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2025年九年级学业水平第二次模拟测试数学答案
选择题（每题3分，共24分）
1、C 2、A 3、B 4、B 5、A 6、D 7、C 8、B
填空题（每题3分，共21分）
且 10、3 11、 12、 13、， 14、 15、 （第一个空1分，作图2分）如图，连接、，
三．解答题（共75分）
16.（7分）
(1)
解：（1）原式； （3分）
解：
由①得；
由②得．
在数轴上表示这个解集如解图所示：
所以原不等式组的解集为． （7分）
17.（8分）先化简，再求值：，其中满足．
解：根据题意，， 解得， （2分）
原式 ，（6分）
∵，， ∴且，
∴当时，原式． （8分）
18.（8分）（1）解：本次调查的学生人数为60÷30%＝200（名），
扇形统计图中，E项对应的扇形圆心角是360°×＝72°， 故答案为： 72； （2分）
（2）解：C选项的人数为200﹣（20+60+30+40）＝50（名），
补全条形图如下：
（3分）
（3）解：该校学生放学选择乘坐学校定制公交车的人数为：（人），
答：该校学生放学选择乘坐学校定制公交车的人数为240人； （4分）
（4）画表如图：
A B C D E
A A A A B A C A D A E
B B A B B C B D B E
C C A C B C C C D C E
D D A D B D C D D D E
E E A E B E C E D E E
共有25个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的结果有5个，
∴甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率为． （8分）
19.（8分）（1）解：设购买一个“滨滨”需要x元，则购买一个“妮妮”需要元，
根据题意得：， ， ，
经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）．
答：购买一个“滨滨”需要元，一个“妮妮”需要元； （4分）
解：设购买个“妮妮”，则购买个“滨滨”，
根据题意得：， 解得：，
设全部售出后获得的总利润为w元 ，
∵， ∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，最大值为（元）．
答：当购进个“妮妮”时，所获利润最大，最大利润是元． （8分）
20.（10分）(1)， (2) (3)或
【详解】（1）解：点的坐标为， ，
轴，且的面积为3， ， ，
点的坐标为，
将点代入，得， 将点代入，得； （4分）
（3分）（2）解：由（1）可知，，，
令， 解得，，
经检验，是原方程的解，
当时，，
点的坐标为； （7分）
（3分）（3）解：由函数图像可知，
关于的不等式的解集为或． （10分）
（10分）
（1）解：由作图可知，为的角平分线
故答案为： （2分）
（2）证明：四边形为平行四边形
（5分）
（3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点
四边形为平行四边形， ，
，△ABG∽△DHG
又
． （10分）
22.（12分）（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点， ∴，
∵的面积， ∴，即点，
将点的坐标代入二次函数表达式得：， 解得． （3分）
（2）解：由（1）得抛物线的表达式为，
令，即， 解的，或，
∴点，，
如图所示，过点作轴于点，
设点M的坐标为，
∴，，，，
∵
∴
，
∵， ∴当时，S最大值，
答：四边形的面积S的最大值为． （8分）
（3）解：设点P的坐标为，则，，，
当时，即，
解得（舍去）或3，即点P的坐标为；
当时，则，
解得或，即点P的坐标为或；
当时，则，
解得，即点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或或或． （12分）（一种情况1分）
23.（12分）解：（）（1）解：∵PA是的切线，A为切点，
， ，
，， ， ，
∵B是折线段PMA的中点， ，
故答案为：3； （3分）
(2)证明：如图3，在BC上截取CG=AB，连接MC、MG、MB、MA，
点M是的中点， ， ．
， ，
在和中，
， ≌， ，
， ，
，
； （7分）
解：，理由如下：
如图4，在BD上截取BG=AB，连接MC、MA、MB，MG，
点M是的中点，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
；
； （12分）2025 年九年级学业水平第二次模拟测试
数 学 试 题
温馨提示：
1.本试卷分第Ⅰ、II卷两部分，共 6页。满分 120 分。考试用时 120 分钟。
2.答卷前，考生务必用 0.5 毫米签字笔将自己的姓名、考号、学校、班级填写在答
题卡规定的位置上。
3.第Ⅰ卷答卷务必在答题卡上用 2B 铅笔将正确答案标号涂黑。
4.第 II 卷务必用 0.5 毫米签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内。
第Ⅰ卷（选择题 共 24分）
一、选择题：本大题共 8小题,每小题 3 分,共 24 分.每小题只有一个选项符合题目要求.
1. 下列各数中，绝对值最大的是
1 3
A． B． C． 5 D．3
5 2
2．榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗
瑰宝 ”． 如下右图是其中一种卯，其正视图（也称主视图）是
A． B． C． D．
3.下列乐谱符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
4．小夏今天在课堂练习中做了以下 5道题，其中做对的有
① a10 a2 a5；② a2b3 2 a4b6 3 2 2 4；③ a a a4；④ 2x 3x 1 6x 1 .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
数学试题 第 1 页 共 6 页
{#{QQABQYYg4gIQkBRACR5qAUX6CgqQkIMSJeoOAUAUOAQDQJNABIA=}#}
5.给出下列命题：①若 a b ，则 a b；②若 xy 0，则 x，y同时为 0；
③两个负数的差一定是负数④如果 x2 0，那么 x 0，其中真命题的个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6. 化学方程式是用化学式来表示物质化学反应的式子．化学方程式不仅表明了反应物、
生成物和反应条件，同时化学计量数代表了各反应物、生成物物质的量关系．例如
点燃
2H2 O2 2H2O就表示两份H2（氢气）与一份O2（氧气）点燃生成两份的H2O（水）．依
据化学反应过程中的质量守恒定律，在化学方程式等号左右两边同一元素原子的个数一
点燃
定相同．已知 xC6H6 yO2 6xCO2 3xH2O，由此可列出关于 x，y的二元一次方程为
A． x y 6x 3x B． x y 6x 3x 2 C． 2y 6x 3x D． 2y 6x 2 3x
7. 如图，E为菱形 ABCD对角线 BD上一点，EA AB．已知 AE 3，
BE 5，则 BD的长为
27 13 32 20
A． B． C． D．
4 2 5 3
8．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是直角三角形，A 4,0 ， AOB 90 ，
ABO 30 ，点 B在 y轴正半轴，等边△OCD的顶点D 4,0 ，点 C在第二象限，将
△OCD沿 x轴向右平移，得到△O C D ，点 O，C，D的对
应点分别为O ，C ，D ．设OO x，△O C D 与△OAB重
叠部分的面积为 S，当点 D 与点 A重合时停止运动．则表示
S与 x的函数图象正确的是
A． B． C． D．
数学试题 第 2 页 共 6 页
{#{QQABQYYg4gIQkBRACR5qAUX6CgqQkIMSJeoOAUAUOAQDQJNABIA=}#}
第Ⅱ卷（共 96分）
二、填空题：本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分.
9 0．若式子3 2 x x x 1 有意义，则 x的取值范围是 ．
10．露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高OE 2m，某时刻帐篷顶
端 E在阳光下的影子为点 F，OE OF，OF 交 AB于点 G，OG 1m，在同一时刻，附
近一根长为1m的标杆在地面的影长为 2m，则 FG为 m．
10题图 11题图 14题图
11.如图，已知点 A,B在⊙O上， AOB 72 ，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为
弧 AB的中点，则 ACM 等于 .
12. 2如果关于 x的方程mx 2 m 3 x m 0有实数根，那么 m的取值范围是 ．
13．对于实数 a，b定义一种新运算“☆”如下： a☆b ab2 ab，例如
4☆3 4 32 4 3 24，则关于 x的方程1☆x 2的根为__________．
14．如图，四边形 ABCD是菱形， A 60 ，AB 4，扇形 BEF的半径为 4，圆心角为60 ，
则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留 ）
15.如图所示的网格是正方形网格，则∠ ∠ =
(点 、 、 、 、 是网格线交点)．请只用无刻度的直尺，在
如图所示的网格中，画出解决该题关键思路的连线（虚线表示）。
数学试题 第 3 页 共 6 页
{#{QQABQYYg4gIQkBRACR5qAUX6CgqQkIMSJeoOAUAUOAQDQJNABIA=}#}
三、解答题:本大题共 8 小题,共 75 分.解答时请写出必要的演推过程.
0
16. （7分）计算：(1) 2025 π 3 5 12 3tan 60
2x 7
x 1①
（2）解不等式组 3 ，并把解集在数轴上表示．
10 (x 4) 2x②
12a a 4
17. （8 分）先化简，再求值： 2a 2 ，其中 a满足 2 ． a 2 a 4a 4
a 5a 6 0
18.（8 分）某数学小组为调查放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，
所有被调查的学生都需从“A：乘坐电动车，B：乘坐普通公交车，C：乘坐学校的定制
公交车，D：乘坐家庭汽车，E：步行或其他”这五种方式中选择种，随后该数学小组将
所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答
下列问题：
（1）本次调查中，E选项对应的扇形圆
心角是______度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校九年级共有学生 960人，则
估计该校学生放学选择乘坐学校定制公交车的人数是______；
（4）若甲、乙两名学生放学时从 A、B、C、D、E五种方式中随机选择一种，请用列表
法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种方式的概率．
19.（8 分） 第九届亚洲冬季运动会于2025年 2 月 7 日于哈尔滨开幕，吉祥物“滨滨”
和“妮妮”毛绒玩具在市场出现热销，已知购进“滨滨”比“妮妮”每个便宜 40元，某
商场用6400元购进“滨滨”的数量是用 4800元购进“妮妮”数量的 2倍．
(1)求购进一个“滨滨”和一个“妮妮”各需多少元？
(2)为满足顾客需求，商场从厂家一次性购进“滨滨”和“妮妮”共100个，要求购进的
总费用不超过11000元，出售时，“滨滨”单价为90元，“妮妮”单价为140元，当购进“妮
妮”多少个时，商场获得的利润最大？最大利润为多少元？
数学试题 第 4 页 共 6 页
{#{QQABQYYg4gIQkBRACR5qAUX6CgqQkIMSJeoOAUAUOAQDQJNABIA=}#}
n
20. (10分) 如图所示，一次函数：y1 mx 1 m 0 的图像与反比例函数 y2 n 0 x 的
图像交于 A，B两点，过点 A作 y轴的垂线，垂足为点C 0,2 ，若△AOC的面积为 3．
(1)分别求出 m和 n的值；
(2)求点 B的坐标；
n
(3)结合图像直接写出关于 x的不等式mx 1的解集．x
21．(10分)如图，以平行四边形 ABCD的顶点 B 为圆心，AB长为半径画弧，交 BC于点
1
E ，再分别以点A ，E 为圆心，大于 AE的长为半径画弧，两弧交于点 F ，画射线 BF ，
2
交 AD于点G ，交CD的延长线于点 H ．
(1)由以上作图可知， 1与 2 的数量关系是_______
(2)求证：CB CH
(3)若 AB 4， AG 2GD ， ABC 60 ，求△BCH
的面积．
22．(12分)如图，二次函数 y x2 bx c的图象与 y轴交于点 A 0，4 ，与 x轴的负半轴
交于点 B，与 x轴的另一个交点为 C，且V AOB 的面积为 6．
(1)求 b，c；
(2)若点 M为二次函数 y x2 bx c的图象第二象限内一点，求四边形 AMBC 的面积 S
的最大值；
(3)如果点 P在 x轴上，且△ABP是等腰三角形，直接写出点 P的坐标．
数学试题 第 5 页 共 6 页
{#{QQABQYYg4gIQkBRACR5qAUX6CgqQkIMSJeoOAUAUOAQDQJNABIA=}#}
23. (12分)【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图
形；如图 1，线段 、 组成折线段 ，点 在折线段 上，若 = + ，
则称点 是折线段 的中点．
【理解应用】(1)如图 2，⊙ 的半径为 2， 是的切线， 为切点，点 是折线段
的中点，若∠ = 30°，则 的长为______．
【认识定理】阿基米德折弦定理：如图 3， 和 是⊙ 的两条弦(即折线段 是圆的
一条折弦)， > ，点 是 的中点，从 向 作垂线，垂足为 ，则 = + .
这个定理有很多证明方法，下面方框是运用“截长法”证明 = + 的部分证明过
程．
【定理证明】
证明：如图 3，在 BC 上截取 CG=AB，连接 MC、MG、MB、MA，
∵点 M 是 的中点，
∴ = ，
∴ = ．
（2）请按照上面方框中【定理证明】的证明思路，在图 3 中连接辅助线并写出该证明的
剩余部分；
【变式探究】
(3)如图 4，若点 M 是 的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则 CD、DB、BA 之间
存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
数学试题 第 6 页 共 6 页
{#{QQABQYYg4gIQkBRACR5qAUX6CgqQkIMSJeoOAUAUOAQDQJNABIA=}#}17.（本小题满分8分）
2025年九年级学业水平第二次模拟测试
数学答题卡
19.(8分)
学校： 班级：
贴条形码区
姓名： 考号：
18. （本小题满分8分）
注意事项
1. 答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） （1）E对应的扇形圆形角是 ° （3）乘坐学校定制公交车的人数是 。
条形码上的姓名和准考证号。
2. 选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不
留痕迹。 （4）
3. 非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答
无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。 正确填涂 缺考标记
4．在草稿纸、试题卷上答题无效。
5．请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。
一、选择题
1 [ A] [ B] [ C] [ D] 2 [ A] [ B] [ C] [ D] 3 [ A] [ B] [ C] [ D] 4 [ A] [ B] [ C] [ D]
5 [ A] [ B] [ C] [ D] 6 [ A] [ B] [ C] [ D] 7 [ A] [ B] [ C] [ D] 8 [ A] [ B] [ C] [ D]
19.（本小题满分8分）
二、填空题
9. 13.
10. 14.
11. 15.
12.
20. （本小题满分10分）
三、解答题
16.（本小题满分7分）
{#{QQABQYYg4gIQkBRACR5qAUX6CgqQkIMSJeoOAUAUOAQDQJNABIA=}#}
21.（本小题满分10分） 22.（本小题满分12分） 23.（本小题满分12分）
{#{QQABQYYg4gIQkBRACR5qAUX6CgqQkIMSJeoOAUAUOAQDQJNABIA=}#}2025年九年级学业水平第二次模拟测试
数 学 试 题
温馨提示：
本试卷分第Ⅰ、II卷两部分，共6页。满分120分。考试用时120分钟。
答卷前，考生务必用0.5毫米签字笔将自己的姓名、考号、学校、班级填写在答题卡规定的位置上。
第Ⅰ卷答卷务必在答题卡上用2B铅笔将正确答案标号涂黑。
4.第II卷务必用0.5毫米签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内。
第Ⅰ卷（选择题 共24分）
选择题：本大题共8小题,每小题3分,共24分.每小题只有一个选项符合题目要求.
1. 下列各数中，绝对值最大的是
A． B． C． D．3
2．榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下右图是其中一种卯，其正视图（也称主视图）是

A． B． C． D．
3.下列乐谱符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
4．小夏今天在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有
①；②；③；④.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；
③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6. 化学方程式是用化学式来表示物质化学反应的式子．化学方程式不仅表明了反应物、生成物和反应条件，同时化学计量数代表了各反应物、生成物物质的量关系．例如就表示两份（氢气）与一份（氧气）点燃生成两份的（水）．依据化学反应过程中的质量守恒定律，在化学方程式等号左右两边同一元素原子的个数一定相同．已知，由此可列出关于x，y的二元一次方程为
A． B． C． D．
7. 如图，E为菱形对角线上一点，．已知，，则的长为
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边△OCD的顶点，点C在第二象限，将△OCD沿x轴向右平移，得到△O C D ，点O，C，D的对应点分别为，，D ．设，△O C D 与重叠部分的面积为S，当点D 与点A重合时停止运动．则表示
S与x的函数图象正确的是
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（共96分）
二、填空题：本大题共7小题,每小题3分,共21分.
9．若式子有意义，则的取值范围是 ．
10．露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，，交于点G，，在同一时刻，附近一根长为的标杆在地面的影长为，则为 ．
10题图 11题图 14题图
11.如图，已知点在⊙O上，，直线与⊙O相切，切点为，且为弧AB的中点，则等于 .
12. 如果关于的方程有实数根，那么m的取值范围是 ．
13．对于实数a，b定义一种新运算“”如下：，例如，则关于x的方程的根为__________．
14．如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为4，圆心角为，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）
15.如图所示的网格是正方形网格，则
点、、、、是网格线交点．请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出解决该题关键思路的连线（虚线表示）。
三、解答题:本大题共8小题,共75分.解答时请写出必要的演推过程.
16. （7分）计算：(1)
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示．
17. （8分）先化简，再求值：，其中满足．
18.（8分）某数学小组为调查放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A：乘坐电动车，B：乘坐普通公交车，C：乘坐学校的定制公交车，D：乘坐家庭汽车，E：步行或其他”这五种方式中选择种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）本次调查中，E选项对应的扇形圆心角是______度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校九年级共有学生960人，则估计该校学生放学选择乘坐学校定制公交车的人数是______；
（4）若甲、乙两名学生放学时从A、B、C、D、E五种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种方式的概率．
19.（8分） 第九届亚洲冬季运动会于年2月7日于哈尔滨开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场出现热销，已知购进“滨滨”比“妮妮”每个便宜元，某商场用元购进“滨滨”的数量是用元购进“妮妮”数量的倍．
(1)求购进一个“滨滨”和一个“妮妮”各需多少元？
(2)为满足顾客需求，商场从厂家一次性购进“滨滨”和“妮妮”共个，要求购进的总费用不超过元，出售时，“滨滨”单价为元，“妮妮”单价为元，当购进“妮妮”多少个时，商场获得的利润最大？最大利润为多少元？
20. (10分) 如图所示，一次函数：的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点，若的面积为3．
(1)分别求出m和n的值；
(2)求点B的坐标；
(3)结合图像直接写出关于x的不等式的解集．
21．(10分)如图，以平行四边形ABCD的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)由以上作图可知，与的数量关系是_______
(2)求证：
(3)若，，，求△BCH的面积．
22．(12分)如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6．
(1)求b，c；
(2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值；
(3)如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
(12分)【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形；如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点．
【理解应用】(1)如图2，的半径为，是的切线，为切点，点是折线段的中点，若，则的长为______．
【认识定理】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦即折线段是圆的一条折弦，，点是的中点，从向作垂线，垂足为，则这个定理有很多证明方法，下面方框是运用“截长法”证明的部分证明过程．
【定理证明】
证明：如图3，在BC上截取CG=AB，连接MC、MG、MB、MA，
点M是的中点，
，
．
请按照上面方框中【定理证明】的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分；
【变式探究】
(3)如图4，若点M是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．2025 年九年级学业水平第二次模拟测试数学答案
一．选择题（每题 3 分，共 24 分）
1、C 2、A 3、B 4、B 5、A 6、D 7、C 8、B
二．填空题（每题 3 分，共 21 分）
m 3
15. x 2且 x 1 10、3 11、18 12、 2 13、 x1 2 x2 1，
8 4 3
14、 3 15、 °（第一个空 1 分，作图 2 分）如图，连接 、 ，
三．解答题（共 75 分）
16.（7 分）
(1) 2025 π 0 3 5 12 3tan 60
解：（1）原式 1 5 3 2 3 3 3 1 5 3 2 3 3 3 4； （3 分）
2x 7
x 1①
（2）解： 3
10 (x 4) 2x②
由①得 x 4；
由②得 x 2 ．
在数轴上表示这个解集如解图所示：
所以原不等式组的解集为 4 x 2． （7 分）
2a 12a a 417.（8 分）先化简，再求值： ，其中 a满足 a2 5a 6 0．
a 2 a2 4a 4
解：根据题意， a2 5a 6 0， 解得 a1 2,a2 3， （2分）
2a a 2 12a a 4 2 2
原式 2a 4a 12a a 2 a 2 a 2 a 2 2
2a a 2 2a2 4a，（6 分）
a 2 a 4
∵a 2 0， a 4 0， ∴ a 2且 a 4，
∴当 a 3 2时，原式 2 3 4 3 6． （8 分）
18.（8 分）（1）解：本次调查的学生人数为 60÷30%＝200（名），
40
扇形统计图中，E 项对应的扇形圆心角是 360°× ＝72°， 故答案为： 72； （2 分）
200
（2）解：C选项的人数为 200﹣（20+60+30+40）＝50（名），
补全条形图如下：
1
{#{QQABTYIAogggAABAARgCAQXqCgCQkBECASoOBEAcsAABAANABAA=}#}
（3分）
50
（3）解：该校学生放学选择乘坐学校定制公交车的人数为：960 240（人），
200
答：该校学生放学选择乘坐学校定制公交车的人数为 240人； （4 分）
（4）画表如图：
A B C D E
A A A A B A C A D A E
B B A B B C B D B E
C C A C B C C C D C E
D D A D B D C D D D E
E E A E B E C E D E E
共有 25个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的结果有 5个，
5 1
∴甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率为 ． （8 分）
25 5
19.（8 分）（1）解：设购买一个“滨滨”需要 x 元，则购买一个“妮妮”需要 x 40 元，
6400 2 4800根据题意得： ， 3x 2x 80x， x 80，
x x 40
经检验， x 80是所列方程的解，且符合题意， ∴ x 40 80 40 120（元）．
答：购买一个“滨滨”需要80元，一个“妮妮”需要120元； （4 分）
（2）解：设购买m个“妮妮”，则购买 100 m 个“滨滨”，
根据题意得：80 100 m 120m 11000， 解得：m 75，
设全部售出后获得的总利润为 w 元 w 140 120 m 90 80 100 m 10m 1000，
∵10 0， ∴w随 m的增大而增大，
∴当m 75时，w取得最大值，最大值为75 10 1000 1750（元）．
答：当购进75个“妮妮”时，所获利润最大，最大利润是1750元． （8分）
2
{#{QQABTYIAogggAABAARgCAQXqCgCQkBECASoOBEAcsAABAANABAA=}#}
20.（10 分）(1)m 1， n 6 (2) 2, 3 (3) x 3或 2 x 0
【详解】（1）解： 点C 的坐标为 0,2 ， OC 2，
AC y 1轴，且△AOC的面积为 3， 2 AC 3， AC 3，
2
点A 的坐标为 3,2 ，
n
将点 3,2 代入 y1 mx 1，得m 1， 将点 3,2 代入 y2 ，得 n 6 ；x （4分）
6
（3分）（2）解：由（1）可知， y1 x 1， y2 x ，
令 x 1
6
， 解得 x
x 1
3， x2 2，
经检验 x1 3， x2 2是原方程的解，
当 x 2时， y 2 1 3，
点 B 的坐标为 2, 3 ； （7分）
（3分）（3）解：由函数图像可知，
n
关于 x的不等式mx 1的解集为 x 3或 2 x 0 ．
x （10 分）
21. （10 分）
（1）解：由作图可知， BF 为 ABC的角平分线
1 2
故答案为： 1 2 （2分）
（2）证明： 四边形 ABCD 为平行四边形
AB∥CD 1 H
1 2 2 H
CB CH （5 分）
（3）解：如图，过点H作 BC的垂线交 BC的延长线于点M
四边形 ABCD 为平行四边形， AB 4 AB∥CD， AB CD 4
3
{#{QQABTYIAogggAABAARgCAQXqCgCQkBECASoOBEAcsAABAANABAA=}#}
AB AG
HCM ABC 60 ，△ABG∽△DHG DH GD
又 AG 2GD
AG 2 AB AG 1 1 2 DH AB 4 2
GD DH GD 2 2
CH DH CD 6 BC CH 6
HM CH sin HCM CH sin 60 3 6 3 3
2
S 1 1 BCH BC HM 6 3 3 9 32 2 ． （
10 分）
22.（12 分）（1）解：∵二次函数 y x2 bx c的图象与 y轴交于点 A 0，4 ， ∴OA 4,c 4，
1
∵V AOB 的面积 OB OA 6， ∴OB 3，即点 B 3,0 ，
2
5
将点 B 3,0 的坐标代入二次函数表达式得：0 9 3b 4， 解得b ． （3 分）
3
5
（2）解：由（1 2）得抛物线的表达式为 y x x 4，
3
y 0 x2 5
4
令 ，即 x 4 0， 解的 x 3，或 x ，
3 3
C 4 ,0 4 13∴点 ， BC 3 ，
3 3 3
如图所示，过点M 作MN x 轴于点N ，
2 5
设点 M 的坐标为 m, m m 4

3 m 0 ，
3
2 5 4
∴BN m 3 m 3，MN m m 4，ON 0 m m ，OA 4,OC
3 3
，
∵ S AMBC S S S四边形 △BMN 梯形AMNO △AOC
1 MN OA ·ON
∴ BN·MN
1
OA·OC
2 2 2
1 (m 3) m2 5m 4 1 (0 m)
m2 5 m 4 4 1 4 4
2 3 2 3 2 3
3 9 26 2
m2 m 3 3 235
2 2 3 2
m ，
2 24
4
{#{QQABTYIAogggAABAARgCAQXqCgCQkBECASoOBEAcsAABAANABAA=}#}
3
0 m 3 235∵ ， ∴当 时，S2 最大值
，
2 24
235
答：四边形 AMBC 的面积 S 的最大值为 ． （8 分）
24
（3）解：设点 P 的坐标为 x,0 ，则 AB2 32 42 25 ， AP2 x2 16 BP2， (x 3)2 ，
当 AB AP时，即 25 x2 16，
解得 x 3（舍去）或 3，即点 P 的坐标为 3，0 ；
当 AB PB 2时，则 25 x 3 ，
解得 x 2或 8，即点 P 的坐标为 2,0 或 8,0 ；
当 AP BP时，则 x2 16 (x 3)2，
7 7
解得 x ，即点 P 的坐标为
6
, 0
6 ；
综上，点 P 的坐标为 3,0 或 2,0 或 7 8,0 或 , 0 ． （126 分）（一种情况 1 分）
23.（12 分）解：（1）（1）解：∵PA 是⊙ 的切线，A为切点，
∴ ⊥ ， ∴ ∠ = 90°，
∵ ∠ = 30°， = 2， ∴ = 4， ∴ + = 6，
∵B 是折线段 PMA 的中点， ∴ = 3，
故答案为：3； （3 分）
(2)证明：如图 3，在 BC 上截取 CG=AB，连接 MC、MG、MB、MA，
∵点 M 是 的中点， ∴ = ， ∴ = ．
∵ = ， ∴ ∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中，
=
∠ = ∠ ， ∴△ ≌△ ( )， ∴ = ，
=
5
{#{QQABTYIAogggAABAARgCAQXqCgCQkBECASoOBEAcsAABAANABAA=}#}
∵ ⊥ ， ∴ = ，
∴ + = + = ，
∴ = + ； （7 分）
(3)解： = + ，理由如下：
如图 4，在 BD 上截取 BG=AB，连接 MC、MA、MB，MG，
∵点 M 是 的中点，
∴ = ，
∴ = ，∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，
∴ = ，
∵ ⊥ ，
∴ = ，
∴ + = + = ；
∴ = + ； （12 分）
6
{#{QQABTYIAogggAABAARgCAQXqCgCQkBECASoOBEAcsAABAANABAA=}#}2025年九年级学业水平第二次模拟测试
数学答题卡
学校： 班级：
姓名： 考号：
一、选择题
二、填空题
三、解答题
H
G
D
F
2
B
E
C
D
D
5
M
A
B
O
C
B
0
C
人数
100f--
B
80
A
30%
60
60
40
E
C
40
--30
20
D
20
0
A
B
C
D
E
选项
n
X
Yi=mx-l
C
○
B
A
E
B
D
C
M
o
B
D
C
A
图3

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