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北京市第八十中学2024-2025学年第二学期期中考试
高一学科：数学
2025年4月
（考试时间120分钟 满分150分）
提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 设向量，，则（ ）
A B. C. D.
2. 记复数的共轭复数为，则在复平面内所对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 在三角形中，，，，则（ ）
A. B. C. 或 D. 或
4. 若在△ABC中，，，且，，则△ABC的形状是（ ）
A. 正三角形 B. 锐角三角形 C. 斜三角形 D. 等腰直角三角形
5. 设m，n是两条不同直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6. 在平行四边形ABCD中，是对角线AC和BD的交点，则（ ）
A. B. C. D.
7. 为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（ ）
A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
8. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A. B.
C D.
9. 海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为（ ）
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
10. 已知A、B是单位圆O上两点（O为圆心），，点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，把答案填在题中横线上）
11. 若复数，其中为虚数单位，则__________.
12. 某圆锥的母线长为5cm，底面半径长为3cm，则该圆锥的高为__________，体积为__________.
13 已知向量，且，，则__________，__________.
14. 在中，，，，则__________.
15. 欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被称为“数学中的天桥”，若复数满足，则的虚部是__________，实部是__________.
16. 在中，，则一定为__________三角形.（选填“锐角”、“直角”、“钝角”、“等腰”）
17. 将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，则的最小值是__________.
18. 如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是___________.（请写出所有正确命题的编号）
①当时，S为等腰梯形；
②当时，S与的交点满足；
③当时，S为六边形；
④当时，S的面积为.
三、解答题：本大题有5小题，共78分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
19. 己知向量，，
（1）求与垂直的单位向量，以及与的夹角余弦值；
（2）求满足的实数m，n；
（3）若，求实数k.
20. 如图，直三棱柱中，D是的中点，四边形为正方形.
（1）若为等边三角形，，直接写出直三棱柱的体积.
（2）求证：平面；
（3）在第一问的条件下，直接写出异面直线与所成角的余弦值.
21. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求的对称轴及单调递减区间；
（3）若，的值域为，求的取值范围.
22. 在中，内角，，所对的边分别是，，．已知．
（1）求角的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：，；
条件②：，；
条件③：，．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
23. 如图所示，点P是平面外一点，平面，，.
（1）求证：平面
（2）问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
北京市第八十中学2024-2025学年第二学期期中考试
高一学科：数学
2025年4月
（考试时间120分钟 满分150分）
提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】C
【9题答案】
【答案】B
【10题答案】
【答案】A
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，把答案填在题中横线上）
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】 ①. 4cm ②.
【13题答案】
【答案】 ①. 0 ②. 2
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】 ①. ## ②. ##
【16题答案】
【答案】直角
【17题答案】
【答案】##
【18题答案】
【答案】①②④
三、解答题：本大题有5小题，共78分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
【19题答案】
【答案】（1）单位向量是和，夹角余弦值为；
（2），；
（3）
【20题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【21题答案】
【答案】（1）
（2）对称轴为，单调递减区间为
（3）
【22题答案】
【答案】（1）
（2）见解析
【23题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，点N为的中点，证明见解析

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