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北京市2024-2025学年九年级下学期数学中考模拟押题预测卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2024 香坊区二模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2分）（2025春 榆次区期中）如图1所示，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．将图1简化为图2，下列描述正确的是（　　）
A．∠1和∠2是对顶角 B．∠2和∠DOE互余
C．∠COF和∠DOF互补 D．∠COE＝∠GOD
3．（2分）（2022 曹县二模）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．|a|＞|b| B．b﹣a＜0 C．a＞﹣b D．ab＞0
4．（2分）（2022 荷塘区二模）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，连接EF，则∠AEF的度数为（　　）
A．66° B．60° C．52° D．48°
5．（2分）2021年11月12日中新网记者了解到，2021年天猫、京东“双11“销售额出炉！两者合计超8.894×1013元，再创新纪录．将用科学记数法表示的数8.894×1013还原正确的是（　　）
A．889400000 B．8894000000
C．88940000000 D．88940000000000
6．（2分）（2025 万柏林区一模）山西是具有光荣传统的革命老区，也是红色文化资源的重要聚集地，为追忆历史、缅怀先烈，假期学校准备组织学生去山西国民师范旧址革命活动纪念馆、徐向前纪念馆、刘胡兰纪念馆参观学习，由于时间有限，每个学生只能选择其中一个纪念馆参观学习，则小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2分）（2024 河北模拟）按照如下方法分别在矩形ABCD（AB＞AD）中画四边形：
方法1：
1．如图1，取矩形ABCD各边的中点E，F，G，H；
2．连接各边的中点，得到四边形EFGH．
方法2：
1．如图2，连接AC；
2．分别作AB、DC关于AC的对称线段，交DC，AB于点N，M；
3．得到四边形ANCM．
结论一：方法1得到的四边形EFGH是矩形，方法2得到的四边形ANCM是菱形；
结论二：方法1得到的四边形EFGH与方法2得到的四边形ANCM周长相等．
下列判断正确的是（　　）
A．只有结论一正确
B．只有结论二正确
C．结论一和结论二都正确
D．结论一和结论二都不正确
8．（2分）（2024春 泗县期中）如图，在△ABC中，AB＝1，BC＝3，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2025 让胡路区校级一模）若分式有意义，则x的取值范围是 　 　 ．
10．（2分）（2021 南岗区校级开学）分解因式：x3﹣8x2y+16xy2＝　 　 ．
11．（2分）（2023 辉县市二模）分式方程的解是 　 　 ．
12．（2分）已知反比例函数f（x）的图象经过点（1，2），那么该反比例函数的比例系数是 　 　 ．
13．（2分）（2024春 鄞州区期中）如果样本方差是：，那么x1+x2+x3+ +x10＝　 　 ．
14．（2分）（2025春 思明区校级期中）命题“如果a＝b，那么”的逆命题是 　 　 ，该逆命题是 　 　 （填“真”或“假”）命题．
15．（2分）（2022春 香坊区校级月考）矩形ABCD，过A作BD的垂线，垂足为E，F、G、H分别是AB、AD、BD上一点．且∠FEG＝60°，DE＝3BE，，AE＝5，则EF的长为 　 　 ．
16．（2分）（2024 河北模拟）小李驾驶汽车在早上9：00从甲地出发到乙地，其行驶的平均速度v（千米/时）与行驶所用的时间t（时）之间的函数关系图象（t＞0）如图所示，已知全程限速120千米/时．
（1）甲、乙两地之间的距离为 　 　 千米；
（2）小李计划在当天不超过14：00到达乙地，汽车行驶的平均速度的范围为 　 　 ．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2023 沈阳模拟）计算：．
18．（5分）（2022 射阳县校级三模）解不等式组：．
19．（5分）（2025 沭阳县模拟）先化简，再求代数式的值，其中．
20．（6分）（2023 温州二模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别为AB，AC的中点，G为边BC上一点，∠EGB＝∠FDC，连结EF．
（1）求证：四边形EFCG是平行四边形．
（2）若，tanC＝2，BC＝14，求GD的长．
21．（6分）根据所给的素材，探索完成任务．
【素材】小何到早餐店买早点，“阿姨，我买8个肉包和5个菜包．”阿姨说：“一共17元．”付款后，小何说：“阿姨，少买2个菜包，换3个肉包吧．”阿姨说：“可以，但还需补交2.5元钱．”
任务一：请从他们的对话中求出肉包和菜包的单价；
任务二：如果小何一共有25.4元，需要买20个包子，他最多可以买几个肉包呢？
22．（5分）（2023秋 磁县期末）国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．为此，我市就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了某区300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：
A组：t＜0.5h；B组：0.5h≤h＜1h；C组：1h≤t＜1.5h；D组：t≥1.5h．请根据上述信息解答下列问题：
（1）本次调查数据的中位数落在 　 　 组内，众数落在 　 　 组内；
（2）若A组取t＝0.25h，B组取t＝0.75h，C组取t＝1.25h，D组取t＝2h，计算这300名学生平均每天在校体育活动的时间；（保留两位小数）
（3）若该辖区约有20000名中学生，请你估计其中达到国家体育活动时间的人数．
23．（5分）（2024春 安溪县期中）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象是由函数y＝﹣x的图象平移得到的，且经过点A（﹣1，2）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝ax（a≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，求a的取值范围．
24．（6分）（2025春 成都校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，CF为∠ACB的角平分线，FD⊥CF交AC于点D，经过C、F、D三点的⊙O与BC交于点E，过点E作ET⊥AC交⊙O于点T，交线段AC、CF分别于点K、H，连接DT．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）当AD＝6，sin∠T时，求⊙O的半径及CH的长．
25．（5分）（2022春 盐湖区期末）由于新冠疫情的影响，甲地需要向相距300千米的乙地运送物资，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离．
（2）轿车出发多长时间追上货车．
（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距20千米．
26．（6分）（2024 北京一模）在平面直角坐标系xOy中，M（m，y1），N（m+2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上两点．设该抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）若对于m＝1，有y1＝y2，求t的值；
（2）若对于1＜m＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．
27．（7分）（2023春 大埔县期末）有公共顶点的等腰直角三角形ACB与等腰直角三角形ADE按如图①所示放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点D在AC上，点E在BA的延长线上．连接BD，CE．
【观察猜想】
（1）BD与CE之间的数量关系是 　 　 ；位置关系是 　 　 ．
【探究证明】
（2）将等腰直角三角形ADE绕点A逆时针旋转，如图②所示，使点C，D，E在同一条直线上，连接BD，交AC于点H．BD与CE之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
28．（7分）（2024秋 海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙P内一点M和⊙P外一点N，若存在过点M的一条直线l，使得点N为点P关于直线l的对称点，则称点M和点N是关于⊙P的关联点．
（1）已知⊙O半径为．
①在点，B2（0，5），B3（3，4），B4（﹣2，4）中，点A和点　 　 是关于⊙O的关联点；
②若直线y＝﹣x+b上存在一点B，使得点A和点B是关于⊙O的关联点，直接写出b的取值范围　 　 ；
（2）已知点E（0，1）．存在半径为r的⊙P，点C和点D是⊙P上两点，∠CPD＝90°，若点E恰好是线段CD中点，且线段CD上存在一点G，使得点G和点O是关于⊙P的关联点．直接写出r的取值范围　 　 ．
北京市2024-2025学年九年级下学期数学中考模拟押题预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2024 香坊区二模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；据此逐项判断即可．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握相关知识．
2．（2分）（2025春 榆次区期中）如图1所示，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．将图1简化为图2，下列描述正确的是（　　）
A．∠1和∠2是对顶角 B．∠2和∠DOE互余
C．∠COF和∠DOF互补 D．∠COE＝∠GOD
【考点】对顶角、邻补角；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据对顶角、邻补角，余角和补角的性质解答即可．
【解答】解：A、∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
B、∠2和∠DOE不互余，故此选项不符合题意；
C、∠COF和∠DOF互补，故此选项符合题意；
D、∠COE与∠GOD不是对顶角，不相等，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
3．（2分）（2022 曹县二模）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．|a|＞|b| B．b﹣a＜0 C．a＞﹣b D．ab＞0
【考点】实数与数轴；绝对值．
【专题】实数；符号意识．
【答案】C
【分析】根据绝对值的定义判断A选项；根据数轴上右边的数总比左边的大判断B选项；根据相反数判断C选项；根据有理数的乘法判断D选项．
【解答】解：A选项，∵|a|＜2，|b|＞2，
∴|a|＜|b|，故该选项不符合题意；
B选项，∵b＞a，
∴b﹣a＞0，故该选项不符合题意；
C选项，∵a＞﹣2，﹣b＜﹣2，
∴a＞﹣b，故该选项符合题意；
D选项，∵a＜0，b＞0，
∴ab＜0，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，绝对值，掌握数轴上一个数所对应的点到原点的距离是这个数的绝对值是解题的关键．
4．（2分）（2022 荷塘区二模）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，连接EF，则∠AEF的度数为（　　）
A．66° B．60° C．52° D．48°
【考点】多边形内角与外角；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；几何直观；运算能力．
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质得到AF＝BF＝AB，∠AFB＝∠ABF＝60°，由正五边形的性质得到AB＝AE，∠BAE＝108°，等量代换得到AF＝AE，∠FAE＝48°，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵△ABF是等边三角形，
∴AF＝BF＝AB，∠AFB＝∠BAF＝60°，
在正五边形ABCDE中，AB＝AE，∠BAE108°，
∴AF＝AE，∠FAE＝∠BAE﹣∠BAF＝48°，
∴∠AEF（180°﹣∠FAE）＝66°．
故选：A．
【点评】本题考查了正多边形的内角和，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记正多边形的内角的求法是解题的关键．
5．（2分）2021年11月12日中新网记者了解到，2021年天猫、京东“双11“销售额出炉！两者合计超8.894×1013元，再创新纪录．将用科学记数法表示的数8.894×1013还原正确的是（　　）
A．889400000 B．8894000000
C．88940000000 D．88940000000000
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：8.894×1013＝88940000000000．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．（2分）（2025 万柏林区一模）山西是具有光荣传统的革命老区，也是红色文化资源的重要聚集地，为追忆历史、缅怀先烈，假期学校准备组织学生去山西国民师范旧址革命活动纪念馆、徐向前纪念馆、刘胡兰纪念馆参观学习，由于时间有限，每个学生只能选择其中一个纪念馆参观学习，则小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将山西国民师范旧址革命活动纪念馆、徐向前纪念馆、刘胡兰纪念馆分别记为A，B，C，
列表如下：
A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
共有9种等可能的结果，其中小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习的结果有3种，
∴小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习的概率为．
故选：B．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
7．（2分）（2024 河北模拟）按照如下方法分别在矩形ABCD（AB＞AD）中画四边形：
方法1：
1．如图1，取矩形ABCD各边的中点E，F，G，H；
2．连接各边的中点，得到四边形EFGH．
方法2：
1．如图2，连接AC；
2．分别作AB、DC关于AC的对称线段，交DC，AB于点N，M；
3．得到四边形ANCM．
结论一：方法1得到的四边形EFGH是矩形，方法2得到的四边形ANCM是菱形；
结论二：方法1得到的四边形EFGH与方法2得到的四边形ANCM周长相等．
下列判断正确的是（　　）
A．只有结论一正确
B．只有结论二正确
C．结论一和结论二都正确
D．结论一和结论二都不正确
【考点】作图—复杂作图；轴对称的性质；菱形的性质；矩形的性质；中点四边形．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】D
【分析】证明四边形EFGH是菱形，四边形AMCN是菱形，可得结论．
【解答】解：如图1中，连接AC，BD．
∵AE＝ED，DH＝CH，AF＝FB，CG＝GB，
∴EH∥AC，FG∥AC，EHAC，FGAC，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴四边形EHFG是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵GHBD，EHAC，
∴EH＝HG，
∴四边形EHFG是菱形．
如图2中，由作图可知∠MAC＝NAC，∠MCA＝∠NCA，
∵AC＝CA，
∴△AMC≌△ANC（ASA），
∴AM＝AN＝CN，
∵CN∥AM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AM＝AN，
∴四边形AMCN是菱形，故结论1错误．
∵图1中，四边形EFGH都是周长＝2AC，图2中，四边形AMCN的周长＝2（AM+MC）＞2AC，
∴方法1得到的四边形EFGH与方法2得到的四边形ANCM周长不相等，故结论2错误．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，矩形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．（2分）（2024春 泗县期中）如图，在△ABC中，AB＝1，BC＝3，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】由旋转的性质及∠B＝60°，可得△ABD是等边三角形，从而BD＝AB，则由CD＝BC﹣BD．计算即可得出答案．
【解答】解：∵将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，
∴AD＝AB，
∵∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB，
∵AB＝1，BC＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝3﹣1＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质和等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2025 让胡路区校级一模）若分式有意义，则x的取值范围是 　x≠﹣3　 ．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】x≠﹣3．
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：根据题意得：
x+3≠0，
解得：x≠﹣3．
故答案为：x≠﹣3．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为0是解题的关键．
10．（2分）（2021 南岗区校级开学）分解因式：x3﹣8x2y+16xy2＝　x（x﹣4y）2　 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】x（x﹣4y）2．
【分析】先提取公因式，再用公式法进行因式分解即可．
【解答】解：x3﹣8x2y+16xy2
＝x（x2﹣8xy+16y2）
＝x（x﹣4y）2，
故答案为：x（x﹣4y）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
11．（2分）（2023 辉县市二模）分式方程的解是 　x＝2023　 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝2023．
【分析】方程两边都乘（x+2023）得出x﹣2023＝0，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：方程两边都乘x+2023，得x﹣2023＝0，
解得：x＝2023，
检验：当x＝2023，时，x+2023≠0，
∴x＝2023是原方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
12．（2分）已知反比例函数f（x）的图象经过点（1，2），那么该反比例函数的比例系数是 　2　 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】将此点坐标代入函数解析式f（x）即可求得反比例函数的比例系数．
【解答】解：∵反比例函数f（x）的图象经过点（1，2），
∴k﹣2＝1×2＝2，
∴该反比例函数的比例系数是2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．
13．（2分）（2024春 鄞州区期中）如果样本方差是：，那么x1+x2+x3+ +x10＝　30　 ．
【考点】方差．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】30．
【分析】由方差公式知，这组数据的平均数为3，样本容量为10，从而得出答案．
【解答】解：∵样本方差是：，
∴（x1+x2+x3+ +x10）＝3，
∴x1+x2+x3+ +x10＝30．
故答案为：30．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式．
14．（2分）（2025春 思明区校级期中）命题“如果a＝b，那么”的逆命题是 　如果，那么a＝b　 ，该逆命题是 　假　 （填“真”或“假”）命题．
【考点】命题与定理；二次根式的性质与化简．
【专题】实数；数感．
【答案】如果，那么a＝b，假．
【分析】交换原命题的题设和结论后即可写出原命题的逆命题，然后判断正误即可．
【解答】解：命题“如果a＝b，那么”的逆命题是，该逆命题是：如果，那么a＝b，不成立，是假命题，
故答案为：如果，那么a＝b，假．
【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
15．（2分）（2022春 香坊区校级月考）矩形ABCD，过A作BD的垂线，垂足为E，F、G、H分别是AB、AD、BD上一点．且∠FEG＝60°，DE＝3BE，，AE＝5，则EF的长为 　　 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】由∠BAD＝∠BEA＝∠AED＝90°，得∠BAE＝∠ADE＝90°﹣∠DAE，则△BAE∽△ADE，得，则3BE2＝（5）2，可求得BE＝5，DE＝15，进而求得∠ABD＝60°，作EM⊥AB于点M，GN⊥BD于点N，可求得EMAE，由△DGN∽△DAE，得，则DN15＝9，GN53，所以EN＝6，GE3，再证明△MFE∽△NEG，得，即可求得EF．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AE⊥BD于点E，
∴∠BEA＝∠AED＝90°，
∴∠BAE＝∠ADE＝90°﹣∠DAE，
∴△BAE∽△ADE，
∴，
∵AE＝5，DE＝3BE，
∴3BE2＝（5）2，
∴BE＝5，DE＝15，
∵tan∠ABD，
∴∠ABD＝60°，
作EM⊥AB于点M，GN⊥BD于点N，则∠BME＝∠FME＝∠ENG＝90°，
∴∠BAE＝30°，
∴EMAE，
∵GN∥AE，，
∴△DGN∽△DAE，
∴，
∴DN15＝9，GN53，
∴EN＝15﹣9＝6，
∴GE3，
∵∠FEG＝60°，
∴∠NEG＝180°﹣∠FEG﹣∠BEF＝120°﹣∠BEF，
∵∠MFE＝180°﹣∠ABD﹣∠BEF＝120°﹣∠BEF，
∴∠MFE＝∠NEG，
∴△MFE∽△NEG，
∴，
∴EF，
故答案为：．
【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、锐角三角函数与解直角三角形、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
16．（2分）（2024 河北模拟）小李驾驶汽车在早上9：00从甲地出发到乙地，其行驶的平均速度v（千米/时）与行驶所用的时间t（时）之间的函数关系图象（t＞0）如图所示，已知全程限速120千米/时．
（1）甲、乙两地之间的距离为 　540　 千米；
（2）小李计划在当天不超过14：00到达乙地，汽车行驶的平均速度的范围为 　108≤v≤120　 ．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）540；
（2）108≤v≤120．
【分析】（1）根据路程、速度、时间之间的关系列出y与t的函数解析式，由图象求出s即可；
（2）根据t≤5，求出v≥108，再根据v≤120，得出v的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：v，
∴s＝vt＝90×6＝540，
∴甲、乙两地之间的距离为540千米，
故答案为：540；
（2）∵小李计划在当天不超过14：00到达乙地，
∴t≤5，
∴v108，
又∵v≤120，
∴汽车行驶的平均速度的范围为108≤v≤120，
故答案为：108≤v≤120．
【点评】本题考查反比例函数的应用，关键是列出函数解析式．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2023 沈阳模拟）计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝31﹣16﹣（2）
1﹣16﹣2
．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（5分）（2022 射阳县校级三模）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣3＜x≤2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由2x＞﹣6，得：x＞﹣3，
由，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（5分）（2025 沭阳县模拟）先化简，再求代数式的值，其中．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】，．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式

，
当x（1）2时，
原式．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20．（6分）（2023 温州二模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别为AB，AC的中点，G为边BC上一点，∠EGB＝∠FDC，连结EF．
（1）求证：四边形EFCG是平行四边形．
（2）若，tanC＝2，BC＝14，求GD的长．
【考点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）GD的长是3．
【分析】（1）由E，F分别为AB，AC的中点，根据三角形的中位线定理证明EF∥BC，由∠ADC＝90°，得DF＝CFAC，则∠C＝∠FDC，而∠EGB＝∠FDC，所以∠EGB＝∠C，则EG∥CF，即可证明四边形EFCG是平行四边形；
（2）由∠ADB＝∠ADC＝90°，得tanB，tanC2，设CD＝2m，则AD＝4m，BD＝5m，于是得BC＝5m+2m＝14，则m＝2，所以CD＝4，而CG＝EFBC＝7，即可求得GD＝3．
【解答】（1）证明：∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC，
∵G为边BC上一点，
∴EF∥CG，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADC＝90°，
∴DF＝CF＝AFAC，
∴∠C＝∠FDC，
∵∠EGB＝∠FDC，
∴∠EGB＝∠C，
∴EG∥CF，
∴四边形EFCG是平行四边形．
（2）解：∵∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴tanB，tanC2，
设CD＝2m，则AD＝4m，BD＝5m，
∴BC＝BD+CD＝5m+2m＝7m＝14，
∴m＝2，
∴CD＝2×2＝4，
∵CG＝EFBC14＝7，
∴GD＝CG﹣CD＝7﹣4＝3，
∴GD的长是3．
【点评】此题重点考查三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、锐角三角函数与角直角三角形等知识，证明DF＝CF及∠EGB＝∠C是解题的关键．
21．（6分）根据所给的素材，探索完成任务．
【素材】小何到早餐店买早点，“阿姨，我买8个肉包和5个菜包．”阿姨说：“一共17元．”付款后，小何说：“阿姨，少买2个菜包，换3个肉包吧．”阿姨说：“可以，但还需补交2.5元钱．”
任务一：请从他们的对话中求出肉包和菜包的单价；
任务二：如果小何一共有25.4元，需要买20个包子，他最多可以买几个肉包呢？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】任务一：肉包的单价是1.5元，菜包的单价是1元；
任务二：小何最多可以买10个肉包．
【分析】任务一：设肉包的单价是x元，菜包的单价是y元，根据题意可知8个肉包和5个菜包共17元，11个肉包和3个菜包共19.5元，据此列出方程组求解即可；
任务二：设可以买m个肉包，则可以买（20﹣m）个菜包，根据20个包子的价格不超过25.4元列出不等式求解即可．
【解答】解：任务一：设肉包的单价是x元，菜包的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：肉包的单价是1.5元，菜包的单价是1元；
任务二：设可以买m个肉包，则可以买（20﹣m）个菜包，
由题意得：1.5m+1×（20﹣m）≤25.4，
解得：m≤10.8，
∵m为整数，
∴m最大取10，
答：小何最多可以买10个肉包．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
22．（5分）（2023秋 磁县期末）国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．为此，我市就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了某区300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：
A组：t＜0.5h；B组：0.5h≤h＜1h；C组：1h≤t＜1.5h；D组：t≥1.5h．请根据上述信息解答下列问题：
（1）本次调查数据的中位数落在 　C　 组内，众数落在 　C　 组内；
（2）若A组取t＝0.25h，B组取t＝0.75h，C组取t＝1.25h，D组取t＝2h，计算这300名学生平均每天在校体育活动的时间；（保留两位小数）
（3）若该辖区约有20000名中学生，请你估计其中达到国家体育活动时间的人数．
【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数；近似数和有效数字；用样本估计总体．
【专题】统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）C，C；
（2）12000人；
（3）达到国家体育活动时间的人数为12000人．
【分析】（1）根据中位数即将数据排序后，中间数据或中间两个数据的平均数，众数即出现次数最多的数据，计算判断即可；
（2）首先计算样本中达到国家规定体育活动时间的频率，再进一步估计总体达到国家规定体育活动时间的人数；
（3）求出满足条件的人所占的比，再去总人数即可．
【解答】解：（1）∵A组有20人，B组有100人，C组有120人，D组有60人，
∴中位数是第150个、151个数据的平均数即C组的两个数据的平均数，
故中位数一定落在C组；
众数也是C组的数据，
故答案为：C，C；
（2）达国家规定体育活动时间的人数约占100%＝60%，
所以，达国家规定体育活动时间的人约有20000×60%＝12000（人）；
（3）根据题意得：（120+60）÷300×20000＝12000（人）；
答：达到国家体育活动时间的人数为12000人．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
23．（5分）（2024春 安溪县期中）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象是由函数y＝﹣x的图象平移得到的，且经过点A（﹣1，2）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝ax（a≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，求a的取值范围．
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）一次函数的表达式为y＝﹣x+1．
（2）﹣2≤a≤﹣1．
【分析】（1）据一次函数平移时k不变可知k＝﹣1，再把点A（﹣1，2）代入求出b的值，进而可得出结论．
（2）根据点A（﹣1，2）结合图象即可求得．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象是由函数y＝﹣x的图象平移得到的，
∴k＝﹣1．
∵一次函数y＝﹣x+b的图象过点A（﹣1，2），
∴2＝1+b．
∴b＝1．
∴这个一次函数的表达式为y＝﹣x+1．
（2）把点A（﹣1，2）代入y＝ax，求得a＝﹣2，
∵当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝ax（a≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，
∴﹣2≤a≤﹣1．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换及一次函数和不等式的关系，熟知一次函数平移的性质是解答此题的关键．
24．（6分）（2025春 成都校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，CF为∠ACB的角平分线，FD⊥CF交AC于点D，经过C、F、D三点的⊙O与BC交于点E，过点E作ET⊥AC交⊙O于点T，交线段AC、CF分别于点K、H，连接DT．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）当AD＝6，sin∠T时，求⊙O的半径及CH的长．
【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为9，CH的长为．
【分析】（1）连接OF，利用角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定定理和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）连接ED，交OF于点G，利用平行线的性质定理，圆周角定理和直角三角形的边角关系定理得到sin∠FOA＝sin∠BCA，则，设FA＝4k，则AO＝5k，利用勾股定理即可求得圆的半径；利用相似三角形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理分别求得线段CE，CK，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OF，如图，
∵FD⊥CF，
∴∠CFD＝90°，
∴CD为圆的直径，O为圆心，
∵CF为∠ACB的角平分线，
∴∠BCF＝∠ACF，
∵OF＝OC，
∴∠ACF＝∠OFC，
∴∠OFC＝∠BCF，
∴OF∥BC，
∴∠ABC+∠OFB＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠OFB＝90°，
∴OF⊥AB，
∵OF为圆的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：连接ED，交OF于点G，如图，
∵OF∥BC，
∴∠FOA＝∠BCA，
∵∠BCA＝∠T，sin∠T，
∴sin∠FOA＝sin∠BCA，
∴，
设FA＝4k，则AO＝5k，
∴FO3k，
∴OD＝OF＝3k，
∵AD＝6，
∴5k＝3k+6，
∴k＝3，
∴OF＝9，AF＝12，AO＝15，AC＝24，
∵OF∥BC，
∴△OFA∽△CBA，
∴，
∴BC，AB，
∴BF＝AB﹣AF，
∴CF．
∵CD为圆的直径，
∴∠CED＝90°，
∴∠CED＝∠ABC，
∴ED∥AB，
∴△CED∽△CBA，
∴，
∴，
∴CE．
∵ET⊥AC，
∴sin∠BCA，
∴EK，
∴CK．
∵∠BCF＝∠ACF，∠ABC＝∠CKH＝90°，
∴△CBF∽△CKH，
∴，
∴，
∴CH．
答：⊙O的半径为9，CH的长为．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
25．（5分）（2022春 盐湖区期末）由于新冠疫情的影响，甲地需要向相距300千米的乙地运送物资，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离．
（2）轿车出发多长时间追上货车．
（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距20千米．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）270千米；
（2）2.9小时；
（3）2.5小时或3.3小时．
【分析】（1）根据图象可求出货车速度，根据“速度×时间＝路程”即可求解；
（2）设轿车出发x小时追上货车，根据相遇时两车距离甲地的路程相等，列方程60（x+1）＝80+110（x﹣2.5+1），解方程即可；
（3）设在轿车行进过程，轿车行驶x小时，两车相距15千米，分两种情况：①两车相遇之前，②是两车相遇之后，分别列方程求解即可．
【解答】解：（1）根据图象可知，货车速度是300÷5＝60（千米/小时），
4.5×60＝270（千米），
∴轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；
（2）∵轿车在CD段的速度是：（300﹣80）÷（4.5﹣2.5）＝110（千米/小时），
设轿车出发x小时追上货车，
∵轿车比货车晚出发1小时，
∴B点对应的数据为：1，
∴60（x+1）＝80+110（x﹣2.5+1）
解得x＝2.9，
∴轿车出发2.9小时追上货车；
（3）设在轿车行进过程，轿车行驶x小时，两车相距20千米，
①两车相遇之前，得60（x+1）﹣[80+110（x﹣2.5+1）]＝20，
解得x＝2.5，
②两车相遇之后，得80+110（x﹣2.5+1）﹣60（x+1）＝20，
解得x＝3.3，
综上，在轿车行进过程中，轿车行驶2.5小时或3.3小时，两车相距20千米．
【点评】本题考查了变量之间的关系，根据图象求出两车的速度以及根据等量关系建立一元一次方程是解题的关键．
26．（6分）（2024 北京一模）在平面直角坐标系xOy中，M（m，y1），N（m+2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上两点．设该抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）若对于m＝1，有y1＝y2，求t的值；
（2）若对于1＜m＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）t＝2；
（2）t≤2．
【分析】（1）根据抛物线的对称性解决问题即可．
（2）由题意M（m，y1），N（m+2，y2）连线的中垂线与x轴的交点的坐标大于t，利用二次函数的性质判断即可．
【解答】解：（1）当y1＝y2时，则M，N关于x＝t对称，
∴t，
∴t＝m+1，
∵m＝1，
∴t＝2；
（2）∵M（m，y1），N（m+2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上两点，对于1＜m＜2，都有y1＜y2，
∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，
∵1＜m＜2，
∴3＜m+2＜4，
∴t，
∴t≤2．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27．（7分）（2023春 大埔县期末）有公共顶点的等腰直角三角形ACB与等腰直角三角形ADE按如图①所示放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点D在AC上，点E在BA的延长线上．连接BD，CE．
【观察猜想】
（1）BD与CE之间的数量关系是 　BD＝CE　 ；位置关系是 　BD⊥CE　 ．
【探究证明】
（2）将等腰直角三角形ADE绕点A逆时针旋转，如图②所示，使点C，D，E在同一条直线上，连接BD，交AC于点H．BD与CE之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
【考点】几何变换综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）BD＝CE，BD⊥CE；
（2）结论仍然成立，理由见解析过程．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，由余角的性质可证BD⊥CE；
（2）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，由余角的性质可证BD⊥CE．
【解答】解：（1）延长BD交EC于H，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ACE+∠AEC＝90°，
∴∠ABD+∠AEC＝90°，
∴∠BHE＝90°，
∴BD⊥CE，
故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）结论仍然成立，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠AHB＝90°，
∴∠ACE+∠CHD＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥CE．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
28．（7分）（2024秋 海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙P内一点M和⊙P外一点N，若存在过点M的一条直线l，使得点N为点P关于直线l的对称点，则称点M和点N是关于⊙P的关联点．
（1）已知⊙O半径为．
①在点，B2（0，5），B3（3，4），B4（﹣2，4）中，点A和点　B1、B2、B4　 是关于⊙O的关联点；
②若直线y＝﹣x+b上存在一点B，使得点A和点B是关于⊙O的关联点，直接写出b的取值范围　　 ；
（2）已知点E（0，1）．存在半径为r的⊙P，点C和点D是⊙P上两点，∠CPD＝90°，若点E恰好是线段CD中点，且线段CD上存在一点G，使得点G和点O是关于⊙P的关联点．直接写出r的取值范围　2　 ．
【考点】圆的综合题．
【专题】阅读型；新定义；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①B1、B2、B4；
②；
（2）2．
【分析】（1）①求出各点与A之间的距离，确定是否等于OA，从而得出结果；
②在y＝﹣x+b上存在点B，就是存在点B，到A点距离等于OA，故是直线y＝﹣x+b与⊙A有公共点，且在⊙O的外部；
（2）求出临界时最小值和最大值，从而得出结果：最小值的临界是点P关于CD对称，最大时是⊙P过点O时，进一步得出结果．
【解答】解：（1）①∵A，A，A，A，
∴AA1＝OA＝AB2＝AB4，
∴点A和点B1、B2、B4是关于⊙O的关联点，
故答案为：B1、B2、B4；
②如图1，
以A为圆心，为半径画圆，交⊙O于点C，当y＝﹣x+b与⊙A相切于点D，直线y＝﹣x+b交y轴于点E，
∴AEAD，
∴b＝OA+AE，
当y＝﹣x+b过⊙O与⊙A交点C时，此时C点和点B1关于y轴对称，
∴C（），
∴，
∴b，
∴；
（2）如图2，
∵点C和点D是⊙P上两点，∠CPD＝90°，
∴OC＝OD＝r，CD，
∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE＝PEr，
当点P关于CD对称点是O点时，OC＝PC＝r，
∵OC+CE≥OE，
∴r1，
∴r≥2，
∵G在⊙O的内部，
∴r，
如图3，
当⊙P过点O时，此时OC＝PC＝OP，
由EF＝OE＝OF得，
，
∴r，
∴2，
故答案为：2．
【点评】本题是新定义下的阅读理解，考查了轴对称的性质，等腰直角三角形和等边三角形的性质，三角形三边关系等知识，解决问题的关键是求临界值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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