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南宁三中2023级高二下学期月考（三）
数学试题
命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数满足，则（ ）
A． B． C． D．5
3．“关于，的方程：表示圆”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．为了研究某种商品的广告投入和收益之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（ ）万元．
/万元 1 2 3 4 5
/万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50
A．2.48 B．2.58 C．2.68 D．2.88
6．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设等差数列的前项和是，前项积是，若，，则（ ）
A．无最大值，无最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值
8．已知函数满足：对于任意的x，，都有成立，且，则（ ）
A．2025 B．2024 C．1013 D．1012
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。
9．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某中学高三学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩与历史类班级女生的成绩均服从正态分布，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．设双曲线的左，右焦点分别为，，且，为上关于原点中心对称的两点，则（ ）
A．的实轴长为 B．
C．若，则直线的斜率为 D．若，则
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是不存在极值点的充要条件
B．若存在两个极值点，，则
C．过坐标原点只能作曲线的一条切线
D．若有两个零点，则
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为 .
13．若，则 ．
14．在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点处出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位，移动4次，则蚂蚁移动到圆内部的概率为 .
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在中，设所对的边分别为，已知.
(1)求角的值；
(2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.
16．（15分）已知动点到两定点，的距离之和为定值，且过点．
(1)求动点的轨迹方程C；
(2)若过点的直线与交于两点，为坐标原点，面积为，求直线的方程.
17．（15分）如图所示，在四面体中，平面，是的中点，分别在线段上，且，．
(1)求证：平面；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值．
18．（17分）在我校2024秋季教职工运动会的旋风跑比赛中，高一、高二、高三三个年级组和行政组共四个队伍角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”：
第一轮，四个队伍通过抽签分成两组，每组两个队伍对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；
第二轮，“胜区”中两个队伍对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两个队伍对阵，败者直接淘汰出局获第四名；
第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名；
第四轮，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.
已知高二和高三年级组水平相当，高一和行政组水平相当，高二对高三、高一对行政组的胜率均为，高二、高三对高一和行政组的胜率均为，没有平局，且不同对阵的结果相互独立.经抽签，第一轮由高二对阵高三，高一对阵行政组.
(1)求比赛结束时，高二比赛的场次是2场的概率；
(2)若已知高二输了第一轮的比赛，求高二获得冠军的概率；
(3)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：即四个队伍分成两组后，每组中的两个队伍对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军.分别求在以上两种赛制下高二获得冠军的概率，并比较哪种赛制对高二夺冠有利？请说明理由.
19．（17分）已知函数，且曲线在点处的切线经过坐标原点.
(1)求的值.
(2)当时，求的单调区间.
(3)设为的导函数，若存在两个不同的正数，同时满足，
证明：.
南宁三中2023级高二下学期月考（三）数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C B A C C D C AC ABD ACD
1．B【详解】易知，又，可得.故选：B
2．C【详解】由题设，则.故选：C.
3．B【详解】若关于，的方程：表示圆，则，解得或，因为真包含于，所以“关于，的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件.故选：B
4．A【详解】由，所以.故选：A.
5．C【详解】由，可得数据可得样本中心点为：
代入回归方程，解得：，所以当时，．故选：C
6．C【详解】根据的解析式做出的图象，如图所示：
可知在定义域内单调递增，因为，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.
7．D【详解】令数列公差为，则，即，作差可得，
所以，则，故，当得，当得，当得，显然，当时，时，所以有最小值，
且，当或4时，有最大值. 故选：D
8．C【详解】令时，因为，所以.令，则，所以.令，则，
所以，则，所以4为的一个周期.又，
所以由周期性可知，即．
当i为偶数时，为偶数，所以；当i为奇数时，设，
则，
故被4除的余数为1，所以，所以．故选：C．
9．AC【详解】对于A：由，得，故A正确；对于B：由，得，故B错误；对于C：因为，所以，故C正确；
对于D：由于随机变量、均服从正态分布，且对称轴均为直线，
，所以在正态分布曲线上，的峰值较高，
正态分布较“瘦高”，随机变量分布比较集中，所以，故D错误.故选：AC.
10．ABD【详解】设为双曲线的半焦距，则2，由，即，所以的实轴长为，故A正确；由于关于原点中心对称，关于原点中心对称，所以四边形为平行四边形，所以，所以，故B正确；由，解得，所以，所以直线斜率即直线斜率，，故C错误；由，，可得，，则，所以，又，所以，故D正确.故选：ABD.
11．ACD【详解】由题意得的定义域为，且，若，则，所以在上单调递增，不存在极值点；当时，由，得，所以当时，，当时，，当时，，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增，则为的极大值点，为的极小值点，此时有极值点.故A项正确.
不妨设，由上可知，，
所以，故B项错误.
设为切点，则切线的斜率，切线方程为，
因为切线过点，所以，化简得，方程有唯一解为，所以过坐标原点只能作曲线的一条切线，故C项正确.
当时，单调递增，所以不可能存在两个零点；当时，存在两个极值点，，因为，当时，，所以在区间内存在唯一零点，
当时，只有当时，在区间内存在唯一零点，解得，故D项正确.故选：ACD.
12．【详解】设底面半径为，母线长为l，由，得，
又，由勾股定理，所以，解得，
底面圆周长，扇形中心角，故答案为：
13．【详解】.
14．【详解】把向上、下、左、右四个方向的步数记分别为，，，，则.
若蚂蚁移动到圆的内部，则移动4次后，蚂蚁可能的位置为原点，，，，，共5种情况.
若蚂蚁移动到原点，则，，故，或，或，有种走法；
若蚂蚁移动到点（1，1），则，，故，，，或，，，，有种走法.
由对称可知，蚂蚁移动到圆内部的概率为.
15．【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，…………1分
整理得，…………………………………3分
因，则，则得，……5分, 而，所以.……………………6分
（2）由（1）知，，因为锐角三角形，则，可得，………7分
则，……8分, 由正弦定理，得，………11分
所以.………………13分
16．【详解】（1）依题意，点到点的距离和为，
因此动点的轨迹是以点为左右焦点，长轴长为4的椭圆，
短半轴长为，所以动点的轨迹方程C：.…………4分
（2）直线不垂直于轴，设其方程为，，………5分
由消去得，，………8分
的面积，………11分
解得，…………………13分, 所以直线的方程为或.……………15分
17．【详解】（1）方法一：如图，在线段上取一点，使，……1分
由已知，，且，………………………2分
在线段上取一点，使，……………………………………3分
由已知，，且，
所以，且，因此四边形为平行四边形，……………4分
所以，又平面，且平面，所以平面．……7分
方法二：如图，连接并延长交于连接，在中，过点作，交于点，因为，所以，
又是的中点，则，
所以，即，又因为，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）由，，知．………………………8分
以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，
分别以所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系．………9分
又，得，，，，，……10分
则，，，………………………11分
设平面的一个法向量为，则，即，
取，则，所以平面的一个法向量为，………………………13分
设直线与平面所成角为，则，…………14分
所以直线与平面所成角的正弦值为．………………………15分
18.【详解】（1）设高二在第场比赛获胜的事件为，………………………1分
由高二比赛的场次是2场，则高二两场全输，则；……………………3分
（2）由于高二输了第一轮的比赛，高二后续需全胜才能获得冠军，
则；……………………7分
（3）在“双败淘汰制”下，若高二获得冠军，则最多只能输一场，
若高二全胜，其概率为，……………………9分
若高二只输了第一场，则，………………………11分
若高二只输了第二场，则，………………………13分
则高二获得冠军的概率为；………………………14分
在“单败淘汰制”下，若高二获得冠军，则需两场全胜，则，………………………16分
由，故，故“双败淘汰制”对高二夺冠有利.………………………17分
19．【详解】（1）由题，……………………1分
所以切线斜率为，……………………2分
所以切线方程为，……………………3分
又切线经过坐标原点，所以.……………………4分
（2）当时，由（1）可得，
所以，…………………5分
令，所以，…………………6分
所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，……………7分
所以，……………8分
即函数在上单调递增，在上单调递减，，
又，……………9分
所以当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.……………10分
（3）证明：由（1），
令，
所以当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，即函数在上单调递增，在上单调递减，……………12分
因为存在两个不同的正数，同时满足，
所以可记，且，
整理得，
令，所以，所以，
所以
，…14分
【法一】设，所以，
设，所以，设在上恒成立，所以即为上的减函数，所以，所以为上的增函数，
所以，又在上恒成立，
所以在上恒成立，所以为上的减函数，………………15分
所以当时 其中 （由洛必达法则可得）
.………………17分
【法二】要证，只需证，即证 即证 ；即证 ；即证；即证
设 ，
可知在(0,1)上单调递减，，即证成立
所以.………………17分

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