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北京市2024-2025学年九年级下学期数学中考模拟押题预测卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2023 富顺县校级模拟）2022中国壬寅（虎）年金银纪念币共13枚，其中15克圆形银质纪念币为精制币，面额5元，成色99.9%，最大发行量300000枚，将300000用科学记数法表示为（　　）
A．3×105 B．3×106 C．3×104 D．30×104
2．（2分）（2024 香坊区二模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2分）（2022 城厢区校级一模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列选项正确的是（　　）
A．|c|＞|a| B．c﹣a＝b﹣a+b﹣c
C．a+b+c＝0 D．|a﹣b|＝|a﹣c|﹣|b﹣c|
4．（2分）（2024春 凤翔区期末）如图，AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥AB，下列结论正确的是（　　）
A．∠1+∠2＝90° B．∠1+∠AOC＝180°
C．∠1+∠AOC＝90° D．∠1＝∠2
5．（2分）（2024 夏邑县校级一模）方程2x2﹣10＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
6．（2分）（2024秋 秦皇岛期末）双眼皮由显性基因A控制，小颍的爸爸、妈妈关于眼皮的基因组成分别为Aa和Aa，则小颍是双眼皮的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2分）（2024秋 遵义期中）如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，CE的长为半径画弧交直线l于A，B两点、再分别以点A、B为圆心．大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，作射线CD，则下列结论不一定正确的是（　　）
A．CA＝CB
B．CD垂直平分AB
C．点C，D关于直线l对称
D．点A，B关于直线CD对称
8．（2分）（2024秋 东坡区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝70°，AC＝BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△DBE，点D恰好落在AC上，连接CE，则∠DCE的度数是（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2024秋 微山县期末）已知分式有意义，则a的取值范围是 　 　 ．
10．（2分）（2024 东城区二模）因式分解：ma2+4ma+4m＝　 　 ．
11．（2分）（2024 海淀区校级模拟）方程的解为 　 　 ．
12．（2分）（2024 会东县模拟）如图，直线AB，AD与⊙O分别相切于点B，D，C为⊙O上一点，且∠BCD＝125°，则∠A的度数是 　 　 ．
13．（2分）（2024秋 锦江区期中）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数图象上的两个点，y1＜y2＜0，则x1　 　 x2．（填“＞”“＜”或“＝”）
14．（2分）（2025 海淀区校级模拟）某学校为了解九年级800名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了40名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有 　 　 人．
每周课外阅读时间x（小时） 0≤x≤1 1＜x≤2 2＜x≤3 x＞3
人数 6 9 13 12
15．（2分）（2022秋 阜宁县期中）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、15，则正方形B的面积为 　 　 ．
16．（2分）一艘轮船顺流航行36km，用3h，逆流航行24km，也用3h，则水流速度为 　 　 km/h，轮船在静水中的速度为 　 　 km/h．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2021 沙依巴克区校级二模）计算：．
18．（5分）（2024 惠城区一模）解不等式组：．
19．（5分）小杰同学在做“先化简，再求值： x3，其中x＝﹣3．“这道题时，错将x＝﹣3看成x＝3，但是他的答案却是正确的，你能找出其中的原因吗？
20．（6分）（2025 西城区一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD⊥CD，过点A作AF⊥BD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）连接DF，若点F是BC的中点，DF＝5，tan∠ADB，求AE的长．
21．（6分）（2021春 虹口区校级期末）老王骑车以每小时10千米的速度从甲地到乙地，返回时因事绕道而行，比去时要多走8千米，虽然速度增加到每小时12千米，但比去时还多用了10分钟，求老王去时所走的路程．
22．（5分）（2023 海淀区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，﹣1）和点B（1，0）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若对于任意的x的值，函数y＝mx+n（m≠0）的值都小于函数y＝kx+b（k≠0）的值，且当x＞4时，函数y＝mx+n（m≠0）的值大于函数yx的值，则m，n应满足的条件是 　 　 （直接写出答案）．
23．（5分）（2025 格尔木市校级一模）某校以“安全伴我行”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了安全知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取40名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A.75≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x≤100．
①八年级学生成绩在D组的具体数据是：
91，93，93，93，94，94，94，94．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）：
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 92 100 57.4
八年 92.6 m 100 49.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取八年级学生的样本容量是　 　 ；
（2）本次抽取八年级学生成绩的中位数m＝　 　 ；
（3）分析两个年级样本数据的对比表，你认为　 　 年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）；
（4）若八年级有200名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生有　 　 人．
24．（6分）（2025 河东区模拟）已知△ABC的顶点都在⊙O上，∠ABC＝30°，过圆上的点D作⊙O的切线交AB的延长线于点P．
（1）如图①，若AB为直径，D为的中点，连接AD，求∠CAD和∠P的大小；
（2）如图②，若BC为直径，DP∥BC，DE⊥AB于点E，交BC于点F，AC＝3，求线段DF的长．
25．（5分）（2024 长春一模）甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系如图所示．（0≤x≤12）
（1）求甲距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式；
（2）求甲、乙两人相距最远时的距离．
26．（6分）已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
27．（7分）（2024秋 淮安区期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形．
（1）初步尝试：如图1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，P为AC上一点，当AP＝ 　 　 时，△ABP与△CBP为积等三角形；
（2）理解运用：如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB＝2，AC＝5，且线段AD的长度为正整数，求AD的长．
28．（7分）（2022 上海）如图，在 ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE．
（1）如果AE＝CE．
ⅰ．求证： ABCD为菱形；
ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求线段BD的长；
（2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CEAE，求的值．
北京市2024-2025学年九年级下学期数学中考模拟押题预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2023 富顺县校级模拟）2022中国壬寅（虎）年金银纪念币共13枚，其中15克圆形银质纪念币为精制币，面额5元，成色99.9%，最大发行量300000枚，将300000用科学记数法表示为（　　）
A．3×105 B．3×106 C．3×104 D．30×104
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：300000＝3×105．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（2分）（2024 香坊区二模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；据此逐项判断即可．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握相关知识．
3．（2分）（2022 城厢区校级一模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列选项正确的是（　　）
A．|c|＞|a| B．c﹣a＝b﹣a+b﹣c
C．a+b+c＝0 D．|a﹣b|＝|a﹣c|﹣|b﹣c|
【考点】实数与数轴；绝对值．
【专题】实数；几何直观；运算能力．
【答案】D
【分析】根据数轴可得：a＜﹣3＜0＜b＜2＜c，再根据绝对值，有理数加减法逐项判定即可．
【解答】解：由数轴可知，a＜﹣3＜0＜b＜2＜c，
∴|c|＜|a|，故A选项错误；
∵b≠c，
∴2b≠2c，
∴c﹣a≠b﹣a+b﹣c，故B选项错误；
∵a＜﹣3＜0＜b＜2＜c，a，b，c不是整数，且不确定，
∴a+b+c的值不能确定为0，故C选项错误；
∵|a﹣b|＝b﹣a，|a﹣c|﹣|b﹣c|＝c﹣a﹣（c﹣b）＝b﹣a，
∴|a﹣b|＝|a﹣c|﹣|b﹣c|，故D选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，掌握在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
4．（2分）（2024春 凤翔区期末）如图，AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥AB，下列结论正确的是（　　）
A．∠1+∠2＝90° B．∠1+∠AOC＝180°
C．∠1+∠AOC＝90° D．∠1＝∠2
【考点】垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】A，根据对顶角的性质进行判定即可得出答案；
B．根据平角的定义进行判定即可得出答案；
C．根据垂线的性质进行求解即可得出答案；
D．根据对顶角的性质进行求解即可得出答案．
【解答】解：A．因为∠1＝∠2，所以∠1+∠2＝90°不正确，故A选项不符合题意；
B．因为∠1+∠AOC+∠FOC＝180°，所以∠1+∠AOC＝180°不正确，故B选项不符合题意；
C．因为∠1+∠EOD＝90°＝∠AOC，所以∠1+∠AOC＝90°不正确，故C选项不符合题意；
D．因为∠1＝∠2，所以D选项正确，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了垂线，角的计算及对顶角，熟练掌握垂线，角的计算及对顶角的性质进行求解是解决本题的关键．
5．（2分）（2024 夏邑县校级一模）方程2x2﹣10＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】找出方程中a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可对方程的根作出判断．
【解答】解：由题意得：a＝2，b＝0，c＝﹣10，
∵Δ＝b2﹣4ac＝0﹣4×2×（﹣10）＝80＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；等于0，方程有两个相等的实数根；小于0，方程没有实数根．
6．（2分）（2024秋 秦皇岛期末）双眼皮由显性基因A控制，小颍的爸爸、妈妈关于眼皮的基因组成分别为Aa和Aa，则小颍是双眼皮的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】画出树状图，求出概率即可．
【解答】解：由题意，画出树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中小颍是双眼皮的结果3种；
∴
故选：D．
【点评】本题考查的是概率公式，熟记概率公式是解题的关键．
7．（2分）（2024秋 遵义期中）如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，CE的长为半径画弧交直线l于A，B两点、再分别以点A、B为圆心．大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，作射线CD，则下列结论不一定正确的是（　　）
A．CA＝CB
B．CD垂直平分AB
C．点C，D关于直线l对称
D．点A，B关于直线CD对称
【考点】作图—基本作图；轴对称的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】平移、旋转与对称；尺规作图；推理能力．
【答案】C
【分析】根据作法得：CA＝CB，CD平分∠ACB，再根据等腰三角形的性质可得CD⊥直线l，且平分直线l即可．
【解答】解：∵C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，CE的长为半径画弧交直线l于A，B两点、再分别以点A、B为圆心．大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，作射线CD，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴CA＝CB，CD平分∠ACB，故A选项正确，不符合题意；
∴CD⊥直线l，且平分直线l，故B选项正确，不符合题意；
∴点A，B关于直线CD对称，故D选项正确，不符合题意；
根据作法无法得到点C，D关于直线l对称，故C选项错误，符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，等腰三角形的性质，掌握尺规作图是解题的关键．
8．（2分）（2024秋 东坡区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝70°，AC＝BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△DBE，点D恰好落在AC上，连接CE，则∠DCE的度数是（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理以及等边对等角得出∠ABC＝∠A＝70°，∠ACB＝40°，由旋转可知，∠ABD＝∠CBE＝α，AB＝DB，BC＝BE，进而根据三角形内角和定理得出α＝40°，根据∠ACE＝∠ACB+∠BCE即可求解．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝70°，AC＝BC，
∴∠ABC＝∠A＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△DBE，点D恰好落在AC上，
∴∠ABD＝∠CBE＝α，AB＝DB，BC＝BE，
在等腰△ABD中，∠ADB＝∠A＝70°，
∴∠ABD＝∠CBE＝α＝40°，
在等腰△BCE中，∠CBE＝40°，
∴∠BCE＝∠BEC＝70°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠BCE＝40°+70°＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质以及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2024秋 微山县期末）已知分式有意义，则a的取值范围是 　a≠3　 ．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】a≠3．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：a﹣3≠0，
解得：a≠3，
故答案为：a≠3．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
10．（2分）（2024 东城区二模）因式分解：ma2+4ma+4m＝　m（a+2）2　 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；符号意识．
【答案】m（a+2）2．
【分析】首先提取公因式m，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：ma2+4ma+4m＝m（a2+4a+4）
＝m（a+2）2．
故答案为：m（a+2）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
11．（2分）（2024 海淀区校级模拟）方程的解为 　x＝﹣1　 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝﹣1．
【分析】依据题意，由分式方程的解法即可得解．
【解答】解：方程两边同时乘以2x（5x﹣1）得：
3×2x＝5x﹣1，
∴x＝﹣1．
检验：把x＝﹣1代入2x（5x+1）＝8≠0，且方程左边＝右边．
∴原分式方程的解为x＝﹣1．
【点评】本题主要考查了分式方程的解法，解答本题的关键是熟练掌握并灵活运用解答分式方程的方法．
12．（2分）（2024 会东县模拟）如图，直线AB，AD与⊙O分别相切于点B，D，C为⊙O上一点，且∠BCD＝125°，则∠A的度数是 　70°　 ．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】70°．
【分析】点B作直径BE，连接OD、DE．根据圆内接四边形性质可求∠E的度数；根据圆周角定理求∠BOD的度数；根据四边形内角和定理求解．
【解答】解：过点B作直径BE，连接OD、DE．
∵B、C、D、E共圆，∠BCD＝125°，
∴∠E＝180°﹣125°＝55°，
∴∠BOD＝110°．
∵AB、AD与⊙O相切于点B、D，
∴∠OBA＝∠ODA＝90°．
∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查了切线的性质、正确记忆圆内接四边形性质、圆周角定理、四边形内角和定理等知识点并正确作出辅助线是解题关键．
13．（2分）（2024秋 锦江区期中）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数图象上的两个点，y1＜y2＜0，则x1　＞　 x2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】＞．
【分析】根据k＞0确定反比例函数分布的象限及在每个象限内的增减性进行判断即可．
【解答】解：∵反比例函数k＝3＞0，
∴双曲线分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵y1＜y2＜0．
∴x1＞x2，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
14．（2分）（2025 海淀区校级模拟）某学校为了解九年级800名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了40名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有 　300　 人．
每周课外阅读时间x（小时） 0≤x≤1 1＜x≤2 2＜x≤3 x＞3
人数 6 9 13 12
【考点】频数（率）分布表；用样本估计总体．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】用800乘样本中每周课外阅读时间不超过2小时的学生所占的百分比即可．
【解答】解：800300（人），
估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生大约有300人．
故答案为：300．
【点评】本题考查了频数（率）分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．也考查了样本估计总体．
15．（2分）（2022秋 阜宁县期中）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、15，则正方形B的面积为 　5　 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力．
【答案】5．
【分析】根据图形和题意，可以发现正方形D的面积＝正方形C的面积+中间正方形的面积，正方形A的面积+正方形B的面积＝中间正方形的面积，然后代入数据计算即可．
【解答】解：由图可得，
正方形D的面积＝正方形C的面积+中间正方形的面积，
正方形A、C、D的面积依次为4、6、15，
∴中间正方形的面积＝15﹣6＝9，
由图可得，
正方形A的面积+正方形B的面积＝中间正方形的面积，
∴正方形B的面积＝9﹣4＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查正方形的面积、正方形与直角三角形的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．（2分）一艘轮船顺流航行36km，用3h，逆流航行24km，也用3h，则水流速度为 　8　 km/h，轮船在静水中的速度为 　4　 km/h．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】8，4．
【分析】顺水速度＝水流速度+静水速度，逆水速度＝静水速度﹣水流速度．根据题意可列出方程组求解．
【解答】解：设船在静水中的速度是x千米/时，水流速度为y千米/时．
由题意，
解得．
故答案为：8，4．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题需注意顺流速度与逆流速度的求法．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2021 沙依巴克区校级二模）计算：．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】利用绝对值的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值进行化简运算即可．
【解答】解：原式＝21﹣4+3
＝21﹣4
＝﹣1．
【点评】本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值，正确利用上述法则与性质是解题的关键．
18．（5分）（2024 惠城区一模）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】5＜x＜15．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞5，
解不等式②得：x＜15，
则不等式组的解集为5＜x＜15．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（5分）小杰同学在做“先化简，再求值： x3，其中x＝﹣3．“这道题时，错将x＝﹣3看成x＝3，但是他的答案却是正确的，你能找出其中的原因吗？
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】理由见解答过程．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x＝﹣3和x＝3代入计算，判断即可．
【解答】解：原式
，
当x＝﹣3时，，
当x＝3时，，
∴错将x＝﹣3看成x＝3，但是他的答案都是正确的．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．（6分）（2025 西城区一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD⊥CD，过点A作AF⊥BD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）连接DF，若点F是BC的中点，DF＝5，tan∠ADB，求AE的长．
【考点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）证明CD∥AF，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AD＝CF，再由直角三角形斜边上的中线性质得BC＝2DF＝10，则CF＝DF＝5，AD＝5，进而由锐角三角函数定义得DE＝2AE，设AE＝x，则DE＝2x，然后在Rt△ADE中，由勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵BD⊥CD，AF⊥BD，
∴CD∥AF，
∵AD∥BC，
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）解：如图，由（1）可知，四边形AFCD是平行四边形，
∴AD＝CF，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∵点F是BC的中点，DF＝5，
∴CF＝BF，BC＝2DF＝10，
∴CF＝DF＝5，
∴AD＝5，
∵AF⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴tan∠ADB，
∴DE＝2AE，
设AE＝x，则DE＝2x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝52，
解得：x（负值已舍去），
∴AE，
即AE的长为．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21．（6分）（2021春 虹口区校级期末）老王骑车以每小时10千米的速度从甲地到乙地，返回时因事绕道而行，比去时要多走8千米，虽然速度增加到每小时12千米，但比去时还多用了10分钟，求老王去时所走的路程．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】30千米．
【分析】设老王去时所走的路程为x千米，则返回时所走的路程为（x+8）千米，由“比去时还多用了10分钟”列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：设老王去时所走的路程为x千米，则返回时所走的路程为（x+8）千米，
由题意得：，
解得：x＝30，
答：老王去时所走的路程为30千米．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键是找出对应的时间、速度、路程以及等量关系，还要注意单位要统一．
22．（5分）（2023 海淀区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，﹣1）和点B（1，0）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若对于任意的x的值，函数y＝mx+n（m≠0）的值都小于函数y＝kx+b（k≠0）的值，且当x＞4时，函数y＝mx+n（m≠0）的值大于函数yx的值，则m，n应满足的条件是 　m＝1，﹣2≤n＜﹣1　 （直接写出答案）．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝x﹣1；
（2）m＝1，﹣2≤n＜﹣1．
【分析】（1）通过待定系数法将A（0，﹣1），B（1，0）代入解析式求解．
（2）由对于任意的x的值，函数y＝mx+n（m≠0）的值都小于函数y＝kx+b（k≠0）的值可知m＝k＝1，n＜b＝﹣1，把点（4，2）代入函数y＝x+n，求得n＝﹣2，然后根据当x＞4时，函数y＝mx+n（m≠0）的值大于函数yx的值得到n≥﹣2，进而求得﹣2≤n＜﹣1．
【解答】解：（1）将A（0，﹣1），B（1，0）代入解y＝kx+b得，
，解得，
∴一次函数解析式为y＝x﹣1；
（2）∵对于任意的x的值，函数y＝mx+n（m≠0）的值都小于函数y＝kx+b（k≠0）的值，
∵k＝1，b＝﹣1，
∴m＝1，n＜﹣1，
把x＝4代入yx，得y＝2，
把点（4，2）代入函数y＝x+n，求得n＝﹣2，
∵当x＞4时，函数y＝x+n（m≠0）的值大于函数yx的值，
∴n≥﹣2，
故m＝1，﹣2≤n＜﹣1．
故答案为：m＝1，﹣2≤n＜﹣1．
【点评】本题考查待定系数法解一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系，一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．
23．（5分）（2025 格尔木市校级一模）某校以“安全伴我行”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了安全知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取40名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A.75≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x≤100．
①八年级学生成绩在D组的具体数据是：
91，93，93，93，94，94，94，94．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）：
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 92 100 57.4
八年 92.6 m 100 49.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取八年级学生的样本容量是　40　 ；
（2）本次抽取八年级学生成绩的中位数m＝　93　 ；
（3）分析两个年级样本数据的对比表，你认为　八　 年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）；
（4）若八年级有200名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生有　70　 人．
【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数；方差；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体．
【专题】统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）40；
（2）93；
（3）八；
（4）70人．
【分析】（1）由样本容量的定义即可得出答案；
（2）根据中位数的定义和计算方法进行计算即可；
（3）由七、八年级学生成绩的方差的大小即可得出结论；
（4）用总人数乘样本中八年级学生成绩不低于95分的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）∵随机从七、八年级各抽取40名学生的测试成绩，
∴本次抽取八年级学生的样本容量是40；
故答案为：40；
（2）将抽取的40名八年级学生成绩从小到大排列，处在第20、20位的两个数为93和93，
因此本次抽取八年级学生成绩的中位数m93；
故答案为：93；
（3）样本中七年级学生成绩的方差为57.4，而八年级学生成绩的方差为49.2，由于57.4＞49.2，
因此八年级的学生测试成绩较整齐；
故答案为：八；
（4）估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生有20070（人）．
故答案为：70．
【点评】本题考查频数分布直方图，样本容量，中位数，众数，方差以及样本估计总体，掌握中位数的计算方法，理解方差的定义以及样本估计总体的方法是解决问题的前提．
24．（6分）（2025 河东区模拟）已知△ABC的顶点都在⊙O上，∠ABC＝30°，过圆上的点D作⊙O的切线交AB的延长线于点P．
（1）如图①，若AB为直径，D为的中点，连接AD，求∠CAD和∠P的大小；
（2）如图②，若BC为直径，DP∥BC，DE⊥AB于点E，交BC于点F，AC＝3，求线段DF的长．
【考点】切线的性质；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】（1）∠CAD和∠P都等于30°；
（2）DF的长是2．
【分析】（1）连接OD，因为AB为⊙O的直径，所以∠C＝90°，而∠ABC＝30°，则∠BAC＝90°﹣∠ABC＝60°，由，得OD⊥BC，∠CAD＝∠BAD∠BAC＝30°，由切线的性质得PD⊥OD，所以PD∥BC，则∠P＝∠ABC＝30°，所以∠CAD和∠P都等于30°；
（2）连接OD，由BC为⊙O的直径，得∠A＝90°，而∠ABC＝30°，AC＝3，所以BC＝2AC＝6，则ODBC＝3，再证明∠BEF＝90°，∠ODF＝30°，则OFDF，由ODDF＝3，求得DF＝2．
【解答】解：（1）如图①，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝60°，
∵D为的中点，
∴，OD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD∠BAC＝30°，
∵PD与⊙O相切于点D，
∴PD⊥OD，
∴PD∥BC，
∴∠P＝∠ABC＝30°，
∴∠CAD和∠P都等于30°．
（2）如图②，连接OD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠A＝90°，
∵∠ABC＝30°，AC＝3，
∴BC＝2AC＝6，
∴ODBC＝3，
∵DP∥BC，∠ODP＝90°，
∴∠DOF＝180°﹣∠ODP＝90°，
∵DE⊥AB于点E，
∴∠BEF＝90°，
∴∠ODF＝90°﹣∠OFD＝90°﹣∠BFE＝∠ABC＝30°，
∴OFDF，
∵ODDF＝3，
∴DF＝2，
∴DF的长是2．
【点评】此题重点考查圆周角定理、垂径定理、切线的性质定理、勾股定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．（5分）（2024 长春一模）甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系如图所示．（0≤x≤12）
（1）求甲距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式；
（2）求甲、乙两人相距最远时的距离．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣250x+3000（0≤x≤12）；
（2）250米．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由图象可知，在0≤x≤9的过程中，甲、乙两人相距越来越远；在9＜x≤12的过程中，甲、乙两人相距越来越近，故当x＝9时，甲、乙两人相距最远．将x＝9代入（1）中得到的函数关系式，求出甲距终点的距离，再根据此时乙距终点的距离进行计算即可．
【解答】解：（1）设甲距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将x＝0，y＝3000和x＝12，y＝0代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴甲距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式为y＝﹣250x+3000（0≤x≤12）．
（2）由图象可知，在0≤x≤9的过程中，甲、乙两人相距越来越远；在9＜x≤12的过程中，甲、乙两人相距越来越近，
∴当x＝9时，甲、乙两人相距最远．
当x＝9时，y＝﹣250×9+3000＝750，
1000﹣750＝250（米），
∴甲、乙两人相距最远为250米．
【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数的表达式是解题的关键．
26．（6分）已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】抛物线解析式为y＝2x2﹣3x+5；抛物线对称轴为直线x，顶点坐标为（，）．
【分析】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值，确定函数解析式，根据二次函数解析式可知抛物线的对称轴及顶点坐标．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
把（﹣1，10），（1，4），（2，7）各点代入上式得，
解得．
则抛物线解析式为y＝2x2﹣3x+5；
∵y＝2x2﹣3x+5＝2（x）2，
∴抛物线对称轴为直线x，顶点坐标为（，）．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
27．（7分）（2024秋 淮安区期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形．
（1）初步尝试：如图1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，P为AC上一点，当AP＝ 　3　 时，△ABP与△CBP为积等三角形；
（2）理解运用：如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB＝2，AC＝5，且线段AD的长度为正整数，求AD的长．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）3；
（2）2或3．
【分析】（1）求出AC＝6，根据新定义“积等三角形”可得出答案；
（2）延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，证明△ADB≌△EDC（AAS），得出AD＝DE，AB＝EC＝2，根据三角形三边关系可得出答案．
【解答】解：（1）如图1中，在AC上截取AP＝3，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC6，
∵AP＝PC＝3，
∴S△PAB＝S△PBC，
∵△ABP与△PBC不全等，
∴△ABP与△CBP为积等三角形，
当AP＝3时，△ABP与△CBP为积等三角形；
故答案为：3；
（2）如图2，延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，
∵△ABD与△ACD为积等三角形，
∴BD＝CD，
∵AB∥EC，
∴∠BAD＝∠E，
∵∠ADB＝∠EDC，
∴△ADB≌△EDC（AAS），
∴AD＝DE，AB＝EC＝2，
∵AC＝5，
∴5﹣2＜AE＜5+2，
∴3＜2AD＜7，
∴AD，
∵AD为正整数，
∴AD＝2或3，
∴AD的长为2或3．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，倍长中线的问题，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
28．（7分）（2022 上海）如图，在 ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE．
（1）如果AE＝CE．
ⅰ．求证： ABCD为菱形；
ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求线段BD的长；
（2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CEAE，求的值．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；多边形与平行四边形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）i．证明见解析；
ii.；
（2）．
【分析】（1）i．证明：如图，连接AC交BD于点O，证明△AOE≌△COE（SSS），由全等三角形的性质得出∠AOE＝∠COE，证出AC⊥BD，由菱形的判定可得出结论；
ii．由重心的性质得出BE＝2OE，设OE＝x，则BE＝2x，由勾股定理得出9﹣x2＝25﹣9x2，求出x的值，则可得出答案；
（2）方法一：由相交两圆的性质得出AB⊥EF，由（1）②知点E是△ABC的重心，由重心的性质及勾股定理得出答案．
方法二：设EP＝x，则AE＝2x，CE＝2x，证出∠DCE＝90°，延长AP交DC的延长线于点Q，则CQ＝CD，由勾股定理可得出答案．
【解答】（1）i．证明：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE＝CE，OE＝OE，
∴△AOE≌△COE（SSS），
∴∠AOE＝∠COE，
∵∠AOE+∠COE＝180°，
∴∠COE＝90°，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD为菱形；
ii．解：∵OA＝OC，
∴OB是△ABC的中线，
∵P为BC的中点，
∴AP是△ABC的中线，
∴点E是△ABC的重心，
∴BE＝2OE，
设OE＝x，则BE＝2x，
在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA2＝AE2﹣OE2＝32﹣x2＝9﹣x2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，OA2＝AB2﹣OB2＝52﹣（3x）2＝25﹣9x2，
∴9﹣x2＝25﹣9x2，
解得x（负值舍去），
∴OB＝3x＝3，
∴BD＝2OB＝6；
（2）解：方法一：如图，
∵⊙A与⊙B相交于E，F，
∴AB⊥EF，
由（1）②知点E是△ABC的重心，
又∵F在直线CE上，
∴CG是△ABC的中线，
∴AG＝BGAB，EGCE，
∵CEAE，
∴GEAE，CG＝CE+EGAE，
∴AG2＝AE2﹣EG2＝AE2，
∴AGAE，
∴AB＝2AGAE，
∴BC2＝BG2+CG2AE25AE2，
∴BCAE，
∴．
方法二：设EP＝x，则AE＝2x，CE＝2x，
∵AE＝AF，BE＝BF，
∴AB垂直平分EF，∠AGF＝90°，
∴∠DCE＝90°，
延长AP交DC的延长线于点Q，则CQ＝CD，
∴EQ＝ED＝4x，由勾股定理得CD＝2x，∠DEC＝∠CEQ＝45°，
由DE＝4x可得BE＝2x，
∴BPx，
∴AB：BC＝2x：2x．
【点评】本题是圆的综合题，考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形重心的性质，菱形的判定，相交两圆的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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