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2024-2025学年七年级数学上册期末复习题--填空压轴题
【题型1 从立体图形到平面图形】
1.用一个平面去截如图所示的三棱柱，关于截面形状的四种说法：①三角形，②四边形，③五边形，④六边形．其中截面的形状可能是 ．（填序号）
2.一个圆柱体的高为，底面半径为，若截面是长方形，则这个长方形面积最大为 ．
3.如图是某几何体从不同方向看到的图形．若从正面看的高为10cm，从上面看的圆的直径为4cm，求这个几何体的侧面积（结果保留π）为 ．

4.一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若小立方块的棱长为2，则这个几何体的表面积是 ．

【题型2 由点在数轴上的位置判断结论正误】
1.已知、所表示的数如图所示，下列结论正确的有 ．（只填序号）①；②；③；④；⑤
2.有理数a和b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中：
（1）a-b＞0
（2）ab＞0
（3）-a＜b＜0
（4）-a＜-b＜a
（5）|a|+|b|=|a-b|
其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）
3.有理数，，在数轴上的位置如图所示，以下结论中；
；
；
；
，正确的有 （填入所有正确结论的序号）．
4.如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式中：①；②；③；④．其中正确式子的序号是 ．
【题型3 化简绝对值】
1.已知x是有理数，且x有无数个值可以使得代数式的值是同一个常数，则此常数为 ．
2.若的最小值为3，则的值为 ．
3.如果p，q是非零实数，关于x的方程始终存在四个不同的实数解，则的值为 ．
4.已知，设的最大值为P，最小值为Q，则等于 ．
【题型4 有理数中的简便运算】
1.求所有分母不超过100的正的真分数的和，即：＝ ．
2.计算：结果为 ．
3.计算： ．
4.计算：= ．
【题型5 数轴中的动点问题】
1.如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则 ．
2.如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝ ．
3.如图，已知点A、点B是直线上的两点，厘米，点C在线段上，且厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发，在直线上运动，则经过 秒时线段的长为6厘米．
4.已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
【题型6有理数运算的实际应用】
1.共有4人进行跳远、百米、铅球、跳高四项比赛（每人四项均参加），规定每个单项第一名记5分，单项第二名记3分，单项第三名记2分，单项第四名记1分．每一单项比赛中四人得分互不相同．总分第一名共获17分，其中跳高得分低于其他项得分．总分第三名共获11分，其中跳高得分高于其他项得分．总分第二名的铅球这项的得分是 ．
2.联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：
节目 A B C D
演员人数 10 2 10 1
彩排时长 30 10 20 10
已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。
若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min；
若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排
3.现在有三个仓库、、，分别存有吨、吨、吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂、、，每个加工厂都需要吨原材料．从每个仓库运送吨材料到每个加工厂的成本如下表所示（单位：元吨）：
（）
（）
（）
现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料，
（1）如果从运吨到、运吨到，从运吨到，那么从需要运 吨到；
（2）考虑各种方案，运费最低为 元．
4.A，B两个港口相距24千米，水由A流向B，水流速度是4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A，B之间往返航行．已知甲在静水中的速度是20千米/时，乙在静水中的速度是16千米/时．
（1）甲往返一趟所需时间是 小时，乙往返一趟所需时间是 小时；
（2）出发后航行 小时，甲、乙两船恰好首次同时回到A港口．
【题型7 图形的变化规律】
1.如图，是一回形图，其回形通道的宽和的长均为1，回形线与射线交于，，，…．若从点到点的回形线为第1圈（长为7），从点到点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第11圈的长为
2.如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，按此规律排列下去，第个图形中圆的个数是 ．
3.如图所示，图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2，再分别连接图2中间的小三角形三边的中点得到图3，按上面方法继续下去，第674个图中共有 个三角形.

4.观察并找出如图图形变化的规律，则第个图形中黑色正方形的数量是 个．
【题型8 整式的加减的应用】
1.把两张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为x，宽为y）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．阴影部分刚好能分割成两张形状大小不同的小长方形卡片（如图③），则分割后的两个阴影长方形的周长之和是 ：
2.以下算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”，那么被乘数是 ．

3.某居民楼共有三层，据调查发现：第一层有成年女子9人，男孩儿2人，女孩儿5人；第二层住有18人，其中成年男子10人，女孩儿1人；第三层有成年男子8人，成年女子4人，男孩儿6人；成年男子总数比成年女子总数多4人，男孩儿与女孩儿总数一样．则该居民楼共有居民 人．
4.有种四位自然数称为“启明数”，它的各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8．把启明数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，，，是“启明数”．则．若“启明数”，则 ；已知四位自然数是“启明数”，（，），且、、、均为正整数），若恰好能被8整除，则满足条件的数的最大值是 ．
【题型9 一元一次方程的解】
1.已知关于的绝对值方程有三个解，则 ．
2.若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ．
3.k是一个整数，关于的一元一次方程有整数解，则 ．
4.(1)已知关于的一次方程无解，则的值为 ．
(2)如果、为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，那么 ， ．
(3)若关于的方程有无数个解，则的值为 ．
【题型10 实际问题与一元一次方程】
1.一筐苹果，若分给全班同学每人5个，则还剩下15个；若全班同学一起吃，其中7个同学每人每天吃1个，其他同学每人每天吃2个，恰好用若干天吃完，则筐里最多共有 个苹果．
2.A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是 次．
3.某摄制组从市到市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了上午原计划的三分之一，过了小镇，汽车行驶了500千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从市到这里的路程的二分之一就到达目的地了．，两市相距 千米．
4.元旦假期，东东一家自驾出游，汽车匀速行驶在山路上，东东每隔1小时提示一次里程信息（如图）．10点后进入景区，汽车沿景区门口到景点的观光车路线匀速行驶，速度比原来减少9千米/小时．
（1）汽车原来的速度是 千米/小时．
（2）若所有的观光车都以相同的速度匀速行驶，景区门口站和景点站每隔相同的固定时间发一辆车，东东在自家汽车上看到，每15分钟超过一辆观光车，每5分钟有一辆观光车迎面开来，上下车的时间忽略不计，则观光车从站点开出的间隔时间是 分钟．
【题型11 由线段之间的和差倍分求线段长度】
1.已知线段，是直线上一点，是的中点，是中点，若，则的长为 ．
2.如图，点A、B、C在同一条直线上，点D为的中点，点P为延长线上一动点，点E为的中点，则的值是 ．
3.已知线段厘米，延长线段到点 C，点M是线段的中点，如果 ，那么 厘米．
4.如图所示，把一根绳子对折后得到的图形为线段AB，从点P处把绳子剪断，已知AP:BP=4:5，若剪断后的各段绳子中最长的一段为80cm，则绳子的原长为 cm．
【题型12 线段的动态问题】
1.如图1，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“好点”；如图2，已知．动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速运动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中点P到达终点时，运动停止；设运动的时间为，当 s时，Q为线段的“好点”．
2.已知点在直线上，且，若点从点出发，以每秒的速度匀速运动，当时，运动时间为 ．
3.已知数轴上的A、B两点对应的数字分别为、3，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，则m与n应满足的数量关系是 ．
4.已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧），若线段的端点从点开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点从点开始以2个单位/秒的速度向右运动，点是线段的中点，则线段运动 秒时，．
【题型13 分类讨论思想在角度的计算中的运用】
1.已知∠AOB=110°，∠AOD=∠AOC，∠BOD=4∠BOC(∠BOC<35°)，则∠COD的度数为 ．
2.以的顶点O为端点引射线OC，使∶=5∶4，若，则的度数是 ．
3.在同一平面内，，，，至少有一边在内部，则的度数为 ．
4.定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，若，则 ．
【题型14 与钟面角有关的角度计算】
1.如图，点O是钟面的中心，射线正好落在3：00时针的位置．当时钟从2：00走到3：00，则经过 分钟，时针，分针，与所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．
2.若现在是9点零5分，再过 分钟，时针和分针第一次重合．
3.某时钟有时针和分针两指针，从点开始经过 分两指针之间的夹角为度．
4.在2点到4点之间，时针和分针的夹角会有成的情形，请问这个时间点分别是 ．
【题型15 动角问题】
1.如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线、分别平分、，当时， ．
2.如图，、、在一条直线上，射线从出发，绕点顺时针旋转，同时射线也以相同的速度从出发，绕点逆时针旋转，当、分别到达、上时，运动停止．已知、分别平分和，设，，则与之间的数量关系为 ．
3.已知：如图1，点依次在直线上，现同时将射线绕点按逆时针方向分别以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为（）秒，经过 秒．
4.如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝ ．
【题型16 数据的收集与整理】
1.某校为了解六年级3000名学生的课外阅读时间．从中抽取200名学生进行调查，该抽样调查的总体是 ．
2.为了解游客在A，B，C三个城市旅游的满意度，某旅游公司商议了四种收集数据的方案．方案一：在多家旅游公司调查1000名导游；方案二：在A城市调查1000名游客；方案三：在三个城市各调查5名游客；方案四：在三个城市各调查1000名游客，其中最合理的是 方案．
3.为了了解某校七年级学生的体能情况，随机调查了其中100名学生，测试学生在1分钟内跳绳的次数．请根据统计表计算，跳绳次数（x）在120≤x＜200范围内人数占抽查学生总人数的百分比为 ．
1分钟内跳绳的次数 人数
40≤x＜80 10
80≤x＜120 50
120≤x＜160 30
160≤x＜200 10
4.观察如图的扇形统计图，然后回答问题．
(1)已知西红柿的种植面积是4.2公顷，三种蔬菜种植的总面积是　 　公顷？
(2)黄瓜的种植面积是　 　公顷？
(3)茄子的种植面积是西红柿种植面积的百分之几　 　．
参考答案
【题型1 从立体图形到平面图形】
1.①②③
【分析】本题考查了截一个几何体，熟练掌握三棱柱的截面形状是解题的关键．根据三棱柱的截面形状判断即可．
【详解】解：∵三棱柱有5个面，
∴用一个平面去截三棱柱，截面的形状可能是：三角形，四边形，五边形，不可能是六边形．
故答案为：①②③．
2.
【分析】本题考查了求解圆柱体截面面积，由题意可知垂直于圆柱底面且经过底面圆直径所截得的长方形面积最大，得出过底面圆直径且垂直于底面的截面最大的长方形是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，垂直于圆柱底面且经过底面圆直径所截得的长方形面积最大，
此时截得长方形的面积，
故答案为：．
3.40πcm2
【分析】根据题意即可判断几何体为圆柱体，再根据告诉的几何体的尺寸即可求出圆锥的侧面积．
【详解】解：观察三视图可得这个几何体是圆柱；
∵从正面看的高为10cm，从上面看的圆的直径为4cm，
∴该圆柱的底面直径为4cm，高为10cm，
∴该几何体的侧面积为2πrh＝2π×2×10＝40π（cm2）．
故这个几何体的侧面积（结果保留π）为40πcm2．
故答案为：40πcm2．
4.120
【分析】本题考查了从不同方向看几何体，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．根据几何体的特征求出表面积即可．
【详解】解：这个几何体的表面积．
故答案为：120．
【题型2由点在数轴上的位置判断结论正误】
1.②④⑤
【分析】本题考查了数轴．数轴上右边的点对应的数大于左边的点对应的数，离原点远的点所对应的数的绝对值大，数轴上两点之间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，
根据以上知识逐个判断即可．
【详解】由图知：，故①错误；
由图知：，故②正确；
由图知：，故③错误；
由图知：
，故④正确；
，表示b到的距离，表示a到的距离．由图知，b到的距离大于a到的距离，
，故⑤正确；
综上，正确的有②④⑤，
故答案为：②④⑤．
2.（1）、（3）、（4）、（5）
【分析】根据数轴上点的位置关系，可得a、b的大小，根据绝对值的意义，判断即可．
【详解】解：由数轴上点的位置关系，得a＞0＞b，|a|＞|b|．
（1）a-b＞0，正确；
（2）ab＜0，错误；
（3）-a＜b＜0，正确；
（4）-a＜-b＜a，正确，
（5）|a|+|b|=|a-b|，正确；
故答案为（1），（3），（4），（5）．
3.
【分析】本题考查了数轴上表示数，根据数轴分别判断，，，的正负，然后逐项排除即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负．
【详解】根据数轴可判断： ，，，，
则，故判断错误；
，故判断错误；
，故判断正确；
，故判断正确；
故答案为：．
4.①④
【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，有理数的乘法法则．
根据表示数a，b的点在数轴上的位置可确定a，b与1，的大小关系，从而确定，，，的符号，进而根据有理数的乘法法则判断各式子的符号，即可解答．
【详解】由数轴可得：，，
∴，，，，
∴，故式子①正确；
，故式子②错误；
，故式子③错误；
，故式子④正确．
∴正确的式子是①④．
故答案为：①④
【题型3 化简绝对值】
1.2022
【分析】由题意确定出x的取值范围，然后按照这个取值范围化简原式即可求出此常数．
【详解】由题意，得将进行化简后代数式中不含x，才能满足题意．
因此，当时，
原式=
．
故答案为：2022．
2.或
【分析】根据代数式的最小值，得到关于的方程，求出的值即可．
【详解】 表示数轴上到与到 的距离之和，
且其最小值为3，
当介于与之间时，
与的距离为3，即
若，解得；
若，解得
故答案为：-2或．
3.1
【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的解，熟练掌握绝对值的性质，能够确定且是解题的关键．
【详解】解：方程，
，即，
或，
或，
方程始终存在四个不同的实数解，
，，
且，
，
故答案为：1．
4.
【分析】采用分情况讨论去绝对值方法，分别找出、、的取值范围，以及取最小值时对应的、、的取值范围，然后计算的最大和最小值，从而确定了的值．
【详解】解：，
当时，
当时，
当时，
故当，时，取得最小值为；
，
当时，
当时，，
当时，
故当时，取得最小值为；
，
当时，
当时，，
当时，
故当时，取得最小值为；
则，
当且仅当，，时，成立
故最大为，
最小为，
则
故答案为：
【题型4 有理数中的简便运算】
1.2475
【分析】观察分母及分子特点，分组相加，利用高斯定理，即可得到结果．
【详解】解：
＝．
＝
＝
＝
＝
＝2475．
故答案为：2475．
2.2021
【分析】根据运算式子归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】观察式子可知，，
，
归纳类推得：从第1个数开始，每4个数的运算结果都等于0，
，
，
，
，
，
故答案为：2021．
3.
【分析】本题考查了分数四则运算的简算，把应用乘法分配律展开，再把、、展开成整数和分数的和，然后整数和整数一起简算，分数和分数一起简算，再结合减法的性质解答，灵活应用乘法分配律、减法性质是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
4.
【分析】把化成，化成，然后再利用乘法分配律的逆运算解答．
【详解】解：
=
=
=
=．
故答案为：．
【题型5 数轴中的动点问题】
1.2.5或5.5
【分析】设经过秒，可得，，，所以，可知当时，的值在某段时间内不随着的变化而变化．
【详解】解：，，
，，
点对应数为，点对应数为5，
设经过秒，则，，，
当时，
，
当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化，
当时，
，
当，即时，上式为定值，也不随发生改变，
故为2.5或5.5．
故答案为：2.5或5.5
2.或
【分析】先求出点对应的数为，点对应的数是5，设经过秒，得到，，，分和两种情况分类讨论，进行化简，再根据题意得到关于m的方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵，，
，，
∴点对应的数为，点对应的数是5，
设经过秒，则，
，，
若时，

，
当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化；
若时，
，
当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化；
综上所述，当或时的值在某段时间内不随着的变化而变化．
故答案为：或．
3.2、10、或
【分析】此题考查了两点间的距离有理数混合运算的应用，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握．首先根据厘米，厘米，求出的长度是多少；然后分四种情况：（1）点P、Q都向右运动；（2）点P、Q都向左运动；（3）点P向左运动，点Q向右运动；（4）点P向右运动，点Q向左运动；求出经过多少秒时线段的长为6厘米即可．
【详解】解：∵厘米，厘米，
∴（厘米）；
（1）点P、Q都向右运动时，
（秒）
（2）点P、Q都向左运动时，
（秒）
（3）点P向左运动，点Q向右运动时，
（秒）
（4）点P向右运动，点Q向左运动时，
（秒）
∴经过2、10、或秒时线段的长为6厘米．
故答案为：2、10、或．
4.或30
【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于的方程，进行求解即可．
【详解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，
∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，
∴b＝9，c＝15，
∴B表示的数是9，C表示的数是15，
①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝，
③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，
综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒，
故答案为：或30．
【题型6 有理数运算的实际应用】
1.3
【分析】本题考查了数学推理能力，根据第一名和第三名的得分情况，推算出第二名的得分情况，从而找出第二名铅球的得分，分析出第一名和第三名的得分：，如果取的话，就还剩3个3和2个2及3个1，取最大的3个3和1个2就等于11，第二名的分数不可能与第三名相同，所以的答案排除，就只有取的答案，最后还剩4个3和4个1，取其中最大值有4个3为12，大于11，所以第二名的铅球得分是3．
【详解】解：第一名总得分是17分，那么他最少有3项第一，
，
由于它的跳高项的得分低于其它项，
所以它的跳高是2分，铅球是5分；
第三名总得分是11分，由于第一名有3个5分，
所以第三名最多有1个5分；
，
如果第三名得分分别是1，2，3，5，那么第二名的得分最多就是：分，
这与第三名相等，第二名的分数不可能与第三名相同，
所以的答案排除，
所以第三名的得分只能是2，2，2，5，
第一名只有跳高没有得到5分，
所以第三名跳高得到5分，铅球是2分，
去掉第一名和第三名的得分最后还剩4个3和4个1，取其中最大值有4个3为12分，大于11分，
第二名得分是12分，它的铅球得到3分．
所以总分第二名的铅球这项的得分是3分．
故答案为：3
2. 60
【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键．
①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可．
【详解】解：①节目D的演员的候场时间为，
故答案为：60；
②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面，
∴①按照顺序，则候场时间为：分钟；
②按照顺序，则候场时间为：分钟；
③按照顺序，则候场时间为：分钟；
④按照顺序，则候场时间为：分钟；
⑤按照顺序，则候场时间为：分钟；
⑥按照顺序，则候场时间为：分钟．
∴按照顺序彩排，候场时间之和最小，
故答案为：．
3.
【分析】（1）根据题意，结合表格，根据有理数的运算法则进行计算即可求解；
（2）根据表格数据，寻求最优解即可求解．
【详解】解：（1）如果从运吨到、运吨到，从运吨到，那么从需要运吨到，
故答案为：；
（2）解：运费如下：
（）
（）
（）
运输方案一：
（） 7
（） 10 2
（） 3 8
运费为：
运输方案二：
（） 7
（） 2 10
（） 3 8
运费为：
运输方案三：
（） 7
（） 3 0 9
（） 0 10 1
运费为：
故答案为：40．
4. 2.5 3.2 80
【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，理解题意列出算式是解题关键．
（1）分别求出甲船顺水和逆水航行的速度，再根据时间=路程÷速度求解即可；
（2）设甲往返x次，则甲航行时间为时，从而可求出乙往返的次数为，再结合题意可知为整数，且最小，则得出，进而可求出时间．
【详解】解：（1）甲船由A向B行驶时的速度为千米/时，
所以此时时间为时．
甲船由B向A行驶时的速度为千米/时，
所以此时时间为时，
所以甲往返一趟所需时间是时；
乙船由A向B行驶时的速度为千米/时，
所以此时时间为时．
乙船由B向A行驶时的速度为千米/时，
所以此时时间为时，
所以乙往返一趟所需时间是时．
故答案为：2.5，3.2；
（2）设甲往返x次，则甲航行时间为时，
所以乙往返的次数为．
因为甲、乙两船恰好首次同时回到A港口，
所以为整数，且最小，
所以x最小可取32，
所以航行时间为时．
故答案为：80．
【题型7 图形的变化规律】
1.87
【分析】本题考查了图形变化的规律．根据题意结合图形，可从简到繁，先从第1圈开始，逐圈分析，推出通用公式，再代入计算．
【详解】观察图形发现：
第一圈的长是；
第二圈的长是；
第三圈的长是；
……
则第n圈的长是．
当时，原式．
故答案为87．
2.
【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形得出第个图形中圆的个数是，据此即可求解，根据已知图形找到变化规律是解题关键．
【详解】解：由图可得，第个图形中一共有个圆，
第个图形中一共有个圆，
第个图形中一共有个圆，
第个图形中一共有个圆，
，
∴第个图形中一共有个圆，
∴第个图形中圆的个数为，
故答案为：．
3.2693
【分析】本题考查探索图形的变换规律，根据数学思想从特殊到一般，观察第1个图形三角形个数为1，第2个图形三角形个数为5，第3个图形三角形个数为9，从第2个图形开始，每个图形比前一个图形多4个三角形，所以第个图形中三角形个数为，根据规律即可解题．
【详解】解：由图知，
第1个图形三角形个数为：，
第2个图形三角形个数为：，
第3个图形三角形个数为：，
由此可知，第个图形三角形个数为：，
则第674个图形三角形个数为：，
故答案为：2693．
4.
【分析】仔细观察图形可知：当为偶数时第个图形中黑色正方形的数量为个；当为奇数时第个图形中黑色正方形的数量为个，然后利用找到的规律即可得到答案．
【详解】解：第1个图形中有个黑色正方形，第2个图形中有个黑色正方形
第3个图形中有个黑色正方形，第4个图形中有个黑色正方形
第5个图形中有个黑色正方形，……
∴当为偶数时第n个图形中黑色正方形的数量为个；当n为奇数时第n个图形中黑色正方形的数量为个，
∴当时，黑色正方形的个数为（个）．
故答案为：．
【题型8 整式的加减的应用】
1.
【分析】本题考查列代数式，整式的运算，设2张形状大小完全相同的小长方形卡片的长和宽分别为m、n，然后分别求出阴影部分的2个长方形的长宽即可．
【详解】解：设2张形状大小完全相同的小长方形卡片的长和宽分别为m、n．如图，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵长方形的长为：，
宽为：，
∴长方形的周长为：
∵长方形的长为：，
宽为：，
∴长方形的周长为：，
∴分割后的两个阴影长方形的周长和为：，
故答案为：．
2.307692
【分析】此题主要抓住相同的文字，设出同一个字母表示，再利用十进制列出等式，进一步利用数的整除性解答即可．
根据汉字代表数字的特点，设出相同的文字用同一个字母代替，利用给出的算式列出等式，进一步利用数的整除性以及数字特点解答即可．
【详解】解：设“神舟五号”，“飞天”，
则，，，，
而23和769互质，故（n是自然数），．
但A的首位数字为3．只可能，
从而．
所以被乘数是307692．
故答案为307692．
3.60
【分析】本题考查了代数式应用，熟练是读懂题意，找到关键描述语，表示出相互关系是解题的关键，
设出第三层有女孩人，分别表示出第二次男孩人数，第二次成年女子人数，然后表示出所有成年女子人数及整个居民楼的居民数，化简即可得到答案．
【详解】解：设第三层有女孩人，
则第二层有男孩人，
第二层有成年女子人．
该居民楼成年女子总数为人，
该居民楼共有居民：
故答案为：60
4. 3 4117
【分析】本题考查新定义的运用，求得，代入，计算即可求得的值；根据是“启明数”，可得到各个数位上数字，表示出和，计算出，然后除以8，根据和的取值找到满足条件的数的最大值．理解新定义的意义并进行合理推理是解决本题的关键．
【详解】解：“启明数”，
,
数是“启明数”，
千位上的数字为，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为．
，
．
．
，，
，．
．
恰好能被8整除，
是一个整数．
是8的倍数．
，，取最大值，各个数位上的数字均不为0，
千位上的数字应取最大值，
百位上的取最小值1．
，
，．
满足条件的数的最大值．
故答案为：3，4117．
【题型9 一元一次方程的解】
1.4
【分析】首先去绝对值符号得到，然后分情况再次去绝对值符号共得到四种情况：、、、，然后用含的代数式表示出方程的解，再根据方程有三个解，所以可得：，或，求出或，再根据绝对值的非负性可得．
【详解】解：，
，
当时，
移项得：，
，
若，
解得：，
若，
解得：；
当时，
移项得：，
，
若，
解得：，
若，
解得：；
或或或，
方程有三个解，
或，
或4，
，
．
故本题答案为：4．
2.
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将方程变形得，设，可得方程的解即为方程的解，即得，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键．
【详解】解：方程变形得，，
设，
则方程的解即为方程的解，
∵方程的解为，
∴，
∴，
∴一元一次方程的解为，
故答案为：．
3.
【分析】先求得一元一次方程的解，然后根据一元一次方程有整数解的情况确定的取值即可 .
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵关于的一元一次方程有整数解，
∴，则，
∴或或或，
解得
故答案为：
4.
【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程；
（1）将方程整理得，再根据该方程无解得，由此解出，然后将代入代数式之中即可得出答案；
（2）将方程整理为关于的方程得，再根据无论为何值，方程的解总是 得且，将 代入即可得出，的值；
（3）将方程整理得，根据该方程有无数个解得且，由此解出，即可得的值．
【详解】解：（1）对于方程，移项，得：，
方程无解，
，
，
8；
故答案为：．
（2）对于方程，
去分母，方程两边同时乘以，得：，
将其整理为关于的方程，得：，
无论为何值，方程的解总是 ，
且，
将 代入得且，
，；
故答案为：；．
（3）对于方程，
去分母，方程两边同时乘以，得：，
整理得：，
该方程有无数个解，
且，
， ，
．
故答案为：．
【题型10 实际问题与一元一次方程】
1.195
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设全班共个同学，全班同学恰好天吃完，可得，故，即可知的最大值为，从而可得答案．
【详解】解：设全班共个同学，则筐里共有个苹果，
个同学每人每天吃1个，其他同学每人每天吃2个，
全班同学每天吃个，
设全班同学恰好天吃完，
，
，
为正整数，
为奇数，
要使最大，则，
，
筐里最多共有（个）苹果；
故答案为：195．
2.5
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设两车相距时，行驶的时间为t小时，分快车从A到B，快车从B到A两种情况，每种情况中又分两车相遇前和相遇后两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：设两车相距时，行驶的时间为t小时，依题意得：
当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距时，则有：
解得；
②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距时，
，
解得；
③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶，
∵
∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有：
，
解得；
④快车追上慢车后并超过慢车相距，则有，
解得：；
⑤快车返回A地终点所需时间是9小时，此刻慢车行驶了，距终点还需
行驶，则有：
解得．
综上所述，两车恰好相距的次数为5次．
故答案为：5．
3.750
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设市到市相距千米，根据从市到市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到市，得到，两市相距千米，再根据到中午只行驶了上午原计划的三分之一，以及到傍晚汽车行驶了500千米，且再走从市到这里的路程的二分之一就到达目的地列出方程进行求解即可．
【详解】解：设市到市相距千米，由题意，得：，两市相距千米，
根据题意，得：，
解得：，
∴，
∴，两市相距750千米；
故答案为：750．
4. 45 15
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．正确的列出方程是解题的关键．
（1）设看到的里程数的十位数字为，则个位数字为，根据汽车匀速行驶，得到每小时的路程相等，列出方程进行求解即可；
（2）设观光汽车的速度为每分钟米，根据每15分钟超过一辆观光车，每5分钟有一辆观光车迎面开来，列出方程求出的值，进而求出间隔时间即可．
【详解】解：设看到的里程数的十位数字为，则个位数字为，由题意，得：，
解得：，
∴，
∴汽车的速度为：（千米/小时）；
故答案为：45；
（2）设观光汽车的速度为每分钟米，
由题意，得：东东自家汽车的速度为千米/小时，
36千米/小时米/分钟，
∴，
解得：米/分钟，
∴观光车从站点开出的间隔时间是分钟；
故答案为：15．
【题型11 由线段之间的和差倍分求线段长度】
1.8或14.4
【分析】本题考查与线段中点有关的计算，分点在线段上以及点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】∵， 是的中点，
∴，
当点在线段上时：如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是中点，
∴；
当点在线段的延长线上时，如图，
则：，
∴，
∴，
∴，
∵是中点，
∴；
综上：的长为8或；
故答案为：8或14.4．
2.
【分析】设，，，分两种情况，当和时，分别求解即可．
【详解】解：设，，，
当时，如下图：
则，，，
，，
则
当时，如下图：
则，，，
，，
则
故答案为：
3.或
【分析】本题考查了线段的中点，分类讨论，即点在B点左边或者右边，两种情况，用线段的和差进行解答即可，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
【详解】解：如图，当点在B点左边时，
点 M是线段的中点，
，
，
，
厘米，
厘米；
如图，当点在B点右边时，
利用上述原理可得
厘米，
厘米，
综上所述，或厘米，
故答案为：或．
4.绳子的原长为144cm或180cm．
【分析】解：分两种情形讨论：（1）当点A是绳子的对折点时，（2）当点B是绳子的对折点时，分别求解即可.
【详解】解：本题有两种情形：
（1）当点A是绳子的对折点时，将绳子展开如图．
∵AP：BP=4：5，剪断后的各段绳子中最长的一段为80cm，
∴2AP=80cm，
∴AP=40cm，
∴PB=50cm，
∴绳子的原长=2AB=2（AP+PB）=2×（40+50）=180（cm）；
（2）当点B是绳子的对折点时，将绳子展开如图．
∵AP：BP=4：5，剪断后的各段绳子中最长的一段为80cm，
∴2BP=80cm，
∴BP=40cm，
∴AP=32cm．
∴绳子的原长=2AB=2（AP+BP）=2×（32+40）=144（cm）．
综上，绳子的原长为144cm或180cm．
【题型12 线段的动态问题】
1.或8
【分析】根据题意，得；分、、三种情况分析，分别列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】∵动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速运动
∴点P到达终点时，用时为：
∵点P，Q同时出发，点P速度点Q速度，且当其中点P到达终点时，运动停止
∴
如图，Q为线段的“好点”
∵点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速运动
∴，则
根据题意，分、、三种情况分析；
当时，
∴
∵
∴符合题意；
当是，
∴
∵
∴不符合题意；
当时，
∴
∵
∴符合题意
故答案为：或8．
2.或
【分析】本题考查了一元一次方程以及分类讨论的数学思想，解答时注意根据已知的线段数量关系构造方程．
根据题意可知，，点P可以位于点A两侧，则通过分类讨论问题可解．
【详解】解：∵
∴
设点P运动时间为t秒，则，
当点P在A点左侧时，
∴
解得；
当点P在A点右侧时，
∴
解得．
综上所述，运动时间为秒或秒．
故答案为：或．
3.
【分析】本题考查数轴上动点问题，根据动点列出长度，根据定值即与参数无关即可得到答案
【详解】解：设运动秒时，
，，
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∵的长度总为一个固定的值，即与无关，
∴，即，
故答案为：．
4.2或18
【分析】设线段运动的时间为t秒，则，，，，．分两种情况计算：①当M点在N点左侧时，②当M点在N点右侧时，分别将和用含有t的式子表示出来，根据列方程即可求出t的值．
本题主要考查了线段的中点、线段的和差、直线上的动点问题，解题的关键是正确的把各条线段用含有t的式子表示出来，并且注意分类讨论．
【详解】，
设线段运动的时间为t秒，则，，，，
∵点N是线段的中点，
．
①当M点在N点左侧时
，
，
，
，
解得．
②当M点在N点右侧时，
，
，
，
，
解得．
综上，线段运动2秒或18秒时，．
故答案为：2或18．
【题型13分类讨论思想在角度的计算中的运用】
1.60°或.
【详解】当OD在∠AOB内部时，分两种情况：
i如图①，当OC在∠AOB内部时，设∠BOC=x，则∠BOD=4x，∠COD=3x，
∵∠AOD=∠AOC，∠AOC=∠COD+∠AOD,
∴∠COD=∠AOC,
∴∠AOC=，
∵∠AOB=110°,
∴x+=110°，
得x=20°，
∴∠COD=3x=60°；
ii如图②，当OC在∠AOB外部时，设∠BOC=x，则∠BOD=4x，∠COD=5x，
∵∠AOD=∠AOC，
∴∠COD=∠AOC,
∴∠AOC=,
∵∠AOB=110°,
∴x+=110°，
得，
∴∠COD=5x=.
当OD在∠AOB外部时，分两种情况：
i：如图3，当OC在∠AOB内部时，设∠BOC=x，则∠BOD=4x，∠COD=3x，
∵∠AOD=∠AOC，
∴∠AOC=3∠AOD,
∴4∠AOC=3x
∠AOC=，
∴
得，
∵∠BOC<35°
∴不合题意舍去；
ii：如图4，当OC在∠AOB外部时，设∠BOC=x，则∠BOD=4x，∠COD=5x，
∵∠AOD=∠AOC，
∴∠AOC=3∠AOD,
∴4∠AOD=5x
∠AOC=，
∴4x-=110°，
得，
∵∠BOC<35°
∴不合题意舍去；
故填60°或.
2.、
【分析】分射线OC在∠AOB的内部和外部两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：如图1，
当射线OC在∠AOB的内部时，设∠AOC=5x，∠BOC=4x，
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=18°，
∴，
解得：∠AOC=10°，
如图2，
当射线OC在∠AOB的外部时，设∠AOC=5x，∠BOC=4x，
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，又∠AOB=18°，
∴
解得：∠AOC=90°，
故答案为：10°或90°．
3.或或．
【分析】对射线OC、OD在∠AOB内部和外部进行分类讨论，然后按照角的和差计算即可．
【详解】解：∵，，，
如图1，OC、OD都在∠AOB内部，
；
如图2，OC在∠AOB内部， OD在∠AOB外部，
，
如图3，OC在∠AOB外部， OD在∠AOB内部，
，
故答案为：或或．
4.或或
【分析】本题考查了角的计算，分类讨论思想是解题关键，画出图形，分四种情况计算即可求解．
【详解】如图：射线是的三等分线，
射线是的三等分线，
则，
，
；
如图：射线是的三等分线，
射线是的三等分线，
则，
；
如图：射线是的三等分线，
射线是的三等分线，
则，
；
如图：射线是的三等分线，
射线是的三等分线，
则，
，
．
综上，为或或．
故答案为：或或．
【题型14 与钟面角有关的角度计算】
1.6或
【分析】分两种情况讨论：当时针为角平分线和OC为角平分线进行计算即可．
【详解】设时针为OB，分针为OA．
当时针为OB为角平分线时，如图1所示：
设经过x分钟，OB为角平分线，则∠AOB=60゜-6x゜+，∠BOC=30゜－，依题意得：
60-6x+＝30－
解得x=6；
当时针为OC为角平分线时，如图2所示：
设经过x分钟，OC为角平分线，则∠AOC=6x゜-90゜，∠BOC=30゜－，依题意得：
6x-90＝30－
解得x=；
综合上述可得：经过6分钟或分钟时，时针，分针，与所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．
故答案为：6或．
2.
【分析】考查一元一次方程的应用，得到时针所走路程和分针所走路程的等量关系是解决本题的关键．9点5分时，时针和分针的角度之差为度，时针每分走0.5度，分针每分走6度．等量关系为：时针走的时间分针走的时间，把相关数值代入求解即可．
【详解】解：假设过x分时，分针与时针重合，则
，
解得．
故答案为：．
3.或
【分析】时钟上时针每分钟走，分针每分钟走，根据题意列方程解答.
【详解】设经过x分两指针之间的夹角为度，由题意得：
两指针相遇前：90+0.5x=6x+60，解得x=；
两指针相遇后：6x=90+0.5x+60，解得x=，
故答案为：或.
4.2时分或3时整或3时分
【分析】先求出时针、分针每分钟转动的度数，分2点和3点之间，3点和4点之间两种情况，根据角的和差关系列一元一次方程求解．
【详解】解：∵ 时针每60分钟走一大格，即转动，分针每60分钟走一圈，即转动，
∴时针每分钟转动，分针每分钟转动．
2时，时针与分针的夹角为，
2时和3时之间时，设2时x分，时针和分针的夹角会成，
则或，
解得或（舍），
即2时分时，时针和分针的夹角会成；
3点时，时针与分针的夹角为，
3时和4时之间时，设3时x分，时针和分针的夹角会成，
则，
解得或（舍），
即3时整或3时分时，时针和分针的夹角会成，
综上，2时分或3时整或3时分时，时针和分针的夹角会成．
故答案为：2时分或3时整或3时分．
【题型15 动角问题】
1.或
【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，分射线 在的内部，射线的反向延长线在的内部两种情况进行讨论，设，分别用含x的式子表示和，根据建立方程即可求解．
【详解】解：如图，当射线在内部时，
设，
则，
则，
，
，
，
，
，
，
；
当点射线的反向延长线在内部时，如图，
设，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
综上所述，或．
2.或
【分析】本题主要考查角度和差关系和角平分线的性质，分两种情况：当、未相遇时，有，结合角平分线的性质得和，则有，即可求得；当、相遇后，结合角平分线的性质得和，由，得，结合即可求得答案．
【详解】解：①当、未相遇时，，
∵、分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
则；
②当、相遇后，
∵、分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴
3.或或24
【分析】本题考查的是角的动态定义，角的和差关系，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．
第一次追上之前，，得到；第一次追上之后，，得到；第二次追上之前，，得到；第二次追上之后，，，分别解方程，最后一次不成立．
【详解】解：①如图，第一次追上之前，，
由题可知，
，
的运动速度是每秒，
，
，
即，
解得；
②如图，第一次追上之后，，
此时，，
，
，
解得；
③如图，第二次追上之前，，
此时，，
，
，
解得；
④如图，第二次追上之后，，
此时，，
，
，
解得（不合题意）；
综上，的值为6或12或24．
故答案为：6或12或24．
4.或
【分析】由题意，分两种情况讨论，当平分时，当平分时作出图形，分别画出对应图，对比开始时刻的角度，通过角度的加减计算即可．
【详解】平分，
，
以每秒的速度绕点O逆时针旋转，以每秒的速度点O顺时针旋转，
①如图1中，当平分时，
解得
，
②如图2，当平分时，
解得
故答案为：或
【题型16 数据的收集与整理】
1.3000名学生的课外阅读时间
【分析】根据调查总体的概念求解即可．
【详解】解：该抽样调查的总体是：3000名学生的课外阅读时间．
故答案为：3000名学生的课外阅读时间．
2.四
【分析】本题考查调查收集数据的过程和方法，理解抽样调查的合理性、代表性和普遍性是正确判断的关键．根据抽样调查的代表性、普遍性结合具体的问题情境进行判断即可．
【详解】解：根据抽样调查的代表性、普遍性可知，
方案一调查的是导游不是游客；方案二调查A城市不具有代表性；方案三调查游客太少，不具有代表性；方案四调查具有代表性、普遍性，故方案四比较合理，
故答案为：四．
3.40%
【分析】用120≤x＜200范围内人数除以总人数即可．
【详解】解：总人数为10＋50＋30＋10＝100（人），
120≤x＜200范围内人数为30＋10＝40人，
在120≤x＜200范围内人数占抽查学生总人数的百分比为＝40%．
故答案为：40%．
4.(1)7.5
(2)2.25
(3)25%
【分析】（1）根据西红柿的种植面积是4.2公顷和所占的百分比，可以计算出三种蔬菜种植的总面积；
（2）根据（1）中的结果和黄瓜所占的百分比，可以计算出黄瓜的种植面积；
（3）把西红柿的种植面积看作单位“1”，然后用茄子的种植面积百分除以与西红柿种植面积所占的百分比，即可得到茄子的种植面积是西红柿种植面积的百分之几．
【详解】（1）解：三种蔬菜种植的总面积是4.2÷56%＝7.5（公顷），
故答案为：7.5；
（2）解：黄瓜的种植面积是7.5×30%＝2.25（公顷），
故答案为：2.25；
（3）解：茄子的种植面积是西红柿种植面积的×100%＝25%，
故答案为：25%．

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