资源简介

2025年湖南省初中学业水平考试模拟试卷
数 学
本试题卷共6页。时量120分钟。满分120分。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4.在草稿纸、试题卷上作答无效；
5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.轮船可以通过反转螺旋桨的方法来实现反推操作.如果螺旋桨顺时针方向旋转30转，记为+30转，那么螺旋桨逆时针方向旋转20转，应该记为
A. 30转 B. - 30转 C. 20转 D. - 20转
2. 据新华社报道,2024年中国汽车销量约为31 440 000 辆,其中“31 440 000”用科学记数法表示为
A. 3.144×10 B. 3.144×10 D. 3.144×10
3.如图是某工厂加工的零件示意图，其对应的主视图是
4.下列运算正确的是
5.已知一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值是
A. ±2 B. - 2 C.2 D. 1
6.一名演唱者参加某次歌唱比赛，每位裁判的给分及评分占比如下：
裁判 专业音乐人 电台主持人 现场观众 网络观众
给分 92 96 98 94
占比 40% 30% 10% 20%
则该演唱者的最终得分为
A. 96 B. 95 C. 94.2 D. 93.6
7.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是
8.如图，光线从空气射入另外一种介质中会发生折射现象，我们把 称为折射率(其中α代表入射角，β代表折射角).若∠COE=∠BOF=60°，则这种介质的折射率为
A. B. C.
9. 如图,在△ABC中,∠BAC=120°,D,E为 BC上的两点,△ADE为等边三角形,BD=2CE,则 的值为
A. 2 B. C. 3 D.
10.定义：在平面直角坐标系中，将点A(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫点A 的“相反点”.下列说法：①点(3，-2)的“相反点”为点(-2，3)；②如果点 P在反比例函数 的图象上，且其纵坐标为-1，则它的“相反点”在直线y=x+2上；③已知点Q 在直线y= kx+b(k≠0)上,如果它的“相反点”也在直线y= kx+b(k≠0)上,则k=-1.其中正确的是
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11. 因式分解:(a -4a+4= .
12. 函数 中，自变量x的取值范围为 .
13.分式方程 的解是 .
14. 在平面直角坐标系中,若点A(3,a)与点B(b,4)关于y轴对称,则a+b= .
15. 如图,⊙O 的内接四边形ABCD中,连接AC,BD,BD 恰好经过圆心O,若∠BAC=60°,则∠DBC的度数是 .
16. 如图,在平面直角坐标系中,B(m,4),C(4,n)是反比例函数 图象上的两点，过点C作AC∥x轴,过点 B作BA⊥AC交于点A,则△ABC 的面积为 .
17.中国象棋是一种两人参与的对抗性棋类运动，大约有两千多年的历史，是中华文明非物质文化经典产物.其中“馬”走动的方法：从两个棋格组成的矩形的一顶点走到其对顶点处，如图1，“馬”可以走到点Q处，由于该矩形像极了汉字“日”，所以象棋中有“馬走日”的说法；当“馬”的正前方有棋子，则无法移动，例如点 P处有棋子，则“馬”无法移动到点Q处，俗称“蹩馬脚”.问题：如图2，位于点M处的“馬”在无“蹩馬脚”的情况下，一次走到N处的概率为 .
18.如图，正方形ABCD的边长为6.①以点C为圆心，适当长为半径画弧交CD于点M，交BC的延长线于点 N；②分别以点 M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 P；③作射线 CP；④E是CP上一点,连接AE交对角线 BD 于点F,若( ，则线段 DF的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19. (6分)计算:
20. (6分)先化简,再求值: 其中x=1.
21.(8分)某校为摸底九年级学生跳绳成绩，现随机抽取若干名学生进行调查，以下是根据数据绘制的不完整的统计图表，根据信息回答下列问题：(A.优秀，B.良好，C.合格，D.不达标)
等级 跳绳个数(单位：个/分钟) 频数 频率
A x≥180 6 0.12
B 150≤x<180 24 n
C 120≤x<150 m 0.30
D x<120 5 0.10
(1)填空:a= ,m= ,n= ;
(2)等级D所对应的扇形圆心角的度数为 ；
(3)若该校九年级共有800名学生，请你估计跳绳成绩为 B等级的学生人数.
22.(8分)在综合与实践活动中，实践小组的同学想测量某电视塔的高度.下面为该实践小组成员设计的一个详细的活动方案：
活动主题 测量某电视塔的高度
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 电视塔测量示意图
测绘过程与数据信息 1.从塔底A，往正前方走95米到达山坡底B； 2.沿山坡BC爬上坡顶C，BC 的坡度为 ，山坡CD的高度为50米； 3.在C处，用测角仪测得塔顶P 的仰角 说明:A,B,D在同一直线上,P,M,A在同一直线上,点P,A,B,C,D,M在同一平面内，
请根据表格中提供的信息，解决下列问题(结果保留整数)：
(1)求山坡BC的长度；
(2)求电视塔PA的高度.(参考数据：
23.(9分)为了增强学生的劳动实践能力，培养学生的环保意识和责任感，某中学积极开展各类实践活动.近期，学校决定组织学生参与植树活动，采购了两次铁锹和锄头，采购记录如下表：
铁锹(把) 锄头(把) 合计金额(元)
第一次 30 25 1350
第二次 15 20 900
(1)求铁锹和锄头的单价；
(2)若学校计划派小华和小佳再次去购买铁锹、锄头共30把，其中铁锹购买数量不少于锄头的2倍且不多于锄头的4倍，他们俩各设计了一个方案.
小华方案：我觉得应该购买25把铁锹、5把锄头.
小佳方案：我觉得应该购买21把铁锹、9把锄头.
请你分析一下他们的方案是否可行 如果可行，是不是最省钱的方案 如果不是最省钱的方案，请设计出最省钱的方案并求出最省钱方案的费用.
24.(9分)如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，在弦BC上取一点D，使得. ，连接AD并延长交半圆于点E，过点 D作 且与BE的延长线交于点 F，在射线AC上取一点 G，使得 连接GF,GB.
(1)求证：四边形ADFG为平行四边形；
(2)若 求直径AB 的长.
25. (10分)已知抛物线M 交x轴于点. 和点B(1,0),交y轴于点 C.
(1)求抛物线M的表达式；
(2)如图1，点E在抛物线M上，点F在其对称轴l上，作直线EF，点A关于直线EF的对称点恰好为抛物线 M 的顶点 P，求点 F 的坐标；
(3)如图2，将抛物线M 沿水平方向向右平移 )个单位得到新的抛物线，记为 与x轴交于点R 和点 S(点R在点S的左边),交y轴于点 D(点D 在点 C上方).若AS·BR=10CD,求m的值.
26. (10分)【问题背景】
已知线段 直线l是线段AB的垂直平分线，且直线l与线段AB 交于点K，C是直线l上一动点，且在AB上方.连接AC，BC，以AC为一条直角边在AC下方作 ,CD与AB交于点M(点M 在线段AB上)，其中
【初步感知】
(1)如图1,若AM=2BM,求tan∠CAB的值;
【问题拓展】
(2)如图2，连接BD，在点C的运动过程中，四边形ACBD的面积是否会发生变化 若不变，求其值；若改变，求出它的变化范围；
【拓展深究】
(3)如图3，点C在运动过程中，取BC和AD的中点E，F，连接EF，求EF的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B A C C A B B
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11. (a-2) 12. x≥2 13. x=-2 14. 1 15. 30° 16. 17. 18. 2
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19. 解:原式 …… (4分)
………………………………………………………… (6分)
20. 解:原式
=-2-x, ………………………………………………(4分)
当x=1时,原式=-2-1=-3. ………………………… (6分)
21. 解:(1)12,15,0.48; …………………………………… (3分)
(2)36°; ………………………………………… (5分)
(3)800×0.48=384(名), …………………………………… (7分)
答：跳绳成绩为 B 等级的学生人数约有384名.……………………(8分)
22. 解:(1)∵BC的坡度为1:
∵CD=50米,
米，
在Rt△BCD中，由勾股定理，得 (米),
答:山坡BC的长度是100米; (4分)
(2)由(1)可知, 米，
∴AD=AB+BD=(95+50 )米,
易得四边形AMCD 是矩形，
则MC=AD,AM=CD,
在 Rt△PMC中,∵∠PCM=53°,
0(米),
∴ PA=PM+MA=234.0+50=284(米),
答:电视塔PA 的高度约为284米.…………………………(8分)
23.解：(1)设铁锹和锄头的单价分别为x元，y元，
由题意可得
解得
答：铁锹和锄头的单价分别为20和30元；………………(4分)
(2)设铁锹购买数量为a把，则锄头购买数量为(30-a)把，总费用为w元，
由题意可得a≥2(30-a),解得a≥20,
a≤4(30-a),解得a≤24,
∴20≤a≤24, ………………………………… (6分)
∵25>24,20<21<24,
∴小华的方案不可行，小佳的方案可行.…………………(7分)
∵由(1)得铁锹和锄头的单价分别为20元和30元，
∴w=20a+30(30-a)=-10a+900,
∵-10<0,
∴w随a的增大而减小，
∴当a=24时,w有最小值,最小值为-10×24+900=660(元),
∵小佳的方案的总费用为21×20+9×30=690(元),690>660,
∴小佳的方案不是最省钱的方案.………………………(8分)
∴最省钱的方案为购买24把铁锹，6把锄头，且最省钱方案的费用为660元.…………(9分)
24. (1)证明:∵AB为半圆O的直径,
∴∠BCA=90°,
∵DF⊥BC,
∴∠BDF=∠FDC=∠BCA=90°,
∴AG∥DF,
∴∠CAD=∠CBE,
∵AC=BD,
∴△DAC≌△FBD(ASA),
∴DC=DF,
∵CD=AG,
∴AG=DF,
∴四边形ADFG为平行四边形；……………………………(4分)
(2)解：由(1)得四边形ADFG为平行四边形，
∴AE∥GF,AD=GF,
∵AB为直径,
∴∠GFB=∠AEB=90°,
由(1)得,△DAC≌△FBD,
∴AD=BF,
∴GF=BF,
∴△FBG为等腰直角三角形，
在Rt△FBG中,
∵DB=CA=3,
在 Rt△FDB中,
∴CD=DF=4,
∴BC=CD+BD=7,
在Rt△ABC 中, … … (9分)
25. 解:(1)∵抛物线. 与x轴交于点A(-4,0)和点 B(1,0),
解得
∴ 抛物线 M 的表达式为 ……………………………… (2分)
∴点 P 的坐标为 对称轴为直线
设点 F 的坐标为
如解图，设抛物线M的对称轴与x轴交于点G，连接AF，
在 Rt△AFG中,
∵点A 与点 P 关于直线EF对称，
在 Rt△AGF中, 即 解得
∴ 点 F 的坐标为 (6分)
(3)对于抛物线M,令x=0得y=4,
∴C(0,4),
∵将抛物线M 沿水平方向向右平移m(m>0)个单位，
∴ 抛物线 M'的表达式为
∴点 D 的坐标为
对于抛物线M'，当y=0时，
解得x=m-4或x=m+1,
∵点 R 在点 S的左边,
∴点 R的坐标为(m-4,0),点S的坐标为(m+1,0),
∴AS=m+1-(-4)=m+5,BR=1-(m-4)=-m+5,
∵AS·BR=10CD,
整理得
……………… (10分)
26. 解:(1)∵AB=4,直线l是AB的垂直平分线,
∴AK=KB=2,CK⊥AB,
∵AM=2BM,
∵∠ACM=90°,
∴∠CAB+∠AMC=90°,
∵∠AKC=90°,
∴∠ACK=∠AMC,
∵∠MKC=∠CKA=90°,
∴△CMK∽△ACK,
即 解得
………………………… (3分)
(2)不变,如解图1,过点C作GQ⊥l,分别过点A,D作AG⊥GQ于点G,DQ⊥GQ于点Q,
∵∠CAG+∠ACG=90°,∠ACG+∠DCQ=90°,
∴∠CAG=∠DCQ,
又∵∠AGC=∠CQD=90°,
∴△ACG∽△CDQ,
即DQ=2CG=2AK=4,
(6分)
(3)如解图2,过点C作GQ⊥l,分别过点A,D作AG⊥GQ于点G,DQ⊥GQ于点Q,延长AB交DQ于点R,过点F作 FI⊥DQ 于点I,过点 E作 EH⊥FI于点 H,交AB 于点 N,
∵EH⊥AB,CK⊥AB,
∴EN∥CK,
又∵E是BC的中点，
∴EN为△CBK的中位线,
易得四边形 HIRN 是矩形,∵ F为AD的中点,
∴EF≥EH=2,
如解图3，当点 F与点 H重合时，此时CD边与CB边重合，EF 取最小值，最小值为2. (10分)

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