资源简介

2025 年惠阳区初中毕业生学业水平测试（二）
数 学 答 案
一、单选题
1.C 2.B 3.C 4.B 5.A 6.A 7．A 8．C 9.D 10．C
二、填空题
11．5 12．5.5 13. ≥ 1 14.38π 15.6
三、解答题（一）（本大题 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
16.（1）解：原式= 1 + 2 3 4 × 32 2 ………………………………2 分
= 1 ………………………………3 分
3 = 2①
（2）解： ， ………………………………4 分
2 5 = 3②
①× 5 ②得，13 = 13，
∴ = 1， ………………………………5 分
把 = 1代入①得，3 = 2,
∴ = 1， ………………………………6 分
= 1
∴方程组的解为 = 1． ………………………………7 分
17.解：
（1）∵四边形 是平行四边形，
∴ = , = ， ………………………………1 分
∵ = ，
∴ = ， ………………………………2 分
∴ 是矩形； ………………………………3 分
（2）∵ = 6， = 8， 是矩形；
∴ = 2 + 2 = 10， ………………………………4分
∴ = 5， ………………………………5 分
∵ = ，
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∴ = 5， ………………………………6 分
∴ = = 3； ………………………………7 分
18．(1)解：如图所示，直线 BF 即为所求． …………………1 分
…………………3 分
(2)证明：由题意，得 BF∥AC.
∴∠FBM＝∠A. …………………4 分
∵M，N分别是 AB，AC 的中点，
∴AM＝BM，MN∥BC.
又∠ABC＝90°，
∴BC⊥AB.
∴MN⊥AB. …………………5 分
在△FMB 和△NMA 中
∠FBM＝∠A
MB＝MA
∠BMF＝∠AMN
∴△FMB≌△NMA(ASA).
∴FM＝NM. …………………6 分
又 AB⊥FN，
∴AB 垂直平分 FN. …………………7 分
四、解答题（二）（本大题 3小题，每小题 9分，共 27 分）
19．（1）50； …………………2分
（2）补全直方图如下：
…………………4 分
36°. …………………5 分
（3） 解：画树状图为：
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…………………7 分
共有 12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果数为 8，……8 分
∴P(恰好抽到一名男生和一名女生)= 8 = 212 3． …………………9 分
20．解：任务 1:设红粉西红柿进价为每千克 x元，则有机西红柿进价为每千克 1.5x元
300 300
由题意可得： 1.5 = 20 …………………1 分
解得：x=5
经检验，x=5是方程的根，且符合题意 …………………2 分
∴1.5x=7.5
∴红粉西红柿进价为每千克 5元，则有机西红柿进价为每千克 7.5元 ………3 分
任务 2：设标价（白天的售价）为每千克 y元
由题意可得：20 + 2 × 0.9 + 2 × 0.8 + 2 × 0.7 + 2 × 0.6 + 2 × 0.5 ≥ 7.5 1 +
20% × 30 …………………4 分
解得：y≥10 …………………5 分
∴标价（白天的售价）最低价为每千克 10元 …………………6 分
任务 3：∵10×0.9=9>7.5，10×0.8=8>7.5，10×0.7=7<7.5
∴九折和八折有利润，七折亏钱 …………………7 分
20+2+2=24 …………………8 分
∴每天进货 24kg时利润最大. …………………9 分
21．(1)证明：∵AE是⊙O的切线，
∴AE⊥AB. …………………1 分
∵CD⊥AB，
∴AE∥CD. …………………2 分
∴∠E＝∠BCD. …………………3 分
∵∠BCD＝∠BAD，
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∴∠BAD＝∠E. …………………4 分
(2)解：如答图，连接 AC.
∵AB为⊙O的直径，弦 CD⊥AB，
︵ ︵
∴AC ＝AD
.∴AC＝AD＝6. …………………5 分
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，AB＝2×5＝10.
在 Rt△ACB中，根据勾股定理，得 BC＝ AB2－AC2 ＝8. …………………6 分
AC 6 3
∴tan B＝ ＝ ＝ .
BC 8 4
由(1)，得 AE⊥AB.
在 Rt EAB tan B AE△ 中， ＝ ，AB＝10，
AB
∴AE＝AB·tan B＝10 3 15× ＝ . …………………7 分
4 2
在 Rt 25△AEB中，根据勾股定理，得 BE＝ AB2＋AE2 ＝ . …………………8 分
2
∴CE＝BE－BC 25 9＝ －8＝ . …………………9 分
2 2
五、解答题（三）（本大题 2小题，22 题 13 分，23 题 14 分）
22．解：（1）∵二次函数 y＝x2+bx+c的图象与 x轴交于 A（1，0）和 B（﹣3，0），
∴ ，解得： ， …………………3 分
∴该二次函数的表达式为 y＝x2+2x﹣3． …………………4 分
（2）∵抛物线 y＝x2+2x﹣3与 y轴交于点 C，
∴C（0，﹣3）， …………………5 分
由题意得：AD＝t，BE＝ t，
∴BD＝4﹣t， …………………6 分
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴∠CBO＝∠BCO＝45°，BC＝ OB＝3 ，
∵3 ÷ ＝3，
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∴0＜t≤3， …………………7 分
∵△BDE为直角三角形，∠DBE＝45°，如图 1，
∴∠BED＝90°或∠BDE＝90°，
当∠BED＝90°时， ＝cos∠DBE＝cos45°＝ ，
∴BD＝ BE，
∴4﹣t＝ × t，
解得：t＝ ； …………………8 分
当∠BDE＝90°时， ＝cos∠DBE＝cos45°＝ ，
∴BE＝ BD，
∴ t＝ （4﹣t），
解得：t＝2； …………………9 分
综上所述，当△BDE为直角三角形时，t的值为 或 2． …………………10 分
（3）存在． …………………11 分
点 Q的坐标为（﹣1， ）或（﹣1， ）． …………………13 分
23．（1）解：如图所示，连接 BE.
①当 ＝1 时，E为 AC中点，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BE=CE，∠PBE=∠C=45° …………………1 分
又∵∠PEB+∠BEQ=90°，∠CEQ+∠BEQ=90°，
∴∠PEB=∠CEQ， …………………2 分
在△PEB和△QEC中，
∠ = ∠
= ，
∠ = ∠
∴△PEB≌△QEC（ASA）， …………………3 分
∴EP=EQ …………………4 分
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②EP：EQ=EA：EC=1：2；理由如下：…………………5 分
作 EM⊥AB，EN⊥BC，
∴∠EMP=∠ENQ=90°，
又∵∠PEN+∠MEP=∠PEN+∠NEQ=90°， M
∴∠MEP=∠NEQ，
∴△MEP∽△NEQ， …………………6 分
N
∴EP：EQ=ME：NE，
又∵∠EMA=∠ENC=90°，∠A=∠C，
∴△MEA∽△NEC，
∴ME：NE=EA：EC， …………………7 分
∵ ＝2 ，
∴EP：EQ=EA：EC=1：2.； …………………8 分
③EP：EQ=1：m； 0（2）解：存在.
由【探究一】中（2）知当 ＝2 时，EP：EQ=EA：EC=1：2；
设 EQ=x，则 EP= 12 x，
∴S= 12 ·EP·EQ=
1 ·x· 1 x= 1 x22 2 4 ，
当 EQ⊥BC时，EQ与 EN重合时，面积取最小，
∵AC=30，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC=15 2 ，
∵ ＝2 ，AC=30，
∴AE=10，CE=20，
在等腰 Rt△CNE中，
∴NE=10 2 ，
∴当 x=10 2 时，Smin=50（cm2）； …………………12 分
当 EQ=EF时，S取得最大，
∵AC=DE=30，∠DEF=90°，∠EDF=30°，
在 Rt△DEF中，
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∴tan30°= ，
∴EF=30× 3 =10 EPQ3 3 ，此时△ 面积最大，
∴Smax=75（cm2）； …………………14 分
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{#{QQABSYSgwgK4gBRACB5qEUEoCkuQkJCSJWoOBRAcOAQDQINABIA=}#}2025 年惠阳区初中毕业生学业水平测试（二）
数 学
说明：本试卷共 6 页，答题卡共 4 页，满分 120 分，考试时间：120 分钟.
一、单选题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1.下列实数最大的是( )
1
A. -2025 B. 2025 C.2025 D.
2025
2.我国新能源汽车表现亮眼，连续 9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过
60%．以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（ ）
A．极氪 B．小鹏 C．理想 D．蔚来
3.北斗卫星导航系统是我国自主研发的一款导航系统，北斗卫星导航系统服务性能优异，
提供定位导航时授时精度最高可达 0.000000005秒．数据 0.000000005用科学记数法表示
为（ ）
A．5 × 10 7 B．5 × 10 8 C．5 × 10 9 D．5 × 10 10
4.下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． 0.3 B． 10 C． 20 D． 24
5.如图， ⊥ 于 A， ∥ ，若∠1 = 54°，则∠ 等于（ ）
A．36° B．46° C．54° D．126°
6.如图所示，若点 坐标为 , ，则 2, + 2 对应的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
7．对于一元二次方程2 2 3 + 4 = 0,则该方程根的情况为( )
A.没有实数根 B.两根之和是 3
C.两根之积是－2 D.有两个不相等的实数根
8．一架无人机在进行倾斜摄影时，已知斜片相机“光轴线”AC与地面 DO的夹角为 45°（如
图），斜片相机能拍摄到的地面宽度为 BD。当无人机处于离地面 100 3米时，若∠ =
∠ = 15°，则此时宽度 BD的值为（ ）
A．150 B．100 3 C 200 D 100． ． 3 3 + 50
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9.如图，在 中，点 AD 1为边 上一点，连结BE交对角线AC于点 ．若 = 3， = 9，
则 DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知抛物线 = 2 + + （a，b，c是常数，且 > 0， > 0）的图象经过点 2, ，
其中 < 0，现有四个结论：① < 0；② 2 4 > 0；③当 > 2时，y随 x的增大而
增大；④关于 x的一元二次方程 2 + + = 0必有一个小于 2的正实数解．其中正确
的结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题 5 图 题 6 图 题 8 图 题 9 图
二、填空题（本大题 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
11．若 2 = 3，则代数式 4 2 1的值等于 .
12．若一组数据 3，4，5，x，6，7的众数是 6，则中位数是 .
13. ≥ 若关于 x的不等式组 2 + 1 < 4无解，则 m的取值范围为 .
14.“湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，是深圳的地标性建筑之一，如图①，
A、B表示摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点 是圆心，半径为 57 , 、 是圆上
的两点，∠ = 120°，则 的长为 m．（结果保留π）
15.如图，已知点 (1,0)，点 (0,3)分别在 轴和 轴上；将线段 AB绕点 A顺时针旋转 90°
至线段 AC，连 BC，将△ 沿 轴正方向平移至△ ；当双曲线 = 恰好同时经过点
E，F时， 的值等于 ．
题 14 图 题 15 图
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三、解答题（一）（本大题 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1
16.（1）计算：(2025 )0 + 12 4cos30° + ( ) 12
3 = 2①
（2）解方程组：
2 5 = 3②
17.如图，在 中，对角线 ， 相交于点 O， = ．
（1）求证： 是矩形；
（2）点 E在 边上，满足 = ．若 = 6， = 8，求 的长．
18．如图，在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，M，N分别为 AB，AC边的中点．
(1)尺规作图：过点 B作 AC的平行线，交 NM的延长线于点 F.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)求证：AB垂直平分 FN.
四、解答题（二）（本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）
19．宪法是国家的根本法，是治国安邦的总章程．学法辨是非、知法明荣辱、守法正社风、
用法止纷争，弘扬并践行宪法精神是当代青少年的义务与担当．某校举行以“学宪法，讲
宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，
竞赛成绩 x分（满分 100分）分为 4个等级：A等级 90 ≤ ≤ 100，B等级 80 ≤ < 90，
C等级 70 ≤ < 80，D等级 60 ≤ < 70．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取
了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图：
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（1）本次抽取的学生共有 ___________人；
（2）补全频数分布直方图，扇形统计图中 D等级所对应的圆心角的度数为 ______；
（3）九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向
全校宣传宪法．请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
20．“钱大妈”以“不卖隔夜菜”闻名遐迩，深受市民喜爱．钱大妈惠民店销售的西红柿有两
个品种供顾客选择，一种是“红粉”西红柿，另一种是“有机”西红柿．请根据以下素材完成
相应的任务．
西红柿销售方案
素材 1 “有机”西红柿进价是“红粉”西红柿进价的 1.5倍.
同样用 300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多
素材 2
20kg．
惠民店平均每天可销售“有机”西红柿 30kg，其中
素材 3 白天（7：00－19：00）可销售 20kg，剩下 10kg
打折销售，其折扣分 5个时段进行，如右图.
在 19：00至 21：00的每个折扣时段内，销售量
素材 4
大致相当，即平均每个时段都销售 2千克.
问题解决
任务 1 两种西红柿每千克进价各是多少元？
若期望销售有机西红柿利润不低于 20%，则其标价（白天的售价）最低价
任务 2
是多少元？（不考虑其他因素产生的费用和损耗）
若按任务 2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售有机西红柿都是
任务 3
2kg），则每天进货多少时利润最大？
惠阳区 2025年初中毕业学业水平考试模拟试卷（二）第 4页，总 6页
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21．如图，AB为⊙O的直径，弦 CD⊥AB，过点 A作⊙O的切线交 BC的延长线于点 E.
(1)求证：∠BAD＝∠E；
(2)若⊙O的半径为 5，AD＝6，求 CE的长．
五、解答题（三）（本大题 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分）
22．已知二次函数 y = x2 + bx + c的图象与 x轴交于 A（1,0）和 B(-3,0)两点，与 y轴交于
点 C.
（1）求该二次函数的解析式．
（2）如图（1），连接 BC，动点 D以每秒 1个单位长度的速度由 A向 B运动，同时动点
E以每秒 2个单位长度的速度由 B向 C运动，连接 DE，当点 E到达点 C的位置时，D，E
同时停止运动，设点 D的运动时间为 t秒.当ΔBDE为直角三角形时，求 t的值.
（3）如图（2），在该抛物线的对称轴上是否存在一点 Q，使得点 Q到 x轴的距离与到直
线 AC的距离相等？若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.
图 1 图 2 备用图
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23.如图，一副直角三角板满足 AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°
【操作】将三角板 DEF的直角顶点 E放置于三角板 ABC的斜边 AC上，再将三角板 DEF
绕点 E旋转，并使边 DE与边 AB交于点 P，边 EF与边 BC于点 Q
图 1 图 2 图 3
（1）【探究一】在旋转过程中，
① 如图 2，当 ＝1 时，求证：EP=EQ.
②如图 3，当 ＝2 时，EP与 EQ满足怎样的数量关系 并说明理由.
③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当 ＝ 时，EP与 EQ满足的数量关
系式为 ，其中 的取值范围是 (直接写出结论，不必证明)
2 （ ）【探究二】若 = 2 且 AC＝30cm，连接 PQ，设△EPQ的面积为 S(cm
2)，在旋转
过程中：S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理
由.
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{#{QQABSYSgwgK4gBRACB5qEUEoCkuQkJCSJWoOBRAcOAQDQINABIA=}#}2025 年惠阳区初中学业水平模拟考试（二）（数学答题卡）
1. 客观题必须使用 2B铅笔将对应答案涂黑涂满，主观题 考 号
必须使用 0.5毫米黑色签字笔，不得使用铅笔、红笔或圆
珠笔答题，不能用涂改液、修正带，字迹工整，笔迹清楚。
2. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答
题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
3. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。
缺考填涂标志：
一、选择题（每题 3 分，共 30 分）
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11. 12. 13. 14. 15.
三、解答题（一）(本大题共 3 个小题，每题 7 分，共 21 分)
16.解：
17.解：
1
{#{QQABSYSgwgK4gBRACB5qEUEoCkuQkJCSJWoOBRAcOAQDQINABIA=}#}
班级_______________姓名__________________考号__________________座号__________________
18.解：
四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）
19.解：（1） ；
（2） ；
20.解：
2
{#{QQABSYSgwgK4gBRACB5qEUEoCkuQkJCSJWoOBRAcOAQDQINABIA=}#}
21.解：
五、解答题（三）(本大题共 2 个小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分)
22.解：
图（1）
图（2）
备用图
3
{#{QQABSYSgwgK4gBRACB5qEUEoCkuQkJCSJWoOBRAcOAQDQINABIA=}#}
23. 解：
图 1
图 2
图 3
4
{#{QQABSYSgwgK4gBRACB5qEUEoCkuQkJCSJWoOBRAcOAQDQINABIA=}#}

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