资源简介

20242025学年高三5月质量检测卷
数学（A）
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部为
A.－1 B. C.1 D.i
2.已知全集，集合，，则
A. B. C. D.
3.已知直线与，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知向量，，则在上的投影向量为
A. B. C. D.
5.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴为
A. B. C. D.
6.已知随机事件，的概率满足，，，则
A.0.28 B.0.58 C.0.82 D.0.86
7.已知函数，其中，为常数，若函数的图象如图所示，则
A.的图象与坐标轴有三个交点 B.的图象的对称轴在轴左侧
C.关于的方程有两个不等实根 D.在区间上单调递增
8.已知空间向量，，，向量，且，则的最小值为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则
A. B.的离心率为
C.的面积为 D.
10.设函数的定义域为，，且，则
A. B. C.是奇函数 D.
11.18世纪东普鲁士的哥尼斯堡城，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如图）.有人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点.后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题——一笔画问题.下列图形不是一笔画的是
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是________.
13.在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若，则周长的取值范围为________.
14.已知函数，，若存在实数，使得成立，则实数________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）某超市经理为了解顾客对某商品甲、乙两款的喜爱程度是否与性别有关，在街头随机抽取了100人做调查研究，其中喜欢甲与乙的人数各占一半，男性占总人数的60%，且女性中有75%的人喜欢甲.
（1）补全列联表：
喜欢甲 喜欢乙 合计
男性
女性
合计
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢哪款商品与性别有关联？
（3）该经理针对女性客户做了调查，在3·15活动当天，女性客户中有老年人162人，中年人108人，青年人54人，按分层抽样选出12人，又从这12人中随机抽出3人作为幸运顾客，这3人中的老年人人数设为随机变量，请求出的分布列与数学期望.
附：，其中.
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
16.（本小题满分15分）已知数列的前项和为，且.
（1）证明：是等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
17.（本小题满分15分）已知函数有两个极值点，.
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求的最大值.
18.（本小题满分17分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆与的准线相切.
（1）求的标准方程；
（2）已知是上的一点，是轴上的一点，若的最小值为4，求点的坐标；
（3）过点作直线与交于，两点，且在，两点处的切线交于点，证明：.
19.（本小题满分17分）如图，圆锥的母线长为3，侧面积为，为底面半圆弧上一点，是线段上一点，点满足.
（1）试判断是否存在点，使得平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在圆锥的内部（含表面上的点）作一个圆柱，且圆柱的其中一个底面在圆锥的底面上，记圆锥的体积为，圆柱的体积为，当圆柱的体积最大时，求的值.
2024~2025学年高三5月质量检测卷·数学（A）
参考答案、提示及评分细则
1.A 复数，其虚部为－1.故选A.
2.D 由题知，全集，因为，，所以，所以.故选D.
3.A 由，则，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选A.
4.C 在上的投影向量为.故选C.
5.D 函数，所以，令，，得，，结合选项可知D正确.故选D.
6.C 因为，所以，.由乘法公式得，所以.故选C.
7.D 由题知，，根据指数函数的图象特征知，又，所以，，其图象是开口向上的抛物线，顶点坐标为，且在上单调递增，所以，的图象与轴没有交点，又的图象与轴有唯一交点，所以的图象与坐标轴只有一个交点，故A错误；关于的方程的实根个数，等于直线与曲线的交点个数，由A选项可知，直线与曲线的交点个数为0，故C错误；的图象的对称轴是直线，其在轴右侧，故B错误；在区间上单调递增，故D正确.故选D.
8.B 设，，因为，所以，则，所以，，，四点共面，当平面时，有最小值.易求得平面的一个法向量，所以到平面的距离.故选B.
9.ACD 因为，解得，故A正确；双曲线，所以，的离心率，故B错误；因为，所以，的面积为，故C正确；所以，所以，故D正确.故选ACD.
10.ABC 因为，所以，所以，，，…，，故A正确；令，得，所以，故B正确；由选项A分析知，，所以是奇函数，故C正确；，故D错误.故选ABC.
11.BCD 一笔画图形必须满足两个条件：（1）连通图；（2）图形中奇点个数为0或2（奇点，指引出奇数条线的点）.选项A，B，C，D中四个图形依次的奇点数，分别为0，4，4，1，故只有选项A中图形为一笔画.故选BCD.
12. 因为焦点在轴上，则，解得或.
13. 因为，所以，在中，由余弦定理可得，所以，整理可得，所以，因为，所以.由正弦定理得，所以，，所以的周长为，因为，则，所以，所以，即周长的取值范围为.
14. 令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，故当时，，又由，当且仅当，即时，等号成立，故，当且仅当两个不等式等号同时成立时，即等号成立，得.
15.解：（1）补全列联表如下.
喜欢甲 喜欢乙 合计
男性 20 40 60
女性 30 10 40
合计 50 50 100
…………3分
（2）零假设：喜欢哪款商品与性别无关联，
则， …………6分
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即能认为喜欢哪款商品与性别有关联. …………7分
（3）由题意，，
所以12人中有老年人6人，中年人4人，青年人2人， …………8分
则的所有可能取值为0，1，2，3，9分
，，，，
则分布列为：
0 1 2 3
…………11分
. …………13分
16.（1）证明：因为，
所以当时，，解得； …………1分
当时，， …………2分
所以，即，
所以， …………4分
又，
所以数列是以4为首项，3为公比的等比数列. …………6分
（2）解：由（1）知，， …………8分
所以， …………9分
则，①
，②
①－②有， …………13分
所以. …………15分
17.解：（1），，
由题知有两个不等的实数根，即有两个不等的实数根. …………2分
令，则，
由，解得，在上单调递增；由，解得，在上单调递减；
所以在处取得极大值，且，当时，，
所以，即的取值范围是. …………6分
（2）由（1）知的两个根分别是，，且. …………7分
令，则，由可得 …………9分
所以，. …………10分
令，则，
令，则，
所以在区间上单调递增，则. …………12分
所以，即在区间上单调递增，
即，13分
所以，即，
所以的最大值为. …………15分
18.（1）解：由题意，设的方程为，准线为， …………1分
因为圆与的准线相切，且圆心为，半径为， …………2分
所以，解得， …………3分
所以的标准方程为. …………4分
（2）解：设，，，， …………6分
当，即时，，解得或（舍去）； …………7分
当，即时，，解得， …………9分
所以点的坐标为或. …………10分
（3）证明：根据题意，直线的斜率存在，，
设直线的方程为，，，
联立消去并整理得， …………11分
所以，，， …………12分
对求导，得，
由解得所以. …………14分
因为，
， …………15分
所以
， …………16分
又，
所以. …………17分
19.解：（1）取的中点，则， …………1分
当为的中点时，，
又，，
所以平面平面， …………3分
因为平面，所以平面. …………4分
（2）设圆的半径为，因为圆锥的母线长为3，侧面积为，
所以，解得， …………5分
在中，， …………6分
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，， …………7分
设平面的法向量为，则
令，则，，所以， …………8分
设平面的法向量为，则
令，则，，所以， …………10分
所以， …………2分
所以平面与平面夹角的余弦值为. …………13分
（3）由题知，当圆柱的体积最大时，圆柱的上底面圆周在圆锥的侧面上，设此时内接圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为，
所以圆柱的体积为， …………14分
所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当圆柱的半径为时，取得最大值，此时， …………15分
又圆锥的体积为， …………16分
所以. …………17分

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