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2025年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷 回忆版）
数学
本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第1卷1至3页第Ⅱ卷4至6页.
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.在天津考生获取更多学习资料祝各位考生考试顺利！
第I卷（选择题）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
·如果事件互斥，那么
·如果事件相互独立，那么
·棱柱的体积公式，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．
·圆锥的体积公式，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
4. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5. 下列说法中错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 越接近1，相关性越强
D. 越接近0，相关性越弱
6. ，则数列的前项和为（ ）
A 112 B. 48 C. 80 D. 64
7. 函数的零点所在区间是（ ）
A B. C. D.
8. ，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D. 0
9. 双曲线左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于另一象限点为P，若，则双曲线的离心率（ ）
A. 2 B. 5 C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
10. 已知i是虚数单位，则 ________．
11. 在的展开式中，项的系数为________．
12. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________．
13. 小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，4圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______
14. 中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______
15. 若，对，均有恒成立，则的最小值为_______
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在中，角的对边分别为．已知，，．
（1）求A的值；
（2）求c的值；
（3）求的值．
17. 正方体棱长为4，分别为中点，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求三棱锥的体积．
18. 已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分.
19. 已知数列是等差数列，是等比数列，．
（1）求，通项公式；
（2），，有，
（i）求证：对任意实数，均有;
（ii）求所有元素之和．
20. 已知函数
（1）时，求在点处的切线方程；
（2）有3个零点，且.
（i）求a的取值范围；
（ii）证明．
2025年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷 回忆版）
数学
本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第1卷1至3页第Ⅱ卷4至6页.
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.在天津考生获取更多学习资料祝各位考生考试顺利！
第I卷（选择题）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
·如果事件互斥，那么
·如果事件相互独立，那么
·棱柱的体积公式，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．
·圆锥的体积公式，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】A
【9题答案】
【答案】A
第Ⅱ卷（非选择题）
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】2
【13题答案】
【答案】 ①. ②.
【14题答案】
【答案】 ①. ； ②.
【15题答案】
【答案】
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析
【19题答案】
【答案】（1）；
（2）（i）证明见解析；（ii）
【20题答案】
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析.

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