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高二年级第二次阶段性测试数学试题
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“”的否定是（ ）
A B.
C D.
3. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若,，则
4. 某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 如果服从二项分布，当且时，可以近似的认为服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生．设为该校高中学生近视人数，且服从正态分布，下列说法正确的是（ ）
（参考数据：，）
A. 变量服从正态分布 B.
C. D.
6. 已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下：
2 3 4 5 6
1.02 1.20 1.42 1.62 1.84
由上表可得经验回归方程为，则（ ）
A. 0.206 B. C. 0.596 D.
7. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ）
A. B. 1 C. 2 D.
8. 已知服从二项分布的似然函数为（其中表示成功的概率，为样本总数，为成功次数）．现有一个研究团队研究发现概率与参数的取值有关，该团队提出函数模型为．在统计学中，若参数时使得概率最大，则称是的最大似然估计．若，，根据这一原理和该团队提出的函数模型可以求出的最大似然估计，其最大似然估计为（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量的方差，则
B. 若随机变量服从正态分布，且，则
C. 从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则
D. 若随机变量服从二项分布，则的分布列可表示为，
10. 若，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. ab有最大值 B. 有最大值
C. 有最小值4 D. 有最小值
11. 在下列关于二项式的命题中，正确的是（ ）
A. 若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则
B. 若，则
C. 在的展开式中，常数项为60
D. 的展开式中，的系数为5
三 填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知命题成立，若为真命题，则的取值范围为__________.
13. 已知集合，若，则实数的取值范围是___________.
14. 英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是______.
四 解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数（单位：千人）如下：
日期 3月5日 3月6日 3月7日 3月8日 3月9日
第x天 1 2 3 4 5
参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9
（1）建立关于的回归直线方程，预测第10天进入该景区参观的人数；
（2）该景区只开放东门，西门供游客出入，游客从东门，西门进入该景区的概率分别为、，且出景区与进入景区选择相同的门的概率为，出景区与进入景区选择不同的门的概率为.假设游客从东门，西门出入景区互不影响，求甲，乙两名游客都从西门出景区的概率.
附：参考数据：.
参考公式：回归直线方程，其中，
16. 已知函数在处取得极值.
（1）求实数、的值；
（2）求函数在区间上的取值范围.
17. 某新能源汽车公司对其销售的、两款汽车的售后服务向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车的消费者中各随机抽取了名，调查结果统计如下表：
满意程度 汽车款式 合计
款 款
满意
不满意
合计
（1）补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对A、B两款汽车的售后服务的满意度有差异？
（2）用频率估计概率，现从购买、款汽车的消费者中随机抽取人，表示这名消费者中对款汽车的售后服务持满意态度的人数，求的分布列和数学期望．
附：，.
18. 马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复.
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为；
①证明：为等比数列；
②当时，恒成立，求m的取值范围.
19. 函数和有相同定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”．
（1）判断是否为的“－函数”，并证明；
（2）设和为定义在上函数，已知，，是的“－函数”，证明：（为常数）；
（3）若，，，，证明：是的“－函数”．
高二年级第二次阶段性测试数学试题
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】B
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分.
【9题答案】
【答案】BC
【10题答案】
【答案】ABC
【11题答案】
【答案】BCD
三 填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四 解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1），约为千人；
（2）.
【16题答案】
【答案】（1），
（2）
【17题答案】
【答案】（1）列联表见解析，无差异
（2）证明见解析，
【18题答案】
【答案】（1）；
（2）①证明见解析；②
【19题答案】
【答案】（1）是的“－函数”，证明见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析

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