资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
期末核心考点 数列
一．选择题（共7小题）
1．（2025 秦淮区校级二模）若数列{an}为等比数列，则“a3＝1”是“a1 a5＝1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2025 广东校级模拟）已知{log2an}是等差数列，Tn是数列{an}的前n项积，若a3＝3，则T5＝（　　）
A．15 B．21 C．108 D．243
3．（2025 凉山州模拟）设等差数列{an}的公差为d，若a2+a10＝6，a6a8＝15，则d＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2025 郑州模拟）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝7，S5﹣6a2＝5，则a1＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2025 湖南一模）已知等差数列{an}的首项为2，公差不为0，且a2，a3，a6成等比数列，则a9等于（　　）
A．﹣32 B．﹣30 C．﹣28 D．﹣26
6．（2025 乐山模拟）已知数列{an}的通项公式为，则下列不是数列{an}的项的是（　　）
A．2 B．13 C．39 D．49
7．（2025 南宁模拟）若方程（x2﹣4x+m）（x2﹣4x+n）＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|＝（　　）
A．2 B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 赣州二模）设数列{an}的前n项和为Sn，，，则（　　）
A． B．a7＜a8
C．S50＜13 D．a5＜|3a1﹣5a3|
（多选）9．（2025春 薛城区校级期中）从棱长为1个单位长度的正四面体的一顶点A出发，每次均随机沿一条棱行走1个单位长度，设行走n次时恰好为第一次回到A点的概率为Pn（n∈N+），恰好为第二次回到A点的概率为Qn（n∈N+），则（　　）
A．
B．
C．n≥2时，为定值
D．数列{Qn}的最大项为
（多选）10．（2025 四川模拟）已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若S6＝S12，则下列结论中正确的是（　　）
A．a1：d＝﹣17：2 B．S18＝0
C．当d＜0时，|a6|＜|a13| D．当d＞0时，a6+a14＞0
三．填空题（共3小题）
11．（2025 天心区校级模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4+a12＝a8+2，则S15＝ 　 　 ．
12．（2025 点军区校级模拟）已知{an}为等比数列，且a1＝2，a4＝16．从a1，a2，…，a2025这2025个数中任取两个数，则这两个数之和能被3整除的概率为 　 　 ．
13．（2025春 金牛区校级期中）“已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16， ，其中第一项是20.接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，以此类推，求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂，”那么N＝　 　
四．解答题（共2小题）
14．（2025 河北模拟）对数运算可以使一些复杂的数学计算变得简单，比如函数：f（x）＝xx（x＞0），通常为了便于求导，我们可以作变形：．
（1）求f（x）＝xx（x＞0）的单调区间；
（2）已知g（x）＝x2．
①若数列{an}满足a1＝1，an+1＝g（an）+g′（an），求数列{an}的通项公式；
②求证：．
15．（2025 点军区校级模拟）已知数列{bn}的前n项和为Sn，且b1＝1，2Sn＝nbn+1，当数列{bn}的项数大于2时，将数列{bn}中各项的所有不同排列填入一个n!行n列的表格中（每个格中一个数字），使每行均为这n个数的一个排列．将第i（1≤i≤n!，i∈N）行的数字构成的数列记作{ain}，将数列{ain}中的第j（1≤j≤n，j∈N）项记作aij．若对 i，j，均有aij≠bj，则称数列{ain}为数列{bn}的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为M．
（1）求数列{bn}的通项公式bn；
（2）当数列{bn}的项数为4时，求M的值；
（3）若数列{ain}为数列{bn}的“异位数列”，试讨论的最小值．
期末核心考点 数列
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 秦淮区校级二模）若数列{an}为等比数列，则“a3＝1”是“a1 a5＝1”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】等比数列的性质；充分条件必要条件的判断．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；简易逻辑；运算求解．
【答案】A
【分析】由题意，根据等比中项的应用，结合充分条件、必要条件的定义即可求解．
【解答】解：由题意知，若数列{an}为等比数列，
当a3＝1时，得，故充分性成立；
当a1a5＝1时，，解得a3＝±1，故必要性不成立．
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
2．（2025 广东校级模拟）已知{log2an}是等差数列，Tn是数列{an}的前n项积，若a3＝3，则T5＝（　　）
A．15 B．21 C．108 D．243
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】对应思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】D
【分析】利用等差数列定义，得到数列{an}为等比数列，利用等比数列性质即可得到结果．
【解答】解：因为{log2an}是等差数列，设其公差为d，
所以，
所以为常数，所以{an}是等比数列，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查等比数列的通项公式与性质的应用，属于基础题．
3．（2025 凉山州模拟）设等差数列{an}的公差为d，若a2+a10＝6，a6a8＝15，则d＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】等差数列通项公式的应用．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】A
【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可求解．
【解答】解：等差数列{an}的公差为d，a2+a10＝2a1+10d＝6，
所以a1+5d＝3，
因为a6a8＝（a1+5d）（a1+7d）＝3（3+2d）＝15，
则d＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了等差数列通项公式的应用，属于基础题．
4．（2025 郑州模拟）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝7，S5﹣6a2＝5，则a1＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意，由等差数列的前n项和公式和通项公式可得，解可得答案．
【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
若a3＝7，S5﹣6a2＝5，则有，
解可得：a1＝3，d＝2．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的性质和应用，涉及等差数列的求和，属于基础题．
5．（2025 湖南一模）已知等差数列{an}的首项为2，公差不为0，且a2，a3，a6成等比数列，则a9等于（　　）
A．﹣32 B．﹣30 C．﹣28 D．﹣26
【考点】等差数列通项公式的应用；等比中项及其性质．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】B
【分析】根据等差数列通项公式和等比中项公式即可计算求解．
【解答】解：等差数列{an}的首项为2，公差不为0，且a2，a3，a6成等比数列，
设等差数列的公差为d，
则由题，即（2+2d）2＝（2+d）（2+5d） d＝﹣4或d＝0（舍去），
所以a9＝2+8×（﹣4）＝﹣30．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及等比数列性质的应用，属于基础题．
6．（2025 乐山模拟）已知数列{an}的通项公式为，则下列不是数列{an}的项的是（　　）
A．2 B．13 C．39 D．49
【考点】由通项公式求解或判断数列中的项．
【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】C
【分析】根据数列的通项公式求解即可．
【解答】解：数列{an}的通项公式为，
当n＝1时，3n+（﹣1）n＝3﹣1＝2，即a1＝2，
所以2是数列{an}的项，
当n＝4时，3n+（﹣1）n＝12+1＝13，即a4＝13，
所以13是数列{an}的项，
当n为偶数时，an＝3n+1，令3n+1＝39，得n（不是正整数），
当n为奇数时，an＝3n﹣1，令3n﹣1＝39，得n（不是正整数），
所以39不是数列{an}的项，
当n＝16时，3n+（﹣1）n＝48+1＝49，即a16＝49，
所以49是数列{an}的项．
故选：C．
【点评】本题主要考查了数列的通项公式，属于基础题．
7．（2025 南宁模拟）若方程（x2﹣4x+m）（x2﹣4x+n）＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|＝（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】等差数列通项公式的应用；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】A
【分析】由已知结合方程根与系数关系及等差数列的性质即可求解．
【解答】解：设方程（x2﹣4x+m）（x2﹣4x+n）＝0的四个根为x1，x2，x3，x4，
则x1+x2＝x3+x4＝4，x1 x2＝m，x3x4＝n，
又因为方程（x2﹣4x+m）（x2﹣4x+n）＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，
设x1，则，设等差数列的公差为d，
则3d3，
解得d＝1，则等差数列为，
所以m，，则.．
故选：A．
【点评】本题主要考查了等差数列性质的应用，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 赣州二模）设数列{an}的前n项和为Sn，，，则（　　）
A． B．a7＜a8
C．S50＜13 D．a5＜|3a1﹣5a3|
【考点】数列递推式；数列的求和．
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用递推公式结合放缩法可判断A选项；利用导数证明出当时，0＜ex﹣x﹣1＜x，可判断B选项；利用导数证明出当时，，可知当n≥2时，，结合等比数列的求和公式以及放缩法可判断C选项；利用C中的结论结合放缩法可判断D选项．
【解答】解：设数列{an}的前n项和为Sn，，，
对于A选项，因为，则，故A对；
对于C选项，令，其中，
则对任意的恒成立，
所以函数h（x）在上单调递减，
故当时，，即，
由A选项可知，，， ，
可知，当n≥2时，，
所以，，故C对；
对于B选项，构造函数f（x）＝ex﹣2x﹣1，其中，则f′（x）＝ex﹣2＜0，
所以，函数f（x）在上单调递减，则f（x）＝ex﹣2x﹣1＜0，即ex﹣x﹣1＜x，
令g（x）＝ex﹣x﹣1，其中，则g′（x）＝ex﹣1＞0，
所以，函数g（x）在上单调递增，
因为，则，即，
所以，a3＝g（a2）∈（0，a2）， ，
以此类推可知，a8＝g（a7）∈（0，a7），故B错；
对于D选项，由C选项可知，，
所以，a5＜3a1﹣5a3＝|3a1﹣5a3|，故D对．
故选：ACD．
【点评】本题考查数列的递推式和函数的导数的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
（多选）9．（2025春 薛城区校级期中）从棱长为1个单位长度的正四面体的一顶点A出发，每次均随机沿一条棱行走1个单位长度，设行走n次时恰好为第一次回到A点的概率为Pn（n∈N+），恰好为第二次回到A点的概率为Qn（n∈N+），则（　　）
A．
B．
C．n≥2时，为定值
D．数列{Qn}的最大项为
【考点】数列的应用．
【专题】整体思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．
【答案】ACD
【分析】还原情境，求出Pn和Qn，逐项判断即可求解．
【解答】解：根据题意得对于任意一次行走，到达其他三个点概率均为，
如果要行走3次时恰好第一次回到A点，那么第1、2次均不到点A，
因此，所以选项A正确；
如果要行走4次时恰好第二次回到A点，那么第2次必须回到点A，概率为，
所以选项B错误；
如果要行走n次时恰好为第一次回到A点，那么n﹣1次均未到达点A，因此，
因此为定值，所以选项C正确；
当n≤3时，Qn＝0；
当n≥4时，令第k（2≤k≤n﹣2）次第一次到达点A，第n次恰好第二次到达点A，
因为第1次和第k+1次的行走不用限制，因此此时概率为，
因此，
令，解得n≤5，
因此Q5＝Q6＞Q7＞Q8＞ ，0＜Q4＜Q5＝Q6，
因此Q5和Q6为最大值，所以选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查数列综合应用，属于中档题．
（多选）10．（2025 四川模拟）已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若S6＝S12，则下列结论中正确的是（　　）
A．a1：d＝﹣17：2 B．S18＝0
C．当d＜0时，|a6|＜|a13| D．当d＞0时，a6+a14＞0
【考点】等差数列的性质．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据题干S6＝S12，转化为首项和公差，可得2a1＝﹣17d，再对各选项进行逐项分析．
【解答】解：因为S6＝S12，所以6a1+15d＝12a1+66d，整理得2a1＝﹣17d，故A正确；
由A选项知，S18＝18a1+9×17d＝9（2a1+17d）＝0，故B正确；
由A选项知，|a6|＝|a1+5d|＝||，|a13|＝|a1+12d|＝||，故d＜0时，|a6|＝|a13|，C错误；
由A选项知，当d＞0时，a6+a14＝2a1+18d＝d＞0，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查等差数列的性质和等差数列的前n项和，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025 天心区校级模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4+a12＝a8+2，则S15＝ 　30　 ．
【考点】求等差数列的前n项和．
【专题】计算题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列；逻辑思维；运算求解．
【答案】30．
【分析】根据题意可求出a8＝2，进而可求S15即可．
【解答】解：∵{an}是等差数列，
∴a4+a12＝2a8＝a8+2，解得a8＝2，
∴S15（a1+a15）＝15a8＝15×2＝30．
故答案为：30．
【点评】本题考查等差数列的前n项公式，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题．
12．（2025 点军区校级模拟）已知{an}为等比数列，且a1＝2，a4＝16．从a1，a2，…，a2025这2025个数中任取两个数，则这两个数之和能被3整除的概率为 　　 ．
【考点】求等比数列的前n项和；古典概型及其概率计算公式．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】．
【分析】由等比数列基本量的运算可得，再由题意可得数列各项除以3的余数以2，1为周期循环出现，从而得到在a1，a2，…，a2025中，共有1013个余数为2的数，1012个余数为1的数．再由古典概型和组合数计算即可．
【解答】解：因为等比数列{an}满足a1＝2，a4＝16，设公比为q，
所以，即16＝2q3，解得q＝2，
所以数列{an}的通项公式为．
观察数列各项除以3的余数，发现余数以2，1为周期循环出现．
在a1，a2，…，a2025中，共有1013个余数为2的数，1012个余数为1的数．
两个数之和能被3整除，需从余数为2的数中任取1个数，从余数为1的数中任取两个数，
因此两个数之和能被3整除的总取法数为，
从1005个数中任取两个数的总取法数为，
所以两个数之和能被3整除的概率为：．
故答案为：．
【点评】本题考查等比数列的通项公式求法，古典概型的概率求解，属于中档题．
13．（2025春 金牛区校级期中）“已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16， ，其中第一项是20.接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，以此类推，求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂，”那么N＝　440　
【考点】数列的应用．
【专题】计算题；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】440．
【分析】将数列按规律分组，结合等差数列等比数列的求和公式计算即可得到答案．
【解答】解：根据题目：其中第一项是20，接下来的两项是20，21，
再接下来的三项是20，21，22，以此类推，
对数列进行分组如下：
第一组：20，1个数；第二组：20，21，2个数；
第三组：20，21，22，3个数； ；
第n组：20，21，22， ，2n﹣1，n个数；
第n+1组：20，21，22， ，2n，n+1个数．
设该数列的第N项在第n+1组，
该数列前n组的项数和为：，
第n组的和为：，
∴该数列前n组的各项和为：，
若该数列的前N项和为2的整数幂，只需将﹣n﹣2消去即可，
当1+2+（﹣n﹣2）＝0时，n＝1，，不满足N＞100，
当1+2+4+（﹣n﹣2）＝0时，n＝5，，不满足N＞100，
当1+2+4+8+（﹣n﹣2）＝0时，n＝13，，不满足N＞100，
当1+2+4+8+16+（﹣n﹣2）＝0时，n＝29，，满足N＞100，
∴满足条件的最小整数N为440．
故答案为：440．
【点评】本题考查数列的应用，属于中档题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 河北模拟）对数运算可以使一些复杂的数学计算变得简单，比如函数：f（x）＝xx（x＞0），通常为了便于求导，我们可以作变形：．
（1）求f（x）＝xx（x＞0）的单调区间；
（2）已知g（x）＝x2．
①若数列{an}满足a1＝1，an+1＝g（an）+g′（an），求数列{an}的通项公式；
②求证：．
【考点】数列与函数的综合；利用导数求解函数的单调性和单调区间．
【专题】应用题；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）单调递增区间为，递减区间为；
（2）①；②证明见解析．
【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性；
（2）①两边取对数，再结合等比数列定义计算结合指数及对数运算求解；②构造h（x）＝lnx﹣x+1根据函数最值结合累加法证明即可．
【解答】（1）f（x）＝xx＝exlnx，f′（x）＝exlnx（lnx+1）
令f′（x）＞0，解得，令f′（x）＜0，解得，
所以f（x）的单调递增区间为，递减区间为，
（2）①由题意可知，，
那么，
两边同时取对数可得ln（an+1+1）＝2ln（an+1），
所以{ln（an+1）}是以ln2为首项，2为公比的等比数列，
则，所以，
所以当数列{an}满足a1＝1，an+1＝g（an）+g′（an）时，，
②证明：设函数h（x）＝lnx﹣x+1，，
当x＞1时，h′（x）＜0，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，
所以h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
则h（x）≤h（1）＝0，即lnx≤x﹣1在（0，+∞）上恒成立，
g（n）﹣lnf（n）＝n2﹣nlnn≥n2﹣n（n﹣1）＝n，
所以，
即．
【点评】本题考查数列与函数的综合，属于中档题．
15．（2025 点军区校级模拟）已知数列{bn}的前n项和为Sn，且b1＝1，2Sn＝nbn+1，当数列{bn}的项数大于2时，将数列{bn}中各项的所有不同排列填入一个n!行n列的表格中（每个格中一个数字），使每行均为这n个数的一个排列．将第i（1≤i≤n!，i∈N）行的数字构成的数列记作{ain}，将数列{ain}中的第j（1≤j≤n，j∈N）项记作aij．若对 i，j，均有aij≠bj，则称数列{ain}为数列{bn}的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为M．
（1）求数列{bn}的通项公式bn；
（2）当数列{bn}的项数为4时，求M的值；
（3）若数列{ain}为数列{bn}的“异位数列”，试讨论的最小值．
【考点】数列的应用；数列递推式．
【专题】应用题；整体思想；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）bn＝n；
（2）M＝9；
（3）答案见解析．
【分析】（1）由已知条件求出b2的值，由2Sn＝nbn+1得2Sn+1＝（n+1）bn+2两式作差得出再利用累乘法可求出数列{bn}的通项公式；
（2）列出数列{bn}的4项，对ai1的取值进行分类讨论，列举出ai2；ai3；，ai4的取值，即可得出M的值；
（3）由题意可得aij≠j，可得出，然后对n为奇数和偶数两种情况进行讨论，列举出符合条件的数列{an}，可得出的最小值．
【解答】解：（1）由题b1＝1，2b1＝b2，解得b2＝2，由2Sn＝nbn+1，
得2Sn+1＝（n+1）bn+2两式作差得2bn+1＝（n+1）bn+2﹣nbn+1，
即，所以，，，………，，
累乘得：，即bn＝n（n≥3）因为b1＝1，b2＝2符合上式，所以bn＝n；
（2）由（1）知，bn＝n，所以bj＝j（1≤j≤n，j∈N）当数列{bn}的项数为4时，
可知b1＝1，b2＝2，b3＝3，b4＝4若数列{ain}为数列{bn}的“异位数列”，则：当ai1＝2时，ai2＝1，a13＝4，ai4＝3；或ai2＝3，ai3＝4，ai4＝1；
或ai2＝4ai3＝1，a14＝2共3种情况．同理当ai1＝3或ai1＝4时，对应的排列各有3种情况，所以 M＝9．
（3）因为数列{ain}为数列{bn}的“异位数列”，所以aij≠bj（1≤i≤n!，1≤j≤n，i，j∈N），
即aij≠j，所以|aij﹣bj|＝|aij﹣j|≥1所以，当 n＝2k，k∈N*时，若对任意的j，
都有|aij﹣j|＝1，取等号，
此时ai1＝2，ai2＝1，…ai（n﹣1）＝n，ai（n）＝n﹣1，
所以当n＝2k，k∈N*时，的最小值为n，当n＝2k+1，k∈N*时，
的不可能取到等号，因为存在j，使得|aij﹣j|≥2，将1，2，3，…，n分为k组，
【点评】本题考查数列的应用，属于难题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑