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北京市2024-2025学年七年级下学期数学期末押题预测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2020春 平泉市期末）计算结果为（　　）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
2．（3分）（2024 松原模拟）不等式2x﹣3＜1的解集是（　　）
A．x＜1 B．x＜﹣1 C．x＜﹣2 D．x＜2
3．（3分）（2023春 南关区校级期末）如果a＞b，那么下列各式中正确的是（　　）
A．a+5＜b+5 B． C．﹣5a＜﹣5b D．5﹣a＞5﹣b
4．（3分）（2024春 苏州期末）已知是方程﹣2x+5y＝m的解，则m的值为（　　）
A．﹣11 B．11 C．2 D．﹣2
5．（3分）（2023春 桂林期末）如图，直线b，c被直线a所截，则∠1与∠2是（　　）
A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
6．（3分）如图，跳远比赛时，小新从点A跳落在沙坑内B处，若本次小新的跳远成绩为3.4m，则小新从起跳点到落脚点之间的距离（　　）
A．等于3.4m B．小于3.4m C．大于3.4m D．不能确定
7．（3分）如果用a表示非零自然数，那么奇数可以表示为（　　）
A．2+a B．2a C．a+1 D．2a﹣1
8．（3分）（2022春 铜梁区期末）下列调查方式中，最合适的是（　　）
A．为了解某品牌灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式
B．为了解我市居民的节水意识，采用全面调查的方式
C．对一枚运载火箭各部件的检查，采用抽样调查的方式
D．调查我市居民对“垃圾分类”有关内容的了解程度，采用抽样调查的方式
9．（3分）（2024春 霸州市期末）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”下面是两位同学的做法：
甲同学：设每头牛值金x两，可列方程为；
乙同学：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为．
对于两位同学的做法，判断正确的是（　　）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．乙对，甲不对
10．（3分）（2023春 临渭区期中）梦想从学习开始，事业从实践起步，近来，每天登录“学习强国”APP，学精神增能量、看文化长见识已经成为一种学习新风尚．小刚的爸爸上周“学习强国”周积分与学习天数的有关数据如表：
学习天数/天 1 2 3 4 5 6 7
周积分/分 55 110 160 200 254 300 350
则上周小刚的爸爸的周积分增长最少的是（　　）
A．第3天 B．第6天 C．第7天 D．第4天
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
11．（2分）（2023秋 余姚市期末）写出一个比小的正有理数 　 　 ．
12．（2分）（2022春 武汉期末）在平面直角坐标系中，点A（x﹣3，y+6）在第三象限内，则x，y的取值范围分别为：　 　 ．
13．（2分）（2022春 连平县校级期末）完成下面证明：如图，CB平分∠ACD，∠1＝∠3．求证AB∥CD．
证明：因为CB平分∠ACD，
所以∠1＝∠2 　 　 ．
因为∠1＝∠3，
所以∠2＝∠　 　 ．
所以AB∥CD 　 　 ．
14．（2分）（2023 砀山县一模）不等式x﹣5≤2x+1的解集为 　 　 ．
15．（2分）代入消元法解二元一次方程组的主要步骤是：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入 　 　 中，从而消去 　 　 ，化为 　 　 ．
16．（2分）（2023春 海淀区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣5，4），B（﹣1，2），将线段AB平移，得到线段CD（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），线段AB上任一点（x，y）在平移后的对应点为（x+s，y﹣t），其中s≥0，t≥0．
（1）若点C与点B恰好重合，则s＝　 　 ，t＝　 　 ；
（2）若s+t＝6，且平移后三角形BCD的面积最大，则此时s＝　 　 ，t＝　 　 ．
三．解答题（共12小题，满分58分）
17．（4分）（2023春 甘肃期中）计算：．
18．（4分）（2023春 义乌市校级期中）解方程组：．
19．（4分）（2022春 青龙县期中）用适当的方法解方程组：
①；
②．
20．（5分）利用不等式的性质解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
（1）x+2＜9；
（2）﹣5x＞3；
（3）5x≤6x﹣2．
21．（5分）（2024 雨花台区模拟）①解不等式：x2+3x﹣2＞0；
②判断该不等式与﹣10＜x＜10的公共整数解的个数．
22．（5分）（2024春 靖江市期末）平移△ABC，使△ABC的顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应．
（1）请你画出平移后的△DEF；
（2）线段AB与DE的关系：　 　 ；
（3）△ABC的面积为 　 　 ．
23．（5分）（2025春 许昌期中）如图，在方格纸中，点A、B、C是三个格点（网格线的交点叫做格点），连接线段BC，画射线AB．
（1）过点A画BC的平行线AM；
（2）过点C画直线AB的垂线，垂足为点D；
（3）线段CD 　 　 线段CB（填“＞”或“＜”），理由是 　 　 ；
（4）若以两格点间距离为单位长度建立平面直角坐标系，且取右为横轴正方向，取上为纵轴正方向，若点A坐标为（﹣4，﹣2），则点B、C的坐标分别为B 　 　 、C 　 　 ．
24．（5分）某工厂甲、乙两个部门各有员工200人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，相关部门进行了抽样调查，过程如下：
甲：78，86，74，81，75，76，87，70，75，90，75，79，81，70，75，80，85，70，83，77
乙：92，71，83，81，72，81，91，83，75，82，80，81，69，81，73，74，82，80，70，59
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
（80分及以上为生产技能优秀，70﹣79分为生产技能良好，60﹣69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）
根据上述表格绘制甲、乙两部门员工成绩的频数分布图如下．
（1）请将上述不完整的统计表和统计图补充完整；
（2）请根据以上统计过程估计乙部门生产技能优秀的员工人数是多少．
25．（5分）如图，已知∠1＝∠F，∠B＝∠D，求证：AB∥DC．
26．（5分）（2024秋 涪城区校级期中）已知，关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解．
（1）求这两个方程组的相同解：
（2）求（2a+b）2023的值．
27．（5分）（2024春 高安市期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知直线EF∥MN，直线EF和直角三角形ABC的边AB相交于点D，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠A＝30°．
（1）若∠1＝32°，求∠2的度数；
（2）在第（1）问的前提下，求∠3的度数；
（3）创新小组的同学们探究后，发现图中∠2和∠3始终满足某一数量关系，请直接写出该数量关系．
28．（6分）（2024春 盐都区期中）【问题背景】数学兴趣小组利用两块大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动．如图1，他们将边长为4的正方形ABCD与边长为2的正方形BEFG的一个顶点重合于点B，使边BE，BG分别落在边BC，BA上．容易发现AG＝CE且AG⊥CE．
【问题探究】将图1中正方形ABCD固定，将正方形BEFG绕点B顺时针方向旋转α（0°＜α＜360°）．
（1）如图2，连接AG，CE，试探究AG与CE的上述关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（2）小组研究发现：如图3，连接AE，在旋转过程中，存在△ABE与△CBE全等的情形，请直接写出此时旋转角α的度数 　 　 ．
【问题拓展】将图1中正方形ABCD固定，将正方形BEFG绕点B顺时针方向旋转α（0°＜α＜360°）．
（3）在旋转过程中，当A，G，E三点在同一条直线上时，求线段CE的长；
（4）如图4，连接DG，取DG中点H，连接FH，请直接写出线段FH长度的最大值．
北京市2024-2025学年七年级下学期数学期末押题预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2020春 平泉市期末）计算结果为（　　）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
【考点】算术平方根．
【专题】计算题；二次根式；符号意识；运算能力．
【答案】A
【分析】利用二次根式的性质进行化简求值即可．
【解答】解：．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．（3分）（2024 松原模拟）不等式2x﹣3＜1的解集是（　　）
A．x＜1 B．x＜﹣1 C．x＜﹣2 D．x＜2
【考点】解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式的解法解答．
【解答】解：移项，得2x＜1+3，
合并同类项，得2x＜4，
系数化为1，得x＜2．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，理解不等式的性质是解题的关键．
3．（3分）（2023春 南关区校级期末）如果a＞b，那么下列各式中正确的是（　　）
A．a+5＜b+5 B． C．﹣5a＜﹣5b D．5﹣a＞5﹣b
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质1对A选项进行判断；根据不等式的性质2对B选项进行判断；根据不等式的性质3对C选项进行判断；根据不等式的性质3和性质1对D选项进行判断．
【解答】解：A．a＞b，则a+5＞b+5，所以A选项不符合题意；
B．a＞b，则，所以B选项不符合题意；
C．a＞b，则﹣5a＜﹣5b，所以C选项符合题意；
D．a＞b，则5﹣a＜5﹣b，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查不等式的性质；解题关键是熟练掌握不等式的性质，性质1：不等式两边同加或同减同一个数或式子，不等号的方向不变；性质2：不等式两边同乘或同除以同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边同乘或同除以同一个负数，不等号的方向改变．
4．（3分）（2024春 苏州期末）已知是方程﹣2x+5y＝m的解，则m的值为（　　）
A．﹣11 B．11 C．2 D．﹣2
【考点】二元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】将代入方程进行求解即可．
【解答】解：将代入﹣2x+5y＝m，得：
m＝﹣2×3+5×（﹣1）＝﹣6﹣5＝﹣11，
故选：A．
【点评】本题考查二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
5．（3分）（2023春 桂林期末）如图，直线b，c被直线a所截，则∠1与∠2是（　　）
A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】D
【分析】根据同旁内角的定义进行判断即可．
【解答】解：∠1与∠2是直线b，直线c被直线a所截的同旁内角，
故选：D．
【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是正确判断的前提．
6．（3分）如图，跳远比赛时，小新从点A跳落在沙坑内B处，若本次小新的跳远成绩为3.4m，则小新从起跳点到落脚点之间的距离（　　）
A．等于3.4m B．小于3.4m C．大于3.4m D．不能确定
【考点】垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据在直线外的一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段是最短的，得出AB＞BC．
【解答】解：由题意得：BC＝3.4m，
∴AB＞3.4m，
故选：C．
【点评】本题考查了垂线的定义，掌握在直线外的一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段是最短的是解题的关键．
7．（3分）如果用a表示非零自然数，那么奇数可以表示为（　　）
A．2+a B．2a C．a+1 D．2a﹣1
【考点】列代数式．
【专题】整式；符号意识．
【答案】D
【分析】用a表示非零自然数，那么根据偶数的意义可知：偶数可以表示为2a，所以奇数可以表示为2a﹣1或2a+1．据此解答即可．
【解答】解：如果用a表示非零自然数，那么偶数可表示为2a，奇数可以表示为2a﹣1或2a+1．
故选：D．
【点评】本题考查了列代数式，解题关键是根据偶数的意义表示出偶数，再根据偶数加、减1即可变成奇数解答．
8．（3分）（2022春 铜梁区期末）下列调查方式中，最合适的是（　　）
A．为了解某品牌灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式
B．为了解我市居民的节水意识，采用全面调查的方式
C．对一枚运载火箭各部件的检查，采用抽样调查的方式
D．调查我市居民对“垃圾分类”有关内容的了解程度，采用抽样调查的方式
【考点】全面调查与抽样调查．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A．为了解某品牌灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B．为了解我市居民的节水意识，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C．对一枚运载火箭各部件的检查，采用全面调查的方式，故本选项不合题意；
D．调查我市居民对“垃圾分类”有关内容的了解程度，适合抽样调查，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
9．（3分）（2024春 霸州市期末）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”下面是两位同学的做法：
甲同学：设每头牛值金x两，可列方程为；
乙同学：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为．
对于两位同学的做法，判断正确的是（　　）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．乙对，甲不对
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识；由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】乙同学：设每头牛值金x两，则每头羊值，然后根据2头牛、5只羊，值金8两列方程即可；乙同学：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，根据5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两列方程组即可．
【解答】解：由题意得，甲同学：设每头牛值金x两，
可列方程为，故甲同学的做法正确，
乙同学：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，
可列方程组为，故乙同学的做法正确，
故选：A．
【点评】本题考查了从实际问题抽象出一元一次方程和二元一次方程组，找出等量关系是解答本题的关键．
10．（3分）（2023春 临渭区期中）梦想从学习开始，事业从实践起步，近来，每天登录“学习强国”APP，学精神增能量、看文化长见识已经成为一种学习新风尚．小刚的爸爸上周“学习强国”周积分与学习天数的有关数据如表：
学习天数/天 1 2 3 4 5 6 7
周积分/分 55 110 160 200 254 300 350
则上周小刚的爸爸的周积分增长最少的是（　　）
A．第3天 B．第6天 C．第7天 D．第4天
【考点】统计表．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据表格中的数据，分别求出第2天～第7天的周积分增长量，再比较即可．
【解答】解：根据题意可知，上周小刚的爸爸的周积分增长量分别是：
第2天110﹣55＝55（分），
第3天160﹣110＝50（分），
第4天200﹣160＝40（分），
第5天254﹣200＝54（分），
第6天300﹣254＝46（分），
第7天350﹣300＝50（分），
∴第4天周积分增长最少．
故选：D．
【点评】本题考查的是统计表的综合运用．读懂统计表，从统计表中得到必要的信息是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
11．（2分）（2023秋 余姚市期末）写出一个比小的正有理数 　1，答案不唯一　 ．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】开放型；实数；推理能力．
【答案】1，答案不唯一．
【分析】根据正数都大于0的概念解答．
【解答】解：1，答案不唯一．
故答案为：1，答案不唯一．
【点评】本题很简单，只要熟知正数都大于0的概念即可解答．
12．（2分）（2022春 武汉期末）在平面直角坐标系中，点A（x﹣3，y+6）在第三象限内，则x，y的取值范围分别为：　x＜3，y＜﹣6　 ．
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识；运算能力．
【答案】x＜3，y＜﹣6．
【分析】由A在第三象限确定出x，y的取值范围即可．
【解答】解：由点A（x﹣3，y+6）在第三象限，得到x﹣3＜0，y+6＜0，
解得：x＜3，y＜﹣6．
故答案为：x＜3，y＜﹣6．
【点评】此题主要考查了点的坐标，熟练掌握第三象限的点的特点则是解本题的关键．
13．（2分）（2022春 连平县校级期末）完成下面证明：如图，CB平分∠ACD，∠1＝∠3．求证AB∥CD．
证明：因为CB平分∠ACD，
所以∠1＝∠2 　角平分线的定义　 ．
因为∠1＝∠3，
所以∠2＝∠　3　 ．
所以AB∥CD 　内错角相等，两直线平行　 ．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】角平分线的定义，3，内错角相等，两直线平行．
【分析】由角平分线的定义和已知条件证明∠2＝∠3，即可根据内错角相等两直线平行证明AB∥CD．
【解答】证明：因为CB平分∠ACD，
所以∠1＝∠2（角平分线的定义）．
因为∠1＝∠3，
所以∠2＝∠3．
所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
故答案为：角平分线的定义；3；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟知平行线的判定条件是解题的关键．
14．（2分）（2023 砀山县一模）不等式x﹣5≤2x+1的解集为 　x≥﹣6　 ．
【考点】解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x≥﹣6．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：x﹣5≤2x+1，
x﹣2x≤1+5，
﹣x≤6，
x≥﹣6，
故答案为：x≥﹣6．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
15．（2分）代入消元法解二元一次方程组的主要步骤是：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入 　另一个方程　 中，从而消去 　一个未知数　 ，化为 　一元一次方程　 ．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】另一个方程，一个未知数，一元一次方程．
【分析】根据消元法的步骤求解．
【解答】解：代入消元法解二元一次方程组的主要步骤是：
①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化为一元一次方程，
故答案为：另一个方程，一个未知数，一元一次方程．
【点评】本题考查了解二元一次方程，掌握消元思想是解题的关键．
16．（2分）（2023春 海淀区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣5，4），B（﹣1，2），将线段AB平移，得到线段CD（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），线段AB上任一点（x，y）在平移后的对应点为（x+s，y﹣t），其中s≥0，t≥0．
（1）若点C与点B恰好重合，则s＝　4　 ，t＝　2　 ；
（2）若s+t＝6，且平移后三角形BCD的面积最大，则此时s＝　0　 ，t＝　6　 ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移；三角形的面积．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】（1）4，2；
（2）0，6．
【分析】（1）根据点的坐标平移的规律．列方程求解；
（2）根据割补法求解．
【解答】解：由题意得：C（﹣5+s，4﹣t），D（﹣1+s，2﹣t），
（1）∵点C与点B恰好重合，
∴﹣5+s＝﹣1，4﹣t＝2，
解得：s＝4，t＝2，
故答案为：4，2；
（2）∵AB∥CD．AB＝CD，
∴三角形BCD的面积等于三角形ABC的面积，
过C作EF⊥下轴，过A、B作AE⊥EF，BF⊥EF，
则S△ABC＝St梯形ABFE﹣S△ACE﹣S△BCF
（s+s﹣4）×2st（2﹣t）（s﹣4）
＝s﹣2t
＝6﹣3t
∵t≥0，
∴当t＝0时，面积最大，为6，此时s＝6，
当点C在A的正下方时，
S4t＝2t，
∴当t＝6时，S最大，值为12，
∵12＞6，
∴S的最大值为12，此时t＝6，s＝0，
故答案为：0，6．
【点评】本题考查了点的平移掌握平移规律及数形结合思想是解题的关键．
三．解答题（共12小题，满分58分）
17．（4分）（2023春 甘肃期中）计算：．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】5．
【分析】首先计算乘方、开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝﹣3+4﹣3+（2）﹣5
＝﹣3+4﹣3+25
5．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．（4分）（2023春 义乌市校级期中）解方程组：．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】用加减消元法，通过观察y的系数确定①﹣②×2，把y消掉，先求x，然后把x回代求出y．
【解答】解：，
②×2得，2x﹣2y＝﹣4③，
①﹣③得，x＝5，
把x＝5代入②得，y＝7，
∴这个方程组的解为．
【点评】本题考查解二元一次方程组，选用加减消元法，熟练掌握加减消元法是解答本题的关键．
19．（4分）（2022春 青龙县期中）用适当的方法解方程组：
①；
②．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解即可．
（2）应用加减消元法，求出方程组的解即可．
【解答】解：（1），
由①，可得：x＝3﹣2y③，
③代入②，可得：3（3﹣2y）+2y＝1，
解得y＝2，
把y＝2代入③，可得：x＝3﹣2×2＝﹣1，
∴原方程组的解是．
（2），
①×4+②×5，可得17x＝﹣51，
解得x＝﹣3，
把x＝﹣3代入①，可得：3×（﹣3）﹣5y＝6，
解得y＝﹣3，
∴原方程组的解是．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
20．（5分）利用不等式的性质解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
（1）x+2＜9；
（2）﹣5x＞3；
（3）5x≤6x﹣2．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＜7；
（2）x，
（3）x≥2．
【分析】各不等式移项，合并同类项，将x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：（1）移项得：x＜9﹣2，
合并得：x＜7，
；
（2）系数化为1得：x，
；
（3）移项得：5x﹣6x≤﹣2，
合并得：﹣x≤﹣2，
系数化为1得：x≥2，
．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集．
21．（5分）（2024 雨花台区模拟）①解不等式：x2+3x﹣2＞0；
②判断该不等式与﹣10＜x＜10的公共整数解的个数．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】①x或x；
②15．
【分析】①根据题意，令y＝x2+3x﹣2，求出二次函数与x轴的交点，利用二次函数性质，得到不等式的解集；
②由①中不等式的解集与﹣10＜x＜10的公共解，从而得到结果．
【解答】解：①令y＝x2+3x﹣2，
∵当y＝0时，x2+3x﹣2＝0，
∴解得x，
∴二次函数y＝x2+3x﹣2与x轴交点坐标为（，0），（，0），
∴当y＞0时，x或x，
∴不等式x2+3x﹣2＞0的解集为x或x；
②∵x或x与﹣10＜x＜10的公共解为：
﹣10＜x或x＜10，
∴公共整数解有﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，1，2，3，4，5，6，7，8，9共15个．
【点评】本题考查了解不等式，涉及到二次函数性质的应用，熟练求出不等式的解集是解题的关键．
22．（5分）（2024春 靖江市期末）平移△ABC，使△ABC的顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应．
（1）请你画出平移后的△DEF；
（2）线段AB与DE的关系：　平行且相等　 ；
（3）△ABC的面积为 　　 ．
【考点】作图﹣平移变换；三角形的面积．
【专题】作图题；三角形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）见解答；
（2）平行且相等；
（3）．
【分析】（1）利用点A与点D的位置确定平移的方向与距离，利用此平移规律画出B、C点的对应点E、F即可；
（2）根据平移的性质进行判断；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△DEF为所作；
（2）线段AB与DE平行且相等．
故答案为：平行且相等．
（3）S△ABC＝3×33×12×13×2．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
23．（5分）（2025春 许昌期中）如图，在方格纸中，点A、B、C是三个格点（网格线的交点叫做格点），连接线段BC，画射线AB．
（1）过点A画BC的平行线AM；
（2）过点C画直线AB的垂线，垂足为点D；
（3）线段CD 　＜　 线段CB（填“＞”或“＜”），理由是 　垂线段最短　 ；
（4）若以两格点间距离为单位长度建立平面直角坐标系，且取右为横轴正方向，取上为纵轴正方向，若点A坐标为（﹣4，﹣2），则点B、C的坐标分别为B 　（0，﹣2）　 、C 　（2，0）　 ．
【考点】作图—复杂作图；坐标与图形性质；垂线段最短；平行线的判定与性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）＜；垂线段最短．
（4）（0，﹣2）；（2，0）．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质画图即可．
（2）根据垂线的定义画图即可．
（3）根据垂线段最短可得答案．
（4）根据点A的坐标建立平面直角坐标系，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，直线AM即为所求．
（2）如图，直线CD即为所求．
（3）由图可得，线段CD＜线段CB，
理由是：垂线段最短．
故答案为：＜；垂线段最短．
（4）由图可得，B（0，﹣2），C（2，0）．
故答案为：（0，﹣2）；（2，0）．
【点评】本题考查作图—复杂作图、坐标与图形性质、平行线的判定与性质、垂线段最短，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（5分）某工厂甲、乙两个部门各有员工200人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，相关部门进行了抽样调查，过程如下：
甲：78，86，74，81，75，76，87，70，75，90，75，79，81，70，75，80，85，70，83，77
乙：92，71，83，81，72，81，91，83，75，82，80，81，69，81，73，74，82，80，70，59
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
（80分及以上为生产技能优秀，70﹣79分为生产技能良好，60﹣69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）
根据上述表格绘制甲、乙两部门员工成绩的频数分布图如下．
（1）请将上述不完整的统计表和统计图补充完整；
（2）请根据以上统计过程估计乙部门生产技能优秀的员工人数是多少．
【考点】频数（率）分布直方图；调查收集数据的过程与方法；用样本估计总体；频数（率）分布表．
【专题】统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）见解答；
（2）120人．
【分析】（1）根据所给数据，补充统计表和统计图即可；
（2）乙部分生产技能优秀的员工人数＝乙部分的总人数×优秀技能员工人数所占的分率．
【解答】解：（1）补全表格如下：
50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100
甲 0 0 12 7 1
乙 1 1 6 10 2
补全统计图如下：
（2）估计乙部分生产技能优秀的员工人数是200120（人）．
答：以上统计过程估计乙部门生产技能优秀的员工人数是120人．
【点评】本题考查有关频数分布直方图、用样本估计总体，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
25．（5分）如图，已知∠1＝∠F，∠B＝∠D，求证：AB∥DC．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】证明见解答过程．
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠F，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，
∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠DCF，
∴AB∥DC．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
26．（5分）（2024秋 涪城区校级期中）已知，关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解．
（1）求这两个方程组的相同解：
（2）求（2a+b）2023的值．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意联立，求出x，y的值；
（2）把代入中进行计算，求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：，
①+②得：5x＝10，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：4+5y＝﹣26，
解得：y＝﹣6，
原方程组的解为：，
∴这两个方程组的解为：；
（2）把代入中可得：，
化简得：，
①×3得：3a+9b＝﹣6③，
②+③得：10b＝﹣10，
解得：b＝﹣1，
把b＝﹣1代入②得：﹣1﹣3a＝﹣4，
解得：a＝1，
∴（2a+b）2023
＝（2﹣1）2023
＝12023
＝1，
∴（2a+b）2023的值为1．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握同解方程组是解题的关键．
27．（5分）（2024春 高安市期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知直线EF∥MN，直线EF和直角三角形ABC的边AB相交于点D，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠A＝30°．
（1）若∠1＝32°，求∠2的度数；
（2）在第（1）问的前提下，求∠3的度数；
（3）创新小组的同学们探究后，发现图中∠2和∠3始终满足某一数量关系，请直接写出该数量关系．
【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；几何直观；运算能力．
【答案】（1）58°；
（2）152°；
（3）∠2+∠3＝210°．
【分析】（1）根据平行线的性质，平角的定义进行计算即可；
（2）根据三角形内角和定理以及平角的定义进行计算即可；
（3）根据三角形内角和定理以及平角的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）∵EF∥MN，
∴∠2＝∠ACN，
∵∠1+∠ACB+∠ACN＝180°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣32°＝58°；
（2）∵∠2＝∠A+∠ADE，∠2＝58°，∠A＝30°，
∴∠ADE＝58°﹣30°＝28°，
∴∠3＝180°﹣28°＝152°；
（3）∠2+∠3＝210°，理由为：
∵∠2＝∠A+∠ADE，∠ADE＝180°﹣∠3，
∴∠2＝30°+180°﹣∠3，
∴∠2+∠3＝210°．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质，三角形内角和是180°以及平角的定义是正确解答的关键．
28．（6分）（2024春 盐都区期中）【问题背景】数学兴趣小组利用两块大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动．如图1，他们将边长为4的正方形ABCD与边长为2的正方形BEFG的一个顶点重合于点B，使边BE，BG分别落在边BC，BA上．容易发现AG＝CE且AG⊥CE．
【问题探究】将图1中正方形ABCD固定，将正方形BEFG绕点B顺时针方向旋转α（0°＜α＜360°）．
（1）如图2，连接AG，CE，试探究AG与CE的上述关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（2）小组研究发现：如图3，连接AE，在旋转过程中，存在△ABE与△CBE全等的情形，请直接写出此时旋转角α的度数 　135°或315°　 ．
【问题拓展】将图1中正方形ABCD固定，将正方形BEFG绕点B顺时针方向旋转α（0°＜α＜360°）．
（3）在旋转过程中，当A，G，E三点在同一条直线上时，求线段CE的长；
（4）如图4，连接DG，取DG中点H，连接FH，请直接写出线段FH长度的最大值．
【考点】几何变换综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）AG＝CE且AG⊥CE仍成立．理由见解答过程；
（2）135°或315°；
（3）CE的长为；（4）．
【分析】（1）根据正方形的性质，得到BA＝BC，BG＝BE，∠ABC＝∠GBE＝90°，继而得到∠ABG＝∠CBE，证明△ABG≌△CBE，可得AG＝CE；延长AG，CE二线交于点M，AG与BC交于点N，利用全等三角形的性质，对顶角性质，余角的性质，可证明AG⊥CE；
（2）依据△ABE≌△CBE分类画出图形，计算即可；
（3）连接BF，交AE于点M或N，利用正方形的性质，勾股定理分类计算即可；
（4）连接BD，取BG中点M，连接MH，则MH∥BD，MH，利用三角形中位线定理，三角形三边关系，勾股定理解答即 可．
【解答】解：（1）AG＝CE且AG⊥CE仍成立．理由如下：
边长为4的正方形ABCD与边长为2的正方形BEFG的一个顶点重合于点B，
∴BA＝BC，BG＝BE，∠ABC＝∠GBE＝90°，
∴∠ABG＝∠CBE，
在△ABG和△CBE中，
，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG＝CE；∠BAG＝∠BCE；
如图2，延长AG，CE交于点M，AG与BC交于点N，则∠BAG+∠ANB＝90°，∠MNC＝∠ANB，
∴∠BCE+∠MNC＝90°，
∴∠NMC＝90°，
∴AG⊥CE．
故AG＝CE且AG⊥CE．
（2）如图3.1，
∵△ABE≌△CBE，
∴∠ABE＝∠CBE135°，
∴∠CBG＝45°，
∴α＝∠ABC+∠CBG＝135°；
如图3.2，
∵△ABE≌△CBE，
∴∠ABE＝∠CBE45°，
∴∠GBA＝45°，
∴α＝360°﹣45°＝315°，
故答案为：135°或315°；
（3）当A，G，E三点在AB的左侧且在同一条直线上时，连接BF交AE于点M，如图3.3，
∵边长为4的正方形ABCD与边长为2的正方形BEFG的一个顶点重合于点B，
∴BA＝BC＝4，BG＝BE＝2，∠ABC＝∠GBE＝90°，AM⊥BM，MG＝BMBG，
∴∠ABG＝∠CBE，
在△ABG和△CBE中，
，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG＝CE；
∵边长为4的正方形ABCD与边长为2的正方形BEFG的一个顶点重合于点B，
∴BA＝BC＝4，BG＝BE＝2，AM⊥BM，MG＝BMBG，
∴AM，
∴CE＝AG＝AM﹣GM；
当A，G，E三点在AB的右侧且在同一条直线上时，连接BF，交AE于点N，同理可证，
AN，NG＝BNBG，CE＝AG＝AN+GN；
综上所述，CE的长为或；
（4）如图4，连接BD，取BG中点M，连接MH，则MH∥BD，MHBD，
∵边长为4的正方形ABCD与边长为2的正方形BEFG的一个顶点重合于点B，
∴BD4，BM＝MGBG＝1，FM，
∴MHBD＝2，
∵MH+MF≥FH，
∴M、F、H三点共线时，线段FH长度取得最大值，此时MH+MF＝FH．
故线段FH长度的最大值为．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形三边关系的应用求最值，三角形全等的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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