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期末核心考点 复数的三角表示
一．选择题（共7小题）
1．（2024春 官渡区校级月考）已知复数z满足2i z＝1﹣i，其中i为虚数单位，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．2
2．（2024秋 江苏月考）已知复数z满足，则z＝（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024 哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三模）复数z＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）在复平面内对应点为Z，设r＝|OZ|，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，则z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ），把r（cosθ+isinθ）叫做复数a+bi的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosθ+isinθ）（n∈N*），例如：2π+isin2π＝1，，复数z满足：z3＝1+i，则z可能取值为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024春 田家庵区校级期中）复数的三角形式是（　　）
A．cos60°+isin60° B．﹣cos60°+isin60°
C．cos120°+isin60° D．cos120°+isin120°
5．（2023春 浙江期中）任何一个复数z＝a+bi（a，b∈R）都可以表示成z＝r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模：θ是以x轴的非负半轴为始边，复数在复平面内对应的平面向量所在射线为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角．我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为argz．那么（　　）
A． B． C． D．
6．（2023春 鼓楼区校级期中）复数z＝1﹣i，将复数z的对应向量按逆时针方向旋转，所得向对应的复数为（　　）
A． B． C．1 D．i
7．（2023 天河区校级开学）复数，则的辐角主值为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2024春 弥勒市校级期中）欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为eix＝cosx+isinx，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（e为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（　　）
A．复数为纯虚数
B．复数ei3对应的点位于第二象限
C．复数的共轭复数为
D．复数eiθ（θ∈[0，π]）在复平面内对应的点的轨迹是半圆
（多选）9．（2024 凌河区校级模拟）已知复数z满足|z|＝1且i z，则z可能为（　　）
A． B．
C． D．
（多选）10．（2024春 尚义县校级月考）任何一个复数z＝a+bi（其中a，b∈R）都可以表示成：z＝r（cosθ+isinθ）的形式．法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　）
A．当r＝1，时，复数z3为纯虚数
B．当r＝2，时，z3＝8
C．当r＝1，时，
D．
三．填空题（共3小题）
11．（2022春 沙坪坝区校级月考）复数的三角形式是 　 　 ．
12．（2022春 闵行区校级期末）将复数化为三角形式：　 　 ．
13．（2022秋 宝山区校级月考）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则arg（a+bi）＝　 　 ．（用反三角形式书写）
四．解答题（共2小题）
14．（2024春 博望区校级期中）已知：
①任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角，r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式．
②方程xn＝1（n为正整数）有n个不同的复数根；
（1）求证：r1（cosθ1+isinθ1） r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]；
（2）设，求ω2024；
（3）试求出所有满足方程x6＝1的复数x的值所组成的集合．
15．（2024春 浦东新区校级月考）已知i为虚数单位，复数z满足|z|＝1．
（1）若，求复数z+i的辐角主值；
（2）若z≠±i，复数ω满足为实数．则复数ω在复平面上所对应的点的集合是什么图形？说明理由．
（3）已知复平面上点A，B对应的复数分别为z1＝2，z2＝﹣3．记复数的辐角主值为φ．求φ的取值范围．
期末核心考点 复数的三角表示
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2024春 官渡区校级月考）已知复数z满足2i z＝1﹣i，其中i为虚数单位，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．2
【考点】复数的三角表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】由向量的四则运算以及模的运算公式求解即可．
【解答】解：因为，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查了向量的四则运算以及模的运算公式的应用，属于基础题．
2．（2024秋 江苏月考）已知复数z满足，则z＝（　　）
A． B．
C． D．
【考点】复数的代数形式与三角形式互化．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】D
【分析】设z＝rcosθ+risinθ（r＞0，θ∈[0，2π）），根据复数的三角形式计算可得答案．
【解答】解：设z＝rcosθ+risinθ（r＞0，θ∈[0，2π）），
所以，
可得，
两式相除可得，可得，
即，
因为θ∈[0，2π），所以，
当θ时，则，即r3 ，可得r3＝2，
解得，此时z（cosisin），
当时，则，即r3 （），可得r3＝﹣2，舍去，
当时，则，即r3 ，可得r3＝2，
解得，此时z（cosisin），
当时，则，即r3 （），可得r3＝﹣2，舍去，
当时，则，即r3 ，可得r3＝2，
解得，此时z（cosisin），
当时，则，即r3 （），可得r3＝﹣2，舍去．
故选：D．
【点评】本题考查了复数的代数形式与三角形式的互化，考查了运算能力，是基础题．
3．（2024 哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三模）复数z＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）在复平面内对应点为Z，设r＝|OZ|，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，则z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ），把r（cosθ+isinθ）叫做复数a+bi的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosθ+isinθ）（n∈N*），例如：2π+isin2π＝1，，复数z满足：z3＝1+i，则z可能取值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．
【专题】综合法；数系的扩充和复数；能力层次；运算求解．
【答案】D
【分析】结合已知运算法则检验各选项即可判断．
【解答】解：因为z3＝1+i（），
结合选项可知，A，B显然错误；
若z（cos），则z3（cosisini）（i），C错误；
若z（cosisin），则z3（cosisin）（），D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了复数复数的四则运算，属于基础题．
4．（2024春 田家庵区校级期中）复数的三角形式是（　　）
A．cos60°+isin60° B．﹣cos60°+isin60°
C．cos120°+isin60° D．cos120°+isin120°
【考点】复数的代数形式与三角形式互化．
【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】D
【分析】利用复数的三角形式即可得解．
【解答】解：令，
则r＝|z|＝1，所以，
因为0°≤θ＜360°，所以θ＝120°，
的三角形式是cos120°+isin120°．
故选：D．
【点评】本题考查复数的三角形式，属于基础题．
5．（2023春 浙江期中）任何一个复数z＝a+bi（a，b∈R）都可以表示成z＝r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模：θ是以x轴的非负半轴为始边，复数在复平面内对应的平面向量所在射线为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角．我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为argz．那么（　　）
A． B． C． D．
【考点】复数的辐角和辐角主值．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】由题意求出复数﹣1i的模，再根据三角函数的性质化简即可求解．
【解答】解：由题意可得|﹣1i|2，
则﹣1i＝2（）＝2（cos），
所以arg（﹣1i）．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的三角表示，涉及到三角函数的性质，属于基础题．
6．（2023春 鼓楼区校级期中）复数z＝1﹣i，将复数z的对应向量按逆时针方向旋转，所得向对应的复数为（　　）
A． B． C．1 D．i
【考点】复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．
【专题】计算题；转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】A
【分析】化简z＝1﹣i（cos（）+isin（）），从而由可得新复数为（cos（）+isin（））．
【解答】解：z＝1﹣i（cos（）+isin（）），
将复数z的对应向量按逆时针方向旋转所得向量对应的复数为
（cos（）+isin（）），
故选：A．
【点评】本题考查了复数的代数形式与三角形式的转化，属于基础题．
7．（2023 天河区校级开学）复数，则的辐角主值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】复数的辐角和辐角主值．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】先对z化简，再结合共轭复数的定义，以及复数辐角主值的定义，即可求解．
【解答】解：，
故，
故的辐角主值为．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2024春 弥勒市校级期中）欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为eix＝cosx+isinx，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（e为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（　　）
A．复数为纯虚数
B．复数ei3对应的点位于第二象限
C．复数的共轭复数为
D．复数eiθ（θ∈[0，π]）在复平面内对应的点的轨迹是半圆
【考点】复数的三角表示．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据给定的公式，结合复数的相关概念逐项分析判断即得．
【解答】解：对于A，，则为纯虚数，A正确；
对于B，ei3＝cos3+isin3，而，即cos3＜0，sin3＞0，则复数ei3对应的点位于第二象限，B正确；
对于C，，复数的共轭复数为，C错误；
对于D，eiθ＝cosθ+isinθ，|eiθ|＝|cosθ+isinθ|＝1，
复数eiθ（θ∈[0，π]）在复平面内对应的点的轨迹是半径为1的半圆，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查复数的指数形式，属于基础题．
（多选）9．（2024 凌河区校级模拟）已知复数z满足|z|＝1且i z，则z可能为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】复数的代数形式与三角形式互化；共轭复数；复数的除法运算．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据复数的几何意义、共轭复数的概念与运算以及复数的乘法运算依次判断选项即可．
【解答】解：对于A：若，则，
∴，，故A正确；
对于B：若，则，
，；故B错误；
对于C：若，则，
，，故C正确；
对于D：若，则，
，，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
（多选）10．（2024春 尚义县校级月考）任何一个复数z＝a+bi（其中a，b∈R）都可以表示成：z＝r（cosθ+isinθ）的形式．法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　）
A．当r＝1，时，复数z3为纯虚数
B．当r＝2，时，z3＝8
C．当r＝1，时，
D．
【考点】复数乘、除运算的三角表示及其几何意义；纯虚数；共轭复数；复数的乘法及乘方运算．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】BCD
【分析】用给定的定理，结合纯虚数、共轭复数及复数乘法依次判断即得．
【解答】解：对于A，z3＝cosπ+isinπ＝﹣1，z3为实数，故A错误；
对于B，，z3＝8（cos2π+isin2π）＝8，故B正确；
对于C，，，故C正确；
对于D，z＝r（cosθ+isinθ），则，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
三．填空题（共3小题）
11．（2022春 沙坪坝区校级月考）复数的三角形式是 　cosisin　 ．
【考点】复数的代数形式与三角形式互化．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】cosisin．
【分析】直接化复数的代数形式为三角形式即可．
【解答】解：复数cosisin．
故答案为：cosisin．
【点评】本题考查复数代数形式与三角形式的互化，是基础题．
12．（2022春 闵行区校级期末）将复数化为三角形式：　　 ．
【考点】复数的代数形式与三角形式互化．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】．
【分析】根据复数的三角表示的定义计算即可．
【解答】解：复数中，，
设θ为复数的辐角主值，θ∈[0，2π），
又，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的三角表示，考查转化能力，属于中档题．
13．（2022秋 宝山区校级月考）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则arg（a+bi）＝　π﹣arctan3　 ．（用反三角形式书写）
【考点】复数的辐角和辐角主值．
【专题】计算题；对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】π﹣arctan3
【分析】首先根据题意得到a＝﹣1，b＝3，从而得到幅角的正切值为﹣3，再求arg（﹣1+3i）即可．
【解答】解：因为a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，所以a＝﹣1，b＝3．
所以arg（a+bi）＝arg（﹣1+3i），幅角的正切值为﹣3，（﹣1，3）在第二象限，
因为，所以arg（﹣1+3i）＝π﹣arctan3．
故答案为：π﹣arctan3．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．（2024春 博望区校级期中）已知：
①任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角，r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式．
②方程xn＝1（n为正整数）有n个不同的复数根；
（1）求证：r1（cosθ1+isinθ1） r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]；
（2）设，求ω2024；
（3）试求出所有满足方程x6＝1的复数x的值所组成的集合．
【考点】复数的三角表示．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据题意，由复数的四则运算代入计算，即可证明；
（2）根据题意，将复数ω化为复数的三角形式，然后结合三角形式的运算，代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，由复数的三角形式的运算代入计算，结合终边相同的角的集合，即可得到结果．
【解答】（1）证明：r1（cosθ1+isinθ1） r2（cosθ2+isinθ2）
＝r1r2[cosθ1cosθ2﹣sinθ1sinθ2+（cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）i]
＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]；
（2），
则；
（3）设x＝cosθ+isinθ，则x6＝（cosθ+isinθ）6＝cos6θ+isin6θ＝1，
因此sin6θ＝0，cos6θ＝1，6θ＝2kπ，k∈Z，解得，
取k＝0，1，2，3，4，5，则对应的θ依次为，
因此对应的x依次为，
可得所求的集合是．
【点评】本题考查复数的三角表示，考查运算求解能力，是基础题．
15．（2024春 浦东新区校级月考）已知i为虚数单位，复数z满足|z|＝1．
（1）若，求复数z+i的辐角主值；
（2）若z≠±i，复数ω满足为实数．则复数ω在复平面上所对应的点的集合是什么图形？说明理由．
（3）已知复平面上点A，B对应的复数分别为z1＝2，z2＝﹣3．记复数的辐角主值为φ．求φ的取值范围．
【考点】复数的代数形式与三角形式互化．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）以（0，0）为圆心、半径为1的圆，不含点（0，1），理由见解析；
（3）．
【分析】（1）求得复数z，可求辐角主值；
（2）设z＝a+bi（a，b∈R），，可得为纯虚数，可求得x2+y2＝1，且ω≠i；
（3）设z＝a+bi（a，b∈R），则a2+b2＝1，设z﹣z1的一个辐角为α，z﹣z2的一个辐角为β，可得，令a＝cost，b＝sint，0≤t＜2π，设，利用车辅助角公式可求得k范围，分类可求得φ的范围．
【解答】解：（1）cosisin，
所以z+i的辐角主值为；
（2）由题意设z＝a+bi（a，b∈R），a≠0，则a2+b2＝1，
为纯虚数，
又因为为实数，
所以为纯虚数或0，设ω＝x+yi（x，y∈R），
所以为纯虚数或0，
即x2+y2＝1，且ω≠i．
所以ω是以（0，0）为圆心、半径为1的圆，不含点（0，1）；
（3）设z＝a+bi（a，b∈R），则a2+b2＝1，
设z﹣z1的一个辐角为α，z﹣z2的一个辐角为β，
，
令a＝cost，b＝sint，0≤t＜2π，
设，即，
解得k范围为，
若Im（z）≥0，则φ的范围是，
若Im（z）＜0，则φ的范围是．
所以φ的范围是．
【点评】本题考查复数的运算性质的应用，复角主值的求法，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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