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期末核心考点 复数的四则运算
一．选择题（共7小题）
1．（2025 太原模拟）已知z＝1﹣i，则（　　）
A．1 B．i C．2 D．2i
2．（2025 安徽模拟）已知复数z与互为共轭复数，则复数z的虚部为（　　）
A．﹣1 B．﹣i C．﹣2 D．﹣2i
3．（2025 沙市区校级一模）若复数z满足，则z i2025＝（　　）
A．2﹣i B．﹣2﹣i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i
4．（2025春 汕头期中）已知复数z满足z（1﹣i）＝i，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025 桐乡市模拟）已知复数z满足，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．
6．（2025 宜昌校级模拟）设复数z满足（i为虚数单位），则z＝（　　）
A．2i B．﹣2i C．﹣2+2i D．﹣2﹣2i
7．（2025 咸阳三模）已知复数z满足（1+2i）z＝3+4i，则复数z的共轭复数的虚部是（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 朝阳区校级期中）已知复数z满足（1﹣i）z＝4+6i，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（　　）
A． B．的虚部为﹣5i
C． D．
（多选）9．（2025春 温州期中）已知复数z1，z2，下列结论正确的有（　　）
A．
B．若z1z2＝0，则z1＝z2＝0
C．|z1z2|＝|z1||z2|
D．若，则
（多选）10．（2025春 青岛期中）已知，复数z满足|z﹣ω|＝1，则（　　）
A．|ω|＝1 B．
C．1+ω+ω2＝ω3 D．|z|的最大值为2
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 西青区校级期中）已知复数z，则|z|＝　 　 ．
12．（2025 山东校级一模）若复数z满足z（1+i）＝2i，则　 　 ．
13．（2025 朝阳区二模）若复数z满足z i＝2+i，则|z|＝　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 大兴区期中）已知复数z1＝（a2﹣2）﹣（2a+4）i，z2＝a﹣（a2+1）i，a∈R．
（Ⅰ）当a＝0时，求|z1+z2|的值；
（Ⅱ）若复数z＝z1﹣z2为纯虚数，求z1 z2的值．
15．（2025春 西工区校级期中）已知复数z1＝1﹣2i，z2＝2+i，i为虚数单位．
（1）若复数z1+az2对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；
（2）若复数，求z的模．
期末核心考点 复数的四则运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 太原模拟）已知z＝1﹣i，则（　　）
A．1 B．i C．2 D．2i
【考点】复数的乘法及乘方运算；共轭复数．
【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】由已知直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵z＝1﹣i，∴．
故选：B．
【点评】本题考查复数的基本概念及复数代数形式的乘除运算，是基础题．
2．（2025 安徽模拟）已知复数z与互为共轭复数，则复数z的虚部为（　　）
A．﹣1 B．﹣i C．﹣2 D．﹣2i
【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部；共轭复数．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】A
【分析】应用复数除法化简复数，再由共轭复数的概念写出复数z，即可得．
【解答】解：因为，
复数z与互为共轭复数，
所以z＝2﹣i，虚部为﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题．
3．（2025 沙市区校级一模）若复数z满足，则z i2025＝（　　）
A．2﹣i B．﹣2﹣i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i
【考点】复数的混合运算；共轭复数．
【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】D
【分析】设z＝x+yi（x，y∈R），则，即可求出x＝﹣2，y＝1，即可求解．
【解答】解：设z＝x+yi（x，y∈R），x﹣yi，
则z﹣2x+yi﹣2（x﹣yi）＝﹣x+3yi＝2+3i，
解得x＝﹣2，y＝1，
所以z＝﹣2+i，z i2025＝（﹣2+i） i＝﹣1﹣2i．
故选：D．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
4．（2025春 汕头期中）已知复数z满足z（1﹣i）＝i，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部；共轭复数．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】C
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的定义得答案．
【解答】解：由z（1﹣i）＝i，得，
则．
∴的虚部为．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
5．（2025 桐乡市模拟）已知复数z满足，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】复数的除法运算；复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：复数z满足，
则z+i，
故z，
所以|z|．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
6．（2025 宜昌校级模拟）设复数z满足（i为虚数单位），则z＝（　　）
A．2i B．﹣2i C．﹣2+2i D．﹣2﹣2i
【考点】复数的除法运算．
【专题】转化思想；转化法．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：复数z满足，
则1+z＝（2﹣i）i＝1+2i，
故z＝2i．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
7．（2025 咸阳三模）已知复数z满足（1+2i）z＝3+4i，则复数z的共轭复数的虚部是（　　）
A． B． C． D．
【考点】复数的除法运算；共轭复数．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算化简复数z，再得共轭复数，即可得其虚部．
【解答】解：因为，
所以，故复数z的共轭复数的虚部是．
故选：D．
【点评】本题考查复数的除法运算，共轭复数，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 朝阳区校级期中）已知复数z满足（1﹣i）z＝4+6i，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（　　）
A． B．的虚部为﹣5i
C． D．
【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部；共轭复数；复数的模．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】AC
【分析】化简复数z，根据模长公式判断A，根据复数的共轭复数以及虚部的定义判断B，根据复数的除法运算判断C，根据复数的定义判断D．
【解答】解：由题意，z1+5i，则1﹣5i，
|z|，A正确；
的虚部为﹣5，B错误；
z1+5i1+5i2，C正确；
复数不能比大小，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
（多选）9．（2025春 温州期中）已知复数z1，z2，下列结论正确的有（　　）
A．
B．若z1z2＝0，则z1＝z2＝0
C．|z1z2|＝|z1||z2|
D．若，则
【考点】复数的乘法及乘方运算；共轭复数．
【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用共轭复数的定义判断选项A；由复数的乘法运算以及实数0的含义判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复数的乘法运算及共轭复数的概念判断选项D．
【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d∈R，
对于A，，，故选项A正确；
对于B，因为z1z2＝（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i＝0，
则，则a＝b＝0或c＝d＝0，
所以z1，z2中至少有一个0，即z1＝0或z2＝0，故选项B不正确；
对于C，由复数模的运算性质可知，
，
，
所以|z1z2|＝|z1||z2|，故选项C正确；
对于D，当z1＝a+bi，则，
可得，解得，即z1＝±1，
所以，故选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查复数的运算，属于中档题．
（多选）10．（2025春 青岛期中）已知，复数z满足|z﹣ω|＝1，则（　　）
A．|ω|＝1 B．
C．1+ω+ω2＝ω3 D．|z|的最大值为2
【考点】复数的乘法及乘方运算；复数的模．
【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由复数代数形式的乘除运算结合复数模的求法逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：由，得|ω|，故A正确；
，故B正确；
，
，
则1+ω+ω2＝10≠ω3，故C错误；
由|z﹣ω|＝1，可知z在复平面内对应的点在以（，）为圆心，以1为半径的圆上，
则|z|的最大值为，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 西青区校级期中）已知复数z，则|z|＝　　 ．
【考点】复数的除法运算；复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】．
【分析】结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：复数z，
则|z|．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
12．（2025 山东校级一模）若复数z满足z（1+i）＝2i，则　1﹣i　 ．
【考点】复数的除法运算；共轭复数．
【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】1﹣i．
【分析】利用复数的除法化简复数z，利用共轭复数的定义可得结果．
【解答】解：因为z（1+i）＝2i，
所以i（1﹣i）＝1+i，
所以．
故答案为：1﹣i．
【点评】本题考查复数的除法运算，属于基础题．
13．（2025 朝阳区二模）若复数z满足z i＝2+i，则|z|＝　　 ．
【考点】复数的除法运算；复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】．
【分析】根据复数的除法可求得z＝1﹣2i，结合模长公式运算求解．
【解答】解：由题意可知，，
所以由复数模的公式可知，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的四则运算，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 大兴区期中）已知复数z1＝（a2﹣2）﹣（2a+4）i，z2＝a﹣（a2+1）i，a∈R．
（Ⅰ）当a＝0时，求|z1+z2|的值；
（Ⅱ）若复数z＝z1﹣z2为纯虚数，求z1 z2的值．
【考点】复数的乘法及乘方运算；纯虚数．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）﹣36﹣26i．
【分析】（Ⅰ）当a＝0时，求出z1，z2的值，再由复数模的公式求解即可；
（Ⅱ）由题意化简z＝（a2﹣a﹣2）+（a2﹣2a﹣3）i，再由z为纯虚数知a2﹣a﹣2＝0，a2﹣2a﹣3≠0，解a并代入即可．
【解答】解：（Ⅰ）复数z1＝（a2﹣2）﹣（2a+4）i，z2＝a﹣（a2+1）i，a∈R，
当a＝0时，z1＝﹣2﹣4i，z2＝﹣i，
则z1+z2＝﹣2﹣5i，
∴|z1+z2|；
（Ⅱ）z＝z1﹣z2＝（a2﹣2）﹣（2a+4）i﹣（a﹣（a2+1）i）
＝（a2﹣a﹣2）+（a2﹣2a﹣3）i，
∵z＝z1﹣z2为纯虚数，
∴a2﹣a﹣2＝0，a2﹣2a﹣3≠0，
解得a＝2，
故z1＝2﹣8i，z2＝2﹣5i，
∴z1 z2＝4﹣40﹣26i＝﹣36﹣26i．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．
15．（2025春 西工区校级期中）已知复数z1＝1﹣2i，z2＝2+i，i为虚数单位．
（1）若复数z1+az2对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；
（2）若复数，求z的模．
【考点】复数的除法运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用复数代数形式的运算法则化简复数z1+az2，求出对应点的坐标，利用点在第四象限得到不等式组，即可求实数a的取值范围；
（2）利用复数代数形式的除法运算化简复数，从而求出z的模．
【解答】解：（1）∵z1＝1﹣2i，z2＝2+i，
∴复数z1+az2＝（1﹣2i）+a（2+i）＝（1+2a）+（a﹣2）i，
∴复数z1+az2在复平面内所对应的点为（1+2a，a﹣2），
由题意可得，解得，即实数a的取值范围是；
（2），
∴．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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