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北京市2024-2025学年七年级下学期数学期末押题预测卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2024春 绥化期中）已知，，则（　　）
A．0.01732 B．0.1732 C．0.05477 D．0.5477
2．（3分）（2023春 鹿泉区期中）若点A（m，n）在第二象限，则点B（|m|，﹣n）在第（　　）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
3．（3分）（2022秋 承德县期末）如图，正方形ABCD的边长为1，以A点为圆心、AC长为半径在AC右侧画圆弧，交数轴于点E，则点E对应的数为（　　）
A． B． C． D．1
4．（3分）（2024春 思明区期末）如图，A处有个雨污分流工厂，计划铺设一条雨水排放管道收集雨水，用于灌溉农场．已知AP⊥PQ，AQ⊥QR，AR⊥l，以下挖渠方式能使管道最短的是（　　）
A．AO B．AP C．AQ D．AR
5．（3分）（2023春 锦江区校级期中）若a＜b，则下列各式正确的是（　　）
A．a﹣2＞b﹣2 B．﹣a＜﹣b C．a+1＜b+1 D．
6．（3分）（2023 历下区二模）如图，已知a∥b，直角三角形的直角顶点在直线a上，若，则∠1＝50°，∠2＝（　　）
A．40° B．52° C．26° D．34°
7．（3分）（2024 康县一模）小刚家2019年和2020年的家庭支出如图，已知2020年的总支出比2019年的总支出增加了2成，则下列说法正确的是（　　）
A．2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的 1.4 倍
B．2020年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10%
C．2020年总支出比2019年总支出增加了2%
D．2020年其他方面的支出与2019年娱乐方面的支出相同
8．（3分）（2025 庐阳区校级二模）已知三个实数a，b，c满足a+3b+c＝0，5a﹣3b+c＜0，则以下结论错误的是（　　）
A．2a＜3b B．3a+c＜0 C．9b+2c＜0 D．9b+2c＞0
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）（2024秋 长泰区期中）　 　 ．
10．（3分）（2022秋 卧龙区期中）比较大小： 　 　 （填“＜”、“＞”或“＝”）．
11．（3分）（2024春 尧都区期中）用不等式表示“x与7的差不小于2”：　 　 ．
12．（3分）使不等式0成立的最大整数x是 　 　 ．
13．（3分）（2024春 新吴区期中）为了解全班同学每周体育锻炼的时间，宜采用的调查方式是 　 　 .（填“普查”或“抽样调查”）
14．（3分）（2024春 东城区期末）碳﹣14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物其体内的碳﹣14含量大致不变，当生物死亡后，机体内的碳﹣14含量会按确定的比例衰减（如图所示），机体内原有的碳﹣14含量衰减为原来的一半所用的时间称为“半衰期”．考古学者通常可以根据碳﹣14的衰变程度计算出样品的大概年代．以下几种说法中，正确的有：　 　 ．
①碳﹣14的半衰期为5730年；
②碳﹣14的含量逐渐减少，减少的速度开始较快，后来较慢；
③经过六个“半衰期”后，碳﹣14的含量不足死亡前的百分之一；
④若某遗址一生物标本2023年出土时，碳﹣14的剩余量所占百分比为80%，则可推断该生物标本大致属于我国的春秋时期（公元前770年﹣公元前475年）．
15．（3分）已知点A的坐标为（﹣4，2），现先将坐标系向上平移2个单位，再向左平移3个单位，这时点A的坐标为 　 　 ．
16．（3分）（2022春 昌平区期末）某中学为积极开展校园足球运动，计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球价格为120元，一个B品牌足球价格为150元．学校准备用3000元购买这两种足球（两种足球都买），并且3000元全部用完．请写出一种购买方案：买 　 　 个A品牌足球，买 　 　 个B品牌足球．
三．解答题（共10小题，满分52分）
17．（5分）（2023春 甘肃期中）计算：．
18．（5分）（2024春 固始县期末）解方程组：．
19．（5分）解不等式组
20．（5分）（2023春 武昌区期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证∠AED＝∠C．完成下面的证明过程．
证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠4＝180°，
∴∠2＝∠4（同角的补角相等）．
∴AB∥　 　 （内错角相等，两直线平行）．
∴∠3＝∠ADE（ 　 　 ）．
又∵∠3＝∠B（已知），
∴　 　 ＝∠B（等量代换）．
∴DE∥BC（ 　 　 ）．
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
21．（5分）（2024春 鄱阳县校级期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣4，﹣1），B（﹣1，4），C（1，1）．
（1）将△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，可以得到△A'B'C'，画出平移后的△A'B'C'，并写出△A'B'C'各个顶点的坐标；
（2）求△A'B'C'的面积．
22．（5分）（2023秋 成都期末）为美化校园环境，石室联中计划分两次购进杜鹃花和四季海棠两种花卉．第一次购进60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元：第二次购进100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元，每次购进的单价相同．
（1）求杜鹃花、四季海棠每盆的价格分别是多少元？
（2）若计划购买杜鹃花、四季海棠共500盆，根据实际摆放，要求杜鹃花的盆数不少于四季海棠盆数的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求方案所需费用．
23．（5分）（2025春 莘县校级月考）某中学举行了一次“奥运会”知识竞赛，赛后抽取部分参赛同学的成绩进行整理，并制作成图表如下：
分数段 频数 频率
第一组：60≤x＜70 30 0.15
第二组：70≤x＜80 m 0.45
第三组：80≤x＜90 60 n
第四组：90≤x＜100 20 0.1
请根据以图表提供的信息，解答下列问题：
（1）写出表格中m和n所表示的数：m＝　 　 ，n＝　 　 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果比赛成绩80分以上（含80分）可以获得奖励，那么获奖率是多少？
24．（5分）（2024 惠民县一模）（1）解不等式组；
（2）若把（1）中不等式组的解用数轴上对应的点表示出来，则其解集在数轴上对应的所有点构成的图形是 　 　 ；
A．长方形
B．线段
C．射线
D．直线
（3）请类比以上解答过程，解不等式组并指出其解集在数轴上对应的所有点构成的图形是什么图形？
25．（6分）课堂上某学习小组在探究这样的题目：如图1，已知直线a∥b，直线m和直线a、b分别交于点C和点D，在点C、D之间有一点P，如果P点在点C、D之间运动时，他们发现∠PAC、∠APB、∠PBD之间有这样的关系：∠APB＝∠PAC+∠PBD．理由如下：
如图2，过点P作PE∥a，则∠APE＝∠PAC（两直线平行，内错角相等）．
又∵a∥b（已知），
∴PE∥b（两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行），
∴∠BPE＝∠PBD（两直线平行，内错角相等），
∴∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD（等量代换）．
∵∠APB＝∠APE+∠BPE（角的和差），
∴∠APB＝∠PAC+∠PBD．
（1）若点P在CD的延长线上运动时，如图3，∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系又是如何？请你给出结论并说明理由；
（2）若点P在DC的延长线上运动时，如图4，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系．
26．（6分）（2021秋 万秀区月考）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的“伴随点”．已知点A1的“伴随点”为A2，点A2的“伴随点”为A3，点A3的“伴随点”为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An．
（1）若点A1（3，1），则点A3的坐标为 　 　 ，点A2022的坐标为 　 　 ；
（2）若点A1（a，b），对于任意的正整数n，若点An均在x轴的上方，则a，b应满足什么条件？
北京市2024-2025学年七年级下学期数学期末押题预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2024春 绥化期中）已知，，则（　　）
A．0.01732 B．0.1732 C．0.05477 D．0.5477
【考点】算术平方根．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】B
【分析】根据算术平方根的定义即可得出答案．
【解答】解：∵1.732，
∴0.1732．
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根，掌握规律：被开方数是小数点每向右或向左移动2位，算术平方根的小数点就向右或向左移动1位．
2．（3分）（2023春 鹿泉区期中）若点A（m，n）在第二象限，则点B（|m|，﹣n）在第（　　）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【答案】A
【分析】依据点A（m，n）在第二象限，可得m＜0，n＞0，进而得出|m|＞0，﹣n＜0，进而得到点B（|m|，﹣n）在第四象限．
【解答】解：∵点A（m，n）在第二象限，
∴m＜0，n＞0，
∴|m|＞0，﹣n＜0，
∴点B（|m|，﹣n）在第四象限，
故选：A．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．（3分）（2022秋 承德县期末）如图，正方形ABCD的边长为1，以A点为圆心、AC长为半径在AC右侧画圆弧，交数轴于点E，则点E对应的数为（　　）
A． B． C． D．1
【考点】实数与数轴．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】C
【分析】利用数轴知识解答．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC，
∴E点对应的数为﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．
4．（3分）（2024春 思明区期末）如图，A处有个雨污分流工厂，计划铺设一条雨水排放管道收集雨水，用于灌溉农场．已知AP⊥PQ，AQ⊥QR，AR⊥l，以下挖渠方式能使管道最短的是（　　）
A．AO B．AP C．AQ D．AR
【考点】垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】B
【分析】根据“垂线段最短”进行判断即可．
【解答】解：∵AP⊥PQ，
∴AP＜AQ，AP＜AO，
∵AQ⊥QR，
∴AQ＜AR，
∴挖渠方式能使管道最短的是AP．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂线段最短，熟知“从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短”是解答此题的关键．
5．（3分）（2023春 锦江区校级期中）若a＜b，则下列各式正确的是（　　）
A．a﹣2＞b﹣2 B．﹣a＜﹣b C．a+1＜b+1 D．
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质对原式变形处理判断．
【解答】解：由a＜b得
a﹣2＜b﹣2，﹣a＞﹣b，a+1＜b+1，．
故选：C．
【点评】本题考查不等式的基本性质，注意不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
6．（3分）（2023 历下区二模）如图，已知a∥b，直角三角形的直角顶点在直线a上，若，则∠1＝50°，∠2＝（　　）
A．40° B．52° C．26° D．34°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）解决此题．
【解答】解：如图．
∵a∥b，
∴∠2+∠3+∠1＝180°．
由题意得，∠3＝90°，∠1＝50°．
∴∠2＝40°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
7．（3分）（2024 康县一模）小刚家2019年和2020年的家庭支出如图，已知2020年的总支出比2019年的总支出增加了2成，则下列说法正确的是（　　）
A．2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的 1.4 倍
B．2020年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10%
C．2020年总支出比2019年总支出增加了2%
D．2020年其他方面的支出与2019年娱乐方面的支出相同
【考点】扇形统计图．
【专题】统计的应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】A
【分析】设2019年的总支出为1，则2020年的总支出为1.2，然后分别对A、B、C、D选项中涉及的支出进行计算判断即可．
【解答】解：设2019年的总支出为1，则2020年的总支出为1.2，
A.2019年教育方面的支出为：30%×1＝0.3，2020年教育方面的支出为：35%×1.2＝0.42，
∵0.42÷0.3＝1.4，
∴A选项正确，符合题意；
B.2019年衣食方面的支出为：30%×1＝0.3，2020年衣食方面的支出为：40%×1.2＝0.48，
∵10%，
∴B选项不正确，不符合题意；
C．由题意，得：2020年的总支出比2019年的总支出增加了20%，
∴C选项不正确，不符合题意；
D.2019年娱乐方面的支出为：15%×1＝0.15，2020年其他方面的支出为：15%×1.2＝0.18，
不相同，
∴D选项不正确，不符合题意．
故选A．
【点评】本题考查扇形统计图，属性扇形统计图的特点和相关数据的意义是解题的关键．
8．（3分）（2025 庐阳区校级二模）已知三个实数a，b，c满足a+3b+c＝0，5a﹣3b+c＜0，则以下结论错误的是（　　）
A．2a＜3b B．3a+c＜0 C．9b+2c＜0 D．9b+2c＞0
【考点】不等式的性质；等式的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】由a+3b+c＝0可得﹣3b＝a+c，将其代入5a﹣3b+c＜0中计算判断3a+c与0的大小关系；再由a+3b+c＝0可得c＝﹣a﹣3b，将其代入5a﹣3b+c＜0中计算即可判断2a与3b的大小关系；再由a+3b+c＝0可得a＝﹣3b﹣c，将其代入5a﹣3b+c＜0中计算判断9b+2c与0的大小关系；从而得出答案．
【解答】解：∵a+3b+c＝0，
∴﹣3b＝a+c，
∵5a﹣3b+c＜0，
∴5a+a+c+c＜0，
整理得：6a+2c＜0，
即3a+c＜0，则B不符合题意，
∵a+3b+c＝0，
∴c＝﹣a﹣3b，
∵5a﹣3b+c＜0，
∴5a﹣3b﹣a﹣3b＜0，
整理得：4a＜6b，
即2a＜3b，则A不符合题意，
∵a+3b+c＝0，
∴a＝﹣3b﹣c，
∵5a﹣3b+c＜0，
∴5（﹣3b﹣c）﹣3b+c＜0，
整理得：﹣18b﹣4c＜0，
即9b+2c＞0，则C符合题意，D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查不等式的性质，等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）（2024秋 长泰区期中）　1　 ．
【考点】实数的性质．
【专题】二次根式；推理能力．
【答案】1．
【分析】根据绝对值的意义化简即可．
【解答】解：∵0，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了无理数的估算，解题关键是判断绝对值符号内的数是正是负，再进行化简．
10．（3分）（2022秋 卧龙区期中）比较大小： 　＝　 （填“＜”、“＞”或“＝”）．
【考点】实数大小比较；算术平方根；立方根．
【专题】实数；数感．
【答案】＝．
【分析】首先根据求一个数的算术平方根及立方根，化简根式，再比较大小，即可解答．
【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：＝．
【点评】本题考查了求一个数的算术平方根、立方根及实数大小的比较方法，熟练掌握和运用求一个数的算术平方根及立方根的方法是解决本题的关键．
11．（3分）（2024春 尧都区期中）用不等式表示“x与7的差不小于2”：　x﹣7≥2　 ．
【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】x﹣7≥2．
【分析】首先表示出x与7的差，再根据不小于2列出不等式即可．
【解答】解：由题意得：x﹣7≥2．
故答案为：x﹣7≥2．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
12．（3分）使不等式0成立的最大整数x是 　2021　 ．
【考点】一元一次不等式的整数解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】2021．
【分析】先根据同号得正把不等式转化为2022﹣x＞0，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．
【解答】解：∵0，
∴2022﹣x＞0，
解不等式得：x＜2022；
∴使不等式0成立的最大整数x是2021，
故答案为：2021．
【点评】本题考查了有理数的乘除法和解一元一次不等式，根据题意得出2022﹣x＞0是解此题的关键．
13．（3分）（2024春 新吴区期中）为了解全班同学每周体育锻炼的时间，宜采用的调查方式是 　普查　 .（填“普查”或“抽样调查”）
【考点】全面调查与抽样调查．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】普查．
【分析】根据抽样调查和全面调查的定义判断．
【解答】解：为了解全班同学每周体育锻炼的时间，宜采用的调查方式是普查，
故答案为：普查．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
14．（3分）（2024春 东城区期末）碳﹣14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物其体内的碳﹣14含量大致不变，当生物死亡后，机体内的碳﹣14含量会按确定的比例衰减（如图所示），机体内原有的碳﹣14含量衰减为原来的一半所用的时间称为“半衰期”．考古学者通常可以根据碳﹣14的衰变程度计算出样品的大概年代．以下几种说法中，正确的有：　①②　 ．
①碳﹣14的半衰期为5730年；
②碳﹣14的含量逐渐减少，减少的速度开始较快，后来较慢；
③经过六个“半衰期”后，碳﹣14的含量不足死亡前的百分之一；
④若某遗址一生物标本2023年出土时，碳﹣14的剩余量所占百分比为80%，则可推断该生物标本大致属于我国的春秋时期（公元前770年﹣公元前475年）．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；几何直观．
【答案】①②．
【分析】根据横轴表示时间，纵轴表示剩余碳﹣14所占百分百可得答案．
【解答】解：由图象可知：
①碳﹣14的半衰期为5730年，说法正确；
②碳﹣14的含量逐渐减少，减少的速度开始较快，后来较慢，说法正确；
③经过6个“半衰期”后，碳﹣14的含量大于死亡前的，所以经过六个“半衰期”后，碳﹣14的含量大于死亡前的百分之一，所以③的说法错误；
④根据图形估算，衰减至80%的含量所需时间少于1910年，
2023﹣1910＝113，
所以至少是公元113年以后的标本，不到公元前，
所以④的说法错误．
所以正确的有①②．
故答案为：①②．
【点评】本题考查了函数的图象以及常量与变量，解题关键是正确理解清楚函数图象的意义．
15．（3分）已知点A的坐标为（﹣4，2），现先将坐标系向上平移2个单位，再向左平移3个单位，这时点A的坐标为 　（﹣1，0）　 ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】（﹣1，0）．
【分析】直接利用坐标系的平移，与点的平移是相反的解答即可．
【解答】解：点A（﹣4，2），如果先将坐标系向上平移2个单位，再向左平移3个单位，那么变化后点A的坐标是（﹣4+3，2﹣2），即（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握平移的法则是解题的关键，需要注意的是题中的平移是坐标系的平移，与点的平移是相反的．
16．（3分）（2022春 昌平区期末）某中学为积极开展校园足球运动，计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球价格为120元，一个B品牌足球价格为150元．学校准备用3000元购买这两种足球（两种足球都买），并且3000元全部用完．请写出一种购买方案：买 　5　 个A品牌足球，买 　16　 个B品牌足球．
【考点】二元一次方程的应用．
【专题】销售问题；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】5，16（答案不唯一）．
【分析】设购买A品牌足球x个，B品牌足球y个，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出该校共有4种购买方案，写出一种购买方案即可．
【解答】解：设购买A品牌足球x个，B品牌足球y个，
依题意得：120x+150y＝3000，
∴y＝20x．
又∵x，y均为正整数，
∴x＝5，y＝16或x＝10，y＝12或x＝15，y＝8或x＝20，y＝4，
∴其中一种购买方案：买5个A品牌足球，买16个B品牌足球（答案不唯一）．
故答案为：5，16（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
三．解答题（共10小题，满分52分）
17．（5分）（2023春 甘肃期中）计算：．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】5．
【分析】首先计算乘方、开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝﹣3+4﹣3+（2）﹣5
＝﹣3+4﹣3+25
5．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．（5分）（2024春 固始县期末）解方程组：．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】根据加减法消去y求出x，再代入求出y即可．
【解答】解：，
①×2﹣②，得﹣x＝﹣9，
解得x＝9．
将x＝9代入②，得5×9+2y＝15，
解得y＝﹣15，
∴方程组的解是．
【点评】本题主要考查了加减法二元一次方程组，选择适合的消元法是解题的关键．
19．（5分）解不等式组
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣2＜x＜2．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【解答】解：解不等式①，得：x≥﹣3，
解不等式②，得：x＞﹣2，
解不等式③，得：x＜2，
∴该不等式组的解集为﹣2＜x＜2．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
20．（5分）（2023春 武昌区期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证∠AED＝∠C．完成下面的证明过程．
证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠4＝180°，
∴∠2＝∠4（同角的补角相等）．
∴AB∥　EF　 （内错角相等，两直线平行）．
∴∠3＝∠ADE（ 　两直线平行，内错角相等　 ）．
又∵∠3＝∠B（已知），
∴　∠ADE　 ＝∠B（等量代换）．
∴DE∥BC（ 　同位角相等，两直线平行　 ）．
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
【考点】平行线的判定与性质；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】EF；两直线平行，内错角相等；∠ADE；同位角相等，两直线平行．
【分析】根据平行线的判定与性质求证即可．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠4＝180°，
∴∠2＝∠4（同角的补角相等）．
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）．
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠3＝∠B（已知），
∴∠ADE＝∠B（等量代换）．
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：EF；两直线平行，内错角相等；∠ADE；同位角相等，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
21．（5分）（2024春 鄱阳县校级期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣4，﹣1），B（﹣1，4），C（1，1）．
（1）将△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，可以得到△A'B'C'，画出平移后的△A'B'C'，并写出△A'B'C'各个顶点的坐标；
（2）求△A'B'C'的面积．
【考点】作图﹣平移变换．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）画图见解答；A'（1，﹣3），B'（4，2），C'（6，﹣1）．
（2）．
【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
由图可得，A'（1，﹣3），B'（4，2），C'（6，﹣1）．
（2）△A'B'C'的面积为5﹣3．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
22．（5分）（2023秋 成都期末）为美化校园环境，石室联中计划分两次购进杜鹃花和四季海棠两种花卉．第一次购进60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元：第二次购进100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元，每次购进的单价相同．
（1）求杜鹃花、四季海棠每盆的价格分别是多少元？
（2）若计划购买杜鹃花、四季海棠共500盆，根据实际摆放，要求杜鹃花的盆数不少于四季海棠盆数的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求方案所需费用．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）杜鹃花的价格是15元，四季海棠每盆的价格是10元；
（2）费用最省的方案为购买杜鹃花334盆，四季海棠166盆，方案所需费用为6670元．
【分析】（1）设杜鹃花的价格是x元，四季海棠每盆的价格是y元，根据第一次购进60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元：第二次购进100盆杜鹃花，160盆四季海案，共花费3100元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买杜鹃花m盆，则购买四季海案（500﹣m）盆，根据杜鹃花的盆数不少于四季海案盆数的2倍，列出一元一次不等式，解得m≥333，再设所需费用为w元，由题意得出一次函数关系式，然后由一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设杜鹃花的价格是x元，四季海棠每盆的价格是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：杜鹃花的价格是15元，四季海棠每盆的价格是10元；
（2）设购买杜鹃花m盆，则购买四季海案（500﹣m）盆，
由题意得：m≥2（500﹣m），
解得：m≥333，
∵m为正整数，
∴m的最小值为334，
此时，500﹣m＝166，
设所需费用为w元，
由题意得：w＝15m+10（500﹣m）＝5m+5000，
∵5＞0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝334时，w有最小值＝5×334+5000＝6670，
答：费用最省的方案为购买杜鹃花334盆，四季海棠166盆，方案所需费用为6670元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
23．（5分）（2025春 莘县校级月考）某中学举行了一次“奥运会”知识竞赛，赛后抽取部分参赛同学的成绩进行整理，并制作成图表如下：
分数段 频数 频率
第一组：60≤x＜70 30 0.15
第二组：70≤x＜80 m 0.45
第三组：80≤x＜90 60 n
第四组：90≤x＜100 20 0.1
请根据以图表提供的信息，解答下列问题：
（1）写出表格中m和n所表示的数：m＝　90　 ，n＝　0.3　 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果比赛成绩80分以上（含80分）可以获得奖励，那么获奖率是多少？
【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】（1）90，0.3；
（2）见解析；
（3）40%．
【分析】（1）先计算出总人数，再根据频数与频率之间的关系即可求出m和n；
（2）根据（1）中所求的数据，即可补全频数分布直方图；
（3）根据频数（率）分布表即可求解．
【解答】解：（1）抽查的总人数为30÷0.15＝200（人），
∴m＝200×0.45＝90，n0.3；
故答案为：90，0.3．
（2）根据（1）补全频数分布直方图如下所示：
（3）0.3+0.1＝0.4＝40%，
答：获奖率是40%．
【点评】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，读懂统计图表获取信息是解题的关键．
24．（5分）（2024 惠民县一模）（1）解不等式组；
（2）若把（1）中不等式组的解用数轴上对应的点表示出来，则其解集在数轴上对应的所有点构成的图形是 　B　 ；
A．长方形
B．线段
C．射线
D．直线
（3）请类比以上解答过程，解不等式组并指出其解集在数轴上对应的所有点构成的图形是什么图形？
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）2≤x≤4；（2）B；（3）x≤1，射线．
【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
（2）根据线段的概念求解即可；
（3）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后根据射线的概念求解即可．
【解答】解：（1）
解不等式①得，x≥2；
解不等式②得，x≤4；
∴不等式的解集为2≤x≤4；
（2）把（1）中不等式组的解用数轴上对应的点表示出来如下，
则其解集在数轴上对应的所有点构成的图形是线段，
故选：B；
（3）
解不等式①得，x≤1；
解不等式②得，x＜7；
∴不等式的解集为x≤1；
在数轴上表示如下，
∴其解集在数轴上对应的所有点构成的图形是射线．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
25．（6分）课堂上某学习小组在探究这样的题目：如图1，已知直线a∥b，直线m和直线a、b分别交于点C和点D，在点C、D之间有一点P，如果P点在点C、D之间运动时，他们发现∠PAC、∠APB、∠PBD之间有这样的关系：∠APB＝∠PAC+∠PBD．理由如下：
如图2，过点P作PE∥a，则∠APE＝∠PAC（两直线平行，内错角相等）．
又∵a∥b（已知），
∴PE∥b（两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行），
∴∠BPE＝∠PBD（两直线平行，内错角相等），
∴∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD（等量代换）．
∵∠APB＝∠APE+∠BPE（角的和差），
∴∠APB＝∠PAC+∠PBD．
（1）若点P在CD的延长线上运动时，如图3，∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系又是如何？请你给出结论并说明理由；
（2）若点P在DC的延长线上运动时，如图4，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）∠PAC＝∠APB+∠PBD．理由见解答；
（2）∠PBD＝∠APB+∠PAC．理由见解答．
【分析】（1）过点P作PE∥b，根据平行线的性质即可得到，∠BPE＝∠PBD，∠APE＝∠PAC，根据∠APB+∠BPE＝∠APB+∠PBD，可得∠PAC＝∠APB+∠PBD；
（2）根据（1）的方法，过点P作PE∥a，根据平行线的性质，可得∠APE＝∠PAC，∠BPE＝∠PBD，根据∠APB+∠APE＝∠APB+∠PAC，可得∠PBD＝∠APB+∠PAC．
【解答】解：（1）∠PAC＝∠APB+∠PBD．理由如下：
如图3，过点P作PE∥b，则∠BPE＝∠PBD（两直线平行，内错角相等）．
又∵a∥b（已知），
∴PE∥a（两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行），
∴∠APE＝∠PAC（两直线平行，内错角相等），
∴∠APB+∠BPE＝∠APB+∠PBD（等量代换）．
∵∠APE＝∠APB+∠BPE（角的和差），
∴∠PAC＝∠APB+∠PBD．
（2）∠PBD＝∠APB+∠PAC．理由如下：
如图4，过点P作PE∥a，则∠APE＝∠PAC（两直线平行，内错角相等）．
又∵a∥b（已知），
∴PE∥b（两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行），
∴∠BPE＝∠PBD（两直线平行，内错角相等），
∴∠APB+∠APE＝∠APB+∠PAC（等量代换）．
∵∠BPE＝∠APB+∠APE（角的和差），
∴∠PBD＝∠APB+∠PAC．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是过点P作平行线，构造内错角．
26．（6分）（2021秋 万秀区月考）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的“伴随点”．已知点A1的“伴随点”为A2，点A2的“伴随点”为A3，点A3的“伴随点”为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An．
（1）若点A1（3，1），则点A3的坐标为 　（﹣3，1）　 ，点A2022的坐标为 　（0，4）　 ；
（2）若点A1（a，b），对于任意的正整数n，若点An均在x轴的上方，则a，b应满足什么条件？
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】新定义；规律型；平面直角坐标系；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（﹣3，1），（0，4）．
（2）﹣1＜a＜1且0＜b＜2．
【分析】（1）根据点A1的坐标结合伴随点的定义，即可找到点A2，A3，A4，A5的坐标，进而得出坐标的变化规律：每4个点为一个循环组依次循环，按照此规律即可得出答案；
（2）根据点A1的坐标为（a，b）和伴随点的定义，即可求得点A2，A3，A4，A5，A6，……的坐标，总结得出规律，再根据“对于任意的正整数n，点An均在x轴上方”列出不等式组求解即可．
【解答】解：（1）∵点A1的坐标为（3，1），
∴点A2的坐标为（0，4），点A3的坐标为（﹣3，1），点A4的坐标为（0，﹣2），点A5的坐标为（3，1），点A6的坐标为（0，4），
……，
以此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴点A2022的坐标与点A2的坐标相同，为（0，4）．
故答案为：（﹣3，1），（0，4）．
（2）∵点A1的坐标为（a，b），
∴点A2的坐标为（﹣b+1，a+1），点A3的坐标为（﹣a，﹣b+2），点A4的坐标为（b﹣1，﹣a+1），点A5的坐标为（a，b），点A6的坐标为（﹣b+1，a+1），
……，
∴点An的坐标四次一循环．
∵对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，
∴，
解得：﹣1＜a＜1且0＜b＜2．
【点评】本题考查了点的坐标规律，解不等式组等，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义找出规律是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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