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2025届云南省临沧地区中学高三高考适应性月考卷（十）
数学试题
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点所在区域的面积为( )
A. B.
C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.设椭圆与双曲线有公共焦点，过它们的右焦点作轴的垂线与曲线，在第一象限分别交于点，，若为坐标原点，则与的离心率之比为( )
A. B. C. D.
5.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象若在上没有零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知函数的零点分别为，则的值是( )
A. B. C. D.
7.设函数，，若存在实数，，使得，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，分别是棱长为的正四面体的对棱的中点过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是( )
A. 截面多边形不可能是平行四边形
B. 截面多边形的周长是定值
C. 截面多边形的周长的最小值是
D. 截面多边形的面积的取值范围是
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一家公司为了解客户对公司新产品的满意度，随机选取了名客户进行评分调查，根据评分数进行适当分组后每组为左闭右开的区间，画出的频率分布直方图如图所示，其中有名客户的评分数落在内，则( )
A. 图中的
B.
C. 同组数据用该组区间的中点值作代表，则评分数的平均数为
D. 该公司计划邀请评分数低于第百分位数的客户参与产品改进会议，若客户甲的评分数为，则甲将会被邀请参与产品改进会议
10.已知为坐标原点，曲线．的焦点为，是的准线上一点，过点的直线与有且仅有一个交点，则( )
A. 若与轴平行，则
B. 若与轴平行，则
C. 若与轴不垂直，则
D. 若与轴不垂直，则
11.某同学在平面直角坐标系中画出了一朵四叶草图案，图案的边界线条可看作曲线，已知曲线上的点到坐标原点的距离的立方等于该点到两坐标轴的距离乘积，对于曲线，以下结论正确的是( )
A. 曲线是中心对称图形
B. 曲线有且只有两条对称轴
C. 曲线上两点之间的最大距离为
D. 曲线上的点的纵坐标的范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，且若是数列的前项积，当取最大值时， ．
13.已知函数满足，若函数与的图象的交点为，，，，则 ．
14.以下五个关于圆锥曲线的命题中：
双曲线与椭圆有相同的焦点；
方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
设、为两个定点，为常数，若，则动点的轨迹为双曲线；
过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于、两点，则使它们的横坐标之和等于的直线有且只有两条；
过定圆上一点作圆的动弦，为原点，若，则动点的轨迹为椭圆．
其中真命题的序号为 写出所有真命题的序号．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，是边的中点，的面积为，且．
求
求的值．
16.本小题分
新高考模式的选科是按物理类与历史类两大块组合进行，即物理与历史必选一科，再从化学、生物、地理、政治四个学科中任选两科，加上语文、数学、英语组成一种组合，简称“物理类”与“历史类”为了解选科组合是否与性别有关，某机构随机选取了名学生，进行了问卷调查，得到如下的列联表：
性别 选科组合 合计
物理类 历史类
男生
女生
合计
已知在这名学生中随机抽取人，抽到选物理类学生的概率为．
完成表中数据，并根据小概率值的独立性检验，判断选科组合是否与性别有关
从上述选物理类的学生中利用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人调查其选物理类的原因．
(ⅰ)用表示这人中男生的人数，求的分布列及数学期望
(ⅱ)已知这人中有女生的条件下，求男生、女生人数不相等的概率．
附：，其中．
17.本小题分
如图，在正三棱柱中，，，动点在上，动点在上，且满足，，为的中点．
当时，求与底面所成角的正切值；
当平面时，求的值；
是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知函数的导函数为，若存在两个不同的零点．
当时，求函数在处的切线方程；
求函数的单调区间；
证明：．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，利用公式其中，，，为常数，将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称为坐标变换公式，该变换公式可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，表示．
如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点到原点距离不变，求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
在平面直角坐标系中，求双曲线通过二阶矩阵进行线性变换后得到的双曲线方程；
已知由得到的双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于，两点在第一象限，与轴交于点，设直线，的倾斜角分别为，，求证：为定值．
参考答案及解析
1.【答案】
解：因为，
所以，即，所以；
又因为可化为，
解得，所以，
所以
故选：．
2.【答案】
【解析】解：令且，则，
所以，即对应区域是圆心为，半径分别为，的两个同心圆的面积差，
所以区域的面积为．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：因为
，
所以，
所以．
故选：．
4.【答案】
解：椭圆与双曲线有公共焦点，
，右焦点．
分别将代入椭圆和双曲线方程，解得，的纵坐标分别为：
，
，
，
，
故选B．
5.【答案】
【解析】解：将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，
再把所得图象的所有点向左平移个单位长度，得到函数，
因为函数在上没有零点，
当时，，
所以或
解得或，
当时，或．
故选：．
6.【答案】
解：由题意，，
，
令，
因为与互为反函数，两个函数的图象关于直线对称，
且的图象也关于直线对称，
设，，
则，关于直线对称，
所以且
由可得，
所以．
由可得，
所以，
又代入上式可得，
则．
故选：．
7.【答案】
解：因为，所以，
令，则，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，
所以在上单调递增，
，
又，，令，则，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，
所以在上单调递增，
又，则，
所以，
所以，令，定义域为，
，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，
所以
故选：．
8.【答案】
解：对于，当平面过或时，截面为三角形，
易知正四面体关于平面对称，将平面从平面开始旋转与交于点时，
由对称性可知，此时平面与交于点，且，
此时截面为四边形，且注意到当分别为的中点时，
此时满足，
且，即此时截面四边形是平行四边形，故A错误；

对于、，设，由余弦定理得，
，
由两点间距离公式知，表示动点到定点和的距离之和，
当三点共线时取得最小值，
由二次函数单调性可知，当或时，取得最大值，
所以截面多边形周长的取值范围是，故 B、C错误；
对于，记与的交点为，由对称性，，
所以，，
因为，
所以，所以，
记，
则，
因为，
所以
，
由二次函数性质可知，，即，
所以，故D正确．
故选：．
9.【答案】
解：由频率分布直方图可知：，
解得， A错误；
评分落在内的有人，所以， B正确；
评分的平均数为， C正确；
，所以第百分位数在组，设其为，
则，，
所以甲会被邀请，D正确．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】选项，与轴平行时，由抛物线的定义可知，，所以，正确
选项，设，则，又，则，
，显然不相等，错误
选项，若与轴不垂直，则由题意，直线是的切线，不妨设点在轴的上方，设，
则点，，
所以，，若在轴的下方，由对称性同理有，正确
选项，，
令，，，
所以当时，存在最小值，所以，若在轴的下方，由对称性同理有．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：设曲线上任意一点，依题意，，即，
对于，将点关于原点的对称点代入上式，
可得，得点在曲线上，
则曲线是中心对称图形，A正确；
对于，由，得曲线关于轴对称，同理曲线关于对称，
用换，且换，方程不变，则曲线关于轴对称，B错误；
对于，曲线上点到原点距离，
由，
解得，当且仅当时取等号，则，
由对称性得曲线上两点之间的最大距离为，C正确；
对于，由，得，令，
则关于的方程有非负实根，
若，则；若，则，
令，求导得，
当时，；
当时，，
函数在上递减，在上递增，
于是，解得，即，且，且等号可以取到，
综上，又曲线是连续的，D正确．
故选：．
12.【答案】或
【解析】解：由题意，因为，且，所以，所以，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列，
则数列，
所以，
当大于时，很明显变小了，当时，，
所以当或时，取得最大值．
故答案为：或．
13.【答案】
解：因为函数满足，所以函数的图象关于直线对称，
设，则，
则函数的图象关于对称，故和的图象的交点关于直线对称，
则，
设，
两式加，可得
，
即．
故答案为：．
14.【答案】
解：由得，，则，即，
由椭圆得，，则，即，
且焦点都在轴上，
则双曲线和椭圆有相同的焦点，故正确；
方程的两根分别为和，不能分别作为椭圆和双曲线的离心率，故不正确；
平面内与两个定点，距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线，
当时是双曲线的一支，当时，表示射线，故不正确；
过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于、两点，
当直线的斜率不存在时，横坐标之和等于，不合题意，
当直线的斜率为时，只有一个交点，不合题意，
设直线的斜率为，则直线为，
代入抛物线得，，
、两点的横坐标之和等于，
，解得，
这样的直线有且仅有两条，故正确；
设定圆的方程为，
其上定点，设，，
由，
得，消掉参数，
得：，即动点的轨迹为圆，故错误．
故答案为：．
15.【答案】解：因为，
由正弦定理得：，所以．
所以，
因为，所以．
因为
，
，
，．
16.【答案】解：因为在这名学生中随机抽取人，抽到选物理类学生的概率为，
所以选物理类学生的人数为，因此完成列联表如下：
性别 选科组合 合计
物理类 历史类
男生
女生
合计
零假设为：选科组合与性别无关．
因为，
所以根据小概率值的独立性检验得零假设不成立，
因此选科组合与性别有关．
从选物理类的学生中利用分层随机抽样的方法抽取人，则男生的人数为，女生的人数为，
因此再从抽取的人中随机抽取人调查其选物理类的原因，则的取值为：、、．
因为，
，
，
所以的分布列为：
因此．
(ⅱ)设“人中有女生”为事件，“男生、女生人数不相等”为事件，
则由(ⅰ)知：，，
因此在随机抽取人中有女生的条件下，男生、女生人数不相等的概率为．
17.【答案】解：以为原点，与中点连线为轴，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系：
，，，，，，
所以，，
因为，，
所以，
所以，
，，
所以，
所以，
当时，，，
所以，
面的法向量，
设与底面所成角为，
则，，
所以，
所以，
所以与底面所成角的正切值为．
因为为的中点，
所以，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，
令，则，，
因为平面平面，
所以是平面的法向量，
所以，
所以，
所以当平面平面时，．
假设存在，使得平面平面，
设平面的法向量，
所以
令，则，，
所以，
因为平面平面，
所以设平面的法向量，
因为平面平面，则，
而向量为平面的法向量，则，
所以，
令，则，
则，则或，
当时，所以，
此时，
所以，；
当时，，此时，
此时，解得，
则此时，，此时，满足题意，
所以存在或，使得平面面．
18.【答案】解：当时，，可得，
可得，且，即切线的斜率为，切点坐标为，
所以在的切线方程为，即．
由函数，其定义域为，且，
设，则，
当时，；当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
即的单调递减区间为，单调递增区间为．
证明：由可得，
要证：，即证：，
因，即，即证，
即证：，其中，
设，其中，
可得，
则，
因为，等号不可取，
所以在上为增函数，故，即，
故成立即．
19.【答案】解：设，，
可得，，，
所以，
，
则坐标变换公式为，
所以对应的二阶矩阵为；
设曲线上任意一点变换后所得点坐标为，
即，
此时，
整理得，
则双曲线的方程为；
证明：当直线斜率存在时，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，解得，
由韦达定理得，，
当时，取，，
所以直线方程为，
联立，消去并整理得，
解得或，所以，，
所以，则，
所以；
当时，设，的斜率分别为，，
此时，，
所以，
，
所以．
因为在第一象限，
所以，所以，则；
当直线斜率不存在时，
此时，，
可得，，
所以，
同理得．
综上所述，为定值，定值为．

求出；当时，设，的斜率分别为，，结合前面韦达定理的结论，求出求出，再讨论斜率不存在的时候即可．

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