复平面内，点Z（1，﹣2）对应的复数为z，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】C
【分析】先利用复数的几何意义求出复数z，再结合模的公式计算即可．
【解答】解：由题意可知，z＝1﹣2i，
所以，
则．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 沙坪坝区校级期中）下列命题正确的（　　）
A．若α∩β＝b，P∈α，P∈β，则P∈b
B．若a//b，a α，P∈b，P∈α，则b α
C．非零复数z1，z2对应的向量分别为和，若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则
D．若|z﹣1|＝2，则|z﹣1﹣3i|的最小值为5
【考点】复数的模；命题的真假判断与应用．
【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；立体几何；直观想象；运算求解．
【答案】ABC
【分析】由空间几何中的基本事实判断A与B；由复数模的几何意义判断C与D．
【解答】解：若α∩β＝b，P∈α，P∈β，由两个平面的公共点必在其交线上，可知P∈b，故A正确；
若a∥b，P∈b，则P a，由直线a与点P确定唯一平面α，a与b确定唯一平面，
且该平面经过直线a与点P，所以该平面与α重合，则b α，故B正确；
由|z1+z2|＝|z1﹣z2|知，以为邻边的平行四边形为矩形，故C正确；
|z﹣1|＝2的几何意义为z对应点与点（1，0）距离为2，轨迹为圆，如图，
而|z﹣1﹣3i|＝|z﹣（1+3i）|，表示z对应点与点（1，3）距离，
由图象可知，|z﹣1﹣3i|的最小值为3﹣2＝1，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，是基础题．
（多选）9．（2025 重庆模拟）关于非零复数Z1＝a+bi，Z2＝b+ai，a，b∈R及其共轭复数，，下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】共轭复数；复数的除法运算．
【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】ABD
【分析】本题可根据复数的运算法则，分别对选项进行分析判断．
【解答】解：∵Z1＝a+bi，Z2＝b+ai，∴，，
∴，
（a2+b2）i，则，故A正确；
，
，则，故B正确；
，
，
当a≠b时，，故C错误；
∵，
∴a2+b2，
∵，
∴a2+b2，
∴，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，是基础题．
（多选）10．（2025春 东西湖区校级期中）已知z1，z2都是复数，下列选项中正确的是（　　）
A．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0
B．若，则z1＝z2
C．若，则z1+z2是实数
D．若，则|z1|＝|z2|
【考点】共轭复数；复数的相等．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据复数的乘法法则、共轭复数的性质与复数模的公式，对各项中的结论逐一加以验证，即可得到本题的答案．
【解答】解：对于A，若z1z2＝0，则|z1z2|＝0，可得|z1|＝0或|z2|＝0，
所以z1＝0或z2＝0，故A项正确；
对于B，设，则1，但是z1≠z2，故B项错误；
对于C，设z1a+bi（a，b为实数），
则z2＝a﹣bi，可得z1+z2＝2a为实数，故C项正确；
对于D，设，则，即，可得，，
即，所以，可得|z1|＝|z2|，故D项正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查复数的乘法运算法则、共轭复数的概念与性质、复数模的公式等知识，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 宝山区校级期中）已知i为虚数单位，复数z满足，则　2i　 ．
【考点】共轭复数；复数的除法运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】2i．
【分析】结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
【解答】解：复数z满足，
故．
故答案为：2i．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
12．（2025春 上海校级期中）设z1，z2∈C且z1＝iz2，满足|z1﹣2i|＝2，则|z1﹣z2|的取值范围是 　[0，]　 ．
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】[0，]．
【分析】设z1＝x+yi，x、y∈R，由|z1﹣2i|＝2结合复数模的公式算出x2+（y﹣2）2＝4，从而得到z1的对应点（x，y）在以（0，2）为圆心，半径r＝2的圆上运动．然后根据复数模的性质，结合z1＝iz2推导出|z1﹣z2||z1|，根据圆的性质求出|z1|的取值范围，进而求得|z1﹣z2|的取值范围．
【解答】解：设z1＝x+yi，x、y∈R，
由|z1﹣2i|＝2，可得|x+（y﹣2）i|＝2，即2，可得x2+（y﹣2）2＝4，
所以z1在复平面内的对应点（x，y）在以（0，2）为圆心，半径r＝2的圆上运动．
由z1＝iz2，得z2z1＝﹣iz1，所以|z1﹣z2|＝|z1+iz1|＝|1+i| |z1||z1|．
因为|z1|，表示点（x，y）到原点的距离，
所以由圆的性质，可得0≤|z1|≤4，即有|z1|∈[0，]．
综上所述，|z1﹣z2|的取值范围是[0，]．
故答案为：[0，]．
【点评】本题主要考查复数的模及其几何意义、圆的性质、点与圆的位置关系等知识，属于中档题．
13．（2025 湘潭模拟）复数z＝（1+i）（2+i）的实部与虚部之和为 　4　 ．
【考点】复数的实部与虚部；复数的乘法及乘方运算．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】4．
【分析】应用复数的乘法计算结合复数的概念计算求解．
【解答】解：因为z＝（1+i）（2+i）＝1+3i，
所以z的实部为1，虚部为3，和为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 酒泉期中）当实数m取什么值时，复数分别满足下列条件？
（1）z为实数；
（2）z为纯虚数；
（3）z在复平面内对应的点位于第四象限．
【考点】复数对应复平面中的点；纯虚数．
【专题】整体思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）m＝0或；
（2）；
（3）（0，）．
【分析】（1）根据条件，利用复数的分类，得到，即可求解；
（2）根据条件，利用复数的分类，得到，即可求解；
（3）根据条件，利用复数的几何意义，得，即可求解．
【解答】解：（1）由题意，，解得m＝0或；
（2）由题意，，解得；
（3）复数在复平面内对应的点为，
所以，解得，
所以m的取值范围是（0，）．
【点评】本题考查复数的应用，属于基础题．
15．（2025春 清远期中）已知复数z1＝m+（4﹣m2）i（m∈R），z2＝2cosθ﹣（λ+4sinθ）i（λ，θ∈R）．
（1）若复平面内表示复数z1的点位于第一象限，求m的取值范围；
（2）若z1，求λ的最小值．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；共轭复数．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）（0，2）；（2）﹣1．
【分析】（1）由题意建立不等式组，求解即可；
（2）由共轭复数与复数相等概念可得λ，再求最值即可．
【解答】解：（1）因为复平面内表示复数z1＝m+（4﹣m2）i（m∈R）的点位于第一象限，
所以，解得，所以0＜m＜2，
所以m的取值范围为（0，2）；
（2）因为z2＝2cosθ﹣（λ+4sinθ）i（λ，θ∈R），
所以，
由，得，
消去m得λ＝4﹣4cos2θ﹣4sinθ＝4sin2θ﹣4sinθ，
当时，λ取得最小值，且λmin＝﹣1．
【点评】本题考查复数的概念及几何意义的应用，属于基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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